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Vermischte Aufgaben

Strahlensätze

Spickzettel
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Zwei Geraden verlaufen durch einen Scheitel $S$ und werden von zwei weiteren, zueinander parallelen Geraden geschnitten. Mit Hilfe der Strahlensätze können Streckenverhältnisse und unbekannte Streckenlängen ermittelt werden. Es gibt insgesamt $3$ Strahlensätze:
Geometrie in der Ebene: Strahlensätze
Geometrie in der Ebene: Strahlensätze
Geometrie in der Ebene: Strahlensätze
Geometrie in der Ebene: Strahlensätze
1. Strahlensatz:
$\dfrac{\overline{SA}}{\overline{SA'}} = \dfrac{\overline{SB}}{\overline{SB'}}$ und $\dfrac{\overline{SA}}{\overline{AA'}} = \dfrac{\overline{SB}}{\overline{BB'}}$ sowie $\dfrac{\overline{SA'}}{\overline{AA'}} = \dfrac{\overline{SB'}}{\overline{BB'}}$
2. Strahlensatz:
$\dfrac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \dfrac{\overline{SA}}{\overline{SA'}}$ und $\dfrac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \dfrac{\overline{SB}}{\overline{SB'}}$
Für den 3. Strahlensatz kommt nun eine weitere Gerade hinzu. Hier gilt nun nur noch die nebenstehende Abbdildung.
3. Strahlensatz:
$\dfrac{\overline{AC}}{\overline{CB}} = \dfrac{\overline{A'C'}}{\overline{C'B'}}$ und $\dfrac{\overline{AC}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{A'C'}}{\overline{A'B'}}$ sowie
$\dfrac{\overline{CB}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{C'B'}}{\overline{A'B'}}$
Geometrie in der Ebene: Strahlensätze
Geometrie in der Ebene: Strahlensätze

Beispiel

Geometrie in der Ebene: Strahlensätze
Geometrie in der Ebene: Strahlensätze
Hier kannst du beispielsweise den 1. Strahlensatz verwenden um die Länge der Strecke $\overline{CD}$ zu berechnen:
$\dfrac{\color{#A0321E}{\overline{SA}}}{\color{#2D6EC8}{\overline{AB}}}=\dfrac{\color{#A0321E}{\overline{SC}}}{\color{#2D6EC8}{\overline{CD}}} \Rightarrow \color{#2D6EC8}{\overline{CD}}= \dfrac{\color{#A0321E}{\overline{SC}} \cdot \color{#2D6EC8}{\overline{AB}}}{\color{#A0321E}{\overline{SA}}}$
Also:
$\overline{CD}= \dfrac{7\,\text{m} \cdot 2\,\text{m}}{5\,\text{m}}= 2,8 \,\text{m}$
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Aufgaben
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1.  Berechne die Länge der gesuchten Strecke.
a) 
Geometrie in der Ebene: Strahlensätze
Geometrie in der Ebene: Strahlensätze
$\overline{SA}=2\,\text{cm}$
$\overline{SC}=2,5\,\text{cm}$
$\overline{SB}=3\,\text{cm}$
$\overline{SD}= ?$
b) 
Geometrie in der Ebene: Strahlensätze
Geometrie in der Ebene: Strahlensätze
$\overline{AC}=1\,\text{cm}$
$\overline{SC}=2\,\text{cm}$
$\overline{BD}=1,5\,\text{cm}$
$\overline{SD}= ?$
c) 
Geometrie in der Ebene: Strahlensätze
Geometrie in der Ebene: Strahlensätze
$\overline{SA}=3\,\text{cm}$
$\overline{AB}=1\,\text{cm}$
$\overline{CD}=1,5\,\text{cm}$
$\overline{SC} = ? $
d) 
