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Spickzettel
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Das Dreieck $A'B'C'$ entsteht durch Verschiebung des Dreiecks $ABC$. Wenn du den Punkt $B$ betrachtest,
kommst du zu $B'$, indem du
  • $5$ Einheiten in die negative $x_1$-Richtung,
  • $2$ Einheiten in die positive $x_2$-Richtung,
  • $4$ Einheiten in die positive $x_3$-Richtung gehst.
$5$ Einheiten in die negative $x_1$-Richtung,
$2$ Einheiten in die positive $x_2$-Richtung,
$4$ Einheiten in die positive $x_3$-Richtung gehst.
Diese Verschiebung kannst du als Vektor schreiben: $\vec{u}=\begin{pmatrix}{-5}\\{2}\\{4}\end{pmatrix}$
  • Vektoren werden immer mit kleinen Buchstaben und einem darüber gesetztem Pfeil bezeichnet.
  • Die Zahlen werden in Klammern untereinander geschrieben.
  • Der Ortsvektor $\vec{OA}$ ist der Vektor vom Ursprung $O$ zu einem Punkt $A$.
  • Der Verbindungsvektor $\vec{AB}$ ist der Vektor von einem Punkt $A$ zu einem anderen Punkt $B$.
Vektoren werden immer mit kleinen Buchstaben und einem darüber gesetztem Pfeil bezeichnet.
Die Zahlen werden in Klammern untereinander geschrieben.
Der Ortsvektor $\vec{OA}$ ist der Vektor vom Ursprung $O$ zu einem Punkt $A$.
Der Verbindungsvektor $\vec{AB}$ ist der Vektor von einem Punkt $A$ zu einem anderen Punkt $B$.

Beispiel

Gegeben sind die Punkte $A(2\mid-1\mid3)$ und $B(5\mid3\mid-1)\;$.
Die Ortsvektoren sind $\vec{OA}=\begin{pmatrix}{2}\\{-1}\\{3}\end{pmatrix}$ und $\vec{OB}=\begin{pmatrix}{5}\\{3}\\{-1}\end{pmatrix}\;$.
Der Verbindungsvektor von $A$ nach $B$ ist $\vec{AB}=\begin{pmatrix}{5}\\{3}\\{-1}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}{2}\\{-1}\\{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{3}\\{4}\\{-4}\end{pmatrix}\;$.
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Aufgaben
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1.
Ortsvektoren
Bestimme die Ortsvektoren der folgenden Punkte:
$\quad$
b) $B(20\mid4\mid7)$
d) $D(3\mid6,5\mid4)$
f) $F \left( -2\mid-1\mid\frac{3}{4} \right)$
2.
Verbindungsvektoren
Bestimme den Verbindungsvektor $\vec{PQ}$.
$\quad$
b) $P(2\mid-3\mid3)$; $Q(5\mid-8\mid6)$
d) $P(11\mid11\mid11)$; $Q(-7\mid14\mid3)$
f) $P\left(2\mid\frac{3}{10}\mid\frac{1}{3}\right)$; $Q\left(\frac{6}{7}\mid\frac{1}{5}\mid\frac{4}{3}\right)$
3.
Verschiebung
Der Punkt $P$ wird um den Vektor $\vec{u}$ verschoben. Bestimme die Koordinaten den Bildpunktes $P'$ nach der Verschiebung.
$\quad$
b) $P(5\mid-2\mid-2)$; $\;\vec{u}=\begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{3}\end{pmatrix}$
d) $P(-14\mid5\mid2)$; $\;\vec{u}=\begin{pmatrix}{-5}\\{1}\\{1}\end{pmatrix}$
4.
Verschiebung
Der Punkt $A'$ entstand durch Verschiebung von $A$ durch den Vektor $\vec{v}$. Bestimme den Vektor $\vec{v}$.
$\quad$
b) $A(2\mid3\mid1)$; $\;A'(0\mid0\mid0)$
d) $A(-11\mid2\mid4)$; $\;A'(3\mid12\mid15)$
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Lösungen
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1.
Ortsvektoren bestimmen
Der Ortsvektor ist der Vektor vom Ursprung zum Punkt. Er hat die gleichen Koordinaten wie der Punkt, du musst nur die Zahlen untereinander in eine Klammer schreiben.
