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Winkelhalbierende

Spickzettel
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Die Winkelhalbierende eines Winkels ist die Gerade, die durch die Mitte des Winkels verläuft und ihn somit in zwei gleich große Teilwinkel teilt.

Konstruktion

Konstruiere zuerst einen Kreis mit dem Punkt $A$ als Mittelpunkt. Dabei entstehen die Schnittpunkte $S_1$ und $S_2$.
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
Steche nun deinen Zirkel in den Punkt $S_1$ und zeichne einen Kreis. Wiederhole das im Punkt $S_2$ mit demselben Radius. Es entsteht der Punkt $W$.
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
Lege nun eine Gerade durch die Punkte $W$ und $A$. Diese Gerade ist die Winkelhalbierende des Winkels $\alpha$.
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
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Aufgaben
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1.  Zeige mit Hilfe einer Skizze, wie man mit Zirkel und Lineal eine Winkelhalbierende zeichnet.
2.  Zeichne den Winkel $\alpha$ und konstruiere die Winkelhalbierende.
a)   $\alpha=60°$
b)   $\alpha=45°$
c)   $\alpha=70°$
d)   $\alpha=30°$
3.  Zeichne alle Winkelhalbierenden mit Hilfe deines Zirkels in das gegebene Dreieck ein und konstruiere dann den Innenkreis des Dreiecks.
a)  
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
b)  
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
c)  
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
d)  
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
4.  Trage die Punkte $A\left(1\mid1\right)$, $B\left(5\mid2\right)$, $C\left(6\mid5\right)$ und $D\left(3\mid4\right)$ in ein Koordinatensystem ein. Konstruiere mit Hilfe deines Zirkels zu jedem Winkel, der sich aus den möglichen Verbindungsstrecken konstruieren lässt, eine Winkelhalbierende.
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Lösungen
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1.  $\blacktriangleright$ Winkelhalbierende zeichnen
Um eine Winkelhalbierende zu zeichnen, musst du nur folgende Schritte befolgen
  • Als erstes zeichnest du einen Kreis um Punkt $A$
  • Punkt $A$ ist immer der Eckpunkt bei Winkel $\alpha$
  • Markiere dir die Schnittpunkte des Kreises um $A$ mit den Schenkeln, die den Winkel $\alpha$ einschließen
  • Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
    Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
  • Zeichne nun jeweils einen Kreis um die Schnittpunkte $S_1$ und $S_2$
  • Diese Kreise sollten den selben Radius besitzen
  • Es ist nicht wichtig, dass dieser Radius der gleiche ist wie der Radius, den du bei Punkt $A$ gewählt hast
  • Markiere dir die Schnittpunkte der beiden Kreise (ist der Radius derselbe wie bei Punkt $A$, so ist Punkt $A$ ein Schnittpunkt und $W$ der andere)
  • Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
    Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
  • Zum Schluss ziehst du eine Gerade $w$ durch den Punkt $A$ und den Schnittpunkt $W$
  • Die Gerade $w$ ist deine gesuchte Winkelhalbierende
  • Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
    Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
2.  $\blacktriangleright$ Winkelhalbierende bei verschiedenen Winkeln
Beachtest du die Schritte von oben, erhältst du diese Ergebnisse:
a)  
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
b)  
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
c)  
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
d)  
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
3.  $\blacktriangleright$ Winkelhalbierende und Innenkreis einzeichnen
Da du nun mit Dreiecken arbeiten musst, musst du insgesamt drei Winkelhalbierende einzeichnen. Hier solltest du beachten, dass du später für den Innenkreis nur zwei Winkelhalbierende brauchst (du brauchst nämlich den Schnittpunkt dieser und da reichen ja schon zwei Geraden). Zur Kontrolle oder wenn die Aufgabe explizit darauf besteht, dass du alle Winkelhalbierende einzeichnen sollst, musst du dies natürlich tun. Aber wenn du Zeit sparen möchtest und es dir eben erlaubt ist auch nur zwei Winkelhalbierende einzuzeichnen, dann merk dir, dass das völlig ausreicht um den Innenkreis einzuzeichnen!
Nun zur eigentlichen Aufgabe:
Im ersten Beispiel wird dir noch Schritt für Schritt gezeigt, wie du vorgehen musst, die anderen Beispiele zeigen nur noch die eingezeichneten Winkelhalbierenden und den Innenkreis.
a)  
  • Zeichne wie oben schon erklärt zuerst die Kreise um die jeweiligen Punkte um die Winkelhalbierenden zu finden
  • Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
    Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
  • Markiere dir den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden
  • Dieser Punkt $P$ ist der Mittelpunkt für den Innenkreis des Dreiecks
  • Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
    Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
  • Zeichne also einen Kreis um den Punkt $P$
  • Wähle den Radius dabei so, dass er die Kanten des Dreiecks gerade so berührt, beziehungsweise tangiert
  • So hast du den Innenkreis des Dreiecks mithilfe von Winkelhalbierenden zeichnen können
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
b)  
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
c)  
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
d)  
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
4.  $\blacktriangleright$ Winkelhalbierende zeichnen
Zur Veranschaulichung werden hier in der Lösung immer nur drei Punkte bzw. ein Dreieck angezeigt und die entsprechenden Winkelhalbierenden dazu, da es hier insgesamt 12 Winkelhalbierende gibt, und man bei der Anzahl leicht den Überblick verlieren kann.
Dreieck $ACD$
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
Dreieck $ABD$
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
Dreieck $DBC$
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
Dreieck $ABC$
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
Geometrische Konstruktionen: Winkelhalbierende
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