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Vermischte Aufgaben

Aufgaben
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1. Konstruieren
Prüfe ob das Dreieck $ABC$ eindeutig konstruierbar ist und begründe deine Entscheidung. Konstruiere anschließend das Dreieck, falls es eindeutig konstruierbar ist.
a)  $a=6,4\,\text{cm}$, $b=3,8\,\text{cm}$, $c=7,4\,\text{cm}$
b)  $a=7,8\,\text{cm}$, $b=12,7\,\text{cm}$, $\gamma=18^\circ$
c)  $b=5,3\,\text{cm}$, $\beta=26^\circ$, $\gamma=64^\circ$
d)  $a=10\,\text{cm}$, $\beta=110^\circ$, $\gamma=32^\circ$
e)  $b=7,5\,\text{cm}$, $c=6,7\,\text{cm}$, $\gamma=33^\circ$
f)  $\alpha=27^\circ$, $\beta=30^\circ$, $\gamma=123^\circ$
2. Fehlender Winkel
Bestimme die Größe des Winkels $\delta$. Hinweis: Die beiden Dreiecke sind kongruent.
a)
Kongruenz: Vermischte Aufgaben
Kongruenz: Vermischte Aufgaben
b)
Kongruenz: Vermischte Aufgaben
Kongruenz: Vermischte Aufgaben
3. Kongruenz
a)  Martin und Jan sind Nachbarn und wollen ein Schnurtelefon zwischen ihren Fenstern spannen. Martins Fenster ist in einer Höhe von $10\text{m}$, Jans Fenster in einer Höhe von $8,20\text{m}$. Die Häuser stehen $6\text{m}$ auseinander. Wie lange muss die Schnur sein? Welcher Kongruenzsatz gilt?
b)  Laura will mit einer Leiter in ihr Baumhaus klettern. Sie stellt eine $3,50\text{m}$ lange Leiter in einer Entfernung von $1,5\text{m}$ vom Baumhaus auf. In welcher Höhe befindet sich das Baumhaus? Welcher Kongruenzsatz gilt?
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1. Konstruieren
Zuerst solltest du dir eine Planskizze erstellen. Dafür zeichnest du ein beliebiges Dreieck und beschriftest die Ecken, Seiten und Winkel.
  • Ecken: $A$, $B$ und $C$ gegen den Uhrzeigersinn
  • Winkel: $\alpha$ bei der Ecke $A$, $\beta$ bei der Ecke $B$ und $\gamma$ bei der Ecke $C$
  • Seiten: $a$ gegenüber der Ecke $A$, $b$ gegenüber der Ecke $B$ und $c$ gegenüber der Ecke $C$
Kongruenz: Vermischte Aufgaben
Kongruenz: Vermischte Aufgaben
Ein Dreieck ist immer dann eindeutig konstruierbar, wenn einer der Kongruenzsätze erfüllt ist.
a) 
  1. Zeichne eine Strecke $\overline{AB}$ der Länge $c=7,4\,\text{cm}$.
  2. Zeichne um $A$ einen Kreis mit dem Radius $b=3,8\,\text{cm}$.
  3. Zeichne um $B$ einen Kreis mit dem Radius $a=6,4\,\text{cm}$.
  4. Bezeichne die Schnittpunkte mit $C_1$ und $C_2$. Zeichne das Dreieck $ABC_1$ oder $ABC_2$.
Kongruenz: Vermischte Aufgaben
Kongruenz: Vermischte Aufgaben
Nach dem Kongruenzsatz sss ist das Dreieck eindeutig konstruierbar. Du erhältst also beim Konstruieren nur dieses oder dazu kongruente Dreiecke.
b) 
  1. Zeichne eine Strecke $\overline{BC}$ der Länge $a=7,8\,\text{cm}$.
  2. Trage den Winkel $\gamma=18 ^\circ$ im Punkt $C$ an. Du erhältst zwei freie Schenkel.
  3. Zeichne einen Kreis um $C$ mit dem Radius $b=12,7\,\text{cm}$.
  4. Beschrifte die Schnittpunkte der beiden freien Schenkel mit dem Kreis um $C$ mit $A_1$ und $A_2$.
  5. Zeichne das Dreieck $A_1BC$ oder $A_2BC$.
Kongruenz: Vermischte Aufgaben
Kongruenz: Vermischte Aufgaben
Nach dem Kongruenzsatz sws ist das Dreieck eindeutig konstruierbar.