Geometrie in der Ebene: Strahlensätze
Geometrie in der Ebene: Strahlensätze
$\overline{SB}=2\,\text{cm}$
$\overline{BD}=2\,\text{cm}$
$\overline{AC}=1\,\text{cm}$
$\overline{SC} = ? $
2.  Berechne die gesuchte Streckenlänge.
a) 
Geometrie in der Ebene: Strahlensätze
Geometrie in der Ebene: Strahlensätze
$\overline{C'A'}=3\,\text{cm}$
$\overline{C'B'}=2\,\text{cm}$
$\overline{AB}=4\,\text{cm}$
$\overline{AC}= ?$
b) 
Geometrie in der Ebene: Strahlensätze
Geometrie in der Ebene: Strahlensätze
$\overline{XY}=2\,\text{cm}$
$\overline{SW}=2,5\,\text{cm}$
$\overline{SX}=3\,\text{cm}$
$\overline{WZ}= ?$
c) 
Geometrie in der Ebene: Strahlensätze
Geometrie in der Ebene: Strahlensätze
$\overline{SB}=4\,\text{cm}$
$\overline{AB}=2,5\,\text{cm}$
$\overline{SX}=2\,\text{cm}$
$\overline{XY} = ? $
d) 
Geometrie in der Ebene: Strahlensätze
Geometrie in der Ebene: Strahlensätze
$\overline{ST}=2\,\text{cm}$
$\overline{QR}=5\,\text{cm}$
$\overline{SR}=1,5\,\text{cm}$
$\overline{PT} = ? $
3. 
Eine Lochkamera ist das einfachste Gerät, um eine optische Abbildung zu erzeugen. Die Lichtstrahlen treffen durch ein kleines Loch auf die Rückwand der Kamera.
$a=5$ cm, $b=50$ cm, $c=25$ cm
Bestimme die Höhe $f$ der Abbildung.
Geometrie in der Ebene: Strahlensätze
3. 
Geometrie in der Ebene: Strahlensätze
Eine Lochkamera ist das einfachste Gerät, um eine optische Abbildung zu erzeugen. Die Lichtstrahlen treffen durch ein kleines Loch auf die Rückwand der Kamera.
$a=5$ cm, $b=50$ cm, $c=25$ cm
Bestimme die Höhe $f$ der Abbildung.
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4. 
Es soll ein Carport mit schräger Dachneigung aufgebaut werden.
Welche Länge $d$ muss der Balken haben?
Geometrie in der Ebene: Strahlensätze
Geometrie in der Ebene: Strahlensätze Es soll ein Carport mit schräger Dachneigung aufgebaut werden.
Welche Länge $d$ muss der Balken haben?
5. 
Der Förster Sebastian will die Höhe eines Baumes bestimmen. Dafür stellt er einen $2$ m hohen Pfahl auf den Boden. Er visiert den Pfahl und die Baumspitze an. Er geht einige Schritte zurück, bis sich der Pfahl mit dem Baum deckt. Von diesem Punkt aus misst er die Strecke zum Pfahl und zum Baum.
Wie hoch ist der Baum, wenn der Förster 1,80 m groß ist?
Geometrie in der Ebene: Strahlensätze
Geometrie in der Ebene: Strahlensätze Der Förster Sebastian will die Höhe eines Baumes bestimmen. Dafür stellt er einen $2$ m hohen Pfahl auf den Boden. Er visiert den Pfahl und die Baumspitze an. Er geht einige Schritte zurück, bis sich der Pfahl mit dem Baum deckt. Von diesem Punkt aus misst er die Strecke zum Pfahl und zum Baum.
Wie hoch ist der Baum, wenn der Förster 1,80 m groß ist?
