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Sinus, Kosinus und Tangens

Spickzettel
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Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Kosinus und Tangens
Abb. 1: Rechtwinkliges Dreieck.
Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Kosinus und Tangens
Abb. 1: Rechtwinkliges Dreieck.
Bildnachweise
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Einführung

Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Kosinus und Tangens
Abb. 1: Die geplante Seilbahn im Hochseilgarten.
Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Kosinus und Tangens
Abb. 1: Die geplante Seilbahn im Hochseilgarten.

Erklärung

Philipp fragt seinen Lehrer, wie er die Länge des Seils berechnen kann. Der Lehrer erklärt ihm die trigonometrischen Beziehungen. Mit Hilfe der trigonometrischen Beziehungen kannst du in einem rechtwinkligen Dreieck verschiedene Seitenlängen oder Winkel berechnen.
Um die Seitenlängen bzw. die Winkel berechnen zu können, musst du zunächst ein paar Begriffe kennen. Den Begriff der Hypotenuse und den der Kathete kennst du vielleicht schon. Die Hypotenuse ist die Seite eines Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüber liegt, die Katheten schließen den rechten Winkel ein. Bei den Katheten unterscheidet man zwischen der Ankathete und der Gegenkathete. Eine Ankathete grenzt an einen bestimmten Winkel, zum Beispiel an den Winkel $\alpha$. Die Seite, die dem Winkel gegenüber liegt, ist dementsprechend die Gegenkathete von $\alpha$ (Abbildung 2).
Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Kosinus und Tangens
Abb. 2: Rechtwinkliges Dreieck.
Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Kosinus und Tangens
Abb. 2: Rechtwinkliges Dreieck.
Zu den trigonometrischen Funktionen, auch Winkelfunktionen genannt, zählen der Sinus ($\sin$), der Kosinus ($\cos$) und der Tangens ($\tan$). Mit Hilfe dieser Winkelfunktionen kannst du die Seitenlängen oder die Winkel eines Dreiecks berechnen. In einem rechtwinkligen Dreieck gelten folgende Beziehungen:
Trigonometrische Beziehungen
$\begin{array}{rll} \text{Sinus eines Winkels}&=&\dfrac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}} \end{array}$
$\begin{array}{rll} \text{Kosinus eines Winkels}&=&\dfrac{\text{Ankathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}} \end{array}$
$\begin{array}{rll} \text{Tangens eines Winkels}&=&\dfrac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Ankathete des Winkels}} \end{array}$
Trigonometrische Beziehungen
$\scriptsize{\begin{array}{rll} \text{Sinus eines Winkels}&=&\frac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}} \end{array}}$
$\scriptsize{\begin{array}{rll} \text{Kosinus eines Winkels}&=&\frac{\text{Ankathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}} \end{array}}$
$\scriptsize{\begin{array}{rll} \text{Tangens eines Winkels}&=&\frac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Ankathete des Winkels}} \end{array}}$

Beispiel

Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Kosinus und Tangens
Abb. 3: Der Hochseilgarten als Skizze.
Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Kosinus und Tangens
Abb. 3: Der Hochseilgarten als Skizze.
Philipp schaut sich die Formeln der trigonometrischen Beziehungen nochmal an. Er sieht, dass er mit den gegebenen Werten die Hypotenuse nur mit dem Kosinus berechnen kann. Da er die Länge der Hypotenuse berechnen will, stellt er die Formel zunächst um und setzt dann die Werte ein.
$\begin{array}[t]{rll} \cos\alpha&=&\dfrac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}} \\[5pt] \cos\alpha&=&\dfrac{a}{c} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot c\\[5pt] c\cdot\cos\alpha&=& a &\quad \scriptsize \mid\; :\cos\alpha\\[5pt] c&=&\dfrac{a}{\cos\alpha} \\[5pt] c&=&\dfrac{20\,\text{m}}{\cos10^{\circ}} \\[5pt] c&\approx& 20,3\,\text{m} \end{array}$
$ \cos\alpha=\dfrac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}} $
Nun weiß Philipp, dass das Seil der Seilbahn etwa $20,3\,\text{m}$ lang ist. Sobald der Hochseilgarten fertig gebaut ist, will er die Seilbahn sofort testen.
Bildnachweise [nach oben]
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Bearbeite die folgenden Aufgaben.
Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Kosinus und Tangens
Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Kosinus und Tangens
1.
Stelle $\boldsymbol{x}$ in Abhängigkeit von $\boldsymbol{y}$ und $\boldsymbol{\alpha}$ dar
b)
Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Kosinus und Tangens
Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Kosinus und Tangens
d)
Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Kosinus und Tangens
Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Kosinus und Tangens
2.
Berechne die fehlenden Winkel und Seiten des rechtwinkligen Dreiecks (siehe Skizze)
a)
$c=4 \text{cm}$, $\alpha=40\,^\circ$
b)
$a=3 \text{cm}$, $\beta=20\,^\circ$
c)
$a=4 \text{cm}$, $b=8\text{cm}$
3.
