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Vermischte Aufgaben

Zentrische Streckung

Spickzettel
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Erklärung

Eine zentrische Streckung (mit Streckungszentrum $Z$) ist die vergrößerte oder verkleinerte Abbildung einer geometrischen Figur. Jedem Punkt A der Originalfigur wird ein Bildpunkt A' zugeordnet. Die Längenverhältnisse, sowie die Winkelgrößen bleiben erhalten. Für $k=1$ und $k=-1$ entsteht eine Kongruenzabbildung. Eine Abbildung hat den $k^2$–fachen Flächeninhalt als das Original.
Geometrische Konstruktionen: Zentrische Streckung
Geometrische Konstruktionen: Zentrische Streckung

Beispiel

Geometrische Konstruktionen: Zentrische Streckung
Geometrische Konstruktionen: Zentrische Streckung
Ein Viereck ABCD wird mit $k=2,5$ abgebildet.
$\overline{ZA}=0,4$ cm
$\overline{ZB}=\overline{ZC}=\overline{ZD}=1$ cm
$\overline{ZA'}=1$ cm
$\overline{ZB'}=\overline{ZC'}=\overline{ZD'}=2,5$ cm
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1.  Ein Dreieck mit den Winkeln $\alpha=30°,\,\beta=60°$ und $\gamma=90°$ soll mit dem Streckungsfaktor $k=4$ abgebildet werden.
Wie groß sind die Winkel der Abbildung?
2.  Ein Viereck mit den Seiten $a=2$ cm, $b=3$ cm, $c=4$ cm und $d=5$ cm wird mit dem Streckungsfaktor $k=-2$ abgebildet.
Wie lang sind die Seiten der Abbildung?
3.  Zeichne das Streckungszentrum Z ein.
Geometrische Konstruktionen: Zentrische Streckung
Geometrische Konstruktionen: Zentrische Streckung
4.  Führe die folgenden Streckungen mit Hilfe der gegebenen Größen durch.
Wo nötig, verwende eine Planfigur:
Urfigurgegebene Teile der UrfigurZentrumk
a)Quadrat $ABCD$ $a = 7,5 cm$ Mittelpunkt $M$ $-\frac{3}{5}$
b) Rechteck $ABCD$ $a = 6 cm$  $b = 3,5 cm$ $\overline{ZA}=\overline{ZD}=4cm$ (außerhalb) $1,4$
c) Parallelogramm $ABCD$ $a = 6,5 cm$  $b = 4 cm$  $\alpha = 55°$ Mitte der Seite $\overline{AB}$ $-\frac{3}{2}$
d) Dreieck $ABC$ $a = 8 cm$  $c = 9 cm$  $\beta = 110°$ Eckpunkt $B$ $0,8$
e) Dreieck $ABC$ $a = 6,5 cm$  $b = 8 cm$  $c = 7 cm$ Umkreismittelpunkt $M$ $\frac{4}{3}$
f) Dreieck $ABC$ $b = 8 cm$  $c = 9,5 cm$  $\gamma = 72°$ Inkreismittelpunkt $O$ $-0,25$
g) Dreieck $ABC$ $a = 7 cm$  $\alpha = 53°$  $\gamma= 57°$ Höhenschnittpunkt $H$ $\frac{1}{3}$
h) Dreieck $ABC$ $c = 7 cm$  $\alpha = 114°$  $\beta = 29°$ Schwerpunkt $S$ $-1,2$
5.  Konstruiere die Bildfigur, ermittle $Z$ und berechne $k$:
FlächePunkte der UrfigurPunkte der Bildfigur
a) Dreieck $ABC$ $A\left(-1\mid-1\right)$  $B\left(2\mid0\right)$  $C\left(-1\mid3\right)$ $A' \left(-5\mid-4\right)$  $C' \left(-5\mid4\right)$
b) Dreieck $ABC$ $A\left(-5\mid-4\right)$  $B\left(4\mid-4\right)$  $C\left(-2\mid5\right)$ $B'\left(0\mid-2\right)$  $C'\left(-2\mid1\right)$
c) Viereck $ABCD$ $A\left(-4\mid-2\right)$  $B\left(1\mid-4\right)$  $C\left(3\mid1\right)$  $D\left(-2\mid3\right)$ $A'\left(3,5\mid5,5\right)$  $D'\left(2,5\mid3\right)$
d) Viereck $ABCD$ $A\left(-4\mid-3\right)$  $B\left(2\mid-3\right)$  $C\left(2\mid1\right)$  $D\left(-4\mid1\right)$ $B'\left(-3\mid2\right)$  $C'\left(-3\mid-4\right)$
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Lösungen
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$\blacktriangleright$ Richtig Strecken
Du solltest beachten, dass der Streckungsfaktor $k$ bestimmt, in welche Richtung gestreckt wird. Schau dir dafür unten die Strecke $\overline{ZA}$ an. Strecke $\overline{ZA'}$ ist dabei 3–mal so lang wie die Strecke $\overline{ZA}$ und geht in die selbe Richtung. Dementsprechend ist der Streckungsfaktor $k = 3$.
Schaust du dir nun die Strecke $\overline{ZA''}$ an, so siehst du, dass diese Strecke von $Z$ nach $A''$ in die entgegen gesetzte Richtung verläuft wie von $Z$ nach $A$. Deswegen ist der Streckungsfaktor hier negativ. Hier ist der Streckungsfaktor $k = -1$ da die Strecke gleichlang ist wie $\overline{ZA}$.
Geometrische Konstruktionen: Zentrische Streckung
Geometrische Konstruktionen: Zentrische Streckung
1.  $\blacktriangleright$ Der Einfluss des Streckens auf Winkel
Die Winkel sind dennoch dieselben, da ein Streckungsfaktor nur die Längenverhältnisse verändert, nicht die Winkel.
2.  $\blacktriangleright$ Der Einfluss des Streckens auf Strecken