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Lösungen
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1.  Fehlende Streckenlänge berechnen
a)  Du kannst die Aufgabe mit dem ersten Strahlensatz lösen:
$\begin{array}{rll} \dfrac{\overline{SA}}{\overline{SB}}&=&\dfrac{\overline{SC}}{\overline{SD}}&\scriptsize\; \text{Werte einsetzen} \\[5pt] \dfrac{2}{3}&=&\dfrac{2{,}5}{x}&\scriptsize\mid\;\cdot x \\[5pt] x\cdot\dfrac{2}{3}&=&2{,}5&\scriptsize\mid\;:\dfrac{2}{3} \\[5pt] x&=&3{,}75 \end{array}$
Die Strecke $\overline{SD}$ ist $3,75\,$cm lang.
b)  Du kannst die Aufgabe mit dem zweiten Strahlensatz lösen:
$\begin{array}{rll} \dfrac{\overline{SC}}{\overline{AC}}&=&\dfrac{\overline{SD}}{\overline{BD}}&\scriptsize\; \text{Werte einsetzen} \\[5pt] \dfrac{2}{1}&=&\dfrac{x}{1{,}5}&\scriptsize\mid\;\cdot 1{,}5 \\[5pt] 3&=&x \end{array}$
Die Strecke $\overline{SD}$ ist $3\,$cm lang.
c)  Du kannst die Aufgabe mit dem ersten Strahlensatz lösen. Wir schreiben $x$ für die Länge der Strecken $\overline{SC}$. Achte zunächst auf Folgendes:
$\overline{SB}=\overline{SA}+\overline{AB}=3\,\text{cm}+1\,\text{cm}=4\,\text{cm}$
und
$\overline{SD}=\overline{SC}+\overline{CD}=x\,\text{cm}+1{,}5\,\text{cm}$.
Wende jetzt den Strahlensatz an:
$\begin{array}{rll} \dfrac{\overline{SA}}{\overline{SB}}&=&\dfrac{\overline{SC}}{\overline{SD}}&\scriptsize\; \text{Werte einsetzen} \\[5pt] \dfrac{3}{4}&=&\dfrac{x}{1{,}5+x}&\scriptsize\mid\;\cdot (1{,}5+x) \\[5pt] \dfrac{3}{4}\cdot(1{,}5+x)&=&x&\scriptsize\; \text{ausmultiplizieren} \\[5pt] 1{,}125+\dfrac{3}{4}x&=&x&\scriptsize\mid\;-\dfrac{3}{4}x \\[5pt] 1{,}125&=&0{,}25x&\scriptsize\mid\;:0{,}25 \\[5pt] 4{,}5&=&x \end{array}$
Die Strecke $\overline{SC}$ ist $4,5\,$cm lang.
d)  Du kannst die Aufgabe mit dem zweiten Strahlensatz lösen:
$\begin{array}{rll} \dfrac{\overline{SB}}{\overline{BD}}&=&\dfrac{\overline{SC}}{\overline{AC}}&\scriptsize\; \text{Werte einsetzen} \\[5pt] \dfrac{2}{2}&=&\dfrac{x}{1} \\[5pt] 1&=&x \end{array}$
Die Strecke $\overline{SC}$ ist $1\,$cm lang.
2.  Fehlende Streckenlänge berechnen
a)  Du kannst die Aufgabe mit dem dritten Strahlensatz lösen:
$\begin{array}{rll} \dfrac{\overline{AC}}{\overline{AB}}&=&\dfrac{\overline{C'A'}}{\overline{A'B'}}&\scriptsize \mid\; \overline{A'B'}=\overline{C'A'}+\overline{C'B'} \\[5pt] \dfrac{\overline{AC}}{4}&=&\dfrac{3}{3+2}&\scriptsize\mid\;\cdot 4 \\[5pt] \overline{AC}&=&\dfrac{12}{5}&\scriptsize \\[5pt] &=&2,4 \end{array}$
Die Strecke $\overline{AC}$ ist $2,4\,$cm lang.
b)  Du kannst die Aufgabe mit dem ersten Strahlensatz lösen:
$\begin{array}{rll} \dfrac{\overline{SX}}{\overline{XY}}&=&\dfrac{\overline{SW}}{\overline{WZ}}&\scriptsize\; \text{Werte einsetzen} \\[5pt] \dfrac{3}{2}&=&\dfrac{2,5}{\overline{WZ}}&\scriptsize\mid\;\cdot \overline{WZ}\\[5pt] \dfrac{3}{2}\overline{WZ}&=&2,5&\scriptsize\mid\;\cdot \dfrac{2}{3}\\[5pt] \overline{WZ}&=&\dfrac{5}{3} \approx 1,7 \end{array}$
Die Strecke $\overline{WZ}$ ist ca. $1,7\,$cm lang.
c)  Du kannst die Aufgabe mit dem zweiten Strahlensatz lösen.