Betrachte das Dreieck in der Skizze und berechne $\boldsymbol{\sin\alpha, \sin\beta, \cos\alpha, \cos\beta, \tan\alpha}$ und $\boldsymbol{\tan\beta}$ für die folgenden Werte
a)
$a=18, b=15, 12$
b)
$a=8, b=4, c=8,95$
c)
$a=33, b=44, c=55$
4.
Berechne die fehlenden Größen
Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Kosinus und Tangens
Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Kosinus und Tangens
a)
$n=40\; \text{mm}$, $h=30\; \text{mm}$
b)
$\alpha = 70°$, $m=49\;\text{mm}$
c)
$b=20\; \text{cm}$, $m=6\;\text{cm}$
5.
Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Kosinus und Tangens
Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Kosinus und Tangens
6.
Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Kosinus und Tangens
Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Kosinus und Tangens
7.
Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Kosinus und Tangens
Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Kosinus und Tangens
8.
Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Kosinus und Tangens
Abb. 1: Baldwin Street
Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Kosinus und Tangens
Abb. 1: Baldwin Street
9.
Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Kosinus und Tangens
Abb. 2: Berliner Fernsehturm
Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Kosinus und Tangens
Abb. 2: Berliner Fernsehturm
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Lösungen
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1.
$x$ in Abhängigkeit von $y$ und $\alpha$ darstellen
a)
$cos \, \alpha=\dfrac{y}{x}$
b)
$sin \, \alpha=\dfrac{x}{y}$
c)
$tan \, \alpha=\dfrac{x}{y}$
d)
$cos \, \alpha=\dfrac{x}{y}$
2.
Fehlende Seiten und Winkel berechnen
a)
$c=4\,\text{cm}$, $\alpha=40\,^\circ$
1. Schritt: Länge der Katheten $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ bestimmen
$\blacktriangleright$ Länge der Gegenkathete $a$ mit Hilfe des Kathetensatzes bestimmen
$\begin{array}{rll} \sin\alpha&=&\frac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}\\[2pt] \sin\alpha&=&\frac{a}{c} &\scriptsize\;\text{einsetzen}\\[2pt] \sin(40\,^\circ)&=&\frac{a}{4\,\text{cm}} &\scriptsize\mid\; \cdot 4\,\text{cm}\\[2pt] a&=&\sin(40\,^\circ)\cdot 4\,\text{cm} &\\[2pt] a&≈&2,57\,\text{cm} \end{array}$
$ a\approx2,57\,\text{cm} $
Die Gegenkathete $a$ ist $2,57\,\text{cm}$ lang.
$\blacktriangleright$ Länge der Ankathete $b$ des Winkels $\alpha$ mit Hilfe des Kosinus bestimmen
$\begin{array}{rll} \cos\alpha&=&\frac{\text{Ankathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}\\[2pt] \cos\alpha&=&\frac{b}{c} &\scriptsize\text{einsetzen}\\[2pt] \cos(40\,^\circ)&=&\frac{b}{4\,\text{cm}} &\scriptsize\mid\; \cdot 4\,\text{cm}\\[2pt] b&=&\cos(40\,^\circ)\cdot 4\,\text{cm} &\\[2pt] b&≈&3,06\,\text{cm} \end{array}$
$ b\approx3,06\,\text{cm}$
Die Ankathete $b$ hat eine Länge von $3,06\,\text{cm}$.
2. Schritt: Winkel $\boldsymbol{\beta}$ über die Winkelsumme bestimmen
$\begin{array}{rll} 180\,^\circ&=&90\,^\circ+\alpha+\beta &\scriptsize\;\text{einsetzen}\\[2pt] 180\,^\circ&=&90\,^\circ+40\,^\circ+\beta \\[2pt] 180\,^\circ&=&130\,^\circ+\beta &\scriptsize\mid\; -130\,^\circ\\[2pt] \beta&=&180\,^\circ-130\,^\circ&\\[2pt] \beta&=&50\,^\circ \end{array}$
Der Winkel $\beta$ hat eine Größe von \(50\,^\circ\).
b)
$a=3\,\text{cm}$, $\beta=20\,^\circ$
1. Schritt: Die Seiten $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{c}$ berechnen
$\blacktriangleright$ Länge der Hypotenuse $c$ mit Hilfe des Kosinus bestimmen
$\begin{array}{rll} \cos\beta&=&\frac{\text{Ankathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}\\[2pt] \cos\beta&=&\frac{a}{c} &\scriptsize\;\text{einsetzen}\\[2pt] \cos(20\,^\circ)&=&\frac{3\,\text{cm}}{c} &\scriptsize\mid\; \cdot c\\[2pt] \cos(20\,^\circ)\cdot c&=&3\,\text{cm} &\scriptsize\mid\; :\cos(20\,^\circ)\\[2pt] c&=&\frac{3\,\text{cm}}{\cos(20\,^\circ)}\\[2pt] c&≈&3,19\,\text{cm} \end{array}$
$ c\approx3,19\,\text{cm} $
Die Seite $c$ ist $3,19\,\text{cm}$ lang.
