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Sinussatz

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Der Sinussatz stellt eine Beziehung zwischen den Winkeln eines beliebigen Dreiecks und den gegenüberliegenden Seiten her. Die Quotienten können gleichgesetzt werden. Es gilt:
$\dfrac{\sin\;\alpha}{a}=\dfrac{\sin\;\beta}{b}=\dfrac{\sin\;\gamma}{c}$
$\dfrac{\sin\;\alpha}{a}=\dfrac{\sin\;\beta}{b}=\dfrac{\sin\;\gamma}{c}$
Dreieck: Sinussatz
Abb. 2: Sinussatz.
Dreieck: Sinussatz
Abb. 2: Sinussatz.
Mit dem Sinussatz kannst du fehlende Dreiecksseiten oder Winkel berechnen. Außerdem lässt sich die Höhe oder der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen.
Flächeninhalt $\boldsymbol{A}$
  • $A=\frac{1}{2}ab\cdot\sin\gamma$
  • $A=\frac{1}{2}bc\cdot\sin\alpha$
  • $A=\frac{1}{2}ca\cdot\sin\beta$
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Bearbeite die folgenden Aufgaben.
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Verständnis stets eine Skizze erstellst.
Dreieck: Sinussatz
Dreieck: Sinussatz Bearbeite die folgenden Aufgaben.
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1.
Ein Dreieck ABC hat die Winkel $\alpha=70 ^\circ$ und $\beta=50 ^\circ$ und Seite $b=3\text{ cm}$.
Wie lang ist die Seite $a$?
2.
Von einem Dreieck ABC sind folgende Angaben bekannt:
$c=15\text{ cm}$, $a=14\text{ cm}$, $\alpha=62 ^\circ$
Wie groß ist der Winkel $\gamma$?
3.
Berechne die Höhe $h_c$ des Dreiecks mit $b=4\text{ cm}$ und $\alpha=45 ^\circ$.
4.
Ein Dreieck ABC hat die Seitenlänge $a=6\text{ cm}$ und den Winkel $\alpha=40 ^\circ$ gegeben.
Wie groß ist der Umkreisradius $r$?
5.
Berechne den Flächeninhalt eines Dreiecks mit den Seite $b=3\text{ cm}$ und $c=6\text{ cm}$ und dem Winkel $\alpha=40 ^\circ$.
6.
Ein Fabrikdach hat die Neigungswinkel $\alpha=40 ^\circ$
und $\beta=70 ^\circ$.
Berechne die Seite $b$, wenn die Seite $a=3\text{ m}$ lang ist.
Dreieck: Sinussatz
Dreieck: Sinussatz
7.
Ein Schiff im Punkt $C$ sendet einen Notruf. Dieser wird von den Häfen $A$ und $B$ aufgenommen. Mithilfe von Peilungen ergeben sich die dargestellte Positionen, mit $\alpha=58 ^\circ$ und $\beta=49 ^\circ$
Welchem Hafen ist das Schiff am nächsten?
Berechne die Strecken $a$ und $b$.
Dreieck: Sinussatz
Dreieck: Sinussatz
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Lösungen
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1.
Seite a
Berechne mit dem Sinussatz:
$ \begin{array}{rll} \dfrac{a}{\sin\;\alpha}=&\dfrac{b}{\sin\;\beta}&\quad\scriptsize\mid \cdot{\sin\;\alpha}\\[5pt] a=&\dfrac{b}{\sin\;\beta}\cdot{\sin\;\alpha}&\quad\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] a=&\dfrac{3\text{ cm}}{\sin\;50 ^\circ}\cdot{\sin\;70 ^\circ}\\[5pt] a=&\dfrac{3\text{ cm}}{0,766}\cdot{0,9397} \\[5pt] a=&3,68\text{ cm}\\[5pt] \end{array} $
2.
Winkel \(\boldsymbol{\gamma}\)
Berechne mit dem Sinussatz:
$ \begin{array}{rll} \dfrac{\sin\;\gamma}{c}=&\dfrac{\sin\;\alpha}{a}&\quad\scriptsize\mid \cdot c\\[5pt] \sin\;\gamma=&\dfrac{\sin\;\alpha}{a}\cdot c&\quad\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] \sin\;\gamma=&\dfrac{\sin\;62 ^\circ}{14\text{ cm}}\cdot 15\text{ cm}\\[5pt] \sin\;\gamma=&\dfrac{0,883}{14\text{ cm}}\cdot 15\text{ cm}\\[5pt] \sin\;\gamma=&0,946&\quad\scriptsize \mid \sin^{-1}\\[5pt] \gamma=&71 ^\circ\\[5pt] \end{array} $
Der Winkel $\gamma$ beträgt $71 ^\circ$.
