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Volumen

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

In Abbildung $1$ und $2$ sind zwei Prismen und zwei Rechnungen dargestellt. Die Rechnungen können zur Berechnung des Prismavolumens verwendet werden. Entscheide welcher der Rechenwege zu welcher Figur passt. Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Prismas lautet:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Volumen}_{Prisma}&=& \text{Grundfläche} &\cdot& \text{Höhe}&\quad \scriptsize \\[5pt] V_{Prisma}&=&G &\cdot& h_k& \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} V_{Prisma}&=&G &\cdot& h_k&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Wenn es sich bei der Grundfläche um ein Dreieck handelt, kannst du die Grundfläche mit der Formel für ein Dreieck berechnen:
$G=g\cdot h_D \cdot \frac{1}{2}$
$G=g\cdot h_D \cdot \frac{1}{2}$
$B:(2\cdot5\cdot\frac{1}{2})\cdot 3=15$
#prisma

Aufgabe 1

Berechne das Volumen des Prismas für folgende Werte:
#prisma

Aufgabe 2

Berechne die fehlenden Werte in der Tabelle, verwende dazu die Formel aus der Einführungsaufgabe.
a)b)c)
Grundfläche $G$$25\;\text{cm}^2$$3\;\text{cm}^2$
Höhe $h_k$$3,5\;\text{cm}$$6,5\;\text{cm}$
Volumen $V_{Prisma}$$150\;\text{cm}^3$$110\;\text{cm}^3$
a)b)c)
$G$$25\;\text{cm}^2$$3\;\text{cm}^2$
$h_k$$3,5\;\text{cm}$$6,5\;\text{cm}$
$V_{P}$$150\;\text{cm}^3$$110\;\text{cm}^3$
#prisma

Aufgabe 3

#prisma
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Einführungsaufgabe

$\blacktriangleright$ Rechnungen $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ den Abbildungen zuordnen
Du sollst begründen, welche Rechnung ($A$ oder $B$) zu welcher Figur gehört. Berechne dazu das Volumen für jeden Körper mithilfe der angegebenen Formel.
Volumen der Figur aus Abbldung $\boldsymbol{1}$ berechnen
Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Prismas lautet:
$V_{Prisma}=G\cdot h_k$
$V_{Prisma}=G\cdot h_k$
Da es sich bei der Grundfläche $G$ um ein Dreieck handelt, kannst du zunächst die Grundfläche mit der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen:
$A_D=g\cdot h_D \cdot \frac{1}{2}$
$A_D=g\cdot h_D \cdot \frac{1}{2}$
Setze die gegebenen Werte ein und du erhältst für die Grundfläche:
$G=5\cdot 3\cdot \frac{1}{2}=7,5$
Die Grundfläche ist also $7,5\;\text{LE}^2$ groß.
Du hast nun den Wert für $G$ berechnet und der Wert für die Höhe des Prismas ist gegeben. Setze diese Werte in die oben angegebene Formel ein.
$V_{Prisma}=G\cdot h_k$
$V_{Prisma}=7,5\cdot4=30$
Das Volumen des Prismas aus Abbildung $1$ ist $30\;\text{LE}^3$ groß, und gehört zur Rechnung $A$.
Volumen der Figur aus Abbildung $\boldsymbol{2}$ berechnen
Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Prismas lautet:
$V_{Prisma}=G\cdot h_k$
$V_{Prisma}=G\cdot h_k$
Da es sich bei der Grundfläche $G$ um ein Dreieck handelt, kannst du zunächst die Grundfläche mit der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen:
$A_D=g\cdot h_D \cdot \frac{1}{2}$
$A_D=g\cdot h_D \cdot \frac{1}{2}$
Setze die gegebenen Werte ein und du erhältst für die Grundfläche:
$G=2\cdot 5\cdot \frac{1}{2}=5$
Die Grundfläche ist also $5\;\text{LE}^2$ groß.
Du hast nun den Wert für $G$ berechnet und der Wert für die Höhe des Prismas ist gegeben. Setze diese Werte in die oben angegebene Formel ein.
$V_{Prisma}=G\cdot h_k$
$V_{Prisma}=5\cdot 3=15$
Das Volumen des Prismas aus Abbildung $2$ ist $15\;\text{LE}^3$ groß, und gehört zur Rechnung $B$.
#prisma

