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Kathetensatz

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Rechtwinkliges Dreieck: Kathetensatz
Abb. 1: Der Kathetensatz als Skizze.
Rechtwinkliges Dreieck: Kathetensatz
Abb. 1: Der Kathetensatz als Skizze.
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Einführung

Rechtwinkliges Dreieck: Kathetensatz
Abb. 1: Modernes Kunstwerk.
Rechtwinkliges Dreieck: Kathetensatz
Abb. 1: Modernes Kunstwerk.
Doch wie helfen diese Strecken Julia dabei, die Länge der Metallstreben abschätzen zu können? Da fällt ihr ein, dass sie den Kathetensatz anwenden kann, um die Länge der Metallstreben zu berechnen.

Erklärung

Die Höhe $h_c$ teilt die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks in zwei Hypotenusenabschnitte $p$ und $q$. Der Kathetensatz besagt, dass das Quadrat über der Kathete $a^2$ (bzw. $b^2$) ebenso groß ist, wie das Rechteck, dessen Seiten von der Hypotenuse $c$ und dem Hypotenusenabschnitt $p$ (bzw. $q$) gebildet werden. In Formeln ausgedrückt, heißt das:
$a^2=c\cdot p \quad\quad b^2=c \cdot q$
Mit dem Kathetensatz kannst du auch überprüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist. Ist der Kathetensatz in einem Dreieck gültig, so ist es rechtwinklig.
In der Abbildung 2 siehst du, dass jeweils ein Quadrat und ein Rechteck die selbe Farbe haben. Die Flächen der gleichfarbigen Vierecke sind nach dem Kathetensatz jeweils gleich groß. So hat das orange Quadrat über der Kathete $b$ den gleichen Flächeninhalt wie das orange Rechteck, dass als Seitenlängen die Hypotenuse $c$ und den Hypotenusenabschnitt $q$ hat. Entsprechend gilt, dass das grüne Quadrat über der Kathete $a$ gleich groß ist, wie das grüne Rechteck. Das grüne Rechteck hat als Seitenlängen die Hypotenuse $c$ und den Hypotenusenabschnitt $p$.
Rechtwinkliges Dreieck: Kathetensatz
Abb. 2: Der Kathetensatz als Skizze.
Rechtwinkliges Dreieck: Kathetensatz
Abb. 2: Der Kathetensatz als Skizze.
Rechtwinkliges Dreieck: Kathetensatz
Abb. 3: Die Höhe teilt das Dreieck in zwei weitere Dreiecke. Diese zwei Dreiecke sind ähnlich zu dem ursprünglichen Dreieck.
Rechtwinkliges Dreieck: Kathetensatz
Abb. 3: Die Höhe teilt das Dreieck in zwei weitere Dreiecke. Diese zwei Dreiecke sind ähnlich zu dem ursprünglichen Dreieck.
In ähnlichen Dreiecken sind die Seitenverhältnisse gleich. Das Verhältnis der Hypotenuse zur Ankathete der beiden Dreiecke ist demnach gleich. Die Ankathete ist ein Begriff, der sich immer auf einen bestimmten Winkel bezieht. So ist in dem Dreieck $ADC$ beispielsweise die Strecke $q$ die Ankathete zu dem Winkel $\alpha$. Es gilt:
$\dfrac{b}{q}=\dfrac{c}{b}$
Formst du diese Gleichung nach $b$ um, erhältst du eine Formel des Kathetensatzes.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{b}{q}&=&\dfrac{c}{b} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot q \\[5pt] b&=&\dfrac{c}{b}\cdot q&\quad \scriptsize \mid\;\cdot b \\[5pt] b^2&=& c\cdot q \end{array}$
Die Dreiecke $BCD$ und $ABC$ haben außer einem rechten Winkel die Seite $\boldsymbol{a}$ und den Winkel $\boldsymbol{\beta}$ gemeinsam. Diese Dreiecke sind somit auch ähnlich. Du kannst also genauso vorgehen, wie bei der Berechnung der Strecke $b$.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{a}{p}&=&\dfrac{c}{a} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot p \\[5pt] a&=&\dfrac{c}{a}\cdot p&\quad \scriptsize \mid\;\cdot a \\[5pt] a^2&=& c\cdot p \end{array}$

