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Prismenförmige Körper

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Überlege dir, welche prismenförmigen Körper du aus dem Alltag kennst.
b)
Beschreibe, wie sich das Volumen und die Oberlfäche des Prismas aus Abbildung $1$ berechnen lassen.
#prisma

Aufgabe 1

#prisma

Aufgabe 2

#prisma

Aufgabe 3

Berechne die fehlenden Werte in der Tabelle.
Titelzelle 1a)b)c)
Grundfläche$40$$60$
Höhe$20$$3$
Volumen$180$$250$
#prisma

Aufgabe 4

#prisma
Bildnachweise [nach oben]
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© 2017 – SchulLV.
[2]
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$ Prismenförmige Körper aus dem Alltag nennen
Im Alltag bist du täglich mit prismenförmigen Körpern in Kontakt. Die Abbildungen zeigen einige Beispiele für Prismen im Alltag :
Im Raum: Prismenförmige Körper
Abb. 4: Ordner
Im Raum: Prismenförmige Körper
Abb. 4Ordner
b)
$\blacktriangleright$ Volumen berechnen
Um das Volumen eines Prismas zu berechnen, musst du zunächst die Grundfläche berechnen und diese dann mit der Höhe des Körpers multiplizieren. Die Volumenformel lautet:
$V=A_G \cdot h$
$V=A_G \cdot h$
Die Höhe $h=9$ des Prismas kannst du in der Abbildung ablesen. Im nächsten Schritt musst du nun die Grundfläche $A_G$ berechnen.
Um die Grundfläche zu bestimmen, musst du die Grundfläche nochmal in mehrere bekannte Teilflächen zerlegen und diese einzeln berechnen. Du kannst die Grundfläche in zwei Dreiecke mit der Grundseite $a=6$ und einer Höhe von $h=1$ zerlegen und in ein Rechteck mit den Seitenlängen $a=6$ und $b=9$. Berechne also zuerst die Fläche des Rechtecks:
$A_R=a\cdot b$
$A_R=a\cdot b$
$A_R=a\cdot b$
$A_R=6 \cdot 9=54$
Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt $54\;\text{LE}^2$.
Nun kannst du die Fläche der beiden Dreiecke berechnen. Der Flächeninhalt eines Dreiecks lässt sich mit folgender Formel berechnen:
$A_D=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h$
$A_D=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h$
Setze nun die gegebenen Werte ein und multipliziere sie mit $2$, da die Dreiecksfläche zweimal vorkommt.
$A_D=\frac{1}{2}\cdot 6 \cdot 1 \cdot 2=6$
Der Flächeninhalt der beiden Dreiecke beträgt $12\;\text{LE}^2$.
Addiere nun die beiden Flächeninhalte, um den Flächeninhalt des Prismas zu erhalten:
$A_G=A_R+A_D$
$A_G=54+12=66$
Die Grundfläche ist $66\;\text{LE}^2$ groß.
Berechne das Volumen, indem du $A_G$ und $h$ in die Volumenformel einsetzt:
$V=A_G \cdot h$
$V=66 \cdot 13=858$
Das Volumen des Prismas beträgt $858\;\text{LE}^3$.
$\blacktriangleright$ Oberfläche berechnen
Du sollst außerdem die Oberfläche des Prismas berechnen. Die Oberfläche besteht aus der Mantelfläche und der Grund- und Deckfläche. Die Grund- und Deckfläche hast du bereits bestimmen. Um die einzelnen Teile der Mantelfläche zu berechnen, benötigst du jeweils die Länge der jeweiligen Grundseite, die du mit der Höhe multiplizierst. Zwei Grundseiten sind $9\;\text{LE}$ lang. Die anderen vier Grundseiten sind jeweils $3,16\;\text{LE}$ lang. Multipliziere jede dieser Längen mit der Höhe $h=13$, um den Flächeninhalt der Mantelfläche zu erhalten.
$A_M=(2\cdot9+4\cdot3,16)\cdot 13=398,32$
$ 398,32 $
Die Oberfläche des Prismas lässt sich nun berechnen, indem du den Flächeninhalt von Grund- und Deckfläche mit dem Flächeninhalt der Mantelfläche addierst.
$A_O=398,32+2\cdot66=530,32$
Die Oberfläche ist $530,32\;\text{LE}^2$ groß.
#prisma

Aufgabe 1

$\blacktriangleright $ $\;$Grundfläche berechnen
Der Blumentopf hat die Form eines geraden Prismas. Um das Volumen eines Prismas zu berechnen, musst du zunächst die Grundfläche berechnen und diese dann mit der Höhe des Körpers multiplizieren. Die Volumenformel lautet:
$V=A_G \cdot h$
$V=A_G \cdot h$
Die Höhe $h=20\;\text{cm}$ des Prismas kannst du in der Abbildung ablesen. Im nächsten Schritt musst du nun die Grundfläche $A_G$ berechnen.
Um die Grundlfäche zu berechnen, musst du sie in mehrere bekannte Teilflächen zerlegen und diese einzeln berechnen. Du kannst die Grundfläche in zwei Dreiecke mit der Grundseite $a=8\;\text{cm}$ und einer zugehörigen Höhe von $h=2\;\text{cm}$ zerlegen und in ein Rechteck mit den Seitenlängen $a=8\;\text{cm}$ und $b=5\;\text{cm}$. Berechne also zuerst die Fläche des Rechtecks:
$A_R=a\cdot b$
$A_R=a\cdot b$
$A_R=a\cdot b$
$A_R=8\;\text{cm} \cdot 5\;\text{cm}=40\;\text{cm}^2$
Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt $40\;\text{cm}^2$.
Nun kannst du die Flächen der beiden Dreiecke berechnen. Der Flächeninhalt eines Dreiecks lässt sich mit folgender Formel berechnen:
$A_D=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h$
$A_D=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h$
Setze nun die gegebenen Werte ein und multipliziere mit $2$, da die Dreiecksfläche zweimal vorkommt.
$A_D=\frac{1}{2}\cdot 8\;\text{cm} \cdot 2\;\text{cm} \cdot 2=16\;\text{cm}^2$
Der Flächeninhalt der beiden Dreiecke beträgt $16\;\text{cm}^2$.
Addiere die beiden Flächeninhalte, um den Flächeninhalt des Prismas zu erhalten:
$A_G=A_R+A_D$
$A_G=40\;\text{cm}^2+16\;\text{cm}^2=56\;\text{cm}^2$
Die Grundfläche ist $56\;\text{cm}^2$ groß.
$\blacktriangleright $ $\;$Volumen berechnen
Berechne nun das Volumen, indem du $A_G$ und $h$ in die Volumenformel einsetzt:
$V=A_G \cdot h$
$V=56\;\text{cm}^2 \cdot 20\;\text{cm}=1120\;\text{cm}^3=1,12\;\text{L}$
Das Volumen des Prismas beträgt $1,12\;\text{l}$. Sophia sollte deswegen die Packung mit $1,5\;\text{l}$ Blumenerde kaufen.
#prisma

