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Gerade Prismen

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Erklärung

Ein Prisma ist ein geometrischer Körper dessen Grund- und Deckfläche parallel und kongruent zueinander sind.
Die Grundfläche des Prismas ist ein $n$-Ecke mit $n \geq 3$.
Stehen die Kanten des Prismas senkrecht auf der Grundfläche, so spricht man von einem geraden Prisma. Die Oberfläche eines Prismas besteht aus Grund- und Deckfläche sowie der Mantelfläche. Beispiele hierfür sind Würfel oder Quader.
  • Volumenformel:
    $V=A_G\cdot h$
  • Mantelflächenformel:
    $A_M=U_G \cdot h$
  • Oberflächenformel:
    $A_O=2\cdot A_G+A_M$
Dabei beschreibt $h$ die Höhe des Prismas, $U_G$ den Umfang der Grundfläche und $A_G$ den Flächeninhalt der Grundfläche.

Beispiel

Die dreieckige Grundfläche des Prismas hat einen Flächeninhalt von $A_G=250\text{ cm}^2$. Die Höhe des Prismas beträgt $10$ cm. Der Mantel hat eine Fläche von $A_M=600\text{ cm}^2$.
Volumenberechnung:
$V $$=250\text{ cm}^2\cdot 10\text{ cm} $$ =2.500\text{ cm}^3$
Oberflächenberechnung:
$A_O $$ =500\text{ cm}^2+600\text{ cm}^2 $$ =1.100\text{ cm}^2$
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Aufgaben
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1.
Welcher dieser drei Prismen ist ein Würfel? Begründe deine Entscheidung!
b)
Körper: Gerade Prismen
Körper: Gerade Prismen
2.
Welche dieser Aussagen zum Würfel sind richtig?
b)
Es gibt Würfel, die keine Prismen sind.
d)
Ein Würfel hat 6 Seiten.
f)
Der Würfel ist ein Spezialfall eines Quaders.
3.
Körper: Gerade Prismen
Körper: Gerade Prismen
4.
Welche dieser Aussagen zum Quader sind richtig?
b)
Alle Ecken sind rechtwinklig.
d)
Ein Quader hat 6 Seitenflächen.
f)
Quadervolumen: $V=a\cdot b\cdot h$
5.
Körper: Gerade Prismen
Körper: Gerade Prismen
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Lösungen
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1.
Prismen untersuchen
Bei einem Würfel sind alle Seiten gleich lang. Er hat eine quadratische Grundfläche und alle Ecken sind rechtwinklig.
Dies ist nur bei Figur b) der Fall.
Figur 1 ist kein Würfel, da sie kein Quadrat, sondern ein Rechteck als Grundfläche hat.
Figur 3 ist kein Würfel, da hier die Höhenkanten nicht dieselbe Größe wie die Seitenkanten der Grundfläche haben.
2.
Aussagen bewerten
a)
Ein Würfel hat 14 Ecken.“
Diese Aussage ist falsch. Ein Würfel hat immer $8$ Ecken.
b)
Es gibt Würfel, die keine Prismen sind“
Diese Aussage ist falsch. Die Grundfläche und Deckfläche eines Würfels sind immer deckungsgleich.
c)
Das Volumen des Würfels ist: $V=a^4$“
Diese Aussage ist falsch. Ein Würfel besteht aus Quadraten mit der Seitenlänge $a$. Somit lautet die Formel für das Volumen $V=a^3$.
d)
Ein Würfel hat 6 Seiten.“
Diese Aussage ist richtig. Ein Würfel hat $6$ Quadrate als Seiten.
e)
Alle Seiten eines Würfels sind deckungsgleich.“
Diese Aussage ist richtig. Alle Seiten sind gleich große Quadrate. Somit sind alle Seiten des Würfels deckungsgleich.
f)
Der Würfel ist ein Spezialfall eines Quaders.“
Diese Aussage ist richtig. Ein Würfel erfüllt alle Eigenschaften für ein Quader. Da jedoch die Höhe des Würfels gleich einer Seitenkante ist, spricht man bei ihm von einem Spezialfall.
3.
Maximales Volumen des kleinen Würfels bestimmen
Der große Würfel wird zur Hälfte mit Wasser gefüllt. Sobald die andere Hälfte des Volumens von dem kleinen Würfel eingenommen wird, läuft das Wasser über. Das Volumen des kleinen Würfels darf also maximal halb so groß sein wie das Volumen des großen Würfels.
1. Schritt: Volumen des großen Würfels berechnen
Setze die Seitenlänge in die Formel für das Berechnen des Volumens ein.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} V&=&a^3&\scriptsize\text{einsetzen} \\ V&=&(10\,\text{cm})^3\\ V&=&1.000\,\text{cm}^3 \end{array}$
2. Schritt: Volumen des kleinen Würfels bestimmen
Das Volumen des kleinen Würfels darf maximal halb so groß sein wie das Volumen des großen Würfels. Er hat also ein Volumen von maximal $500\,\text{cm}^3$.
4.
Aussagen bewerten
a)
„Ein Quader hat 6 Ecken.“
Diese Aussage ist falsch. Ein Quader hat immer $8$ Ecken.
b)
„Alle Ecken sind rechtwinklig.“
Diese Aussage ist richtig. Ein Quader hat ein Rechteck als Grundfläche auf dem die Höhenkanten senkrecht aufsetzen. Somit sind alle Innenwinkel rechte Winkel.
c)
„Ein Quader hat 6 gleich große Flächen.$“
Diese Aussage ist falsch. Ein Quader hat zwar 6 Flächen, jedoch sind diese nicht alle gleich groß.
d)
„Ein Quader hat 6 Seitenflächen.“
Diese Aussage ist richtig. Ein Quader hat $6$ Rechtecke als Seiten.
e)
„Gegenüberliegende Seitenkanten sind gleich lang.“
Diese Aussage ist richtig. Die gegenüberliegenden Seiten sind parallel und gleich lang.
f)
„Quadervolumen: $V=a\cdot b\cdot h$“
Diese Aussage ist richtig. Auch für den Quader gilt die Volumenformel
Grundfläche $\cdot$ Höhe“.
5.
Oberfläche des Kartons berechnen
Setze die gegebenen Werte in die Formel zur Berechnung der Oberfläche ein.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A_\text{O}&=&2\cdot (ab+ah+bh) &\scriptsize \text{einsetzen} \\ A_\text{O}&=& 2\cdot\left(32\,\text{cm}\cdot20\,\text{cm} + 32\,\text{cm}\cdot12\,\text{cm} + 20\,\text{cm}\cdot12\,\text{cm}\right)&\scriptsize \text{zusammenfassen}\\ A_\text{O}&=&2\cdot\left(640\,\text{cm}^2 + 384\,\text{cm}^2 + 40\,\text{cm}^2\right) \\ A_\text{O}&=& 2\cdot1264\,\text{cm}^2=2528\,\text{cm}^2 \end{array}$
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A_\text{O}&=& 2528\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Schuhkarton hat eine Oberfläche von $2528\,\text{cm}^2$.
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