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Kreissektor und Kreisbogen

Spickzettel
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Der Kreissektor (Kreisausschnitt) ist der Teil einer Kreisfläche, der von den Schenkeln $r$ und dem Kreisbogen $b$ begrenzt wird.
$\begin{array}{ll} \text{Radius:}&r \\[5pt] \text{Mittelpunktswinkel:}& \alpha \\[5pt] \text{Kreisbogen:}&b=2\cdot \pi\cdot r\cdot \frac{\alpha}{360°} \\[5pt] \text{Kreissektorfläche:}& A_{Sektor}=\pi\cdot r²\cdot\frac{\alpha}{360°} \\[5pt] \text{Kreissektorumfang:}& u_{Sektor}=b+2\cdot r \end{array}$
$\begin{array}{ll} \text{Radius:}&r \\[5pt] \text{Mittelpunktswinkel:}& \alpha \\[5pt] \end{array}$

Beispiel

Kreis: Kreissektor und Kreisbogen
Kreis: Kreissektor und Kreisbogen
$\begin{array}{ll} \text{Radius:}&r=1 cm \\[5pt] \text{Mittelpunktswinkel:}& \alpha=100° \\[5pt] \text{Kreisbogen:}& b=2\cdot \pi\cdot 1\text{ cm}\cdot \frac{100°}{360°}\approx1,75\text{ cm} \\[5pt] \text{Kreissektorfläche:}& A_{Sektor}=\pi\cdot (1\text{ cm})²\cdot\frac{100°}{360°}=0,87\text{ cm}² \\[5pt] \text{Kreissektorumfang:}& u_{Sektor}=1,75\text{ cm}+2\cdot 1\text{ cm}=3,75\text{ cm} \end{array}$
$\begin{array}{ll} \text{Radius:}&r=1 cm \\[5pt] \end{array}$
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Aufgaben
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Kreis: Kreissektor und Kreisbogen
Kreis: Kreissektor und Kreisbogen
  Bearbeite die folgenden Aufgaben.
Tipp:
Achte darauf, dass du für das bessere Verständnis stets eine Skizze erstellst.
1.
Kreis: Kreissektor und Kreisbogen
Kreis: Kreissektor und Kreisbogen
  Ein Kuchen mit Schokoladenguss hat einen Durchmesser von $d=30$ cm. Der Kuchen wird in sechs gleich große Stücke geteilt.
Wie lang ist der Kreisbogen $b$ eines Kuchenstücks?
2.
Kreis: Kreissektor und Kreisbogen
Kreis: Kreissektor und Kreisbogen
  Ein Baseballfeld hat die Form eines Viertelkreissektors. Die Kantenlänge beträgt $100$ m.
Welche Fläche und welchen Umfang hat das Spielfeld?
3.
Kreis: Kreissektor und Kreisbogen
Kreis: Kreissektor und Kreisbogen
  Gib den Flächeninhalt und den Umfang der gefärbten Fläche an.
4.
Kreis: Kreissektor und Kreisbogen
Kreis: Kreissektor und Kreisbogen
  Berechne den Flächeninhalt der gefärbten Fläche in Abhängigkeit von der Kantenlänge $e$.
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Lösungen
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1.  Berechnung des Kreisbogens
Um den Kreisbogen $b$ zu berechnen, brauchst du die Formel:
$b = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \dfrac{\alpha}{360\,^\circ}$
Der Radius $r$ ist dabei die Hälfte von $d=30\text{$\,$cm}$, also $r = 15\text{$\,$cm}$. Da der Kuchen in $6$ gleich große Stücke geteilt wird, ist Winkel $\alpha$ $1/6$ von $360\,^\circ,$ also $\alpha = 60\,^\circ$.
Somit kannst du den Kreisbogen mit der oben genannten Formel berechnen.
