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Gleichschenkliges Dreieck

Spickzettel
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Eigenschaften

  • Basiswinkelsatz: In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß.
  • Umkehrung des Basiswinkelsatzes: Sind in einem Dreieck zwei Winkel gleich groß, sind die gegenüberliegenden Seiten gleich lang und es handelt sich um ein gleichschenkliges Dreieck.
  • Das Dreieck ist achsensymmetrisch zur Höhe der Basis.
  • Die Höhe der Basis halbiert die Basis.
  • Die Höhe der Basis ist die Winkelhalbierende des gegenüberliegenden Winkels.

Beispiel

Berechne aus gegebenen Größen den Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks mit $b=5\,\text{cm}$, $c=3\,\text{cm}$. Die beiden Schenkel des Dreiecks sind $a$ und $c$.
Da $a$ und $c$ die Schenkel sind, ist $b$ die Basis. Du musst die Formel für den Flächeninhalt also anpassen:
$ \begin{array}{rl} A=&\dfrac{b}{2}\cdot \sqrt{c²-\dfrac{b²}{4}}\\ A=&\dfrac{5\,\text{cm}}{2}\cdot \sqrt{\left(3\,\text{cm}\right)^2-\dfrac{\left(5\,\text{cm}\right)^2}{4}}\approx 4,15\,\text{cm}² \end{array} $
$ A \approx 4,15\,\text{cm}^2$
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Aufgaben
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1.  Welche grundlegenden Eigenschaften hat ein gleichschenkliges Dreieck?
2.  Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck mit den Schenkeln $a$ und $b$.
Bestimme die Länge der Seite $a$ und den Winkel $\alpha$.
a) $b=3\,\text{cm}$ b) $u=8\,\text{cm}$ c) $u=10\,\text{cm}$
$\beta=50^{\circ}$ $c=3\,\text{cm}$ $c=4\,\text{cm}$
$\gamma=70^{\circ}$ $\beta=55^{\circ}$
3.  Ein gleichschenkliges Dreieck $ABC$ mit den Schenkeln $a$ und $b$ hat den Winkel $\alpha=68^{\circ}$ und die Seitenlänge $a=10,2\,\text{cm}$. Gib die Höhe $h_c$ an.
4.  Berechne den Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks mit den Schenkeln $a$ und $b$, wenn $c=6\,\text{cm}$ und $\alpha=38^{\circ}$ betragen.
5.  Zeichne eine Skizze eines gleichschenkligen Dreiecks mit den Schenkeln $a$ und $b$ und den Seitenlängen $c=7\,\text{m}$ und $b=5\,\text{m}$.
Welchen Flächeninhalt und welchen Umfang hat das Dreieck?
6.  Bestimme den Flächeninhalt und den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks $ABC$ mit den Schenkeln $a$ und $b$, wenn die Höhe $h_c=9,5\,\text{cm}$ und der Winkel $\gamma=42^{\circ}$ betragen.
7.  Berechne den Winkel $\beta$ und den Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks $ABC$ mit den Schenkeln $b$ und $c$, wenn $a=5,2\,\text{cm}$ und $c=6,8\,\text{cm}$ betragen.
8.  Um welchen Faktor vergrößert sich der Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks $ABC$ mit den Schenkeln $a$ und $b$ mit $c=6\,\text{cm}$ und $a=10\,\text{cm}$, wenn man die Länge der Seite $a$ verdoppelt und die Länge der Seite $c$ beibehält?
9.  Von einem gleichschenkligen Dreieck ABC ist der Schenkel $a=5,2\,\text{cm}$ und die Basis $c=7,8\,\text{cm}$ bekannt. Gib die Länge der Höhe $h_b$ sowie den Winkel $\alpha$ an.
10.  Ein gleichschenkliges Dreieck $ABC$ mit den Schenkeln $a$ und $b$ hat den Flächeninhalt $A=20,8\,\text{cm}^2$ und die Höhe $h_c=6\,\text{cm}$. Welche Länge hat die Höhe $h_a$?
11.  Der Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks $ABC$ beträgt $12,6\,\text{cm}^2$. Die Basis des Dreiecks ist doppelt so lang wie die Länge der Höhe. Wie groß ist der Winkel $\gamma$ und die Länge der Basis $c$?
