Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Werkrealschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 7
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Werkrealschulabschluss
Hauptschulabschluss
VERA 8
Werkrealschul...
Prüfung
wechseln
Werkrealschulabschluss
Hauptschulabschluss
VERA 8
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!
Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Digitales Schulbuch
Funktionen und Gleich...
Lineare Gleichungen
Einführung
Einfache lineare Glei...
Gleichungen mit Klamm...
Gleichungen mit Brüch...
Gleichungen mit Brüch...
Gleichungen in Zahlen...
Gleichungen in Sachau...
Quadratische Gleichun...
Einführung
Sonderfälle
Reinquadratische Glei...
x<sup>2</sup>+px=0
Gleichungen lösen
P-q-Formel
Mitternachtsformel
Satz von Vieta
Bruchgleichungen
Vermischte Aufgaben
Lineares Gleichungssy...
Einführung
Graphisches Lösungsve...
Rechnerisches Lösungs...
Gleichsetzungsverfahr...
Einsetzungsverfahren
Additionsverfahren
Determinantenverfahre...
Vermischte Aufgaben
Lineare Funktionen
Einführung
Funktionsgraphen zeic...
Funktionsgleichungen ...
Schnittpunkte
Parallele und orthogo...
Vermischte Aufgaben
Quadratische Funktion...
Einführung
Funktionsterm
Verschiebung in y-Ric...
Verschiebung in x-Ric...
Stauchung und Strecku...
Vermischte Aufgaben
Scheitelform und allg...
Funktionsgleichung au...
Schnittpunkt Gerade -...
Achsenschnittpunkte
Vermischte Aufgaben
Potenzfunktion
Mit positivem Exponen...
Mit negativem Exponen...
Streckung, Stauchung ...
Potenzgesetze
Vermischte Aufgaben
Exponentialfunktionen...
Exponentialgleichunge...
Exponentialfunktionen
Wachstum
Logarithmus
Logarithmusfunktion
Verschiebung und Spie...
Vermischte Aufgaben
Trigonometrische Funk...
Einheitskreis
Gradmaß und Bogenmaß
Eigenschaften der Sin...
Eigenschaften der Kos...
Eigenschaften der Tan...
Streckung und Stauchu...
Streckung und Strauch...
Vermischte Aufgaben
Proportionale Zuordnu...
Rechnen mit proportio...
Schaubilder von propo...
Weg-Zeit-Zuordnungen
Abbildungen Im Koordi...
Orthogonale Affinität
Parallelverschiebung
Achsenspiegelung
Drehung
Vermischte Aufgaben
Geometrie in der Eben...
Dreieck
Einführung
Gleichschenkliges Dre...
Gleichseitiges Dreiec...
Allgemeines Dreieck
Sinussatz
Kosinussatz
Vermischte Aufgaben
Rechtwinkliges Dreiec...
Einführung
Satz des Pythagoras
Kathetensatz
Höhensatz
Satz des Thales
Sinus, Kosinus und Ta...
Flächeninhalt und Umf...
Vermischte Aufgaben
Vierecke und Vielecke
Einführung
Quadrat
Rechteck
Parallelogramm
Rhombus und Raute
Trapez
Drachen
Allgemeines Viereck
Regelmäßiges Vieleck
Vermischte Aufgaben
Kreis
Einführung
Flächeninhalt und Umf...
Kreisring
Kreissektor und Kreis...
Kreissegment
Geraden und Winkel am...
Vermischte Aufgaben
Geometrische Konstruk...
Einführung
Mittelsenkrechte
Lotgerade
Senkrechte
Winkelhalbierende
Dreieckskonstruktione...
Zentrische Streckung
Vermischte Aufgaben
Strahlensätze
Geometrie im Raum
Körper
Einführung
Schrägbild
Körpernetz
Zweitafelbild
Prisma
Einführung
Würfel
Quader
Vermischte Aufgaben
Spitze Körper
Kegel
Pyramide
Stümpfe
Kegelstumpf
Pyramidenstumpf
Sonstige Körper
Zylinder
Kugel
Rotationskörper
Zusammengesetzte Körp...
