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Zusammengesetzte Körper

Spickzettel
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Erklärung

Das Volumen von zusammengesetzen Körpern errechnet sich aus den Volumina der Einzelkörper. Bei manchen Körpern fehlen einzelne Bereiche. Wenn du das Volumen dieser Restkörper berrechnest musst du die rausfallenden Volumina subtrahieren.
Nur die nach außen erscheinenden Flächen werden bei der Berechnung der Oberfläche berücksichtigt.

Vorgehen

Überlege dir aus welchen Körpern der zusammengesetzte Körper besteht und welche fehlen. Dann kannst du die EInzelkörper jeweils berechnen. Anschließend addierst du die Volumina zusammen und subtrahierst die fehlenden Volumina.

Beispiel

Wir wollen das Volumen eines Würfels mit Loch und aufgesetzter Pyramide berechnen.
Es gilt: $a=h=2$ cm; $r=0,5$ cm
Volumen:
Würfel: $V_W=a³=8\text{ cm}³$
Zylinder:& $V_Z=\pi\cdot r²\cdot a $$=1,57\text{ cm}³$
Pyramide:& $V_P=\frac{1}{3}\cdot a²\cdot h $$=2,67\text{ cm}³$
Körper:& $V=V_W-V_Z+V_P $$=9,1\text{ cm}³$
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Aufgaben
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1.
2.
Der abgebildete Körper hat die Maße $a=30$ cm und $b=h=15$ cm.
Berechne das Volumen und die Oberfläche des Körpers.
3.
Wie schwer ist die Schraube, wenn sie aus Edelstahl mit einer Dichte von $7,9 \text{g/cm}³$ gefertigt wurde und $a=2\,\text{mm}$ ist?
4.
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Lösungen
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1.
Volumen und Oberfläche
Um mit den gegeben Werten rechen zu können, rechne zunächst alle Maßeinheiten in Zentimeter um.
$ \begin{array}{rll} 1\text{dm}\mathrel{\widehat{=}}&10\text{cm}\\[5pt] 8\text{dm}\mathrel{\widehat{=}}&80\text{cm}\\[5pt] 50\text{mm}\mathrel{\widehat{=}}&5\text{cm} \end{array} $
Bei den Tischbeinen handelt es sich um 4 gleichgroße Quader. Mithilfe der allgemeine Formel für einen Quaders ($V_{\text{Q}}=a\cdot b\cdot c$) kannst du das Volumen bestimmen. Du musst es noch mit 4 multiplizieren. Benutze die allgemeine Formel auch für die Berechnung des Volumens der Tischplatte.
$ \begin{array}{rll} V_{\text{Beine}}=&4\cdot a\cdot b\cdot c&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V_{\text{Beine}}=&4\cdot 10\text{cm}\cdot 10\text{cm}\cdot 80\text{cm}\\[5pt] V_{\text{Beine}}=&32.000\text{cm}^3 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} V_{\text{Beine}}=&32.000\text{cm}^3 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} V_{\text{Platte}}=&a\cdot b\cdot c&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V_{\text{Platte}}=&160\text{cm}\cdot 80\text{cm}\cdot 5\text{cm}\\[5pt] V_{\text{Platte}}=&64.000\text{cm}^3 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} V_{\text{Platte}}=&64.000\text{cm}^3 \end{array} $
Addiere die beiden Ergebnisse.
$V_{\text{Platte}}+V_{\text{Beine}} $$ = 32.000\text{cm}^3+64.000\text{cm}^3 $$ = 96.000\text{cm}^3\mathrel{\widehat{=}}96\text{dm}^3$
Der Tisch besitzt ein Volumen von $96\text{dm}^3$.
Bestimme jetzt die Oberfläche des Tisches. Hierfür kannst die die allgemeine Formel für die Oberfläche eines Quaders verwenden.
$ \begin{array}{rll} A_{\text{O}_\text{Platte}}=&2\cdot (a\cdot b+a\cdot c+b\cdot c&\scriptsize \text{Werte einsetzen}.\\[5pt] A_{\text{O}_\text{Platte}}=&2\cdot (160\text{cm}\cdot 80\text{cm}+160\text{cm}\cdot 5\text{cm}+80\text{cm}\cdot 5\text{cm}\\[5pt] A_{\text{O}_\text{Platte}}=&28.000\text{cm}^2 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} A_{\text{O}_\text{Platte}}=&28.000\text{cm}^2 \end{array} $
Berechne nun die Mantelfläche der Tischbeine. Die Grund- und Deckflächen können vernachlässigt werden, da die Grundfläche schon in der Oberfläche der Tischplatte miteinbezogen wurde und die Deckfläche nicht zur Oberfläche des Tisches gehört.