12.  Über eine Straße wird von Hauswand zu Hauswand (Abstand $c=16\,\text{m}$) ein Drahtseil zur Befestigung einer mittig angebrachten Lampe gespannt. Die Lampe hat einen Durchhang $d=1,5\,\text{m}$. Berechne die Länge des benutzten Seils.
Dreieck: Gleichschenkliges Dreieck
Dreieck: Gleichschenkliges Dreieck
13.  Zimmermann Andreas möchte einen Dachstuhl errichten. Er wählt für die Dachschräge einen Winkel von $\alpha=\beta=45^{\circ}$. Das Haus hat eine Breite $c=7,20\,\text{m}$.
Dreieck: Gleichschenkliges Dreieck
Dreieck: Gleichschenkliges Dreieck
a)  Wie lang muss der Balken $b$ sein?
b)  Wieviel Meter kann der $1,80\,\text{m}$ große Andreas vom Stützbalken $h$ Richtung Punkt $A$ aufrecht gehen, bis er sich den Kopf anschlägt?
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Lösungen
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1.  Die grundlegenden Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks sind:
  • Es ist achsensymmetrisch.
  • Zwei Seitenkanten sind gleich lang.
  • Die Winkel, die der Basis anliegen, sind gleich groß.
2.  Im gleichschenkligen Dreieck gilt $a=b$ und $\alpha=\beta$.
a)  Die Seite $a=b=3\,\text{cm}$ lang und der Winkel $\alpha=\beta=50^{\circ}$.
b)  Berechne $\boldsymbol{a}$ über den Umfang
$ \begin{array}{rll} u&=&2\cdot a + c&\scriptsize \text{nach}\;a\;\text{umstellen}\\ a&=&\dfrac{u-c}{2}&\scriptsize \text{einsetzen}\\ a&=&\dfrac{8\,\text{cm}-3\,\text{cm}}{2}\\ a&=&2,5\,\text{cm}\\ \end{array} $
Berechne $\boldsymbol\alpha$ über die Winkelsumme
$ \begin{array}{rll} \gamma&=&180^{\circ}-2\cdot\alpha&\scriptsize \text{nach}\; \alpha \;\text{umstellen}\\ \alpha&=&\dfrac{180^{\circ}-\gamma}{2}&\scriptsize \text{einsetzen}\\ \alpha&=&\dfrac{180^{\circ}-70^{\circ}}{2}\\ \alpha&=&55^{\circ}\\ \end{array} $
c)  Berechne $\boldsymbol{a}$ über den Umfang
$ \begin{array}{rll} u&=&2\cdot a + c&\scriptsize \text{nach}\;a\;\text{umstellen}\\ a&=&\dfrac{u-c}{2}&\scriptsize \text{einsetzen}\\ a&=&\dfrac{10\,\text{cm}-4\,\text{cm}}{2}\\ a&=&3\,\text{cm}\\ \end{array} $
Winkel $\boldsymbol{\alpha}$
$\alpha=\beta=55^{\circ}$
3.  Höhe $\boldsymbol{h_c}$ berechnen
1. Schritt: Winkel $\boldsymbol{\beta}$ bestimmen
$\alpha=$ $\beta=$ $68^{\circ}$
2. Schritt: Höhe berechnen
$ \begin{array}[t]{rll} sin\;\beta= & \dfrac{h_c}{a} &\quad\scriptsize\mid \cdot a\\ h_c&= & \sin\;\beta\cdot a &\quad\scriptsize \text{einsetzen}\\ h_c&= & \sin\;68^{\circ}\cdot 10,2\,\text{cm} &\\ h_c&= & 9,46\,\text{cm} \end{array} $
4.  Flächeninhalt berechnen
Um den Flächeninhalt berechnen zu können, muss zuerst über den Tangens die Höhe berechnet werden.
1. Schritt: Höhe $\boldsymbol{h_c}$ berechen
$ \begin{array}{rll} \tan\;\alpha&= & \dfrac{h_c}{\frac{1}{2}\cdot c} &\quad\scriptsize{\mid \cdot\frac{1}{2}\cdot c}\\ h_c&= & \dfrac{1}{2}\cdot c \cdot \tan\;\alpha &\quad\scriptsize \text{einsetzen}\\ h_c&= & \dfrac{1}{2}\cdot 6\,\text{cm} \cdot \tan\;38^{\circ} \\ h_c&\approx & 2,34\,\text{cm} \end{array} $
2. Schritt: Flächeninhalt
$ \begin{array}[t]{rll} A&= & \dfrac{1}{2}\cdot c \cdot h_c&\quad\scriptsize \text{einsetzen}\\ A&= & \dfrac{1}{2}\cdot 6\,\text{cm} \cdot 2,34\,\text{cm}& \\ A&= & 7,02\,\text{cm}^2 & \\ \end{array} $
5. 
