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Gleichseitiges Dreieck

Spickzettel
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Ein Dreieck, bei dem alle Seiten $a$, $b$ und $c$ gleich lang sind, bezeichnet man als gleichseitiges Dreieck.
Dreieck: Gleichseitiges Dreieck
Abb. 1: Gleichseitiges Dreieck
Dreieck: Gleichseitiges Dreieck
Abb. 1: Gleichseitiges Dreieck
Die angegebenen Höhen $h_a$, $h_b$ und $h_c$ sind dabei alle gleich lang. Alle Innenwinkel im gleichseitigen Dreieck sind gleich groß, es gilt also aufgrund der Winkelsumme im Dreieck
$\alpha = \beta = \gamma = 60°.$
Beachte bei folgenden Formeln, dass alle Seiten gleich lang sind. In allen Formeln kannst du also auch anstatt $a$ auch $b$ oder $c$ schreiben.
  • Für den Flächeninhalt $A$ des Dreiecks gilt: $A$ = $\dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}.$
  • Für den Umfang $U$ des Dreiecks gilt: $U$ = $a+b+c = 3a.$
  • Für die Höhe $h$ des Dreiecks gilt: $h$ = $\dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot a.$
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Einführung

David will in einem Hof zwischen zwei Wänden eine Lampe aufhängen, damit es abends nicht zu dunkel ist. Der Abstand zwischen den beiden Wänden beträgt $5$ m. David kauft sich ein Drahtseil, befestigt es auf gleicher Höhe zwischen den Wänden und biegt es sich so zurecht, sodass die Lampe jeweils $5$ m Abstand zu den Befestigungspunkten hat.
Dreieck: Gleichseitiges Dreieck
Abb. 1: Lampe zwischen zwei Wänden
Dreieck: Gleichseitiges Dreieck
Abb. 1: Lampe zwischen zwei Wänden
David will nun wissen wie hoch sich die Lampe über dem Boden befindet. Er weiß, dass die Befestigungspunkte sich in einer Höhe von $7$ m befinden. David erkennt, dass die Lampe mit den Befestigungspunkten ein gleichseitiges Dreieck bildet und berechnet die Höhe mithilfe der Formel für die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks.

Erklärung

Ein Dreieck, bei dem alle Seiten $a$, $b$ und $c$ gleich lang sind, bezeichnet man als gleichseitiges Dreieck.
Dreieck: Gleichseitiges Dreieck
Abb. 2: Gleichseitiges Dreieck
Dreieck: Gleichseitiges Dreieck
Abb. 2: Gleichseitiges Dreieck
Die angegebenen Höhen $h_a$, $h_b$ und $h_c$ sind dabei alle gleich lang. Alle Innenwinkel im gleichseitigen Dreieck sind gleich groß, es gilt also aufgrund der Winkelsumme im Dreieck
$\alpha = \beta = \gamma = 60°.$
Beachte bei folgenden Formeln, dass alle Seiten gleich lang sind. In allen Formeln kannst du also auch anstatt $a$ auch $b$ oder $c$ schreiben.
  • Für den Flächeninhalt $A$ des Dreiecks gilt: $A$ = $\dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}.$
  • Für den Umfang $U$ des Dreiecks gilt: $U$ = $a+b+c = 3a.$
  • Für die Höhe $h$ des Dreiecks gilt: $h$ = $\dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot a.$