$\quad$
b) $\quad\vec{OB}=\begin{pmatrix}{20}\\{4}\\{7}\end{pmatrix}$
d) $\quad\vec{OD}=\begin{pmatrix}{3}\\{6,5}\\{4}\end{pmatrix}$
f) $\quad\vec{OF}=\begin{pmatrix}{-2}\\{-1}\\{\frac{3}{4}}\end{pmatrix}$
2.
Verbindungsvektoren bestimmen
Um den Verbindungsvektor von $P$ nach $Q$ zu erhalten, musst du den Ortsvektor $\vec{OP}$ von dem Ortsvektor $\vec{OQ}$ abziehen.
$\quad$
b) $\quad\vec{PQ}=\begin{pmatrix}{5}\\{-8}\\{6}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}{2}\\{-3}\\{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{3}\\{-5}\\{3}\end{pmatrix}$
d) $\quad\vec{PQ}=\begin{pmatrix}{-7}\\{14}\\{3}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}{11}\\{11}\\{11}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{-18}\\{3}\\{-8}\end{pmatrix}$
f) $\quad\vec{PQ}=\begin{pmatrix}{\frac{6}{7}}\\{\frac{1}{5}}\\{\frac{4}{3}}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}{2}\\{\frac{3}{10}}\\{\frac{1}{3}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{-\frac{8}{7}}\\{-\frac{1}{10}}\\{1}\end{pmatrix}$
3.
Verschiebung
Um den Punkt $P$ mit dem Vektor $\vec{u}$ zu verschieben, musst du den Ortsvektor $\vec{OP}$ mit dem Vektor $\vec{u}$ addieren. Dann erhältst du den Ortsvektor $\vec{OP'}$ und kannst den Punkt $P'$ ablesen.
$\quad$
a) $\quad\vec{OP'}=\vec{OP}+\vec{u}=\begin{pmatrix}{1}\\{1}\\{-3}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{4}\\{1}\\{0}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{5}\\{2}\\{-3}\end{pmatrix}\;$; $\;P'(5\mid2\mid-3)$
b) $\quad\vec{OP'}=\vec{OP}+\vec{u}=\begin{pmatrix}{5}\\{-2}\\{-2}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{5}\\{-2}\\{1}\end{pmatrix}\;$; $\;P'(5\mid-2\mid1)$
c) $\quad\vec{OP'}=\vec{OP}+\vec{u}=\begin{pmatrix}{-12}\\{11}\\{13}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{4}\\{10}\\{6}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{-8}\\{21}\\{19}\end{pmatrix}\;$; $\;P'(-8\mid21\mid19)$
d) $\quad\vec{OP'}=\vec{OP}+\vec{u}=\begin{pmatrix}{-14}\\{5}\\{2}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{-5}\\{1}\\{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{-19}\\{6}\\{3}\end{pmatrix}\;$; $\;P'(-19\mid6\mid3)$
a) $\vec{OP'}=\vec{OP}+\vec{u}=\begin{pmatrix}{1}\\{1}\\{-3}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{4}\\{1}\\{0}\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}{5}\\{2}\\{-3}\end{pmatrix}$;
$P'(5\mid2\mid-3)$
b)
$\vec{OP'}=\vec{OP}+\vec{u}$ $=\begin{pmatrix}{5}\\{-2}\\{-2}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{5}\\{-2}\\{1}\end{pmatrix}$;
$P'(5\mid-2\mid1)$
c)
$\vec{OP'}=\vec{OP}+\vec{u}$
$=\begin{pmatrix}{-12}\\{11}\\{13}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{4}\\{10}\\{6}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{-8}\\{21}\\{19}\end{pmatrix}$;
$P'(-8\mid21\mid19)$
d)
$\vec{OP'}=\vec{OP}+\vec{u}$
$=\begin{pmatrix}{-14}\\{5}\\{2}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{-5}\\{1}\\{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{-19}\\{6}\\{3}\end{pmatrix}$;
$P'(-19\mid6\mid3)$
4.
Verschiebung
Um den Verschiebungsvekotr $\vec{v}$ zu erhalten, musst du den Ortsvektor $\vec{OA'}$ von dem Ortsvektor $\vec{OA}$ abziehen. Gesucht ist also der Verbindungsvektor von $A$ nach $A'$.
$\quad$
b) $\quad\vec{v}=\begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}{2}\\{3}\\{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{-2}\\{-3}\\{-1}\end{pmatrix}$
d) $\quad\vec{v}=\begin{pmatrix}{3}\\{12}\\{15}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}{-11}\\{2}\\{4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{14}\\{10}\\{11}\end{pmatrix}$
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