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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Welcher Körper kannst du auf dem Bild erkennen? Benenne sie.
b)
Woran erkennst du ein Prisma? Welche der Körper aus Aufgabenteil a) sind auch Prismen?
c)
Woran erkennst du ein Dreiecksprisma? Benenne die Prismen aus Aufgabenteil b) genauer, indem du ein „Dreiecks-“, „Quadrats-“ oder ähnliches vor das „Prisma“ setzt.

Aufgabe 1

Gib bei folgenden Körpern an, ob es sich um ein Trapezprisma, ein Drachenprisma, ein rechteckiges Prisma oder um ein quadratisches Prisma handelt.
#quadrat#drachenviereck#trapez#prisma#rechteck

Aufgabe 2

Zwei der Prismen aus Aufgabe 1 kannst du auch anders bezeichnen. Welche sind es und wie nennt man diese Körper?
#prisma

Aufgabe 3

Fülle die folgende Tabelle mithilfe deiner Ergebnisse aus den vorherigen Aufgaben aus. Trage in die freien Felder jeweils die Anzahl der Ecken, Flächen und Kanten ein. In die hintere Spalte mit „Rechnung“ trägst du folgende Rechnung ein:
$\text{Ecken}+\text{Flächen}-\text{Kanten}$
KörperEckenFlächenKantenRechnung
Würfel
Quader
Viereckspyramide
Dreieckspyramide
Dreiecksprisma
Vierecksprisma
Fünfecksprisma
#quader#prisma#würfel#pyramide

Aufgabe 4

Was du in Aufgabe 3 beobachten kannst ist eine Gesetzmäßigkeit in der Geometrie, die schon der Mathematiker Leonhard Euler gefunden hat.
a)
Welche der folgenden Angaben kann zu einem Körper gehören? Überprüfe das mithilfe der Formel aus Aufgabe 3.
EckenFlächenKanten
$5$$4$$8$
$8$$6$$12$
$10$$8$$14$
$4$$4$$6$
b)
Vergleiche die Angaben aus Aufgabenteil a) mit deiner Tabelle aus Aufgabe 3. Kannst du den Angaben bestimmte Körper zuweisen?

Aufgabe 5

Viele Gegenstände kannst du beschreiben, indem du sie in einzelne Körper unterteilst. Dabei suchst du nach den groben Formen und vernachlässigst die Details. Betrachte als Beispiel den Hammer.
Beschreibe auf die gleiche Art den Nagel, Traktor und die Sanduhr in folgendem Bild:
#zylinder
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
© 2016 – SchulLV.
[3]
Public Domain.
[4]
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
Überlege dir, welche Körper du kennst und woran du sie erkennst. Bei welchen Körpern in der Abbildung findest du diese Eigenschaft wieder?
In der Abbildung siehst du folgende Körper:
  • Zwei Pyramiden. Pyramiden haben eine Grundfläche und eine Spitze. Die Grundfläche ist eine vieleckige Figur, wie z.B. ein Dreieck oder ein Viereck.
  • Einen Kegel. Ein Kegel ähnelt einer Pyramide. Er hat eine Grundfläche und eine Spitze. Die Grundfläche eines Kegel ist ein Kreis.
  • Ein Zylinder. Ein Zylinder hat wie ein Kegle einen Kreis als Grundfläche. Er hat jedoch keine Spitze, sondern zwei Grundflächen.
  • Ein Prisma. Ein Prisma hat wie ein Zylinder zwei identische Grundflächen, die miteinander verbunden sind. Die Grundflächen eines Prismas sind Vielecke.
  • Ein Quader. Ein Quader hat $6$ Flächen. Davon sind immer $2$ gleich groß.
  • Ein Würfel. Ein hat wie ein Quader $6$ Flächen. Beim Würfel sind alle Flächen gleich groß.
  • Eine Kugel. Eine Kugel ist komplett rund.
Versuche die Namen den Körpern in der Abbildung zuzuordnen.
$\boldsymbol{A}$
Der Körper $A$ besteht aus $6$ gleich großen Flächen. $A$ ist ein Würfel.
$\boldsymbol{B}$
Der Körper $B$ besteht aus $6$ Flächen. Jeweils $2$ der Flächen sind gleich groß. $B$ ist ein Quader.
$\boldsymbol{C}$
Der Körper $C$ ist komplett Rund. $C$ ist eine Kugel.
$\boldsymbol{D}$
Der Körper $D$ hat eine viereckige Grundfläche und eine Spitze. $D$ ist eine Viereckspyramide.
$\boldsymbol{E}$
Der Körper $E$ hat zwei kreisförmige Grundfläche. $E$ ist ein Zylinder.
$\boldsymbol{F}$
Der Körper $F$ hat zwei fünfeckige Grundfläche. $F$ ist ein Prisma.
$\boldsymbol{G}$
Der Körper $G$ hat eine kreisförmige Grundfläche und eine Spitze. $G$ ist ein Kegel.
$\boldsymbol{H}$
Der Körper $H$ hat eine dreieckige Grundfläche und eine Spitze. $H$ ist eine Dreieckspyramide.
b)
Ein Prisma hat zwei identische Grundflächen, die miteinander verbunden sind. Das trifft auf mehrere der Körper aus Aufgabenteil a) zu, die du bereits anders benannt hast. Diese Körper heißen nicht nur so wie du sie genannt hast, sondern sind auch noch Prismen.
Schau dir die Körper aus Aufgabenteil a) an und suche Körper, die zwei identische Grundflächen haben.
Die Körper $A$, $B$ und $F$ sind Prismen.
c)
Bei einem Dreiecksprisma sind die Grundflächen Dreiecke. Wenn du die Prismen aus Aufgabenteil b) näher benennen willst, dann überlege dir, welche Seiten die Grundflächen sind und wie diese Flächen aussehen. Wenn du sie benennen kannst, dann kannst du auch das Prisma näher benennen.
$A$
Bei Körper $A$ ist es egal, welche Seiten du als Grundflächen betrachtest. Alle Seiten sind gleich. Deshalb macht es keinen unterschied. Die Grundflächen sind Vierecke mit vier gleich langen Seiten und vier rechten Winkeln. Es sind Quadrate. Das Prisma ist ein quadratisches Prisma.
$B$
Bei Körper $B$ sind jeweils zwei gegenüberliegende Seiten gleich groß. Du kannst hier auch die Grundflächen frei wählen. Alle Grundflächen sind Vierecke mit jeweils zwei gleich langen Seiten und vier rechten Winkeln. Es handelt sich um ein Rechteck. Das Prisma ist ein rechteckiges Prisma.
$C$
Bei Körper $C$ gibt es nur zwei gegenüberligende Seiten, die gleich groß sind. Diese Flächen sind Fünfecke. Das Prisma ist ein Fünfecksprisma.
#prisma#quader#pyramide#würfel#kugel