$ \begin{array}{rll} A_{\text{M}_\text{Beine}}=&4\cdot 2 \cdot (a\cdot c+b\cdot c)&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] A_{\text{M}_\text{Beine}}=&4\cdot 2 \cdot (10\text{cm}\cdot 80\text{cm}+10\text{cm}\cdot 80\text{cm})\\[5pt] A_{\text{M}_\text{Beine}}=&25.600\text{cm}^2 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} A_{\text{M}_\text{Beine}}=&25.600\text{cm}^2 \end{array} $
Rechne deine erhaltenen Ergebnisse zusammen.
$A_{\text{O}_\text{Platte}}+A_{\text{M}_\text{Beine}} $$ = 28.000\text{cm}^2+25.600\text{cm}^2 $$ = 53.600\text{cm}^2\mathrel{\widehat{=}}536\text{dm}^2$
Die Oberfläche beträgt $53.600\text{cm}^2$.
2.
Volumen und Oberfläche
Setze die Werte aus der Aufgabenstellung in die Volumenformel ein. Davor musst du die Grund- und Deckfläche noch berechnen
$ \begin{array}{rll} A_{\text{G}_\text{Stumpf}}=&a^2&\scriptsize \text{Wert einsetzen}\\[5pt] A_{\text{G}_\text{Stumpf}}=&(30\text{cm})^2\\[5pt] A_{\text{G}_\text{Stumpf}}=&900\text{cm}^2 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} A_{\text{G}_\text{Stumpf}}=&900\text{cm}^2 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} A_{\text{D}_\text{Stumpf}}=&b^2&\scriptsize \text{Wert einsetzen}\\[5pt] A_{\text{D}_\text{Stumpf}}=&(15\text{cm})^2\\[5pt] A_{\text{D}_\text{Stumpf}}=&225\text{cm}^2 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} A_{\text{D}_\text{Stumpf}}=&225\text{cm}^2 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} V_{\text{Stumpf}}=&\dfrac{h}{3} (A_{\text{G}_\text{Stumpf}} + A_{\text{D}_\text{Stumpf}} + \sqrt{A_{\text{G}_\text{Stumpf}}\cdot A_{\text{D}_\text{Stumpf}}})&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] V_{\text{Stumpf}}=&\dfrac{15\text{cm}}{3} (900\text{cm}^2 + 225\text{cm}^2 + \sqrt{900\text{cm}^2\cdot 225\text{cm}^2})\\[5pt] V_{\text{Stumpf}}=&7.875\text{cm}^3 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} V_{\text{Stumpf}}=&7.875\text{cm}^3 \end{array} $
Berechne nun das Volumen des Würfels mithilfe der Formel: $V_{\text{Würfel}}=b^3$
$ \begin{array}{rll} V_{\text{Würfel}}=&b^3&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V_{\text{Würfel}}=&(15\text{cm})^3\\[5pt] V_{\text{Würfel}}=&3.375\text{cm}^3 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} V_{\text{Würfel}}=&3.375\text{cm}^3 \end{array} $
Addiere die Ergebnisse.
$V_{\text{Stumpf}}+V_{\text{Würfel}} $$ = 7.875\text{cm}^3+3.375\text{cm}^3 $$ = 11.250\text{cm}^3$\vspace{.2cm}
Die Figur besitzt ein Volumen von $11.250\text{cm}^3$.
Um die Höhe der Seitenfläche $h_a$ bestimmen zu können, musst du zunächst die Seite $c$ berechnen.
$ \begin{array}{rll} c=&\frac{a-b}{2}&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] c=&\frac{30\text{cm}-15\text{cm}}{2}\\[5pt] c=&7,5\text{cm} \end{array} $
Nun kannst du mittels Satz des Pythagoras die Höhe $h_a$ bestimmen. Hierfür verschiebst du die Höhe. Es entsteht die Seite $h'$.