$\begin{array}{rll} b=&2 \cdot \pi \cdot 15\text{$\,$cm} \cdot \dfrac{60\,^\circ}{360\,^\circ} \\[5pt] =&2 \cdot \pi \cdot 15\text{$\,$cm} \cdot \dfrac{1}{6} \\[5pt] =& \pi \cdot 30\text{$\,$cm} \cdot \dfrac{1}{6} \\[5pt] =& 5\text{$\,$cm} \cdot \pi \\[5pt] \approx& 15,71\text{$\,$cm} \end{array}$
Der Kreisbogen $b$ ist also $15,71\,$cm lang.
2.  Berechnung der Kreissektorflächen
Für den Flächeninhalt $A_{Sektor}$ benutzt du diese Formel:
$A_{Sektor} = \pi \cdot r^2 \cdot \dfrac{\alpha}{360\,^\circ}$
Der Radius $r = 100\text{$\,$m}$ und der Winkel $\alpha = 90\,^\circ$.
Jetzt kannst du die Formel anwenden:
$\begin{array}{rll} A_{Sektor}=& \pi \cdot (100\text{$\,$m})^2 \cdot \dfrac{90\,^\circ}{360\,^\circ} \\[5pt] =& \pi \cdot (100\text{$\,$m})^2 \cdot \dfrac{1}{4} \\[5pt] =& \pi \cdot 10.000\text{$\,$m}^2 \cdot \dfrac{1}{4} \\[5pt] =& \pi \cdot 2.500\text{$\,$m}^2\approx7.853,98\text{$\,$m}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt $A_{Sektor}$ des Baseballfeldes beträgt also $7.853,98\text{$\,$m}^2$.
Berechnung des Kreissektorumfangs
Um den Umfang $u_{Sektor}$ zu berechnen, brauchst du diese Formel:
$u_{Sektor} = b + 2 \cdot r$
$b$ ist dabei wieder der Kreisbogen, den wir hier erst berechnen müssen. Die Formel für den Kreisbogen war:
$b = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \dfrac{\alpha}{360\,^\circ}$
Setzt du $b$ in $u_{Sektor}$ ein, bekommst du diese Formel:
$u_{Sektor}=$$\,2 \cdot \pi \cdot r \cdot \dfrac{\alpha}{360\,^\circ} + 2 \cdot r$
Diese kannst du dann noch vereinfachen zu:
$\begin{array}{rl} u_{Sektor}=&2 \cdot \pi \cdot r \cdot \dfrac{\alpha}{360\,^\circ} + 2 \cdot r \\[5pt] =&2 \cdot r \cdot \left(\pi \cdot \dfrac{\alpha}{360\,^\circ} + 1\right) \end{array}$
Weiterhin ist der Radius $r = 100\,\text{m}$ und der Winkel $\alpha = 90\,^\circ$. Setzt du dies in die Formel ein, erhältst du als Ergebnis:
$\begin{array}{rl} u_{Sektor}=&2 \cdot 100\text{$\,$m} \cdot \left(\pi \cdot \dfrac{90\,^\circ}{360\,^\circ} + 1\right) \\[5pt] =&200\text{$\,$m} \cdot \left(\pi \cdot \dfrac{1}{4} + 1\right) \\[5pt] =&200\text{$\,$m} \cdot \pi \cdot \dfrac{1}{4} + 200\text{$\,$m}\cdot 1 =&50\text{$\,$m} \cdot \pi + 200\text{$\,$m} \\[5pt] \approx& 357,08\text{$\,$m} \end{array}$
Der Umfang des Baseballfeldes beträgt also $357,08\text{$\,$m}$.
