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Kosinussatz

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Dreieck: Kosinussatz


Der Kosinussatz stellt eine Beziehung zwischen den Winkeln eines beliebigen Dreiecks und den Seiten her. Mit zwei Seitenkanten und dem eingeschlossenen Winkel, kann man die anderen Seitenkante berechnen.
Dreieck: Kosinussatz Der Kosinussatz stellt eine Beziehung zwischen den Winkeln eines beliebigen Dreiecks und den Seiten her. Mit zwei Seitenkanten und dem eingeschlossenen Winkel, kann man die anderen Seitenkante berechnen.
Der Kosinussatz sieht im allgemeinen so aus:
$c²=a²+b²-2\cdot a \cdot b \cdot \cos{\gamma}$
$a²=b²+c²-2\cdot b \cdot c \cdot \cos{\alpha}$
$b²=a²+c²-2\cdot a \cdot c \cdot \cos{\beta}$

Beispiel

Wir wollen aus zwei gegebenen Seiten und dem eingeschlossenen Winkel eines Dreiecks die dritte Seite berechnen.
$b=5\,\text{cm}$, $c=4\,\text{cm}$ und $\alpha=45°$ errechnen.
$ \begin{array}{rll} a²&=&b²+c²-2\cdot b \cdot c \cdot \cos{\alpha}\\[5pt] a²&=&5²+4²-2\cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos{45°}\\[5pt] a²&=&5²+4²-2\cdot 5 \cdot 4 \cdot 0,7072\\[5pt] a²&=&12,72 \end{array} $
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Bearbeite die folgenden Aufgaben.
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Dreieck: Kosinussatz
Dreieck: Kosinussatz Bearbeite die folgenden Aufgaben.
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1.
Ein Dreieck ABC hat die Seiten $a=2\text{ cm}$, $b=3\text{ cm}$ und den Winkel $\gamma=100 ^\circ$.
Wie lang ist die Seite $c$?
2.
Ein Dreieck ABC hat die Seiten $c=4\text{ cm}$, $b=5\text{ cm}$ und den Winkel $\alpha=70 ^\circ$.
Wie lang ist die Seite $a$?
3.
Ein Dreieck ABC hat die Seiten $a=4,5\text{ cm}$, $c=3\text{ cm}$ und die Winkel $\alpha=76 ^\circ$ und $\gamma=59 ^\circ$.
Wie lang ist die Seite $b$?
4.
Ein Dreieck ABC hat die Seiten $a=5\text{ cm}$, $b=3,5\text{ cm}$ und $c=4,4\text{ cm}$.
Wie groß ist der Winkel $\gamma$?
5.
Ein Dreieck ABC hat die Seiten $a=7\text{ cm}$, $c=6\text{ cm}$ und dem Umfang $u=20,8\text{ cm}$.
Berechne den Winkel $\beta$.
6.
Ein Schiff befindet sich im Punkt $C$ und fährt auf die Küste zu. Es bekommt vom Hafen $A$ die Nachricht, dass es noch $5\text{ km}$ entfernt ist. Vom Hafen $B$ kommt die Information, dass es noch $6\text{ km}$ weit weg ist. Der Winkel, in dem der Kapitän die beiden Häfen sieht, beträgt $70 ^\circ$.
Wie weit sind die beiden Häfen voneinander entfernt?
Dreieck: Kosinussatz
Dreieck: Kosinussatz
7.
Herr Müller will sein dreieckiges Grundstück umzäunen. Er möchte wissen wie viel Holz er kaufen muss. Ihm sind die Seiten $a$ und $b$ und der dazwischen liegende Winkel $\alpha=30 ^\circ$ bekannt.
Welchen Umfang hat das Grundstück?
Dreieck: Kosinussatz
Dreieck: Kosinussatz
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Lösungen
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1.
Seite \(\boldsymbol{c}\) berechnen
Berechne die Seite $c$ mit dem Kosinussatz.
$ \begin{array}{rll} c²=&a²+b²-2\cdot a \cdot b \cdot \cos\;\gamma&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] c²=&(2\text{ cm})²+(3\text{ cm})²-2\cdot 2\text{ cm} \cdot 3\text{ cm} \cdot \cos\;100 ^\circ\\[5pt] c²=&4\text{ cm}²+9\text{ cm}²-2\cdot 6\text{ cm}² \cdot (-0,1736)\\[5pt] c²=&4\text{ cm}²+9\text{ cm}²+2,084\text{ cm}²\\[5pt] c²=&15,084\text{ cm}²&\scriptsize \mid\sqrt{\;}\\[5pt] c=&3,88\text{ cm}\\[5pt] \end{array} $
2.
Seite \(\boldsymbol{a}\) berechnen
Berechne die Seite $a$ mit dem Kosinussatz.
$ \begin{array}{rll} a²=&c²+b²-2\cdot c \cdot b \cdot \cos\;\alpha&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] a²=&(4\text{ cm})²+(5\text{ cm})²-2\cdot 4\text{ cm} \cdot 5\text{ cm} \cdot \cos\;70 ^\circ\\[5pt] a²=&16\text{ cm}²+25\text{ cm}²-2\cdot 20\text{ cm}² \cdot 0,342\\[5pt] a²=&41\text{ cm}²-13,68\text{ cm}²\\[5pt] a²=&27,32\text{ cm}²&\scriptsize \mid\sqrt{\;}\\[5pt] a=&5,23\text{ cm} \end{array} $