Zur Kontrolle: $c=5,8\,\text{cm}$
c)  Da keiner der Kongruenzsätze erfüllt ist, ist das Dreieck nicht eindeutig konstruierbar.
d) 
  1. Zeichne eine Strecke $\overline{BC}$ der Länge $a=10\,\text{cm}$.
  2. Trage den Winkel $\beta=110 ^\circ$ im Punkt $B$ an. Du erhältst zwei freie Schenkel.
  3. Trage den Winkel $\gamma=32 ^\circ$ im Punkt $C$ an. Du erhältst zwei freie Schenkel.
  4. Bezeichne die Schnittpunkte von je zwei Schenkeln mit $A_1$ und $A_2$. Zeichne das Dreieck $A_1BC$ oder $A_2BC$.
Kongruenz: Vermischte Aufgaben
Kongruenz: Vermischte Aufgaben
Nach dem Kongruenzsatz wsw ist das Dreieck eindeutig konstruierbar.
Zur Kontrolle: $b=15\,\text{cm}$, $c=8,4\,\text{cm}$
e) 
  1. Zeichne eine Strecke $\overline{AB}$ der Länge $c=6,7\,\text{cm}$.
  2. Trage den Winkel $\beta=33 ^\circ$ im Punkt $B$ an. Du erhältst zwei freie Schenkel.
  3. Zeichne einen Kreis um $A$ mit dem Radius $b=7,5\,\text{cm}$.
  4. Beschrifte die Schnittpunkte der beiden freien Schenkel mit dem Kreis um $A$ mit $C_1$ und $C_2$.
  5. Zeichne das Dreieck $ABC_1$ oder $ABC_2$.
Kongruenz: Vermischte Aufgaben
Kongruenz: Vermischte Aufgaben
Nach dem Kongruenzsatz Ssw ist das Dreieck eindeutig konstruierbar.
Zur Kontrolle: $a=12,1\,\text{cm}$, $b=7,5\,\text{cm}$
f)  Da keiner der Kongruenzsätze erfüllt ist, ist das Dreieck nicht eindeutig konstruierbar.
2. Fehlender Winkel
a) Da die Dreiecke kongruent sind stimmen sie in allen Größen überein. Du kannst den fehlenden Winkel $\delta$ mit Hilfe der Winkelsumme eines Dreiecks bestimmen. Der Wert des Winkels $\delta$ wurde hier mit $x$ bezeichnet:
  $\begin{array}[t]{r@{ = }ll} 80+48+x&=180& \scriptsize{\mid -80-48}\\[5pt] x&=52& \\[5pt] \end{array}$
Der fehlende Winkel ist $\delta=52^\circ$.
b) Da die Dreiecke $ABC$ und $DEF$ kongruent sind stimmen sie in allen Größen überein. Zwei Winkel sind dir aus der Skizze bekannt. Mit der Winkelsumme kannst du den dritten Winkel berechnen:
  $\begin{array}[t]{r@{ = }ll} 88+54+y&=180& \scriptsize{\mid -88-54}\\[5pt] y&=38& \\[5pt] \end{array}$
Der Winkel in Punkt $D$ im Dreieck $DEF$ beträgt $38^\circ$. Zusammen mit dem Winkel $\delta$ ergibt er $180^\circ$. Somit ist der fehlende Winkel $\delta=180^\circ - 38^\circ =142^\circ$.
3. Kongruenz
a) 
Kongruenz: Vermischte Aufgaben
Kongruenz: Vermischte Aufgaben
Du erhältst ein rechtwinkliges Dreieck mit $b=10\text{m}-8,2\text{m}=1,8\text{m}$ und $c=6\text{m}$. Der rechte Winkel wird dabei von den Seiten $b$ und $c$ eingeschlossen. Es gilt der Kongruenzsatz sws und die dritte Seite kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:
  $\begin{array}[t]{r@{ = }ll} b^2 +c^2&=a^2& \scriptsize{\text{Zahlen einsetzen}}\\[5pt] 1,8^2+6^2&=a^2& \scriptsize{\mid \sqrt{\;} } \\[5pt] \sqrt{1,8^2+6^2}&=a& \\[5pt] a&=6,26& \\[5pt] \end{array}$
Die Schnur muss ungefähr $6,26\text{m}$ lang sein.
b) 
Kongruenz: Vermischte Aufgaben
Kongruenz: Vermischte Aufgaben
Hier sind dir zwei Seiten und den der längeren Seite gegenüberliegende Winkel bekannt. Somit gilt der Kongruenzsatz Ssw. Die Seite $b$ kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:
  $\begin{array}[t]{r@{ = }ll} b^2 +c^2&=a^2& \scriptsize{\text{Zahlen einsetzen}}\\[5pt] b^2+1,5^2&=3,5^2& \scriptsize{\mid -1,5^2 } \\[5pt] b^2&=3,5^2-1,5^2& \scriptsize{\mid \sqrt{\;} }\\[5pt] b&=\sqrt{3,5^2-1,5^2} & \\[5pt] b&=3,16 & \\[5pt] \end{array}$
Das Baumhaus befindet sich in einer Höhe von ungefähr $3,16\text{m}$.
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