Aufgabe 1

Zum Lösen dieser Aufgabe musst du in der Abbildung die Grundseiten der Prismen suchen. Die Grundseiten erkennst du daran, dass sie deckungsgleich sind und sich direkt gegenüber liegen. Nicht immer ist die Ober- und Unterseite die Grundseite. Manchmal musst du auch umdenken.
Wenn du die Grundseiten gefunden hast, dann überlege dir, welche Form sie haben. Du musst entscheiden, ob es sich um ein Trapez, einen Drachen, ein Rechteck oder ein Quadrat handelt. Welche Eigenschaften haben die einzelnen Figuren?
Ein Trapez besitzt genau zwei parallele, unterschiedlich lange Seiten. Bei einem Drachen sind jeweils zwei benachbarte Seiten gleich lang und die Diagonalen sind gleichzeitig Symmetrieachsen. Bei einem Rechteck sind die gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang. Ebenso ist es beim Quadrat. In beiden Figuren findest du nur rechte Winkel. Beim Quadrat sind zusätztlich noch alle Seiten gleich lang.
Entscheide, um welche Art von Prisma es sich handelt.
$\boldsymbol{A}$
Bei dieser Figur hast du eine rechteckige Grundseite. Die gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang und parallel. Alle Winkel sind rechte Winkel. Es handelt sich bei $A$ um ein rechteckiges Prisma.
$\boldsymbol{B}$
Bei dieser Figur ist die Vorder- und Rückseite die Grundseite. Jeweils zwei benachbarte Seiten sind gleich lang. Die Grundseite ist also ein Drache. Es handelt sich bei $B$ um ein Drachenprisma.
$\boldsymbol{C}$
Bei dieser Figur liegt die Grundseite oben und unten. Zwei gegenüberligende Seiten sind parallel, aber nicht gleich lang. Die Grundseite ist also ein Trapez. Es handelt sich bei $C$ um ein Trapezprisma.
$\boldsymbol{D}$
Bei dieser Figur liegt die Grundseite oben und unten. Jeweils zwei benachbarte Seiten sind gleich lang. Die Grundseite ist also ein Drache. Es handelt sich bei $D$ um ein Drachenprisma.
$\boldsymbol{E}$
Bei dieser Figur hast du eine quadratische Grundseite. Die gegenüberliegenden Seiten sind parallel. Alle Seiten sind gleich lang. Es handelt sich bei $E$ um ein quadratisches Prisma.
$\boldsymbol{F}$
Bei dieser Figur ist die Vorder- und Rückseite die Grundseite. Zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel, aber nicht gleich lang. Die Grundseite ist ein Trapez. Es handelt sich bei $F$ um ein Trapezprisma.
#parallel#drachenviereck#rechteck#quadrat#trapez

