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Einführung

Spickzettel
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Ein Kreis hat immer einen Mittelpunkt $\color{#FA7D19}{M}$. Alle Punkt $\color{#0096C8}{P}$, die den gleichen Abstand zum Mittelpunkt haben, bilden eine Kreislinie.
Der Abstand zwische Mittelpunkt und der Kreislinie ist $\color{#87c800}{r}$.
$\color{#A0321E}{d}$ ist der Durchmesser. Dieser ist doppelt so groß wie der Radius des Kreises.
Das Verhältnis zwischen Umfang und dem Radius eines Kreises wird durch die Konstante $\boldsymbol{\pi}$ beschrieben. Dieses Verhältnis wird auch die Kreiszahl genannt.
Ein Kreis hat immer einen Gesamtwinkel von $360°$.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Aufgaben
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1.
Kreisumfang und Flächeninhalt.
a)
Berechne den Flächeninhalt und den Umfang eines Kreises mit dem Radius $r_1=4$ cm.
b)
Berechne den Radius $r_2$ eines Kreises mit dem Flächeninhalt $A= 100 $ m2.
c)
Berechne näherungsweise die Kreiszahl $\pi$ für einen Kreis mit dem Radius $r = 4$ cm und dem Umfang $U = 25,13$ cm.
2.
3.
Ein Mann fährt mit seinem Auto eine Strecke von $3$ km.
Der Reifen hat einen Durchmesser von $1$ m.
Wie oft dreht sich ein Reifen des Wagens?
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Lösungen
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1.
a)
Flächeninhalt und Umfang berechnen
$ \begin{array}[t]{rll} A=&\pi\cdot r_1^2&\\[5pt] =&\pi\cdot(5 \text{ cm})^2&\\[5pt] =&\pi\cdot 25 \text{ cm}^2&\\[5pt] \approx&78,54 \text{ cm}^2&\\[5pt] U=&2\cdot\pi\cdot r_1&\\[5pt] =&2\cdot\pi\cdot5 \text{ cm}&\\[5pt] =&\pi\cdot 10\cdot\text{cm}\\[5pt] \approx& 31,42 \text{ cm} \end{array} $
b)
Radius berechnen.
$A =100 \text{ m}^2 $
$ \begin{array}[t]{rll} 100 \text{ m}^2=&\pi\cdot r_2^2&\scriptsize{|:\pi}\\[5pt] r_2^2=&\dfrac{100 \text{ m}^2}{\pi}\\[5pt] r_2=&\sqrt{\dfrac{100 \text{ m}^2}{\pi}}\\[5pt] r_2\approx&5,64 \text { m} \end{array} $
c)
Kreiszahl $\pi$ bestimmen
$r=4 \text{ cm}$, $U= 25,13 \text{ cm}$
$ \begin{array}[t]{rll} 25,13 \text{ cm}=&2\cdot\pi\cdot4 \text{ cm} &\scriptsize{|:8 \text{ cm}}\\[5pt] \pi=&\dfrac{25,13 \text{ cm}}{8 \text{ cm}}\\[5pt] \pi \approx&3,141 \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} \pi \approx&3,141 \end{array} $
2.
Berechnung den Flächeninhalt der markierten Fläche
Der Flächeninhalt der markierten Fläche lässt sich berechnen, indem du vom Flächeninhalt des gesamten Kreises $A_G$ den Flächeninhalten des 1. Kreises $A_1$ und den Flächeninhalt des 2. Kreises $A_2$ abziehst.
$A_M = A_G - A_1 -A_2$
Für den Flächeninhalt des gesamten Kreises musst du noch den Radius $r_G$ berechnen. Für den Radius $r_G$ gilt:
$ \begin{array}[t]{rrll} r_G&=& r_1 + r_2\\[5pt] &=& 5 \text{ cm} + 2 \text{ cm} \\[5pt] &=&7\text{ cm} &\\[5pt] \end{array} $
Nun kann man den Flächeninhalt der markierten Fläche wie folgt berechnen:
$ \begin{array}[t]{rrll} A_M&=&A_G - A_1 - A_2\\[5pt] &=& \pi \cdot r_G^2 -\pi \cdot r_1^2 - \pi \cdot r_2^2 \\[5pt] &=&\pi \cdot (7 \text{ cm})^2 -\pi \cdot (5\text{ cm})^2 - \pi \cdot (2\text{ cm})^2 \\[5pt] &\approx& 62,83 \text{ cm}^2 &\\[5pt] \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rrll} A_M&\approx& 62,83 \text{ cm}^2 &\\[5pt] \end{array} $
Somit beträgt der Flächeninhalt der markierten Fläche $62,83 \text{ cm}^2$.
3.
Anzahl der Umdrehungen bestimmen
Eine Umdrehung $V$ des Rades ist dann erfolgt, wenn der Umfang $U$ des Rades einmal durchlaufen wurde. D.h. $V=U=2\cdot\pi\cdot r$.
Berechne im 1. Schritt den Umfang $U$ des Rades.
Im 2. Schritt wird dann die Streckenlänge durch den Umfang geteilt, um zu prüfen, wie oft eine Umdrehung erfolgt ist.
1. Schritt: Umfang des Rades/ eine Radumdrehung berechnen
$ \begin{array}[t]{rrll} U&=&2\cdot\pi\cdot r\\[5pt] &=&2 \cdot \pi\cdot \dfrac{d}{2} &\\[5pt] &=&2 \cdot \pi\cdot \dfrac{1}{2}\mathrm{m} &\\[5pt] U&\approx&3,14 \mathrm{m}&\\[5pt] \end{array} $
Der Umfang des Rades beträgt somit $U \approx 3,14 $m. Das entspricht auch der Länge einer Radumdrehung.
2. Schritt: Prüfen, wie oft sich das Rad dreht
Die Autostrecke ist 1.000 m lang. Alle $3,14$ m hat das Rad eine Umdrehung vollzogen. D.h. du musst jetzt die Länge der Autostrecke durch die Länge einer Umdrehung teilen, um die Anzahl der gesamten Umdrehungen zu erhalten.
$\dfrac{\text{Streckenlänge}}{\text{Radumfang}} $$ = \dfrac{1.000 \mathrm{m}}{3,14 \mathrm{m}} $$ \approx 318$
Daraus folgt:
Auf einer Länge von $1.000$ m dreht sich das Rad ungefähr $318$ mal.
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