$ \begin{array}{rll} h_a^2=&h'^2+c^2&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] h_a^2=&(15\text{cm})^2-(7,5\text{m})^2\\[5pt] h_a^2=&281,25\text{cm}^2&\scriptsize \mid \sqrt{\;\;}\\[5pt] h_a=&16,77\text{cm} \end{array} $
$ \begin{array}{rll} h_a=&16,77\text{cm} \end{array} $
Um die Seitenflächen zu berechnen, kannst du dir die Formel für den Flächeninhalt eines Trapez ($A_{\text{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot (a+b) \cdot h_a$) zur Hilfe nehmen. Jedoch musst du diese mit 4 multiplizieren, da der Pyramidenstumpf 4 Seitenflächen besitzt.
$ \begin{array}{rll} A_{\text{M}_\text{Stumpf}}=&4\cdot \frac{1}{2}\cdot (a+b) \cdot h_a\\[5pt] A_{\text{M}_\text{Stumpf}}=&2\cdot (a+b) \cdot h_a&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] A_{\text{M}_\text{Stumpf}}=&2\cdot (30\text{cm}+15\text{cm}) \cdot 16,77\text{cm}\\[5pt] A_{\text{M}_\text{Stumpf}}=&1.509,34\text{cm}^2 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} A_{\text{M}_\text{Stumpf}}=&1.509,34\text{cm}^2 \end{array} $
Die Grundfläche $A_{\text{G}_\text{Stumpf}}$ hast du bereits berechnet. Bestimmen nun noch die Oberfläche des Würfels, wobei du die Grundfläche vernachlässigen kannst, da diese nicht zur Oberfläche der Figur gehört.
$ \begin{array}{rll} A_{\text{O}_\text{Würfel}}=&5\cdot b^2&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] A_{\text{O}_\text{Würfel}}=&5\cdot (15\text{cm})^2\\[5pt] A_{\text{O}_\text{Würfel}}=&1.125\text{cm}^2 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} A_{\text{O}_\text{Würfel}}=&1.125\text{cm}^2 \end{array} $
Fasse nun deine berechneten Ergebnisse zusammen.
$A_\text{O}=A_{\text{M}_\text{Stumpf}}+A_{\text{G}_\text{Stumpf}}+A_{\text{O}_\text{Würfel}} $$ = 1.509,34\text{cm}^2+900\text{cm}^2+1.125\text{cm}^2 $$ = 3.534,34\text{cm}^2$
$A_\text{O} = 3.534,34\text{cm}^2$
Die Oberfläche ist $3.534,34\text{cm}^2$ groß.
3.
Gewicht der Schraube
Um das Gewicht der Schraube zu erhalten, musst du zuerst ihr Volumen bestimmen. Dazu teilst du sie in 4 einzelne Teile. Berechne zuerst das Volumen des Schraubenstiftes.
$ \begin{array}{rll} V_\text{Stift}=&A_\text{G}\cdot h\\[5pt] V_\text{Stift}=&\pi \cdot r^2\cdot h&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V_\text{Stift}=&\pi \cdot (1,5a)^2\cdot 17a\\[5pt] V_\text{Stift}=&\pi \cdot (3\text{mm})^2\cdot 34\text{mm}\\[5pt] V_\text{Stift}=&961,33\text{mm} \end{array} $
$ \begin{array}{rll} V_\text{Stift}=&961,33\text{mm} \end{array} $
Nun kannst du das Volumen des Kopfes bestimmen (die Vertiefung wird zunächst vernachlässigt).
$ \begin{array}{rll} V_\text{Kopf}=&A_\text{G}\cdot h\\[5pt] V_\text{Kopf}=&\pi \cdot r^2\cdot h&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V_\text{Kopf}=&\pi \cdot (2,5a)^2\cdot 3a\\[5pt] V_\text{Kopf}=&\pi \cdot (5\text{mm})^2\cdot 6\text{mm}\\[5pt] V_\text{Kopf}=&471,24\text{mm}^3 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} V_\text{Kopf}=&471,24\text{mm}^3 \end{array} $
Um die Vertiefung der Innensechskantschraube zu berechnen, unterteilst du sie in 2 Teile. Bestimme zunächst das Volumen des Prismas. Ein regelmäßiges Sechseck stellt die Grundseite dar. Danach berechnest du das Volumen einer Pyramide.