Trigonometrie in Körp...
Streckenzug
Raumdiagonale
Potenzen und Wurzeln
Potenzen
Einführung
Quadratzahlen und Pot...
Rechnen mit Potenzen
Einfache Potenzen
Potenzen mit negative...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen mit gleicher...
Potenzen potenzieren
Wissenschaftliche Sch...
Wurzeln
Einführung
Quadratwurzeln und Ku...
Rechnen mit Wurzeln
Wurzeln multipliziere...
Teilweises Wurzelzieh...
Rechnen mit Wurzeln u...
Daten und Zufall
Statistische Grundbeg...
Absolute und relative...
Listen und Häufigkeit...
Arithmetisches Mittel...
Median und Quartile
Spannweite und mittle...
Diagramme
Vermischte Aufgaben
Diagramme
Säulendiagramm
Balkendiagramm
Liniendiagramm
Kreisdiagramm
Streifendiagramm
Boxplot
Vermischte Aufgaben
Kombinatorik
Wahrscheinlichkeitsre...
Einstufige Zufallsexp...
Ergebnis und Ereignis
Gesetz der großen Zah...
Zufallsvariable und E...
Mehrstufige Zufallsex...
Sachrechnen
Zinseszins
Vermischte Aufgaben

Dreieckskonstruktionen

Spickzettel
Download als Dokument:PDF

Vorgehen

Du kannst ein Dreieck eindeutig konstruieren, wenn einer der folgenden Fälle vorliegt.
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
sss
Bei diesem Fall sind alle $3$ Seiten des Dreiecks gegeben.
Zeichne die Seite $c$ und konstruiere einen Kreis mit dem Radius $b$ um $A$ und einen Kreis mit dem Radius $a$ um $B$.
Verbinde $A$ und $B$ mit dem Schnittpunkt der Kreise.
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
sws
Hier sind $2$ Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel gegeben.
Zeichne zuerst die Strecke $c$ und konstruiere den Winkel. Zeichne danach die Seite $b$ und verbinden den Endpunkt von $b$ mit dem Endpunkt von $c$.
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
ssw
Bei diesem Fall sind $2$ Seiten und der Winkel, der gegenüber der größeren Seite S liegt, gegeben.
Zeichne zuerst die Strecke $b$ und dann den Winkel $\gamma$. Konstruiere danach eine Kreis mit dem Radius $c$ um $A$. Der Schnittpunkt des Kreis mit der Seite $a$ ist der Punkt $B$.
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
wsw
Hier ist eine Seite und die beiden anliegenden Winkel gegeben.
Zeichne die Strecke $c$ und danach die Winkel $\alpha$ bzw $\beta$. Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist der Punkt $C$.
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen

Vorgehen

Du kannst ein Dreieck eindeutig konstruieren, wenn einer der folgenden Fälle vorliegt.
sss
Bei diesem Fall sind alle $3$ Seiten des Dreiecks gegeben.
Zeichne die Seite $c$ und konstruiere einen Kreis mit dem Radius $b$ um $A$ und einen Kreis mit dem Radius $a$ um $B$.
Verbinde $A$ und $B$ mit dem Schnittpunkt der Kreise.
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
sws
Hier sind $2$ Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel gegeben.
Zeichne zuerst die Strecke $c$ und konstruiere den Winkel. Zeichne danach die Seite $b$ und verbinden den Endpunkt von $b$ mit dem Endpunkt von $c$.
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
ssw
Bei diesem Fall sind $2$ Seiten und der Winkel, der gegenüber der größeren Seite S liegt, gegeben.
Zeichne zuerst die Strecke $b$ und dann den Winkel $\gamma$. Konstruiere danach eine Kreis mit dem Radius $c$ um $A$. Der Schnittpunkt des Kreis mit der Seite $a$ ist der Punkt $B$.