$\begin{array}{rll} \dfrac{\overline{XY}}{\overline{AB}}&=&\dfrac{\overline{SX}}{\overline{SB}}&\scriptsize\; \text{Werte einsetzen} \\[5pt] \dfrac{\overline{XY}}{2,5}&=&\dfrac{2}{4}&\scriptsize\mid\;\cdot 2,5 \\[5pt] \overline{XY}&=&1,25&\scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Strecke $\overline{XY}$ ist $1,25\,$cm lang.
d)  Du kannst die Aufgabe mit dem zweiten Strahlensatz lösen:
$\begin{array}{rll} \dfrac{\overline{ST}}{\overline{PT}}&=&\dfrac{\overline{SR}}{\overline{QR}}&\scriptsize\; \text{Werte einsetzen} \\[5pt] \dfrac{2}{\overline{PT}}&=&\dfrac{1,5}{5} &\mid\; \cdot \overline{PT} \\[5pt] 2&=&\dfrac{1,5}{5}\overline{PT} &\mid\;\cdot \dfrac{5}{1,5} \\[5pt] 6,7&\approx&\overline{PT} \\[5pt] \end{array}$
Die Strecke $\overline{PT}$ ist ca. $6,7\,$cm lang.
3.  Höhe der Abbildung berechnen
Du kannst die Aufgabe mit dem zweiten Strahlensatz lösen:
$\begin{array}{rll} \dfrac{b}{c}&=&\dfrac{a}{f}&\scriptsize\; \text{Werte einsetzen} \\[5pt] \dfrac{50}{25}&=&\dfrac{5}{f} \\[5pt] 2&=&\dfrac{5}{f}&\scriptsize\mid\;\cdot f \\[5pt] 2f&=&5&\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] f&=&2{,}5 \end{array}$
Die Abbildung ist $2,5\,$cm hoch.
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4.  Länge des Balkens berechnen
Du kannst die Aufgabe mit dem zweiten Strahlensatz lösen.
$\begin{array}{rll} \dfrac{a}{d}&=&\dfrac{b}{c}&\scriptsize\;\text{Werte einsetzen} \\[5pt] \dfrac{4}{d}&=&\dfrac{8}{3}&\scriptsize\mid\;\cdot d \\[5pt] 4&=&\dfrac{8}{3}\cdot d&\scriptsize\mid\;:\dfrac{8}{3} \\[5pt] 1{,}5&=&d \end{array}$
Der Balken muss $1,5\,$m lang sein.
5.  Höhe des Baums berechnen
Fertige zu dieser Aufgabe zunächst eine Skizze an:
Geometrie in der Ebene: Strahlensätze
Geometrie in der Ebene: Strahlensätze
Gesucht ist also die Länge $x$. Die Höhe des Baumes ist dann $x+1{,}80$. Mit dem zweiten Strahlensatz kannst die Länge $x$ berechnen:
$\begin{array}{rll} \dfrac{1{,}5}{0{,}20}&=&\dfrac{6+1{,}5}{x} \\[5pt] 7{,}5&=&\dfrac{7{,}5}{x}&\scriptsize\mid\;\cdot x \\[5pt] 7{,}5x&=&7{,}5&\scriptsize\mid\;:7{,}5 \\[5pt] x&=&1 \end{array}$
Berechne jetzt die Höhe des Baumes: $1+1{,}80=2{,}80$. Der Baum ist $2,80\,$m hoch.
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