$\blacktriangleright$ Länge der Gegenkathete $b$ des Winkels $\beta$ mit Hilfe des Sinus bestimmen
$\begin{array}{rll} \sin\beta&=&\frac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}\\[2pt] \sin\beta&=&\frac{b}{c} &\scriptsize\;\text{einsetzen}\\[2pt] \sin(20\,^\circ)&=&\frac{b}{3,19\,\text{cm}} &\scriptsize\mid\; \cdot 3,19\,\text{cm}\\[2pt] b&=&\sin(20\,^\circ)\cdot3,19\,\text{cm} \\[2pt] b&≈&1,09\,\text{cm} \end{array}$
$ b\approx1,09\,\text{cm} $
Die Gegenkathete $b$ hat eine Länge von $1,09\,\text{cm}$.
2. Schritt: Winkel $\boldsymbol{\alpha}$ über die Winkelsumme bestimmen
$\begin{array}{rll} 180\,^\circ&=&90\,^\circ+\alpha+\beta &\scriptsize\;\text{einsetzen}\\[2pt] 180\,^\circ&=&90\,^\circ+\alpha+20\,^\circ \\[2pt] 180\,^\circ&=&110\,^\circ+\alpha &\scriptsize\mid\; -110\,^\circ\\[2pt] \alpha&=&180\,^\circ-110\,^\circ&\\[2pt] \alpha&=&70\,^\circ \end{array}$
Der Winkel $\alpha$ hat eine Größe von \(70\,^\circ\).
c)
$a=4\,\text{cm}$, $b=8\,\text{cm}$
1. Schritt: Winkel $\boldsymbol{\alpha}$ mit Hilfe des Tangens bestimmen
$\begin{array}{rll} \tan\alpha&=&\frac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Ankathete des Winkels}}\\[2pt] \tan\alpha&=&\frac{a}{b} &\scriptsize\;\text{einsetzen}\\[2pt] \tan\alpha&=&\frac{4\,\text{cm}}{8\,\text{cm}} \\[2pt] \alpha&=&0,5 &\scriptsize\mid \tan^{-1}(\;)\\[2pt] \alpha&=&\tan^{-1}(0,5)\\[2pt] \alpha&≈&26,57\,^\circ \end{array}$
$ \alpha\approx26,57\,^\circ $
Der Winkel $\alpha$ hat eine Größe von $26, 57\,^\circ$.
2. Schritt: Winkel $\boldsymbol{\beta}$ über die Winkelsumme bestimmen
$\begin{array}{rll} 180\,^\circ&=&90\,^\circ+\alpha+\beta &\scriptsize\;\text{einsetzen}\\[2pt] 180\,^\circ&=&90\,^\circ+26,57\,^\circ+\beta \\[2pt] 180\,^\circ&=&116,57\,^\circ+\beta &\scriptsize\mid -116,57\,^\circ\\[2pt] \beta&=&180\,^\circ-116,57\,^\circ\\[2pt] \beta&=&63,43\,^\circ \end{array}$
$ \beta=63,43\,^\circ $
Der Winkel $\beta$ hat eine Größe von \(63,43\,^\circ\).
3. Schritt: Hypotenuse $\boldsymbol{c}$ mit Hilfe des Sinus bestimmen
$\begin{array}{rll} \sin\alpha&=&\frac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}\\[2pt] \sin\alpha&=&\frac{a}{c} &\scriptsize\;\text{einsetzen}\\[2pt] \sin(26,57\,^\circ)&=&\frac{4\,\text{cm}}{c} &\scriptsize\mid\; \cdot c\\[2pt] \sin(26,57\,^\circ)\cdot c&=&4\,\text{cm} &\scriptsize \mid\; :\sin(26,57\,^\circ)\\[2pt] c&=&\frac{4\,\text{cm}}{\sin(26,57\,^\circ)}\\[2pt] c&≈&8,94\,\text{cm} \end{array}$
$ c\approx8,94\,\text{cm} $
Die Seite $c$ ist $8,94\,\text{cm}$ lang.
3.