3.  Berechnung der Kreis(sektor)flächen
Diese Aufgabe kannst du auf zwei Wegen lösen. Denn, wie du vielleicht erkennst, ergeben die weißen Flächen, wenn man sie alle zusammenführt, einen Kreis. Dies erspart dir eine Menge Rechenzeit, denn hier musst du nur den Flächeninhalt des Kreises $A_{Kreis}$ vom Flächeninhalt des Quadrats $A_{Quadrat}$ abziehen. Rechnerisch sieht das dann so aus:
$A_{Kreis} = \pi \cdot r^2$
$A_{Quadrat} = a^2$
$A_{Flaeche} = A_{Quadrat} - A_{Kreis}$
Die Kantenlänge $a$ ist dabei $2 \cdot r$ lang.
Aus der Skizze erfährst du, dass die Kantenlänge $a = 4 \text{$\,$cm}$ lang ist. Dementsprechend ist der Radius $r = 2 \text{$\,$cm}$, da es ja die Hälfte von $a$ ist.
So und nun musst du nur noch alle Werte einsetzen und ausrechnen:
$\begin{array}{rll} A_{Flaeche}=&A_{Quadrat}-A_{Kreis} \\[5pt] =&(a^2)-(\pi \cdot r^2) \\[5pt] =&(4\text{$\,$cm})^2-\left(\pi \cdot (2\text{$\,$cm})^2\right) \\[5pt] =&16\text{$\,$cm}^2-(\pi \cdot 4\text{$\,$cm}^2) \\[5pt] \approx& 3,43\text{$\,$cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt der gefärbten Fläche $A_{Flaeche}$ beträgt also $3,43\text{$\,$cm}^2$.
$\blacktriangleright$Alternativer Lösungsweg
Der zweite und etwas aufwendigere Weg ist, dass du wieder die Formel für die Kreissektorflächen $A_{Sektor}$ verwendest:
$A_{Sektor} = \pi \cdot r^2 \cdot \dfrac{\alpha}{360\,^\circ}$
Diese brauchst du, um den Flächeninhalt der einzelnen weißen Flächen zu berechnen und diesen dann von dem Flächeninhalt des Quadrats $A_{Quadrat}$ abzuziehen. Der Radius ist weiterhin $r = 2 \text{$\,$cm}$ und $\alpha = 90\,^\circ$. Da du insgesamt 4 dieser Flächen hast musst du also mit $4 \cdot A_{Sektor}$ rechnen. Setzt du nun wieder alle Werte ein, erhältst du als Ergebnis:
$\begin{array}{rll} A_{Sektor}=&\pi \cdot r^2 \cdot \dfrac{\alpha}{360\,^\circ}&\scriptsize \mid\; \cdot 4 \\[10pt] 4 \cdot A_{Sektor}=&4 \cdot \left(\pi \cdot (2\text{$\,$cm})^2 \cdot \dfrac{90\,^\circ}{360\,^\circ}\right) \\[5pt] =&4 \cdot \left(\pi \cdot 4\text{$\,$cm}^2 \cdot \dfrac{90\,^\circ}{360\,^\circ}\right) \\[5pt] =&4 \cdot (\pi \cdot 4\text{$\,$cm}^2 \cdot \dfrac{1}{4}) \\[5pt] =&4 \cdot (\pi \cdot 1\text{$\,$cm}^2) \\[5pt] =&4\text{$\,$cm}^2 \cdot \pi \end{array}$
$4 \cdot A_{Sektor}$ ist also $4\text{$\,$cm}^2 \cdot \pi$, was aber auch $A_{Kreis}$ entspricht. Daher ist $4\text{$\,$cm}^2 \cdot A_{Sektor} = A_{Kreis}$. So hast du also noch einmal bewiesen, dass das was du vorhin gerechnet hast wahr ist. Es ist eben nur schneller und einfacher gewesen, weil du erkannt hast, dass es ein ganzer Kreis ist, wenn man alle Teile zusammenfügt. Schau also immer bevor du eine Aufgabe startest, ob du diese vielleicht auch einfacher lösen kannst!