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$ Volumen des Prismas berechnen
Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Prismas lautet:
$V_{Prisma}=G\cdot h_k$
$V_{Prisma}=G\cdot h_k$
Da es sich bei der Grundfläche $G$ um ein Dreieck handelt, kannst du zunächst die Grundfläche mit der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen:
$A_D=g\cdot h_D \cdot \frac{1}{2}$
$A_D=g\cdot h_D \cdot \frac{1}{2}$
Setze die gegebenen Werte ein und du erhältst für die Grundfläche:
$G=5\;\text{cm}\cdot 3\;\text{cm}\cdot \frac{1}{2}=7,5\;\text{cm}^2$
$ 7,5\;\text{cm}^2 $
Die Grundfläche ist also $7,5\;\text{cm}^2$ groß.
Du hast nun den Wert für $G$ berechnet und der Wert für die Höhe des Prismas ist gegeben. Setze diese Werte in die oben angegebene Formel ein.
$V_{Prisma}=G\cdot h_k$
$V_{Prisma}=7,5\;\text{cm}^2\cdot6\;\text{cm}=45\;\text{cm}^3$
$ 45\;\text{cm}^3 $
Das Volumen des Prismas beträgt $45\;\text{cm}^3$.
b)
$\blacktriangleright$ Volumen des Prismas berechnen
Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Prismas lautet:
$V_{Prisma}=G\cdot h_k$
$V_{Prisma}=G\cdot h_k$
Das es sich bei der Grundfläche $G$ um ein Dreieck handelt, kannst du zunächst die Grundfläche mit der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen:
$A_D=g\cdot h_D \cdot \frac{1}{2}$
$A_D=g\cdot h_D \cdot \frac{1}{2}$
Setze die gegebenen Werte ein und du erhältst für die Grundfläche:
$G=7\;\text{cm}\cdot 4,5\;\text{cm}\cdot \frac{1}{2}=15,75\;\text{cm}^2$
$ 15,75\;\text{cm}^2 $
Die Grundfläche ist also $15,75\;\text{cm}^2$ groß.
Du hast nun den Wert für $G$ berechnet und der Wert für die Höhe des Prismas ist gegeben. Setze diese Werte in die oben angegebene Formel ein.
$V_{Prisma}=G\cdot h_k$
$V_{Prisma}=15,75\;\text{cm}^2\cdot4\;\text{cm}=63\;\text{cm}^3$
$ 63\;\text{cm}^3$
Das Volumen des Prismas beträgt $63\;\text{cm}^3$.
c)
$\blacktriangleright$ Volumen des Prismas berechnen
Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Prismas lautet:
$V_{Prisma}=G\cdot h_k$
$V_{Prisma}=G\cdot h_k$
Das es sich bei der Grundfläche $G$ um ein Dreieck handelt, kannst du zunächst die Grundfläche mit der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen:
$A_D=g\cdot h_D \cdot \frac{1}{2}$
$A_D=g\cdot h_D \cdot \frac{1}{2}$
Setze die gegebenen Werte ein und du erhältst für die Grundfläche:
$G=2\;\text{cm}\cdot 8,5\;\text{cm}\cdot \frac{1}{2}=17\;\text{cm}^2$
$ 17\;\text{cm}^2 $
Die Grundfläche ist also $17\;\text{cm}^2$ groß.
Du hast nun den Wert für $G$ berechnet und der Wert für die Höhe des Prismas ist gegeben. Setze diese Werte in die oben angegebene Formel ein.
$V_{Prisma}=G\cdot h_k$
$V_{Prisma}=17\;\text{cm}^2\cdot1\;\text{cm}=17\;\text{cm}^3$
$ 17\;\text{cm}^3 $
Das Volumen des Prismas beträgt $17\;\text{cm}^3$.
#prisma

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$ Volumen des Prismas berechnen
Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Prismas lautet:
$V_{Prisma}=G\cdot h_k$
$V_{Prisma}=G\cdot h_k$
Setze die gegebenen Werte für die Grundfläche $G=25\;\text{cm}^2$ und für die Höhe $h_k=3,5\;\text{cm}$ in die Formel ein:
$V_{Prisma}=25\;\text{cm}^2 \cdot 3,5\;\text{cm}=87,5\;\text{cm}^3$
$ 87,5\;\text{cm}^3 $
Das Volumen des Prismas beträgt $V_{Prisma}=87,5\;\text{cm}^3$.
b)
$\blacktriangleright$ Höhe des Prismas berechnen
Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Prismas lautet:
$V_{Prisma}=G\cdot h_k$
$V_{Prisma}=G\cdot h_k$
Da nach der Höhe gefragt ist, kannst du nach $h_k$ umstellen und die gegebenen Werte einsetzen.
$h_k=\frac{V_{Prisma}}{G}=\frac{150\;\text{cm}^3}{3\;\text{cm}^2}=50\;\text{cm}$
Der Körper hat eine Höhe von $h=50\;\text{cm}$.
c)
$\blacktriangleright$ Grundfläche des Prismas berechnen
Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Prismas lautet:
$V_{Prisma}=G\cdot h_k$
$V_{Prisma}=G\cdot h_k$
Da nach der Grundfläche gefragt ist, kannst du nach $G$ umstellen und die gegebenen Werte einsetzen.
$G=\frac{V_{Prisma}}{h_k}=\frac{110\;\text{cm}^3}{6,5\;\text{cm}}\approx19,92\;\text{cm}^2$
$ 19,92\;\text{cm}^2 $
Die Grundfläche des Körpers ist ca. $19,92\;\text{cm}^2$ groß.
#prisma

Aufgabe 3

Du sollst das maximale Volumen, das in eine Toblorono-packung passt berechnen. Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Prismas lautet:
$V_{Prisma}=G\cdot h_k$
$V_{Prisma}=G\cdot h_k$
Da es sich bei der Grundfläche $G$ um ein Dreieck handelt, kannst du zunächst die Grundfläche mit der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen:
$A_D=g\cdot h_D \cdot \frac{1}{2}$
$A_D=g\cdot h_D \cdot \frac{1}{2}$
Setze die gegebenen Werte ein und du erhältst für die Grundfläche:
$G=4\;\text{cm}\cdot 2\;\text{cm}\cdot \frac{1}{2}=4\;\text{cm}^2$
Die Grundfläche ist also $4\;\text{cm}^2$ groß.
Du hast nun den Wert für $G$ berechnet und den Wert für die Höhe des Prismas, in diesem Fall die Länge der Packung, gegeben. Setze diese Werte in die oben angegebene Formel ein.
$V_{Prisma}=G\cdot h_k$
$V_{Prisma}=4\;\text{cm}^2\cdot 20\;\text{cm}=80\;\text{cm}^3$
$ 80\;\text{cm}^3 $
Das Volumen des Prismas beträgt $80\;\text{cm}^3$. Dies entspricht dem maximalen Schokoladenvolumen, das in die Packung passt.
#prisma
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