3.
Seite \(\boldsymbol{a}\) berechnen
1. Schritt: Winkel \(\boldsymbol{\beta}\) berechnen
$ \begin{array}{rcll} \beta&=&180 ^\circ-\alpha-\gamma&\scriptsize\text{einsetzen}\\ \beta&=&180 ^\circ-76 ^\circ-59 ^\circ\\ \beta&=&45 ^\circ \end{array} $
2. Schritt: Seite \(\boldsymbol{b}\) berechnen
Berechne die Seite $b$ mit dem Kosinussatz.
$ \begin{array}{rcll} b²=&a²+c²-2\cdot a \cdot c \cdot \cos\;\beta&\scriptsize einsetzen\\[5pt] b²=&(4,5\text{ cm})²+(3\text{ cm})²-2\cdot 4,5\text{ cm} \cdot 3\text{ cm} \cdot \cos\;45 ^\circ\\[5pt] b²=&20,25\text{ cm}²+9\text{ cm}²-2\cdot 13,5\text{ cm}² \cdot 0,707\\[5pt] b²=&29,25\text{ cm}²-19,09\text{ cm}²\\[5pt] b²=&10,16\text{ cm}²&\scriptsize \mid\sqrt{\;}\\[5pt] b=&3,19\text{ cm} \end{array} $
4.
Winkel \(\boldsymbol{\gamma}\) berechnen
Berechne mit dem Kosinussatz:
$ \begin{array}{rcll} c²=&a²+b²-2\cdot a \cdot b \cdot \cos\;\gamma&\scriptsize \mid-(a²+b²)\\[5pt] c²-a²-b²=&-2\cdot a \cdot b \cdot \cos\;\gamma&\scriptsize \mid:(-2\cdot a\cdot b)\\[5pt] \dfrac{c²-a²-b²}{-2\cdot a \cdot b}=&\cos\;\gamma&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{(4,4\text{ cm})²-(5\text{ cm})²-(3,5\text{ cm})²}{-2\cdot 5\text{ cm} \cdot 3,5\text{ cm}}=&\cos\;\gamma\\[5pt] \dfrac{19,36\text{ cm}²-25\text{ cm}²-12,25\text{ cm}²}{-35\text{ cm}²}=&\cos\;\gamma\\[5pt] \dfrac{-17,89\text{ cm}²}{-35\text{ cm}²}=&\cos\;\gamma\\[5pt] 0,511=&\cos\;\gamma&\scriptsize \mid \cos^{-1}\\[5pt] 59,3 ^\circ=&\gamma\\[5pt] \end{array} $
5.
Winkel \(\boldsymbol{\beta}\) berechnen
1. Schritt: Länge der Seite \(\boldsymbol{b}\) berechnen
$ \begin{array}{rcll} b&=&u-a-c&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] b&=&20,8\text{ cm}-7\text{ cm}-6\text{ cm}\\[5pt] b&=&7,8\text{ cm}\\[5pt] \end{array} $
2. Schritt: Winkel \(\boldsymbol{\beta}\) berechnen
$ \begin{array}{rll} b²=&a²+c²-2\cdot a \cdot c \cdot \cos\;\beta&\scriptsize \mid-(a²+c²)\\[5pt] b²-a²-c²=&-2\cdot a \cdot c \cdot \cos\;\beta&\scriptsize \mid:(-2\cdot a\cdot c)\\[5pt] \dfrac{b²-a²-c²}{-2\cdot a \cdot c}=&\cos\;\beta&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{(7,8\text{ cm})²-(7\text{ cm})²-(6\text{ cm})²}{-2\cdot 7\text{ cm} \cdot 6\text{ cm}}=&\cos\;\gamma\\[5pt] \dfrac{60,84\text{ cm}²-49\text{ cm}²-36\text{ cm}²}{-84\text{ cm}²}=&\cos\;\beta\\[5pt] \dfrac{-24,16\text{ cm}²}{-84\text{ cm}²}=&\cos\;\beta\\[5pt] 0,288=&\cos\;\beta&\scriptsize \mid \cos^{-1}\\[5pt] 73,3 ^\circ=&\beta\\[5pt] \end{array} $
6.
Strecke \(\boldsymbol{c}\) berechnen
Berechne mit dem Kosinussatz:
$ \begin{array}{rll} c²=&a²+b²-2\cdot a \cdot b \cdot \cos\;\gamma&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] c²=&(6\text{ km})²+(5\text{ km})²-2\cdot 6\text{ km} \cdot 5\text{ km} \cdot \cos\;70 ^\circ\\[5pt] c²=&36\text{ km}²+25\text{ km}²-(60\text{ km}²\cdot 0,342)\\[5pt] c²=&61\text{ km}²-20,52\text{ km}²\\[5pt] c²=&40,48\text{ km}²&\scriptsize \mid\sqrt{\;}\\[5pt] c=&6,36\text{ km}&\\[5pt] \end{array} $
Die beiden Häfen sind $6,36\text{ km}$ voneinander entfernt.
7.
Umfang berechnen
1. Schritt: Strecke $\mathbf{a}$ berechnen
Berechne mit dem Kosinussatz:
$ \begin{array}{rll} a²=&b²+c²-2\cdot a \cdot c \cdot \cos\;\alpha&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] a²=&(8\text{ m})²+(7\text{ m})²-2\cdot 7\text{ m} \cdot 8\text{ m} \cdot \cos\;30 ^\circ\\[5pt] a²=&64\text{ m}²+49\text{ m}²-(112\text{ m}²\cdot 0,866)\\[5pt] a²=&113\text{ m}²-97\text{ m}²\\[5pt] a²=&16\text{ m}²&\scriptsize \mid\sqrt{\;}\\[5pt] a=&4\text{ m}&\\[5pt] \end{array} $
2. Schritt: Umfang berechnen
$ \begin{array}{rcll} u&=&a+b+c&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] u&=&4\text{ m}+8\text{ m}+7\text{ m}\\[5pt] u&=&19\text{ m} \end{array} $
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