Dreieck: Gleichschenkliges Dreieck
Dreieck: Gleichschenkliges Dreieck
Flächeninhalt
1. Schritt: $\boldsymbol{h_c}$ berechnen
Damit du die Fläche des Dreiecks berechnen kannst, musst du zu erst die Höhe $h_c$ mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Die allgemeine Formel dafür lautet $c^2=a^2+b^2$. Da es sich bei diesem Dreieck um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, teilt die senkrechte Linie $h_c$ sowohl das Dreieck als auch die Grundseite $c$ genau in der Mitte. Dies ist beim einsetzten der Werte in die Pythagoras-Formel wichtig.
$ \begin{array}[t]{rll} a^2&=&c^2-b^2&\quad\scriptsize \text{Variable einsetzen}\\ h_c^2&=&b^2-\left(\frac{1}{2}c\right)^2&\quad\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\ h_c^2&=&\left(5\,\text{m}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\cdot7\,\text{m}\right)^2&\quad\scriptsize \text{vereinfachen}\\ h_c^2&=&12,75\,\text{m}²&\quad\scriptsize\mid \sqrt{\;}\\ h_c&\approx&3,6\,\text{m}&\\ \end{array} $
2. Schritt: Fläche berechnen
Die Formel für die Fläche eines Dreiecks lautet:
$A=\frac{1}{2}\cdot c\cdot h_c$.
$A=\frac{1}{2}\cdot 7\,\text{m}\cdot3,6\,\text{m}\approx12,6\,\text{m}^2$
Die Fläche des Dreiecks beträgt $12,6\,\text{m}^2$
Umfang berechnen
$u=2\cdot b + c=2\cdot 5\,\text{m} + 7\,\text{m} =17\,\text{m}$
Der Umfang des Dreiecks beträgt $17\,\text{m}$.
6.  Flächeninhalt berechnen
Um den Flächeninhalt und den Umfang berechnen zu können, müssen zuerst die Seitenlängen des Dreiecks berechnet werden.
1. Schritt: Seite $\boldsymbol{a}$ berechnen
Es gilt: $a=b$
$ \begin{array}[t]{rlll} \cos\;\frac{\gamma}{2}&= & \dfrac{h_c}{a} &\quad\scriptsize{\mid \cdot a} & \quad\scriptsize{\mid :\cos\;\frac{\gamma}{2}}\\ a&= & \dfrac{h_c}{\cos\;\frac{\gamma}{2}} & &\quad\scriptsize \text{einsetzen} \\ a&= & \dfrac{9,5\,\text{cm}}{\cos\left(21^{\circ}\right)} & & \\ a&=& b\approx 10,18\,\text{cm} && \\ \end{array} $
2. Schritt: Seite $\boldsymbol{c}$ berechnen
$ \begin{array}[t]{rll} \left(\dfrac{c}{2}\right)^2= & a^2-h_c^2 &\quad\scriptsize{\mid \sqrt{\;\;\;}}\\ \dfrac{c}{2}&= & \sqrt{a^2-h_c^2} &\quad\scriptsize \text{einsetzen}\\ \dfrac{c}{2}&= & \sqrt{\left(10,18\,\text{cm}\right)^2-\left(9,5\,\text{cm}\right)^2} &\\ \dfrac{c}{2}&\approx & 3,66\,\text{cm} & \quad\scriptsize{\mid \cdot 2}\\ c&= & 7,32\,\text{cm} \end{array} $
3. Schritt: Flächeninhalt berechnen
$ \begin{array}[t]{rll} A&= & \dfrac{1}{2} \cdot c \cdot h_c &\quad\scriptsize \text{einsetzen}\\ A&= & \dfrac{1}{2} \cdot 7,32\,\text{cm} \cdot 9,5\,\text{cm} &\\ A&= & 34,77\,\text{cm}^2 \end{array} $
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $34,77\,\text{cm}^2$.
Umfang berechnen
$ \begin{array}[t]{rll} u&= & 2a+c &\quad\scriptsize \text{einsetzen}\\ u&= & 2 \cdot 10,2\,\text{cm}+7,32\,\text{cm} &\\ u&= & 27,72\,\text{cm} &\\ \end{array} $
Der Umfang des Dreiecks beträgt $27,72\,\text{cm}$.