Werte berechnen
a)
$a = 18$, $b = 15,12$
$\begin{array}[t]{rll} \tan\alpha&=&\frac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Ankathete des Winkels}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \tan\alpha&=&\frac{a}{b} &\quad \scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] \tan\alpha&=&\frac{18}{15,12} &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}() \\[5pt] \alpha&=&\tan^{-1}(\frac{18}{15,12}) &\quad \scriptsize \\[5pt] \alpha&\approx&50° \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \tan\beta&=&\frac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Ankathete des Winkels}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \tan\beta&=&\frac{b}{a} &\quad \scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] \tan\beta&=&\frac{15,12}{18} &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}() \\[5pt] \beta&=&\tan^{-1}(\frac{15,12}{18}) &\quad \scriptsize \\[5pt] \beta&\approx&40° \end{array}$
b)
$a = 8$, $b = 4$ , $c = 8,95$
$\begin{array}[t]{rll} \sin\alpha&=&\frac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \sin\alpha&=&\frac{a}{c} &\quad \scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] \sin\alpha&=&\frac{8}{8,95} &\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1}() \\[5pt] \alpha&=&\sin^{-1}(\frac{8}{8,95}) &\quad \scriptsize \\[5pt] \alpha&\approx&63,4° \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \sin\beta&=&\frac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \sin\beta&=&\frac{b}{c} &\quad \scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] \sin\beta&=&\frac{4}{9} &\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1}() \\[5pt] \beta&=&\sin^{-1}(\frac{4}{9}) &\quad \scriptsize \\[5pt] \beta&\approx&26,5° \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \cos\alpha&=&\frac{\text{Ankathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \cos\alpha&=&\frac{b}{c} &\quad \scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] \cos\alpha&=&\frac{4}{8,95} &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}() \\[5pt] \alpha&=&\cos^{-1}(\frac{4}{8,95}) &\quad \scriptsize \\[5pt] \alpha&\approx&63,4° \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \cos\beta&=&\frac{\text{Ankathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \cos\beta&=&\frac{a}{c} &\quad \scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] \cos\beta&=&\frac{8}{8,95} &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}() \\[5pt] \beta&=&\cos^{-1}(\frac{8}{8,95}) &\quad \scriptsize \\[5pt] \beta&\approx&26,6° \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \tan\alpha&=&\frac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Ankathete des Winkels}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \tan\alpha&=&\frac{a}{b} &\quad \scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] \tan\alpha&=&\frac{8}{4} &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}() \\[5pt] \alpha&=&\tan^{-1}(\frac{8}{4}) &\quad \scriptsize \\[5pt] \alpha&\approx&63,4° \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \tan\beta&=&\frac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Ankathete des Winkels}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \tan\beta&=&\frac{b}{a} &\quad \scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] \tan\beta&=&\frac{4}{8} &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}() \\[5pt] \beta&=&\tan^{-1}(\frac{4}{8}) &\quad \scriptsize \\[5pt] \beta&\approx&26,6° \end{array}$
c)
$a = 33$, $b = 44$, $c=55$
$\begin{array}[t]{rll} \sin\alpha&=&\frac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \sin\alpha&=&\frac{a}{c} &\quad \scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] \sin\alpha&=&\frac{33}{55} &\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1}() \\[5pt] \alpha&=&\sin^{-1}(\frac{33}{55}) &\quad \scriptsize \\[5pt] \alpha&\approx&36,9° \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \sin\beta&=&\frac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \sin\beta&=&\frac{b}{c} &\quad \scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] \sin\beta&=&\frac{44}{55} &\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1}() \\[5pt] \beta&=&\sin^{-1}(\frac{44}{55}) &\quad \scriptsize \\[5pt] \beta&\approx&53,1° \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \cos\alpha&=&\frac{\text{Ankathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \cos\alpha&=&\frac{b}{c} &\quad \scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] \cos\alpha&=&\frac{44}{55} &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}() \\[5pt] \alpha&=&\cos^{-1}(\frac{44}{55}) &\quad \scriptsize \\[5pt] \alpha&\approx&36,9° \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \cos\beta&=&\frac{\text{Ankathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \cos\beta&=&\frac{a}{c} &\quad \scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] \cos\beta&=&\frac{33}{55} &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}() \\[5pt] \beta&=&\cos^{-1}(\frac{33}{55}) &\quad \scriptsize \\[5pt] \beta&\approx&53,1° \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \tan\alpha&=&\frac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Ankathete des Winkels}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \tan\alpha&=&\frac{a}{b} &\quad \scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] \tan\alpha&=&\frac{33}{44} &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}() \\[5pt] \alpha&=&\tan^{-1}(\frac{33}{44}) &\quad \scriptsize \\[5pt] \alpha&\approx&36,9° \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \tan\beta&=&\frac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Ankathete des Winkels}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \tan\beta&=&\frac{b}{a} &\quad \scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] \tan\beta&=&\frac{44}{33} &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}() \\[5pt] \beta&=&\tan^{-1}(\frac{44}{33}) &\quad \scriptsize \\[5pt] \beta&\approx&53,1° \end{array}$
4
Fehlende Größen berechnen
a)
$n = 40 \, \text{mm}$, $h = 30 \, \text{mm}$
Die Länge der Seite $a$ kannst du über den Satz des Pythagoras berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} a^2&=&n^2 + h^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] a^2&=&(40 \, \text{mm})^2 + (30 \, \text{mm})^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] a^2&=&2500 \, \text{mm}^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] a&=&50 \, \text{mm} \end{array}$
Die Seitenlänge von $a$ beträgt $50 \, \text{mm}$.