Beispiel

Rechtwinkliges Dreieck: Kathetensatz
Abb. 4: Die Abmessungen von Julia.
Rechtwinkliges Dreieck: Kathetensatz
Abb. 4: Die Abmessungen von Julia.
Mit diesen Informationen kann sie die Längen $a$ und $b$ der Metallstreben berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} a^2&=& c\cdot p&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] a&=&\sqrt{c\cdot p}\\[5pt] a&=& \sqrt{9\,\text{m}\cdot5\,\text{m}}\\[5pt] a&=& \sqrt{45\,\text{m}^2}\\[5pt] a&\approx& 6,7\,\text{m} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} b^2&=& c\cdot q&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] b&=&\sqrt{c\cdot q}\\[5pt] b&=& \sqrt{9\,\text{m}\cdot4\,\text{m}}\\[5pt] b&=& \sqrt{36\,\text{m}^2}\\[5pt] b&=& 6\,\text{m} \end{array}$
Eine Metallstrebe hat eine Länge von ca. $6,7\,\text{m}$ und die andere eine von $6\,\text{m}$.
Bildnachweise [nach oben]
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Bearbeite die folgenden Aufgaben.
Rechtwinkliges Dreieck: Kathetensatz
Rechtwinkliges Dreieck: Kathetensatz
1.
Fülle den Lückentext aus:
Der Kathetensatz gilt für ___________________ Dreiecke.
Die Höhe teilt die _____________________ in die zwei Abschnitte $p$ und $q$.
Die Rechtecksfläche, welche die Hypotenuse und den Hypotenusenabschnitt als Seiten hat, ist so groß wie das ____________________.
2.
Ein rechtwinkliges Dreiecks hat eine $6\,\text{cm}$ lange Hypotenuse. Die Höhe teilt die Hypotenuse in zwei Abschnitte $q=3,84\,\text{cm}$ und $p=2,16\,\text{cm}$.
Wie groß sind die Katheten $a$ und $b$?
3.
Rechtwinkliges Dreieck: Kathetensatz
Rechtwinkliges Dreieck: Kathetensatz
4.
Herr Maier möchte sein Grundstück umzäunen. Es hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks und wird durch einen Weg geteilt (siehe Skizze). Die Strecke $\overline{AB}$ ist $9$ m und die Strecke $\overline{BC}$ ist $6\,\text{m}$ lang. Welchen Umfang hat das Grundstück?
Rechtwinkliges Dreieck: Kathetensatz
Rechtwinkliges Dreieck: Kathetensatz
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1.
Lückentext ausfüllen.
Der Kathetensatz gilt für rechtwinklige Dreiecke.
Die Höhe teilt die Hypotenuse in die zwei Abschnitte $p$ und $q$.
Die Rechtecksfläche, welche die Hypotenuse und den Hypotenusenabschnitt als Seiten hat, ist so groß wie das Quadrat über der Kathete.
2.
Katheten a und b berechnen
$\blacktriangleright$ Länge der Kathete a berechnen
$\begin{array}{rll} a^2&=&c\cdot p &\scriptsize\;\text{Einsetzen}\\[2pt] a^2&=&(6\,\text{cm})\cdot (2,16\,\text{cm})\\[2pt] a^2&=&12,96\,\text{cm}^2 &\scriptsize\mid\;\sqrt{\;}\\[2pt] a&=&3,6\,\text{cm} \end{array}$
Die Kathete $a$ ist $3,6$ cm lang.
$\blacktriangleright$ Länge der Kathete b berechnen
$\begin{array}{rll} b^2&=&c\cdot q &\scriptsize\;\text{Einsetzen}\\[2pt] b^2&=&(6\,\text{cm})\cdot (3,84\,\text{cm})\\[2pt] b^2&=&23,04\,\text{cm}^2 &\scriptsize\mid\;\sqrt{\;}\\[2pt] b&=&4,8\,\text{cm} \end{array}$