Die Angaben aus der Aufgabenstellung beschreiben allerdings noch ein zweites Dreieck, dessen Winkel beträgt:
$\gamma_2=180 ^\circ-\gamma=109 ^\circ$
Dreieck: Sinussatz
Dreieck: Sinussatz
3.
Höhe $\mathbf{h_c}$ berechnen
$ \begin{array}{rll} h_c=&\sin\;\alpha\cdot b&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] h_c=&\sin\;45 ^\circ\cdot 4\text{ cm}\\[5pt] h_c=&0,707\cdot 4\text{ cm}\\[5pt] h_c\approx&2,83\text{ cm} \end{array} $
4.
Umkreisradius \(\boldsymbol{r}\) berechnen
Berechne mit dem Sinussatz:
$ \begin{array}{rll} \dfrac{a}{\sin\;\alpha}=&2r&\quad\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] \dfrac{6}{\sin\;40 ^\circ}=&2r\\[5pt] \dfrac{6}{0,643}=&2r&\quad\scriptsize \mid:2\\[5pt] 4,67\text{ cm}=&r& \end{array} $
5.
Flächeninhalt \(\boldsymbol{A}\) berechnen
$ \begin{array}{rll} A=&\dfrac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot \sin\;\alpha&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] A=&\dfrac{1}{2}\cdot 3\text{ cm}\cdot 6\text{ cm}\cdot \sin\;40 ^\circ\\[5pt] A=&9\text{ cm}²\cdot 0,64\\[5pt] A\approx&5,8\text{ cm}² \end{array} $
6.
Seite $\mathbf{b}$ berechnen
Berechne die Seite $b$ mit dem Sinussatz.
$ \begin{array}{rll} \dfrac{b}{\sin\;\beta}=&\dfrac{a}{\sin\;\alpha}&\scriptsize\mid \cdot{\sin\;\beta}\\[5pt] b=&\dfrac{a}{\sin\;\alpha}\cdot \sin\;\beta&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] b=&\dfrac{3\text{ m}}{\sin\;40 ^\circ}\cdot \sin\;70 ^\circ\\[5pt] b=&\dfrac{3\text{ m}}{0,6428}\cdot 0,9397\\[5pt] b=&4,39\text{ m}\\[5pt] \end{array} $
Die Seite $b$ ist $4,39\text{ m}$ lang.
7.
Entfernung $\mathbf{a}$ berechnen
1. Schritt: Winkel $\boldsymbol\gamma$ berechnen
Über die Winkelsumme im Dreieck ergibt sich für $\gamma$:
$ \begin{array}{rcll} \gamma&=&180 ^\circ-\alpha-\beta& \scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] \gamma&=&180 ^\circ-58 ^\circ-49 ^\circ& \\[5pt] \gamma&=&73 ^\circ& \\[5pt] \end{array} $
2. Schritt: Entfernung $\mathbf{a}$ berechnen
Berechne die Entfernung $a$ mit dem Sinussatz.
$ \begin{array}{rll} \dfrac{a}{\sin\;\alpha}=&\dfrac{c}{\sin\;\gamma}&\scriptsize\mid \cdot{\sin\;\alpha}\\[5pt] a=&\dfrac{c}{\sin\;\gamma}\cdot \sin\;\alpha&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] a=&\dfrac{10\text{ km}}{\sin\;73 ^\circ}\cdot \sin\;58 ^\circ \\[5pt] a=&\dfrac{10\text{ km}}{0,956}\cdot 0,848 \\[5pt] a=&8,87\text{ km} \\[5pt] \end{array} $
Entfernung $\mathbf{b}$ berechnen
$ \begin{array}{rll} \dfrac{b}{\sin\;\beta}=&\dfrac{c}{\sin\;\gamma}&\scriptsize\mid \cdot{\sin\;\beta}\\[5pt] b=&\dfrac{c}{\sin\;\gamma}\cdot \sin\;\beta&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] b=&\dfrac{10\text{ km}}{\sin\;73 ^\circ}\cdot \sin\;49 ^\circ \\[5pt] b=&\dfrac{10\text{ km}}{0,956}\cdot 0,7547 \\[5pt] b=&7,89\text{ km} \\[5pt] \end{array} $
Das Schiff ist dem Hafen $A$ am nächsten.
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