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
wsw
Hier ist eine Seite und die beiden anliegenden Winkel gegeben.
Zeichne die Strecke $c$ und danach die Winkel $\alpha$ bzw $\beta$. Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist der Punkt $C$.
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Aufgaben
Download als Dokument:PDF
1.  Beschreibe alle 4 Möglichkeiten, mit denen ein Dreieck eindeutig definiert werden kann.
2.  Entscheide ob folgende Aussagen ein Dreieck eindeutig definieren. Begründe deine Antwort.
a)   Das Dreieck hat zwei Seiten die $5cm$ groß sind und eine die $3cm$ lang ist.
b)   Das Dreieck besitzt einen rechten Winkel und zwei gleich große Winkel.
c)   Das Dreieck besitzt zwei gleich große Seiten und einen Winkel mit der Größe $50°$.
d)   Das Dreieck besitzt einen rechten Winkel und zwei Seiten sind $4cm$ lang.
3.  Konstruiere folgende Dreiecke.
a)   $a=6\,\text{cm}$; $b=5\,\text{cm}$; $c=8\,\text{cm}$
b)   $c=7\,\text{cm}$; $\alpha = 50°$; $\beta = 60°$
c)   $a=6\,\text{cm}$; $b=5\,\text{cm}$; $\gamma=80°$
d)   $a=5\,\text{cm}$; $b=4\,\text{cm}$; $c=6\,\text{cm}$
e)   $b=5\,\text{cm}$; $c=9\,\text{cm}$; $\gamma=70°$
f)   $a=6\,\text{cm}$; $b=5\,\text{cm}$; $\gamma=60°$
4.  Ein senkrechter Baum wirft einen 50m langen Schatten, der in einem Winkel von $30°$ auf die Erde trifft.
Wie hoch ist der Baum?
Löse diese Aufgabe zeichnerisch.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
$\blacktriangleright$ Dreiecke richtig zeichnen
Wenn du Dreiecke zeichnen oder konstruieren musst, solltest du diese Punkte beachten, um sicher zu gehen, dass dein Dreieck auch richtig gezeichnet wurde:
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
  • Beim Bestimmen der Punkte musst du gegen den Uhrzeigersinn gehen
  • Der Winkel $\alpha$ ist immer bei Punkt $A$, Winkel $\beta$ bei Punkt $B$ usw.
  • Die Strecke $a$ ist gegenüber von Punkt $A$ usw.
Falls dir also auffällt, dass z.B. die Strecke $c$ plötzlich gegenüber von Punkt $A$ liegt oder die Punkte im Uhrzeigersinn bestimmt werden, weißt du, dass das nicht ganz richtig sein kann und du es dir lieber noch einmal anschauen solltest.
1.  $\blacktriangleright$ Dreiecke konstruieren
Dafür gibt es die 4 Kongruenzsätze: sss, sws, Ssw, wsw.
a)   sss
Hier sind alle Seitenlängen gegeben. Um das Dreieck zu konstruieren musst du so vorgehen:
  • Zeichne eine beliebige Strecke (z.B. $c$)
  • Markiere dir die Endpunkte dieser Strecke (hier wäre das am linken Ende $A$ und am rechten Ende $B$)
  • Zeichne einen Kreis um den einen Punkt (z.B. $A$, der Radius wäre hier der Wert der Strecke $b$)
  • Zeichne einen Kreis um den anderen Punkt (z.B. $B$, der Radius wäre dann der Wert der Strecke $a$)
  • Markiere dir den Schnittpunkte der Kreise (das ist der Eckpunkt $C$ hier)
  • Verbinde den Schnittpunkt ($C$) nur noch mit den anderen Punkten ($A$ und $B$) und beschrifte die Strecken und Winkel
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
b)   sws
Hier sind zwei Seiten gegeben und der Winkel, der von den beiden Seiten eingeschlossen wird. Um dieses Dreieck zu konstruieren musst du so vorgehen:
  • Zeichne eine beliebige Strecke (z.B. $c$)
  • Nun musst du den Winkel einzeichnen, achte dabei welcher Winkel gegeben ist!