Die Kathete $b$ ist $4,8$ cm lang.
3.
Entfernung zwischen Ufer $\boldsymbol{C}$ und $\boldsymbol{D}$ berechnen
Die Entfernung zwischen Ufer $C$ und $D$ ist nichts anderes als die Länge des Hypotenusenabschnittes $p$. Die Strecke $\overline{CD}$ entspricht dem Hypotenusenabschnitt $p$, die Strecke $\overline{CA}$ entspricht der Hypotenuse $c$ und die Strecke $\overline{CB}$ entspricht der Kathete $a$.
$\begin{array}{rll} a^2&=&c\cdot p &\scriptsize\;\text{Einsetzen}\\[2pt] \overline{CB} ^2&=&\overline{CA}\cdot \overline{CD}\\[2pt] (5\,\text{km})^2&=&7\,\text{km}\cdot p\\[2pt] 25\,\text{km}^2&=&7\,\text{km}\cdot p &\scriptsize\mid\;:7\,\text{km}\\[2pt] p&=&\frac{25\,\text{km}^2}{7\,\text{km}}\\[2pt] p&\approx&3,57\,\text{km} \end{array}$
Die Ufer $C$ und $D$ sind ca. $3,57$ km voneinander entfernt.
4.
Umfang des Grundstücks berechnen
Um den Umfang des Dreiecks berechnen zu können, musst du zuerst die Länge der Katheten bestimmen.
Dazu kannst du die Länge der Hypotenuse berechnen. Anschließend kannst du die Länge der Katheten $a$ und $b$ ermitteln.
1. Schritt: Länge der Hypotenuse bestimmen
Die Länge der Hypotenuse entspricht der Länge der Strecke $\overline{CA}$.
Die Länge dieser Seite $\overline{CA}$ berechnest du wie folgt:
$\begin{array}{rll} \overline{CA}&=&\overline{AB}+\overline{BC}\\[2pt] \overline{CA}&=&9\,\text{m}+6\,\text{m}\\[2pt] \overline{CA}&=&15\,\text{m}\\[2pt] \end{array}$
Die Hypotenuse hat eine Länge von $15$ m.
2. Schritt: Länge der Katheten bestimmen
$\blacktriangleright$ Länge der Kathete a bestimmen
Die Länge der Kathete $a$ berechnest du nun am besten mit dem Kathetensatz.
$\begin{array}{rll} a^2&=&c\cdot p\\[2pt] a^2&=&\overline{CA}\cdot \overline{AB} &\scriptsize\;\text{Einsetzen}\\[2pt] a^2&=&15\,\text{m}\cdot 9\,\text{m}\\[2pt] a^2&=&135\,\text{m}^2 &\scriptsize\mid\;\sqrt{\;}\\[2pt] a&≈&11,62\,\text{m} \end{array}$
Die Kathete $a$ hat eine Länge von $11,62$ m.
$\blacktriangleright$ Länge der Kathete b bestimmen
Die Länge der Kathete $a$ berechnest du nun am besten mit dem Kathetensatz.
$\begin{array}{rll} b^2&=&c\cdot q\\[2pt] b^2&=&\overline{CA}\cdot \overline{BC} &\scriptsize\;\text{Einsetzen}\\[2pt] b^2&=&15\,\text{m}\cdot 6\,\text{m}\\[2pt] b^2&=&90\,\text{m}^2 &\scriptsize\mid\;\sqrt{\;}\\[2pt] b&≈&9,49\,\text{m} \end{array}$
Die Kathete $b$ hat eine Länge von $9,49$ m.
3. Schritt: Umfang des Dreiecks bestimmen
Um nun den Umfang des Dreiecks zu erhalten, musst du nur noch die Längen aller Seiten addieren:
$\begin{array}{rll} U&=&\overline{AB}+\overline{BC}+a+b\\[2pt] U&=&9\,\text{m}+6\,\text{m}+11,62\,\text{m}+9,49\,\text{m}\\[2pt] U&=&36,11\,\text{m} \end{array}$
$ U=36,11\,\text{m} $
Das Grundstück hat einen Umfang von $36,11$ m.
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