Beispiele

David berechnet also zuerst die Höhe h des gleichseitigen Dreiecks, zieht das Ergebnis von der Gesamthöhe von $7$ m ab und erhält dadurch den gesuchten Abstand der Lampe zum Boden.
Dreieck: Gleichseitiges Dreieck
Abb. 3: Lampe zwischen zwei Wänden
Dreieck: Gleichseitiges Dreieck
Abb. 3: Lampe zwischen zwei Wänden
Für die Höhe gilt: $h = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot a = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot 5 \approx 4,33$ m. Der gesuchte Abstand ist also $7 - 4,33 = 2,67$ m.
D.h. die Lampe hängt in einer Höhe von $2,67$ m.
Gegeben sei ein gleichseitiges Dreieck mit Seitelänge $a = 4$ cm. Gesucht ist nun der Flächeninhalt, Umfang und die Höhe.
Dreieck: Gleichseitiges Dreieck
Abb. 4: gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge $4$ cm
Dreieck: Gleichseitiges Dreieck
Abb. 4: gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge $4$ cm
Für den Flächeninhalt $A$ des gleichseitigen Dreiecks gilt:
$A$ = $\dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \dfrac{4^2 \sqrt{3}}{4} = 4 \sqrt{3} \text{ cm}^2.$
$ A = … $
Der Umfang $U$ eines Dreieck ist die Summe aller Seitenlängen des Dreiecks. Da alle Seiten gleich lang sind, gilt für den Umfang: $U = 3 \cdot a = 3 \cdot 4 = 12 \text{ cm}.$
Für die Höhe dieses Dreiecks gilt: $h = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot a = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 2 \sqrt{3} \text{ cm}.$
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1. Beweisführung mit Kongruenzsätzen
Gegeben sei ein gleichschenkliges Dreieck mit den Punkten $A$, $B$ und $C$. Zeige, dass die Höhe des Dreieckes die Seite $\overline{AC}$ genau halbiert.
Dreieck: Gleichseitiges Dreieck
Dreieck: Gleichseitiges Dreieck
2. Beweisführung mit Kongruenzsätzen
Zeige, dass in jedem Parallelogramm die jeweils gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind.
3. Aussage widerlegen
a) Fomuliere die Umkehrung der folgenden Aussage:
„In jedem Trapez teilen die Diagonalen das Trapez in jeweils zwei kongruente Dreiecke. “
b) Widerlege die ursprüngliche Aussage aus Teil a).
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1. Beweisführung mit Kongruenzsätzen
Gehe hier wie im Spickzettel beschrieben vor: Bringe die Aussage zunächst in eine „Wenn…,dann…“-Form.
Dreieck: Gleichseitiges Dreieck
Dreieck: Gleichseitiges Dreieck
Ursprüngliche Aussage: Gegeben sei ein gleichschenkliges Dreieck mit den Punkten $A$, $B$ und $C$. Zeige, dass die Höhe des Dreieckes die Seite $\overline{AB}$ genau halbiert.
„Wenn…,dann…“-Form: Wenn ein Dreieck mit den Bezeichnungen aus der Skizze gleichschenklig ist, dann halbiert die Höhe des Dreiecks die Seite $\overline{AB}$ genau.
Voraussetzungen:
Das Dreieck ist gleichschenklig.
Behauptung:
Die Höhe des Dreieckes halbiert die Seite $\overline{AB}$ genau in der Mitte.
Beweis:
  1. Da das Dreieck gleichschenklig ist, sind die Basiswinkel $\alpha$ und $\beta$ gleich groß, ebenso gilt: $\vert \overline{AC}\vert = \vert \overline{CB} \vert$.
  2. Die Höhe ist senkrecht zur Seite $\overline{AB}$.
  3. Betrachtest du das linke Teildreieck mit den Eckpunkten $A$, $C$ und dem Schnittpunkt der Höhe mit der Seite $\overline{AB}$, dann erhältst du wegen der Winkelsumme in einem Dreieck ($180^{\circ}$) für die beiden Winkel, in die $\gamma$ durch die Höhe geteilt wird $\gamma_1=\gamma_2=180^\circ-90^\circ-\alpha$.
  4. Nach dem Kongruenzsatz wsw folgt, dass die beiden gebildeten Dreiecke kongruent zueinander sind.
Somit muss nach dem Kongruenzsatz sss die Seite $\overline{AB}$ durch die Höhe genau halbiert werden.
2. Beweisführung mit Kongruenzsätzen
Gehe hier wie oben vor, indem du zunächst die Aussage umformst:
ursprüngliche Aussage: In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich lang.
„Wenn…,dann…“- Form: Wenn ein Viereck ein Parallelogramm ist, dann sind die gegenüberliegenden Seiten gleich lang.
Voraussetzungen:
Du hast ein Parallelogramm gegeben.
Behauptung:
Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang.
Beweis:
  1. Zeichne zunächst eine Skizze, in der du auch eine der Diagonalen einträgst. Betrachte dann die Winkel, die die Diagonale mit zwei gegenüberliegenden Seiten bildet.
    Dreieck: Gleichseitiges Dreieck
    Dreieck: Gleichseitiges Dreieck
  2. Weil die Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{DC}$ parallel sind, sind $(\delta_1,\beta_2)$ und $(\delta_2,\beta_1)$ Wechselwinkelpaare. Das bedeutet: $\delta_1 = \beta_2$ und $\delta_2 =\beta_1$.
  3. Außerdem gilt $\left|\overline{BD}\right|$=$\left|\overline{DB}\right|$
  4. Mit dem Kongruenzsatz wsw folgt dann, dass die beiden Dreiecke $ABD$ und $BCD$ kongruent sind.
Insgesamt folgt daraus wiederum, dass $\left|\overline{AB}\right| = \left|\overline{CD}\right|$ und $\left|\overline{BC}\right| =\left|\overline{AD}\right|$. Das heißt, die sich jeweils gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang.
3. Aussage widerlegen
a)  $\blacktriangleright$   Umkehrung formulieren
Die Aussage lautet „In jedem Trapez teilen die Diagonalen das Trapez in jeweils zwei kongruente Dreiecke “.
Übersetzt in die „Wenn…,dann…“- Form bedeutet dies:
„Wenn ein Viereck ein Trapez ist, dann teilt jede Diagonale das Trapez in zwei kongruente Dreiecke.“
Vertauschst du nun Voraussetzung und Behauptung dann erhältst du die Umkehrung:
„ Wenn ein Viereck von den Diagonalen in jeweils zwei kongruente Dreiecke zerlegt wird, dann handelt es sich um ein Trapez. “
b)  $\blacktriangleright$   Aussage widerlegen
Du sollst widerlegen, dass die beiden Dreiecke, die beim Einzeichnen einer Diagonale in einem Trapez entstehen, immer kongruent sind.
Zeichne also ein Trapez, bei dem diese beiden Dreiecke nicht kongruent zueinander sind. Denke dabei daran, dass ein Trapez dadurch definiert ist, dass es zwei Seiten gibt, die parallel zueinander sind.
Du kannst dir überlegen, dass ein symmetrisches Trapez kein geeignetes Gegenbeispiel wäre. Zeichne also ein nicht symmetrisches und überprüfe die Behauptung.
Dreieck: Gleichseitiges Dreieck
Dreieck: Gleichseitiges Dreieck
Bei diesem Trapez stimmt die Behauptung nicht, da zwar eine Seite der beiden Dreiecke $ABD$ und $BCD$ übereinstimmt, die übrigen aber unterschiedliche Längen besitzen. Die beiden Dreiecke können also nicht kongruent sein. Daher gilt die Behauptung für mindestens ein Trapez nicht und ist damit falsch.
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