$ \begin{array}{rll} V_\text{Prisma}=&A_\text{G} \cdot h\\[5pt] V_\text{Prisma}=&\frac{3}{2}\cdot (2,5a)^2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2a&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V_\text{Prisma}=&\frac{3}{2}\cdot (5\text{mm})^2 \cdot \sqrt{3} \cdot 4\text{mm}\\[5pt] V_\text{Prisma}=&259,81\text{mm}^3 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} V_\text{Prisma}=&259,81\text{mm}^3 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} V_\text{Pyramide}=&\frac{1}{2}\cdot A_\text{G}\cdot h\\[5pt] V_\text{Pyramide}=&\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot(2,5a)^2 \cdot \sqrt {3} \cdot 0,5a&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V_\text{Pyramide}=&\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot(5\text{mm})^2 \cdot \sqrt {3} \cdot 1\text{mm}\\[5pt] V_\text{Pyramide}=&32,48\text{mm}^3 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} V_\text{Pyramide}=&32,48\text{mm}^3 \end{array} $
Addiere nun die beiden Ergebnisse um das Volumen der gesamten Vertiefung zu erhalten.
$ \begin{array}{rll} V_\text{Innensechskant}=&V_\text{Prisma}+V_\text{Pyramide}&\scriptsize \text{Ergebnisse einsetzen}\\[5pt] V_\text{Innensechskant}=&259,81\text{mm}^3+32,48\text{mm}^3\\[5pt] V_\text{Innensechskant}=&292,29\text{mm}^3 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} V_\text{Innensechskant}= … \end{array} $
Um das Volumen der Schraube zu erhalten, addiere das Volumen des Stiftes und des Kopfes, vergiss jedoch nicht das Volumen der Vertiefung abziehen.
$ \begin{array}{rll} V_\text{Schraube}=&V_\text{Stift}+(V_\text{Kopf}-V_\text{Innensechskant})&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V_\text{Schraube}=&961,33\text{mm}+(471,24\text{mm}^3-292,29\text{mm}^3)\\[5pt] V_\text{Schraube}=&1140,28\text{mm}^3 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} V_\text{Schraube}=&1140,28\text{mm}^3 \end{array} $
Rechne nun Kubikmillimeter in Kubikzentimeter um.
$1140,28\text{mm}^3\mathrel{\widehat{=}}1,14\text{cm}^3$
Damit du das Gewicht der Schraube erhälst, multipliziere die Dichte mit dem Volumen der Schraube.
$ \begin{array}{rll} m_\text{Schraube}=&V_\text{Schraube}\cdot \rho&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] m_\text{Schraube}=&1,14\text{cm}^3\cdot 7,9 \frac{\text{g}}{\text{cm}^3}\\[5pt] m_\text{Schraube}=&9\text{g} \end{array} $
$ \begin{array}{rll} m_\text{Schraube}=&9\text{g} \end{array} $
Die Schraube besitzt ein Gewicht von $9\text{g}$.
4.
Volumen des Topfes
Berechne zunächst das Volumen des Würfels mithilfe der Formel: $V_{\text{Würfel}}=a^3$.
Danach kannst du das Volumen der zylinderförmigen Aussparung mit der Formel: $V_{\text{Zylinder}}=\pi \cdot r^2\cdot h$ bestimmen.
$ \begin{array}{rll} V_{\text{Würfel}}=&a^3&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V_{\text{Würfel}}=&(30\text{cm})^3\\[5pt] V_{\text{Würfel}}=&27.000\text{cm}^3 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} V_{\text{Würfel}}=&27.000\text{cm}^3 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} V_{\text{Zylinder}}=&\pi \cdot r^2\cdot h&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V_{\text{Zylinder}}=&\pi \cdot (12\text{cm})^2\cdot 15\text{cm}\\[5pt] V_{\text{Zylinder}}=&6.785,84\text{cm}^3 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} V_{\text{Zylinder}}=&6.785,84\text{cm}^3 \end{array} $
Bestimme nun das Volumen des Topfes durch Subtraktion.
$ \begin{array}{rll} V_{\text{Topf}}=&V_{\text{Würfel}}-V_{\text{Zylinder}}&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V_{\text{Topf}}=&27.000\text{cm}^3-6.785,84\text{cm}^3\\[5pt] V_{\text{Topf}}=&20.214,16\text{cm}^3 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} V_{\text{Topf}}=&20.214,16\text{cm}^3 \end{array} $
Der Topf besitzt ein Volumen von $20.214,16\text{cm}^3$.
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