Den Winkel $\beta$ kannst du über eine der Winkelfunktionen berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \sin\beta&=&\frac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \sin\beta&=&\frac{h}{a} &\quad \scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] \sin\beta&=&\frac{30 \, \text{mm}}{50 \, \text{mm}} &\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1}()\\[5pt] \beta&=&\sin^{-1}(\frac{30 \, \text{mm}}{50 \, \text{mm}} ) &\quad \scriptsize \\[5pt] \beta&\approx&36,9° \end{array}$
Der Winkel $\beta$ hat eine Größe von $36,9°$.
Die Länge der Hypotenuse $c$ (in unserem Fall ist $c = m + n$) kannst du über den Kosinus bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} \cos\beta&=&\frac{\text{Ankathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \cos\beta&=&\frac{a}{c} &\quad \scriptsize \\[5pt] \cos(36,9\,^\circ)&=&\frac{50\,\text{mm}}{c}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot c \\[5pt] \cos(36,9\,^\circ)\cdot c&=&50\,\text{mm} &\scriptsize\mid\; :\cos(36,9\,^\circ)\\[2pt] c&=&\frac{50\,\text{mm}}{\cos(36,9\,^\circ)}\\[2pt] c&≈&62,5\,\text{mm} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} c&=&m+n &\quad \scriptsize \\[5pt] 62,5\,\text{mm}&=&m + 30\,\text{mm} &\quad \scriptsize \mid\; - 30 \, \text{mm}\\[5pt] 62,5\,\text{mm}- 30\,\text{mm}&=&m &\quad \scriptsize \\[5pt] 32,5\,\text{mm}&=&m \end{array}$
Die Seite $m$ ist $32,5 \, \text{mm}$ lang.
Die Länge der Seite $b$ kannst du über den Satz des Pythagoras berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} a^2 + b^2&=& c^2&\quad \scriptsize \mid\; -a^2\\[5pt] b^2&=&c^2 - a^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] b^2&=&(62,5 \,\text{mm})^2 - (50 \,\text{mm})^2&\quad \scriptsize \\[5pt] b^2&=&1406 \,\text{mm}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{;} \\[5pt] b&\approx&37,5 \,\text{mm} \end{array}$
Die Seite $b$ hat eine Länge von $37,5\,\text{mm}$.
Jetzt kannst du noch den Winkel $\alpha$ mit einer der drei Winkelfunktionen berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \sin\alpha&=&\frac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \sin\alpha&=&\frac{a}{c} &\quad \scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] \sin\alpha&=&\frac{50 \,\text{mm} }{62,5 \,\text{mm}} &\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1}() \\[5pt] \alpha&=&\sin^{-1}(\frac{50 \,\text{mm} }{62,5 \,\text{mm}}) &\quad \scriptsize \\[5pt] \alpha&\approx&53,1° \end{array}$
Der Winkel $\alpha$ ist $53,1°$ groß.
b)
$\alpha=70°$, $m=49 \, \text{mm}$
Die Länge der Seite $b$ kannst du mit Hilfe des Kosinus bestimmen.
$\begin{array}{rll} \cos\alpha&=&\frac{\text{Ankathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}\\[2pt] \cos\alpha&=&\frac{m}{b} &\scriptsize\;\text{einsetzen}\\[2pt] \cos(70\,^\circ)&=&\frac{49\,\text{mm}}{b} &\scriptsize\mid\; \cdot b\\[2pt] \cos(70\,^\circ)\cdot b&=&49\,\text{mm} &\scriptsize\mid\; :\cos(70\,^\circ)\\[2pt] b&=&\frac{49\,\text{cm}}{\cos(70\,^\circ)}\\[2pt] b&≈&143,3\,\text{mm} \end{array}$
Die Seite $b$ hat eine Länge von $143,3 \,\text{mm}$.
Die Länge der Höhe $h$ kannst du über den Satz des Pythagoras berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} a^2 + b^2&=& c^2&\quad \scriptsize \mid\; -a^2\\[5pt] b^2&=&c^2 - a^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] b^2&=&(143,3 \,\text{mm})^2 - (49 \,\text{mm})^2&\quad \scriptsize \\[5pt] b^2&=&18.048 \,\text{mm}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{;} \\[5pt] b&\approx&134,3\,\text{mm} \end{array}$
Die Höhe $h$ hat eine Länge von $134,3\,\text{mm}$.
