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Strahlensätze

Spickzettel
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Zwei Geraden schneiden sich im Scheitelpunkt $\boldsymbol{S}$ und werden von zwei zueinander parallelen Geraden geschnitten. In diesem Fall kannst du Streckenverhältnisse und unbekannte Strecken mit Hilfe der Strahlensätze errechnen. Es gibt drei Strahlensätze.
Geometrie: Strahlensätze
Geometrie: Strahlensätze
Geometrie: Strahlensätze
Geometrie: Strahlensätze
$\dfrac{\overline{AC}}{\overline{CB}}=\dfrac{\overline{A'C'}}{\overline{C'B'}}$ und $\dfrac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{A'C'}}{\overline{A'B'}}$ sowie $\dfrac{\overline{CB}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{C'B'}}{\overline{A'B'}}$
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Aufgaben
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1.
Berechne die Länge der gesuchten Strecke.
b)
Geometrie: Strahlensätze
Geometrie: Strahlensätze
$\overline{AC}=1\,\text{cm}$
$\overline{SC}=2\,\text{cm}$
$\overline{BD}=1,5\,\text{cm}$
$\overline{SD}= ?$
d)
Geometrie: Strahlensätze
Geometrie: Strahlensätze
$\overline{SB}=2\,\text{cm}$
$\overline{BD}=2\,\text{cm}$
$\overline{AC}=1\,\text{cm}$
$\overline{SC} = ? $
2.
Berechne die gesuchte Streckenlänge.
b)
Geometrie: Strahlensätze
Geometrie: Strahlensätze
$\overline{XY}=2\,\text{cm}$
$\overline{SW}=2,5\,\text{cm}$
$\overline{SX}=3\,\text{cm}$
$\overline{WZ}= ?$
d)
Geometrie: Strahlensätze
Geometrie: Strahlensätze
$\overline{ST}=2\,\text{cm}$
$\overline{QR}=5\,\text{cm}$
$\overline{SR}=1,5\,\text{cm}$
$\overline{PT} = ? $
3.
Geometrie: Strahlensätze
Geometrie: Strahlensätze
4.
Geometrie: Strahlensätze
Geometrie: Strahlensätze
5.
Geometrie: Strahlensätze
Geometrie: Strahlensätze
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Lösungen
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1.
Fehlende Streckenlänge berechnen
a)
Du kannst die Aufgabe mit dem ersten Strahlensatz lösen:
$\begin{array}{rll} \dfrac{\overline{SA}}{\overline{SB}}&=&\dfrac{\overline{SC}}{\overline{SD}}&\scriptsize\; \text{Werte einsetzen} \\[5pt] \dfrac{2}{3}&=&\dfrac{2{,}5}{x}&\scriptsize\mid\;\cdot x \\[5pt] x\cdot\dfrac{2}{3}&=&2{,}5&\scriptsize\mid\;:\dfrac{2}{3} \\[5pt] x&=&3{,}75 \end{array}$
Die Strecke $\overline{SD}$ ist $3,75\,$cm lang.
b)
Du kannst die Aufgabe mit dem zweiten Strahlensatz lösen:
$\begin{array}{rll} \dfrac{\overline{SC}}{\overline{AC}}&=&\dfrac{\overline{SD}}{\overline{BD}}&\scriptsize\; \text{Werte einsetzen} \\[5pt] \dfrac{2}{1}&=&\dfrac{x}{1{,}5}&\scriptsize\mid\;\cdot 1{,}5 \\[5pt] 3&=&x \end{array}$
Die Strecke $\overline{SD}$ ist $3\,$cm lang.
c)
Du kannst die Aufgabe mit dem ersten Strahlensatz lösen. Wir schreiben $x$ für die Länge der Strecken $\overline{SC}$. Achte zunächst auf Folgendes:
$\overline{SB}=\overline{SA}+\overline{AB}=3\,\text{cm}+1\,\text{cm}=4\,\text{cm}$
und
$\overline{SD}=\overline{SC}+\overline{CD}=x\,\text{cm}+1{,}5\,\text{cm}$.
Wende jetzt den Strahlensatz an:
$\begin{array}{rll} \dfrac{\overline{SA}}{\overline{SB}}&=&\dfrac{\overline{SC}}{\overline{SD}}&\scriptsize\; \text{Werte einsetzen} \\[5pt] \dfrac{3}{4}&=&\dfrac{x}{1{,}5+x}&\scriptsize\mid\;\cdot (1{,}5+x) \\[5pt] \dfrac{3}{4}\cdot(1{,}5+x)&=&x&\scriptsize\; \text{ausmultiplizieren} \\[5pt] 1{,}125+\dfrac{3}{4}x&=&x&\scriptsize\mid\;-\dfrac{3}{4}x \\[5pt] 1{,}125&=&0{,}25x&\scriptsize\mid\;:0{,}25 \\[5pt] 4{,}5&=&x \end{array}$
$\overline{SC}=4,5\,\text{cm} $
Die Strecke $\overline{SC}$ ist $4,5\,$cm lang.
d)
Du kannst die Aufgabe mit dem zweiten Strahlensatz lösen:
$\begin{array}{rll} \dfrac{\overline{SB}}{\overline{BD}}&=&\dfrac{\overline{SC}}{\overline{AC}}&\scriptsize\; \text{Werte einsetzen} \\[5pt] \dfrac{2}{2}&=&\dfrac{x}{1} \\[5pt] 1&=&x \end{array}$
Die Strecke $\overline{SC}$ ist $1\,$cm lang.