7.  1. Schritt: Winkel $\boldsymbol{\frac{\beta}{2}}$ berechnen
$ \begin{array}[t]{rll} \sin \left(\dfrac{\beta}{2}\right)&= & \dfrac{l_{\text{Gegenkathete}}}{l_{\text{Hypotenuse}}} \\ \sin \left(\dfrac{\beta}{2}\right)&= & \dfrac{\frac{a}{2}}{b} &\quad\scriptsize \text{einsetzen } b = c\\ \sin \left(\dfrac{\beta}{2}\right)&= & \dfrac{5,2\,\text{cm}}{6,8\,\text{cm}} &\\ \dfrac{\beta}{2}\approx & 49,9^{\circ} &\\ \end{array} $
2. Schritt: Winkel $\boldsymbol{\beta}$ berechnen
$ \begin{array}[t]{rll} \beta&= & 2 \cdot \dfrac{\beta}{2} &\quad\scriptsize \text{einsetzen}\\ \beta&= & 2 \cdot 49,9^{\circ} &\\ \beta&= & 99,8^{\circ} &\\ \end{array} $
Flächeninhalt berechnen
$ \begin{array}[t]{rll} A&= & \dfrac{a}{2}\cdot \sqrt{c²-\dfrac{a²}{4}} &\quad\scriptsize \text{einsetzen}\\ A&= & \dfrac{5,2\,\text{cm}}{2}\cdot \sqrt{(6,8\,\text{cm})²-\dfrac{\left(5,2\,\text{cm}\right)²}{4}} &\\ A&= & 2,6\,\text{cm}\cdot \sqrt{46,24\,\text{cm}²-\dfrac{27,04\,\text{cm}²}{4}} &\\ A&= & 2,6\,\text{cm}\cdot \sqrt{46,24\,\text{cm}²-6,76\,\text{cm}²} &\\ A&= & 2,6\,\text{cm}\cdot \sqrt{39,48\,\text{cm}²} &\\ A&\approx & 2,6\,\text{cm}\cdot 6,3\,\text{cm} &\\ A&\approx & 16,38\,\text{cm}^2 &\\ \end{array} $
8.  Berechne den Faktor, um den der Flächeninhalt größer ist
1. Schritt: Ursprünglicher Flächeninhalt $\mathbf{A_1}$ berechnen
$ \begin{array}[t]{rll} A&= & \dfrac{c}{2}\cdot \sqrt{a²-\dfrac{c²}{4}} &\quad\scriptsize\\ A_1&= & \dfrac{6\,\text{cm}}{2}\cdot \sqrt{(10\,\text{cm})²-\dfrac{(6\,\text{cm})²}{4}} &\quad\scriptsize\\ A&= & 3\,\text{cm}\cdot \sqrt{100\,\text{cm}²-\dfrac{36\,\text{cm}²}{4}} &\quad\scriptsize\\ A_1&= & 3\,\text{cm}\cdot \sqrt{100\,\text{cm}²-9\,\text{cm}²} &\quad\scriptsize\\ A_1&= & 3\,\text{cm}\cdot \sqrt{91\,\text{cm}²} &\quad\scriptsize\\ A_1&= & 3\,\text{cm} \cdot 9,54\,\text{cm} &\\ A_1&= & 28,62\,\text{cm}^2 &\\ \end{array} $
2. Schritt: Flächeninhalt $\boldsymbol{A_2}$ mit doppelter Seite a berechnen
$ \begin{array}[t]{rll} A&= & \dfrac{c}{2}\cdot \sqrt{a²-\dfrac{c²}{4}} &\quad\scriptsize \text{einsetzen}\\ A_2&= & \dfrac{6\,\text{cm}}{2}\cdot \sqrt{(20\,\text{cm})²-\dfrac{(6\,\text{cm})²}{4}} &\quad\scriptsize\\ A_2&= & 3\,\text{cm}\cdot \sqrt{400\,\text{cm}²-\dfrac{36\,\text{cm}²}{4}} &\quad\scriptsize\\ A_2&= & 3\,\text{cm}\cdot \sqrt{400\,\text{cm}²-9\,\text{cm}²} &\quad\scriptsize\\ A_2&= & 3\,\text{cm}\cdot \sqrt{391\,\text{cm}²} &\quad\scriptsize\\ A_2&= & 3\,\text{cm} \cdot 19,77\,\text{cm} &\\ A_2&= & 59,32\,\text{cm}^2 &\\ \end{array} $
3. Schritt: Faktor $\boldsymbol{f}$ bestimmen