Berechnung des Kreis(sektor)umfangs
Um den Umfang zu berechnen kannst du entweder wieder die einfache oder aufwendigere Methode verwenden. Für die einfache Methode musst du wieder erkannt haben, dass es sich um einen vollen Kreis handelt. Dann berechnest du den Umfang des Kreises $U_{Kreis}$ der mit bekannten Formel:
$U_{Kreis} = 2 \cdot r \cdot \pi$
Der Radius $r = 2 \text{$\,$cm}$. Setzt du die Werte wieder ein erhältst du:
$\begin{array}{rll} U_{Kreis}=&2 \cdot r \cdot \pi \\[5pt] =&2 \cdot 2\text{$\,$cm} \cdot \pi \\[5pt] =&4\text{$\,$cm} \cdot \pi \\[5pt] \approx& 12,57\text{$\,$cm} \end{array}$
Der Umfang $U_{Kreis}$ ist also $12,57\text{$\,$cm}$.
$\blacktriangleright$Alternativer Lösungsweg
Der aufwendige Weg beinhaltet, dass du jeden Kreisbogen einzeln berechnest. Da du aber wieder 4 davon hast, wird sich am Ende herausstellen, dass $4 \cdot b = U_{Kreis}$. Damit erhältst du also auf beiden Wegen das selbe Ergebnis, auf der einen Art und Weise nur schneller.
4.  Berechnung der Kreissektorfläche
Du musst den Flächeninhalt der gefärbten Fläche berechnen, welcher Teil eines gleichseitigen Dreiecks ist. Dadurch weißt du, dass $\alpha = 60\,^\circ$ entspricht, da alle Winkel in einem solchen Dreieck gleichgroß sind und ein Dreieck insgesamt $180\,^\circ$ enthält. $\dfrac{180\,^\circ}{3} = 60\,^\circ$.
Kreis: Kreissektor und Kreisbogen
Kreis: Kreissektor und Kreisbogen
Um den Radius $r$, welcher auch gleichzeitig die Höhe des Dreiecks ist, zu berechnen, brauchst du den Satz des Pythagoras:
$c^2 = a^2 + b^2$
Kreis: Kreissektor und Kreisbogen
Kreis: Kreissektor und Kreisbogen
In diesem Beispiel entspricht $b$ dem gesuchten $r$. $a$ ist dabei die Hälfte von $e$ und $c$ ist die ganze Kante $e$. Dementsprechend sieht die Pythagorasgleichung für dieses Beispiel wie folgt aus:
$\begin{array}{rll} e^2=&\left(\frac{1}{2} \cdot e\right)^2 + r^2&\scriptsize \mid\; -\left(\frac{1}{2} \cdot e\right)^2 \\[5pt] r^2=&e^2 - \left(\frac{1}{2} \cdot e\right)^2 &\scriptsize \mid\; \sqrt{} \\[5pt] \sqrt{r^2}=&\sqrt{e^2 - \left(\frac{1}{2} \cdot e\right)^2} \\[5pt] r=&\sqrt{e^2 - \frac{1}{4} \cdot e^2}\\[5pt] r=&\sqrt{\frac{3}{4} \cdot e^2}\\[5pt] \end{array}$
Nun musst du nur noch das erhaltene $r$ und das $\alpha$ von oben in die Formel für die Kreissektorfläche $A_{Sektor}$ einsetzen und du erhälst den Flächeninhalt der gefärbten Fläche, abhängig von der Kantenlänge $e$.
$\begin{array}{rll} A_{Sektor}=&\pi \cdot r^2 \cdot \dfrac{\alpha}{360\,^\circ} \\[5pt] =&\pi \cdot\left(\sqrt{\frac{3}{4} \cdot e^2}\right)^2 \cdot \dfrac{60\,^\circ}{360\,^\circ} \\[5pt] =&\dfrac{1}{6} \pi \cdot \frac{3}{4} \cdot e^2 \end{array}$
Somit erhältst du also $A_{Sektor} = \dfrac{1}{6} \pi \cdot \frac{3}{4} \cdot e^2$, was abhängig von $e$ ist.
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