Aufgabe 2

Überlege dir welche Eigenschaften ein Prisma hat und welche Körper du kennst, die ähnliche Eigenschaften haben. Das kann dir einen Hinweis darauf geben, welche Körper sich in Aufgabe 1 noch verstecken.
Ein Prisma hat zwei vieleckige Grundseiten, die miteinander verbunden sind. Die Grundseiten sind gleich groß und liegen sich direkt gegenüber.
Damit ist das Prisma dem Zylinder sehr ähnlich. Der Zylinder besitzt ebenfalls gleich große, gegenüberliegende Grundseiten. Die Grundseiten des Zylinders sind Kreise. Ebenso ähnelt das Prisma dem Quader. Ein Quader ist quasi ein Prisma mit einer rechteckigen Grundfläche. Der Würfel ähnelt dem Prisma auch. Der Würfel ist ein Prisma mit einer quadratischen Grundfläche. Außerdem sind beim Würfel alle Seiten gleich lang.
Schau dir die Körper in Aufgabe 1 an und gib an, welche Prismen auch einen anderen Namen tragen können.
Die beiden Prismen sind $A$ und $E$. $A$ hat eine rechteckige Grundseite. Es ist ebenfalls ein Quader. $E$ hat eine quadratische Grundfläche und alle Seiten sind gleich lang. Hierbei handelt es sich auch um einen Würfel.
#würfel#quader

Aufgabe 3

Schau in die Ergebnisse der vorherigen Aufgaben und suche Abbildungen der Körper. Anhand der Abbildungen kannst du die Anzahl der Flächen, Kanten und Ecken abzählen und die Rechnung durchführen. Die fertig ausgefüllte Tabelle sieht so aus:
KörperEckenFlächenKantenRechnung
Würfel$8$$6$$12$$2$
Quader$8$$6$$12$$2$
Viereckspyramide$5$$5$$8$$2$
Dreieckspyramide$4$$4$$6$$2$
Dreiecksprisma$6$$5$$9$$2$
Vierecksprisma$8$$6$$12$$2$
Fünfecksprisma$10$$7$$15$$2$
#quader#prisma#würfel#pyramide

Aufgabe 4

a)
In Aufgabe 3 hast du beobachten können, dass das Ergebnis der folgenden Rechnung: $\text{Ecken}+\text{Flächen}-\text{Kanten}$ bei jedem Körper immer $2$ ergibt. Setze die Angaben aus der Tabelle in die Formel ein. Wenn das Ergebnis nicht $2$ ist, dann gehören die Angaben zu keinem Körper.
Angabe $1$
$\begin{array}[t]{rll} \text{Ecken}+\text{Flächen}-\text{Kanten}&=&2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 5+4-8&=&2 \\[5pt] 9-8&=&2 \\[5pt] 1&=&2 \\[5pt] \end{array}$
$ 1=2$
Die Rechnung geht nicht auf. Die Angaben gehören zu keinem Körper.
Angabe $2$
$\begin{array}[t]{rll} \text{Ecken}+\text{Flächen}-\text{Kanten}&=&2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 8+6-12&=&2 \\[5pt] 14-12&=&2 \\[5pt] 2&=&2 \\[5pt] \end{array}$
$2=2$
Die Rechnung geht auf. Die Angaben gehören zu einem Körper.
Angabe $3$
$\begin{array}[t]{rll} \text{Ecken}+\text{Flächen}-\text{Kanten}&=&2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 10+8-14&=&2 \\[5pt] 18-14&=&2 \\[5pt] 4&=&2 \\[5pt] \end{array}$
$4=2$
Die Rechnung geht nicht auf. Die Angaben gehören zu keinem Körper.
Angabe $4$
$\begin{array}[t]{rll} \text{Ecken}+\text{Flächen}-\text{Kanten}&=&2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 4+4-6&=&2 \\[5pt] 8-6&=&2 \\[5pt] 2&=&2 \\[5pt] \end{array}$
$2=2$
Die Rechnung geht auf. Die Angaben gehören zu einem Körper.
b)
Vergleiche die Angaben aus Aufgabenteil a) mit deiner Tabelle aus Aufgabe 3. Welche Angaben stimmen überein und zu welchem Körper gehören diese Angaben?
Die zweiten Angaben kannst du einem Würfel, einem Quader oder einem Vierecksprisma zuordnen.
Die vierten Angaben kannst du einer Dreieckspyramide zuordnen.
#quader#pyramide#prisma#würfel

Aufgabe 5

Beschreibe die abgebildeten Gegenstände wie im Beispiel gezeigt. Überlege dir, in welche Körper du die Gegenstände unterteilen kannst. Versuche dabei nicht zu sehr ins Detail zu gehen.
#kugel#quader#kegel#zylinder
Bildnachweise [nach oben]
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