Die Länge der Hypotenuse $c$ (in unserem Fall ist $c = m + n$) kannst du über den Kosinus bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} \cos\alpha&=&\frac{\text{Ankathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \cos\alpha&=&\frac{b}{c} &\quad \scriptsize \\[5pt] \cos(70\,^\circ)&=&\frac{143,3\,\text{mm}}{c}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot c \\[5pt] \cos(70\,^\circ)\cdot c&=&143,3\,\text{mm} &\scriptsize\mid\; :\cos(70\,^\circ)\\[2pt] c&=&\frac{143,3\,\text{mm}}{\cos(70\,^\circ)}\\[2pt] c&≈&419\,\text{mm} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} c&=&m+n &\quad \scriptsize \\[5pt] 419\,\text{mm}&=&49\,\text{mm} + n&\quad \scriptsize \mid\; - 30 \, \text{mm}\\[5pt] 419\,\text{mm}- 49\,\text{mm}&=&m &\quad \scriptsize \\[5pt] 370\,\text{mm}&=&m \end{array}$
Die Seite $n$ hat eine Länge von $370 \, \text {mm}$.
Die Länge der Seite $a$ kannst du über den Satz des Pythagoras ausrechnen.
$\begin{array}[t]{rll} a^2 + b^2&=& c^2&\quad \scriptsize \mid\; -a^2\\[5pt] a^2&=&c^2 - b^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] a^2&=&(419 \,\text{mm})^2 - (143,3\,\text{mm})^2&\quad \scriptsize \\[5pt] b^2&\approx&155.026 \,\text{mm}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{;} \\[5pt] b&\approx&393,7\,\text{mm} \end{array}$
Die Seite $a$ hat eine Länge von $393,7 \,\text{mm}$. Jetzt kannst du noch den Winkel $\beta$ mit einer der drei Winkelfunktionen berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \sin\beta&=&\frac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \sin\beta&=&\frac{b}{c} &\quad \scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] \sin\beta&=&\frac{143,3\,\text{mm} }{419 \,\text{mm}} &\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1}() \\[5pt] \beta&=&\sin^{-1}(\frac{143,3 \,\text{mm} }{419 \,\text{mm}}) &\quad \scriptsize \\[5pt] \beta&\approx&20° \end{array}$
Der Winkel $\beta$ ist $20°$ groß.
c)
$b=20 \, \text{cm}$, $m=6 \, \text{cm}$
Die Länge der Höhe $h$ kannst du mit dem Satz des Pythagoras ausrechnen.
$\begin{array}[t]{rll} h^2 + m^2&=& b^2&\quad \scriptsize \mid\; -a^2\\[5pt] h^2&=&b^2 - m^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] h^2&=&(20 \,\text{cm})^2 - (6\,\text{cm})^2&\quad \scriptsize \\[5pt] h^2&=&364 \,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{;} \\[5pt] h&\approx&19\,\text{cm} \end{array}$
Die Höhe $h$ ist $19 \, \text{cm}$ lang.
Die Größe des Winkels $\alpha$ kannst du mit einer der drei Winkelfunktionen ausrechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \sin\alpha&=&\frac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \sin\alpha&=&\frac{h}{b} &\quad \scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] \sin\alpha&=&\frac{19 \, \text{cm}}{20 \, \text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1}() \\[5pt] \alpha&=&\sin^{-1}(\frac{19 \, \text{cm}}{20 \, \text{cm}}) &\quad \scriptsize \\[5pt] \alpha&\approx&71,8° \end{array}$
Der Winkel $\alpha$ hat eine Größe von $71,8°$.
Die Länge der Hypotenuse $c$ (in unserem Fall ist $c = m + n$) kannst du über den Kosinus bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} \cos\alpha&=&\frac{\text{Ankathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \cos\alpha&=&\frac{b}{c} &\quad \scriptsize \\[5pt] \cos(71,8\,^\circ)&=&\frac{20\,\text{cm}}{c}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot c \\[5pt] \cos(71,8\,^\circ)\cdot c&=&20\,\text{cm} &\scriptsize\mid\; :\cos(71,8\,^\circ)\\[2pt] c&=&\frac{20\,\text{mm}}{\cos(71,8\,^\circ)}\\[2pt] c&≈&64\,\text{cm} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} c&=&m+n &\quad \scriptsize \\[5pt] 64\,\text{cm}&=&6\,\text{cm} + n&\quad \scriptsize \mid\; - 30 \, \text{mm}\\[5pt] 64\,\text{cm}- 6\,\text{cm}&=&m &\quad \scriptsize \\[5pt] 58\,\text{cm}&=&m \end{array}$
Die Seite $n$ hat eine Länge von $58 \, \text{cm}$.