$ \begin{array}[t]{rll} f&= & \dfrac{A_2}{A_1}&\\ f&= & \dfrac{59,32\,\text{cm}^2}{28,62\,\text{cm}^2}&\\ f&\approx & 2,07 \end{array} $
9.  Winkel $\boldsymbol{\alpha}$ berechnen
Es gilt: $b=a=5,2cm$
$ \begin{array}[t]{rll} \cos\;\alpha&= & \dfrac{\frac{c}{2}}{b} &\\ \cos\;\alpha&= & \dfrac{3,9\,\text{cm}}{5,2\,\text{cm}} &\\ \alpha&\approx & 41,4^{\circ} \end{array} $
$\boldsymbol{h_b}$ berechnen
$ \begin{array}[t]{rll} \gamma&= & 180^{\circ}- 2 \cdot \alpha=97,2^{\circ} &\\ \delta&= & 180^{\circ}- \gamma=82,8^{\circ} & \end{array} $
2. Schritt: $\boldsymbol{h_b}$ berechnen
$ \begin{array}[t]{rll} \sin\;\delta&= & \dfrac{h_b}{a} &\quad\scriptsize{\mid \cdot a}\\ h_b&= & \sin\;\delta \cdot a &\quad\scriptsize \text{einsetzen} \\ h_b&= & \sin\;82^{\circ}\cdot 5,2\,\text{cm} &\\ h_b&\approx & 5,16\,\text{cm} \end{array} $
Dreieck: Gleichschenkliges Dreieck
Dreieck: Gleichschenkliges Dreieck
$ \begin{array}[t]{rll} \sin\;\delta= & \dfrac{h_b}{a} &\quad\scriptsize{\mid \cdot a}\\ h_b&= & \sin\;\delta \cdot a &\quad\scriptsize \text{einsetzen} \\ h_b&= & \sin\;82^{\circ}\cdot 5,2\,\text{cm} &\\ h_b&\approx & 5,16\,\text{cm} \end{array} $
10.  $\boldsymbol{h_a}$ berechnen
1. Schritt: Seite $\boldsymbol{c}$ berechnen
$ \begin{array}[t]{rll} A&= & \dfrac{1}{2}\cdot c \cdot h_c & \quad\scriptsize \text{umstellen} \\ c&= & \dfrac{A}{h_c}\cdot 2 & \quad\scriptsize \text{einsetzen}\\ c&= & \dfrac{20,8\,\text{cm}^2}{6\,\text{cm}}\cdot 2 & & \\ c&\approx & 6,93\,\text{cm} \end{array} $
2. Schritt: Winkel $\boldsymbol\beta$ berechnen
$ \begin{array}[t]{rll} \tan\;\beta&= & \dfrac{h_c}{\frac{c}{2}} &\quad\scriptsize \text{einsetzen}\\ \tan\;\beta&= & \dfrac{6\,\text{cm}}{3,47\,\text{cm}} &\\ \beta&\approx & 60^{\circ} \end{array} $
3. Schritt: Höhe $\boldsymbol{h_a}$ berechnen
$ \begin{array}[t]{rll} \sin\;\beta= & \dfrac{h_a}{c} &\quad\scriptsize{\mid \cdot c}\\ h_a&= & \sin\;\beta \cdot c & \quad\scriptsize \text{einsetzen}\\ h_a&= & \sin\;60^{\circ} \cdot 6,93\,\text{cm} & \\ h_a&\approx & 6\,\text{cm} \end{array} $
11.  Basis c berechnen
Aus der Aufgabe geht folgendes hervor: $h_c=\frac{c}{2}$
$ \begin{array}[t]{rlll} A&= & \dfrac{1}{2} \cdot c \cdot h_c & \quad\scriptsize\mid h_c=\frac{c}{2}&\\ A&= & \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{c²}{2} & \quad\scriptsize \mid \cdot 4&\\ 4A&= & c² & \quad\scriptsize \mid \sqrt{\;}&\\ \sqrt{4\cdot A}&= & c & \quad\scriptsize \text{einsetzen} & \\ \sqrt{4\cdot 12,6\,\text{cm}²}&= & c & & \\ \sqrt{50,4\,\text{cm}²}&= & c & & \\ 7,1\,\text{cm}&= & c & & \end{array} $
Winkel $\boldsymbol{\gamma}$ berechnen
1. Schritt: Höhe $\boldsymbol{h_c}$ berechnen
$h_c=\frac{c}{2}=\frac{7,1\,\text{cm}}{2}=3,55\,\text{cm}$