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$ Grundfläche berechnen
Die Grundfläche des Prismas kannst du berechnen, indem du die Grundfläche in zwei Teilflächen unterteilst. Es ergeben sich zwei Rechtecke, die du mit dieser Formel berechnen kannst:
$A_R=a\cdot b$
$A_R=a\cdot b$
$\blacktriangleright$$\;$großen Flächeninhalt berechnen
Berechne zuerst den Flächeninhalt der größeren Fläche. Setze dazu die Werte in die Formel ein:
$A_R=a\cdot b$
$A_R=5\cdot 6=30$
Die große Fläche ist $30\;\text{LE}^2$ groß.
$\blacktriangleright$$\;$kleinen Flächeninhalt berechnen
Berechne nun den Flächeninhalt der kleineren Fläche. Setze dazu die Werte in die Formel ein:
$A_R=a\cdot b$
$A_R=3\cdot 2=6$
Die kleine Fläche ist $6\;\text{LE}^2$ groß.
$\blacktriangleright$$\;$Flächeninhalt der Grundfläche berechnen
Den Flächeninhalt der Grundfläche erhältst du, indem du den Flächeninhalt der beiden Rechtecke addierst.
$A_G=A_g+A_k$
$A_G=30+6=36$
Die Grundfläche ist $36\;\text{LE}^2$ groß.
b)
$\blacktriangleright$ Volumen berechnen
Das Volumen des Prismas kannst du berechnen, indem du die Volumenformel verwendest. Setze die Werte der berechneten Grundfläche und die Höhe $h=9$ in die Formel ein.
$V=A_G\cdot h$
$V=A_G\cdot h$
$V=A_G\cdot h$
$V=36\cdot 9=324$
Das Volumen des Prismas beträgt $324\;\text{LE}^3$.
#prisma

Aufgabe 3

Du sollst die fehlenden Werte der Tabelle berechnen. Dazu kannst du die Volumenformel verwendenund nach den jeweils gesuchten Größen umstellen.
$V=A_G\cdot h$
$V=A_G\cdot h$
a)
$\blacktriangleright$ Höhe des Prismas berechnen
Du hast die Werte für die Grundfläche und für das Volumen gegeben. Stelle die Volumenformel nach $h$ um und setze die gegebenen Werte ein.
$\begin{array}[t]{rll} V&=& A_G \cdot h &\quad \scriptsize \mid\; :A_g \\[5pt] h&=&\frac{V}{A_G}&\quad \scriptsize \\[5pt] h&=&\frac{180}{40}&=4,5\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Höhe beträgt $4,5\;\text{LE}$.
b)
$\blacktriangleright$ Grundfläche berechnen
Du hast die Werte für das Volumen und die Höhe eines Prismas gegeben. Stelle die Formel nach der Grundfläche um und setze die Werte in die Volumenformel ein.
$\begin{array}[t]{rll} V&=& A_G \cdot h &\quad \scriptsize \mid\; :h \\[5pt] A_G&=&\frac{V}{h}&\quad \scriptsize \\[5pt] h&=&\frac{250}{20}=12,5\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Grundfläche ist $12,5\;\text{LE}^2$ groß.
c)
$\blacktriangleright$ Volumen berechnen
Du hast die Werte für die Grundfläche und für die Höhe gegeben. Das Volumen lässt sich berechnen, indem du die Werte in die Volumenformel einsetzt.
$\begin{array}[t]{rll} V&=& A_G \cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt] V&=& 60 \cdot 30=180 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Das Volumen ist $180\;\text{LE}^3$ groß.
#prisma

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$ Oberfläche des Gebäudes berechnen
Das Bügeleisengebäude hat die Form eines Prismas. Du sollst die Oberfläche berechnen, die gestrichen werden soll. Die Grund- und Deckfläche des Prismas müssen nicht berücksichtigt werden, da nur die Mantelfläche gestrichen wird. Berechne also im nächsten Schritt die Mantelfläche des Prismas.
Die Mantelfläche kannst du berechnen, indem du die jeweiligen Grundseiten $a$, $b$, und $c$ mit der Höhe $h=80\;\text{m}$ multiplizierst.
$A_M=(15\;\text{m}+45\;\text{m}+35\;\text{m})\cdot80\;\text{m}=7600\;\text{m}^2$
Die Oberfläche des Gebäudes ist $7600\;\text{m}^2$ groß.
#prisma
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