  • Nun musst du diese Gerade verlängern bzw. kürzen, damit sie der Länge deiner anderen gegebenen Strecke entspricht
  • Verbinde die Endpunkte beider Strecken miteinander und beschrifte die fehlenden Strecken, Punkte und Winkel
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
c)   Ssw
Hier hast du auch zwei Seiten und einen Winkel gegeben, aber der Winkel ist diesesmal nicht zwischen den beiden Strecken, die du gegeben hast. Um das Dreieck zu konstruieren solltest du so vorgehen:
  • Zeichne die kürzere der beiden gegebenen Strecken
  • Zeichne den gegebenen Winkel an der entsprechenden Stelle ein
  • Am anderen Endpunkt der Strecke solltest du nun einen Kreis zeichnen, der Radius ist dabei der Wert der längeren Strecke
  • Markiere dir den Schnittpunkt zwischen Kreis und Geraden, mit der du den Winkel eingezeichnet hast
  • Verbinden den Schnittpunkt mit den anderen Endpunkten
  • Beschrifte die fehlenden Strecken, Punkte und Winkel
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
d) wsw
Hier hast du eine Strecke und die Winkel am jeweiligen Endpunkt dieser Strecke gegeben. Um das Dreieck zeichnen zu können musst du so vorangehen:
  • Zeichne die gegebene Strecke auf
  • Zeichne die gegebenen Winkel ein
  • Markiere dir den Schnittpunkt der beiden Geraden
  • Beschrifte die fehlenden Strecken, Punkte und Winkel
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
2.  $\blacktriangleright$ Dreiecke bestimmen
a)  Ja, das Dreieck wird nach dem Kongruenzsatz sss definiert. Es entstehen dabei zwei gleiche Dreiecke, weil es ja zwei Schnittpunkte gibt. Du musst natürlich nur eins zeichnen.
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
b) Nein, das Dreieck wird nicht genau definiert. Du weißt zwar, dass es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, aber du weißt nicht wie groß die Seitenlängen sind. Dementsprechend kannst du dieses Dreieck nicht genau zeichnen.
c)  Nein, auch hier wird das Dreieck nicht genau bestimmt, denn es wird nur gesagt, dass zwei Seiten gleich lang sind, aber wie lang genau? Deswegen kannst du auch dieses Dreieck nicht genau zeichnen.
d)  Ja, der Kongruenzsatz sws bestimmt das Dreieck. Kongruenzsatz Ssw kann es nicht sein, da beide Seiten ja gleich lang sind, und eine davon aber länger sein müsste als die andere.
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
3.  $\blacktriangleright$ Dreiecke konstruieren
a)   Kongruenzsatz: sss
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
b)   Kongruenzsatz: wsw
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
c)   Kongruenzsatz: sws
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
d)   Kongruenzsatz: sss
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
e)   Kongruenzsatz: Ssw
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
f)   Kongruenzsatz: sws
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
4.  $\blacktriangleright$ Die Höhe des Baums bestimmen
Der Baum wirft einen $50\,\text{m}$ langen Schatten und der Winkel ist $30\,^\circ$.
Also zeichnest du zuerst die Strecke für den Schatten ($50\,\text{m}$ könnten bei dir 50\,\text{mm} entsprechen). Dann zeichnest du den Winkel von $30\,^\circ$ an ein Ende der Strecke. Diese Gerade verlängerst du bis du senkrecht genau über dem anderen Endpunkt der Strecke liegst. Nun musst du nur noch diese Endpunkte verbinden und du hast das Dreieck gezeichnet, mit der du die Höhe des Baums bestimmen kannst.
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
Geometrische Konstruktionen: Dreieckskonstruktionen
Jetzt musst du nur noch diese Senkrechte messen. Sie sollte ca. $29\,\text{mm}$ lang sein. Also beträgt die Höhe des Baums ca. $29\,\text{m}$.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lernvideos
Download als Dokument:
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App