2.
Fehlende Streckenlänge berechnen
a)
Du kannst die Aufgabe mit dem dritten Strahlensatz lösen:
$\begin{array}{rll} \dfrac{\overline{AC}}{\overline{AB}}&=&\dfrac{\overline{C'A'}}{\overline{A'B'}}&\scriptsize \mid\; \overline{A'B'}=\overline{C'A'}+\overline{C'B'} \\[5pt] \dfrac{\overline{AC}}{4}&=&\dfrac{3}{3+2}&\scriptsize\mid\;\cdot 4 \\[5pt] \overline{AC}&=&\dfrac{12}{5}&\scriptsize \\[5pt] &=&2,4 \end{array}$
Die Strecke $\overline{AC}$ ist $2,4\,$cm lang.
b)
Du kannst die Aufgabe mit dem ersten Strahlensatz lösen:
$\begin{array}{rll} \dfrac{\overline{SX}}{\overline{XY}}&=&\dfrac{\overline{SW}}{\overline{WZ}}&\scriptsize\; \text{Werte einsetzen} \\[5pt] \dfrac{3}{2}&=&\dfrac{2,5}{\overline{WZ}}&\scriptsize\mid\;\cdot \overline{WZ}\\[5pt] \dfrac{3}{2}\overline{WZ}&=&2,5&\scriptsize\mid\;\cdot \dfrac{2}{3}\\[5pt] \overline{WZ}&=&\dfrac{5}{3} \approx 1,7 \end{array}$
Die Strecke $\overline{WZ}$ ist ca. $1,7\,$cm lang.
c)
Du kannst die Aufgabe mit dem zweiten Strahlensatz lösen.
$\begin{array}{rll} \dfrac{\overline{XY}}{\overline{AB}}&=&\dfrac{\overline{SX}}{\overline{SB}}&\scriptsize\; \text{Werte einsetzen} \\[5pt] \dfrac{\overline{XY}}{2,5}&=&\dfrac{2}{4}&\scriptsize\mid\;\cdot 2,5 \\[5pt] \overline{XY}&=&1,25&\scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Strecke $\overline{XY}$ ist $1,25\,$cm lang.
d)
Du kannst die Aufgabe mit dem zweiten Strahlensatz lösen:
$\begin{array}{rll} \dfrac{\overline{ST}}{\overline{PT}}&=&\dfrac{\overline{SR}}{\overline{QR}}&\scriptsize\; \text{Werte einsetzen} \\[5pt] \dfrac{2}{\overline{PT}}&=&\dfrac{1,5}{5} &\mid\; \cdot \overline{PT} \\[5pt] 2&=&\dfrac{1,5}{5}\overline{PT} &\mid\;\cdot \dfrac{5}{1,5} \\[5pt] 6,7&\approx&\overline{PT} \\[5pt] \end{array}$
Die Strecke $\overline{PT}$ ist ca. $6,7\,$cm lang.
3.
Höhe der Abbildung berechnen
Du kannst die Aufgabe mit dem zweiten Strahlensatz lösen:
$\begin{array}{rll} \dfrac{b}{c}&=&\dfrac{a}{f}&\scriptsize\; \text{Werte einsetzen} \\[5pt] \dfrac{50}{25}&=&\dfrac{5}{f} \\[5pt] 2&=&\dfrac{5}{f}&\scriptsize\mid\;\cdot f \\[5pt] 2f&=&5&\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] f&=&2{,}5 \end{array}$
Die Abbildung ist $2,5\,$cm hoch.
4.
Länge des Balkens berechnen
Du kannst die Aufgabe mit dem zweiten Strahlensatz lösen.
$\begin{array}{rll} \dfrac{a}{d}&=&\dfrac{b}{c}&\scriptsize\;\text{Werte einsetzen} \\[5pt] \dfrac{4}{d}&=&\dfrac{8}{3}&\scriptsize\mid\;\cdot d \\[5pt] 4&=&\dfrac{8}{3}\cdot d&\scriptsize\mid\;:\dfrac{8}{3} \\[5pt] 1{,}5&=&d \end{array}$
Der Balken muss $1,5\,$m lang sein.
5.
Höhe des Baums berechnen
Fertige zu dieser Aufgabe zunächst eine Skizze an:
Geometrie: Strahlensätze
Geometrie: Strahlensätze
Gesucht ist also die Länge $x$. Die Höhe des Baumes ist dann $x+1{,}80$. Mit dem zweiten Strahlensatz kannst die Länge $x$ berechnen:
$\begin{array}{rll} \dfrac{1{,}5}{0{,}20}&=&\dfrac{6+1{,}5}{x} \\[5pt] 7{,}5&=&\dfrac{7{,}5}{x}&\scriptsize\mid\;\cdot x \\[5pt] 7{,}5x&=&7{,}5&\scriptsize\mid\;:7{,}5 \\[5pt] x&=&1 \end{array}$
Berechne jetzt die Höhe des Baumes: $1+1{,}80=2{,}80$. Der Baum ist $2,80\,$m hoch.
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