Den Winkel $\beta$ kannst du über eine der Winkelfunktionen berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \sin\beta&=&\frac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \sin\beta&=&\frac{b}{c} &\quad \scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] \sin\beta&=&\frac{20\,\text{cm} }{64 \,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1}() \\[5pt] \beta&=&\sin^{-1}(\frac{20 \,\text{cm} }{64\,\text{cm}}) &\quad \scriptsize \\[5pt] \beta&\approx&18,2° \end{array}$
Der Winkel $\beta$ ist $18,2°$ groß.
5.
Größe des Winkels $\boldsymbol{\alpha}$ berechnen
Mit dem Tangens kannst du die Größe des Winkels $\alpha$ berechnen.
$\begin{array}{rll} \tan\alpha&=&\frac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Ankathete des Winkels}}\\[2pt] \tan\alpha&=&\frac{\overline{BC}}{\overline{AC}} &\scriptsize\;\text{einsetzen}\\[2pt] \tan\alpha&=&\frac{75\,\text{m}}{110\,\text{m}} &\scriptsize\mid\; \tan^{-1}(\;)\\[2pt] \alpha&=&\tan^{-1}\left(\frac{75}{110}\right)\\[2pt] \alpha&\approx&34,29\,^\circ \end{array}$
$ \alpha\approx34,29\,^\circ $
Der Winkel $\alpha$ hat eine Größe von \(34,29\,^\circ\).
6.
Höhe des Kirchturms berechnen
1. Schritt: Länge der Seite $\boldsymbol{h}$ mit Hilfe des Tangens berechnen
$\begin{array}{rll} \tan\alpha&=&\frac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Ankathete des Winkels}}\\[2pt] \tan\alpha&=&\frac{h}{x} &\scriptsize\;\text{einsetzen}\\[2pt] \tan(30\,^\circ)&=&\frac{h}{50\,\text{m}} &\scriptsize\mid\; \cdot50\,\text{m}\\[2pt] h&=&\tan(30\,^\circ)\cdot50\,\text{m}\\[2pt] h&≈&28,87\,\text{m} \end{array}$
$ h\approx28,87\,\text{m} $
Die Seite $h$ ist also ca. $28,87\,\text{m}$ lang.
2. Schritt: Gesamthöhe des Kirchturms bestimmen
Um nun die Gesamthöhe des Kirchturms berechnen zu können, musst du zu der Höhe $h$ noch die Augenhöhe von $1,75\,\text{m}$ hinzuaddieren.
$\begin{array}{rll} \text{Gesamthöhe}&=&28,87\,\text{m}+1,75\,\text{m}\\[2pt] \text{Gesamthöhe}&=&30,62\,\text{m} \end{array}$
Der Kirchturm ist $30,62\,\text{m}$ hoch.
7.
Winkel \(\boldsymbol{\alpha}\) und die Länge der Raumdiagonalen \(\boldsymbol{d_r}\) berechnen
Um den Winkel $\alpha$ berechnen zu können, berechnest du zunächst die Länge der Seite $d$ am besten mit Hilfe des Sinus.
Die Länge der Seite $a$ kannst du der Aufgabe entnehmen ($a=1\,\text{cm}$).
Der Winkel $\beta$ hat eine Größe von \(45\,^\circ\). Dies ergibt sich, da die Strecke $d$ die Diagonale des Quadrats ($a^2$) ist.
1. Schritt: Länge der Seite $\boldsymbol{d}$ bestimmen
Die Seite $d$ entspricht der Hypotenuse.
$\begin{array}{rll} \sin\beta&=&\frac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}\\[2pt] \sin\beta&=&\frac{a}{d} &\scriptsize\;\text{einsetzen}\\[2pt] \sin(45\,^\circ)&=&\frac{1\,\text{cm}}{d} &\scriptsize\mid\; \cdot d\\[2pt] \sin(45\,^\circ)\cdot d&=&1\,\text{cm} &\scriptsize \mid\; :\sin(45\,^\circ)\\[2pt] d&=&\frac{1\,\text{cm}}{\sin(45\,^\circ)}\\[2pt] d&≈&1,41\,\text{cm} \end{array}$
$ d\approx1,41\,\text{cm} $
Die Seite $d$ ist also $1,41\,\text{cm}$ lang.
2. Schritt: Winkel $\boldsymbol{\alpha}$ mit Hilfe des Tangens bestimmen
Die Länge der Kathete $a$ berechnest du nun am besten mit dem Kathetensatz.
$\begin{array}{rll} \tan\alpha&=&\frac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Ankathete des Winkels}}\\[2pt] \tan\alpha&=&\frac{a}{d} &\scriptsize\;\text{einsetzen}\\[2pt] \tan\alpha&=&\frac{1\,\text{cm}}{1,41\,\text{cm}} &\scriptsize\mid\; \tan^{-1}(\;) \\[2pt] \alpha&=&\tan^{-1}\left(\frac{1}{1,41}\right)\\[2pt] \alpha&≈&35,35\,^\circ \end{array}$
$ \alpha\approx35,35\,^\circ $
Der Winkel $\alpha$ hat eine Größe von \(35,35\,^\circ\).