2. Schritt: Höhe $\boldsymbol{\gamma}$ berechnen
$ \begin{array}[t]{rll} \tan\left(\frac{\gamma}{2}\right)&= & \dfrac{\frac{c}{2}}{h_c} &\\ \tan\left(\frac{\gamma}{2}\right)&= & \dfrac{3,55\,\text{cm}}{3,55\,\text{cm}} &\\ \dfrac{\gamma}{2}&= & 45^{\circ} & \quad\scriptsize{\mid \cdot 2}\\ \gamma&= & 45^{\circ} \cdot 2 &\\ \gamma&= & 90^{\circ} & \end{array} $
12.  Seillänge berechnen
Betrachte die Aufgabe als ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $c=16\,\text{m}$ und den Schenkeln $a$ und $b$, welche zusammen die Länge des benutzten Seils ergeben. Die Seiten $\frac{c}{2}$, $d$ und $a$ bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Berechne den Schenkel $a$ mit dem Satz des Pythagoras.
$c²=a²+b²$ mit $c=a$, $a=\frac{c}{2}$ und $b=d$
$ \begin{array}[t]{rll} a²&= & \left(\frac{16\,\text{m}}{2}\right)²+\left(1,5\,\text{m}\right)²\\ a²&= & (8\,\text{m})²+(1,5\,\text{m})²\\ a²&= & 64\,\text{m}²+2,25\,\text{m}²\\ a²&= & 66,25\,\text{m}²& \quad\scriptsize\mid \sqrt{\;}\\ a&= & 8,14\,\text{m} \end{array} $


Dreieck: Gleichschenkliges Dreieck
Dreieck: Gleichschenkliges Dreieck
Damit ergibt sich die Länge des gesamten benutzten Drahtseils:
$2\cdot a=2\cdot 8,14\,\text{m}=16,28\,\text{m}$
13. 
a)  Länge Balken b berechnen
Die Seiten $b$, $h$ und $\frac{c}{2}$ begrenzen ein rechtwinkliges Dreieck. Berechne die Länge des Balken b mit dem Kosinus.
$ \begin{array}[t]{rll} \cos\;\alpha&=&\dfrac{\frac{c}{2}}{b}&\scriptsize \mid \cdot\left(\dfrac{b}{\cos\;\alpha}\right)\\ b&=&\dfrac{\frac{c}{2}}{\cos\;\alpha}&\scriptsize \text{einsetzen}\\ b&=&\dfrac{\frac{7,20\,\text{m}}{2}}{\cos\;45^{\circ}}\\ b&=&\dfrac{3,60\,\text{m}}{0,707}\\ b&=&5,09\,\text{m}\\ \end{array} $
Der Balken $b$ ist $5,09\,\text{m}$ lang.
b)  Weg, den Andreas Richtung Punkt A gehen kann
Betrachte die Größe von Andreas als Höhe. Berechne mit dem Tangens den Abstand zum Punkt $A$.
$ \begin{array}[t]{rll} \tan\;\alpha&=&\dfrac{h}{s}&\scriptsize \mid \cdot \left(\dfrac{s}{\tan\;\alpha}\right)\\ s&=&\dfrac{1,80\,\text{m}}{\tan\;45^{\circ}}&\scriptsize \text{einsetzen}\\ s&=&\dfrac{1,80\,\text{m}}{1}\\ s&=&1,80\,\text{m}\\ \end{array} $


Dreieck: Gleichschenkliges Dreieck
Dreieck: Gleichschenkliges Dreieck
Bei einem Winkel von $\alpha=45^{\circ}$ sind An- und Gegenkathete gleich lang. Der Stützbalken steht in der Mitte, mit $3,60\,\text{m}$ Abstand zum Punkt $A$.\newline en Kopf anzustoßen beträgt:
$x=\frac{c}{2}-s$
$x=3,60-1,80$
$x=1,80$
Andreas kann \(1,80\;\text{m}\) von dem Stützbalken in Richtung Punkt \(A\) gehen.
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