Die Seiten sind um das $-2$–fache verändert. Also ist Seite $a' = -4$ cm lang, Seite $b' = -6$ cm, Seite $c' = -8$ cm und Seite $d' = -10$ cm. Beachte hier, dass es natürlich keine negativen Längenangaben gibt. Seite $a' = 4$ cm, aber sie geht eben in die entgegengesetzte Richtung.
Beispielhafte Lösung:
Geometrische Konstruktionen: Zentrische Streckung
Geometrische Konstruktionen: Zentrische Streckung
3.  $\blacktriangleright$ Streckzentrum Z finden
Ziehst du eine Gerade durch Punkt $B$ und $B'$ und eine Gerade durch $A$ und $A'$ und markierst dir dann den Schnittpunkt, erhältst du das Streckzentrum $Z$.
Geometrische Konstruktionen: Zentrische Streckung
Geometrische Konstruktionen: Zentrische Streckung
4.  $\blacktriangleright$ Figuren zentrisch strecken
a)
Geometrische Konstruktionen: Zentrische Streckung
Geometrische Konstruktionen: Zentrische Streckung
b)
Geometrische Konstruktionen: Zentrische Streckung
Geometrische Konstruktionen: Zentrische Streckung
c)
Geometrische Konstruktionen: Zentrische Streckung
Geometrische Konstruktionen: Zentrische Streckung
d)
Geometrische Konstruktionen: Zentrische Streckung
Geometrische Konstruktionen: Zentrische Streckung
e)   Den Umkreismittelpunkt zu finden, musst du die Mittelsenkrechten der Seiten bilden. Der Schnittpunkt dieser ist dann der Umkreismittelpunkt. (Falls du hier oder bei einem anderen Thema Schwierigkeiten hast, dann schau dir die Spick– und Aufgabenblätter in dem jeweiligen Thema an. Auch diese findest du auf der Website)
Geometrische Konstruktionen: Zentrische Streckung
Geometrische Konstruktionen: Zentrische Streckung
f)   Für den Inkreismittelpunkt brauchst du die Winkelhalbierenden. Der Schnittpunkt dieser ist dann der Inkreismittelpunkt.
Geometrische Konstruktionen: Zentrische Streckung
Geometrische Konstruktionen: Zentrische Streckung
g)   Um den Höhenschnittpunkt zu finden, musst du eine Lotgerade von einem Punkt auf die gegenüberliegende Seite bilden. Der Schnittpunkt der Lotgeraden ist der Höhenschnittpunkt.
Geometrische Konstruktionen: Zentrische Streckung
Geometrische Konstruktionen: Zentrische Streckung
h)   Um den Schwerpunkt zu finden, musst du die Seitenhalbierende der Seiten bilden. Der Schnittpunkt dieser ist der Schwerpunkt.
Geometrische Konstruktionen: Zentrische Streckung
Geometrische Konstruktionen: Zentrische Streckung
5.  $\blacktriangleright$ Bestimme Z und k
a)
Geometrische Konstruktionen: Zentrische Streckung
Geometrische Konstruktionen: Zentrische Streckung
Die gesuchten Punkte haben dabei die Koordinaten $B' ( 1 | -2 )$ und $Z ( 3 | 2 )$ und $k = 2$.
So findest du $Z$:
  • Zeichne eine Gerade durch $A$ und $A'$ und eine durch $C$ und $C'$
  • Markiere dir den Schnittpunkt $Z$
So bekommst du $k$:
  • Miss die Strecken $\overline{ZA}$ und $\overline{ZA'}$ (oder $\overline{ZC}$ und $\overline{ZC'}$)
  • Teile die Länge von $\overline{ZA}$ durch die Länge von $\overline{ZA'}$
  • Dieser Wert ist dann deinen Streckfaktor $k$
  • Zur Kontrolle kannst du auch die andere Strecke nehmen, oder du teilst die Länge der Strecke $\overline{A'C'} = 10\,\text{cm}$ durch die Strecke $\overline{AC} = 5\,\text{cm}$
  • Auch hier erhältst du dein Streckfaktor $k = 2$
Und so gehst du vor, um $B'$ zu finden:
  • Miss die Strecke $\overline{ZB}$ ab
  • Diesen Wert multiplizierst du mit dem Streckfaktor $k = 2$
  • Verlängere die Strecke $\overline{ZB}$ so weit, dass $\overline{ZB'}$ so lang ist, wie du gerade mit k berechnet hast
  • Du kannst dies natürlich auch mit dem Zirkel machen
b)
Geometrische Konstruktionen: Zentrische Streckung
Geometrische Konstruktionen: Zentrische Streckung
Wenn du wie oben vorgehst kannst du auch hier die fehlenden Punkte $Z ( -2 | -1 )$ und $A' ( 3 | -2 )$ und $k = 1/2$ finden.
c)
Geometrische Konstruktionen: Zentrische Streckung
Geometrische Konstruktionen: Zentrische Streckung
Die Koordinaten für die gesuchten Punkte sind: $Z ( 1 | 3 )$, $C' ( 0 | 4 )$, $B' ( 1 | 6,5 )$. Streckfaktor$k = -1/2$.
d)
Geometrische Konstruktionen: Zentrische Streckung
Geometrische Konstruktionen: Zentrische Streckung
Die Koordinaten für die gesuchten Punkte sind: $Z ( 0 | -1 )$, $A' ( 6 | 2)$, $D' ( 6 | -4 )$. Streckfaktor$k = -3/2$.
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