3. Schritt: Länge der Hypotenuse $\boldsymbol{d_r}$ mit Hilfe des Sinus bestimmen
$\begin{array}{rll} \sin\alpha&=&\frac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Hypotenuse}}\\[2pt] \sin\alpha&=&\frac{a}{d_r} &\scriptsize\;\text{einsetzen}\\[2pt] \sin(35,35\,^\circ)&=&\frac{1\,\text{cm}}{d_r} &\scriptsize\mid\; \cdot d_r\\[2pt] \sin(35,35\,^\circ)\cdot d_r&=&1\,\text{cm} &\scriptsize \mid\; :\sin(35,35\,^\circ)\\[2pt] d_r&=&\frac{1\,\text{cm}}{\sin(35,35\,^\circ)}\\[2pt] d_r&≈&1,73\,\text{cm} \end{array}$
$ d_r\approx1,73\,\text{cm} $
Die Seite $d_r$ ist $1,73\,\text{cm}$ lang.
8.
Baldwin Street
Du hast gegeben, dass die Baldwin Street eine gesamte Länge von $L=120$ m besitzt und einen Steigungswinkel von $\alpha=20^{\circ}$ besitzt. Die Steigung der Straße kannst du nun in einem rechtwinkligen Dreieck darstellen mit dem horizontalen Länge $l_h$ der Straße und der vertikalen Höhe $h$.
Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Kosinus und Tangens
Abb. Zahl: Baldwin Street
Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Kosinus und Tangens
Abb. Zahl: Baldwin Street
Hierbei weißt du, dass der Steigungswinkel $\alpha=20^{\circ}$ beträgt.
Somit kannst du den Höhenunterschied von dem Beginn der Straße bis zum Ende der Straße mit dem Sinus berechnen. Für den Höhenunterschied folgt mit dem Sinus:
$\begin{array}[t]{rll} \sin \alpha&=& \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \\[10pt] \sin \alpha&=& \dfrac{h}{L}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot L\\[5pt] h&=& \sin \alpha \cdot L\\[10pt] &=& \sin 20^{\circ} \cdot 120 \text{ m} \\[5pt] &=& 41,04 \text{ m} \end{array}$
Somit beträgt der Höhenunterschied $41,04 \text{ m}$.
Desweiteren ist die Steigung der Straße gefragt. Es ist gegeben, dass sich die Steigung $p$ der Straße mit der Formel $p=\dfrac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Längenunterschied}}$ berechnen lässt. Somit musst du noch den Längenunterschied berechnen. Dieser entspricht genau der horizontalen Länge $l_h$. Für die horizontale Länge gilt mit dem $Kosinus$:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha&=& \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} \\[10pt] \cos \alpha&=& \dfrac{l_h}{L}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot l_h\\[5pt] l_h&=& \cos \alpha \cdot L\\[10pt] &=& \cos 20^{\circ} \cdot 120 \text{ m} \\[5pt] &=& 112,76 \text{ m} \end{array}$
Daraus ergibt sich für die Steigung $p$:
$\begin{array}[t]{rll} p&=&\dfrac{\text{Höhenunterschied}}{\text{Längenunterschied}} \\[10pt] &=& \dfrac{h}{l_h}\\[5pt] &=& \dfrac{41,04 \text{ m}}{ 112,76 \text{ m}}\\[10pt] &=& 0,364 \\[5pt] &=& 36,4 \,\% \end{array}$
Somit besitzt die Straße eine Steigung von $36,4 \,\%$.
9.
Berliner Fernsehturm
In dieser Aufgabe hast du gegeben, dass der Berliner Fernsehturm insgesamt eine Höhe von $368 \text{ m}$ besitzt. Das ist im Dreieck die Seite $b$. Außerdem weißt du, dass der Physiker aus einer Entfernung von $500$ m auf die Spitze des Fernsehturms strahlen möchte. Das ist im Dreieck die Seite $a$. Der Winkel, den du suchst, ist $b$. Mithilfe der Winkelfunktionen, kannst du ihn folgendermaßen berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \tan\beta&=&\dfrac{\text{Gegenkathete des Winkels}}{\text{Ankathete des Winkels}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \tan\beta&=&\frac{b}{a} &\quad \scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] \tan\beta&=&\frac{368 \, \text{m}}{500 \, \text{m}} &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}() \\[5pt] \beta&=&\tan^{-1}(\frac{368 \, \text{m}}{500 \, \text{m}}) &\quad \scriptsize \\[5pt] \beta&\approx&36,35° \end{array}$
Der Tourist muss den Laser in einem Winkel von $36,35°$ ausrichten, damit er exakt die Spitze des Fernsehturms trifft.
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