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Allgemeines Viereck

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Erklärung

Vierecke und Vielecke: Allgemeines Viereck


Im allgemeinen Viereck sind die Größen der Winkel und die Seitenlängen völlig beliebig. Wenn du ein allgemeines Viereck berechnen möchtest empfiehlt es sich immer das Viereck in bekannte Vierecke oder Dreiecke aufzuteilen und diese getrennt zu berechnen.
Vierecke und Vielecke: Allgemeines Viereck Im allgemeinen Viereck sind die Größen der Winkel und die Seitenlängen völlig beliebig. Wenn du ein allgemeines Viereck berechnen möchtest empfiehlt es sich immer das Viereck in bekannte Vierecke oder Dreiecke aufzuteilen und diese getrennt zu berechnen.

Vorgehen

In einem allgemeinen Viereck gilt folgendes:
  • Winkel: $\alpha+\beta+\gamma+\delta=360°$
  • Ecken: A, B, C, D
  • Umfang: $u$=$a+b+c+d$
  • Seiten: a, b, c, d
  • Diagonalen:
    $e = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos \beta} = \sqrt{c^2 + d^2 - 2cd\cos \delta}$
    $f = \sqrt{a^2 + d^2 - 2ad\cos\alpha} = \sqrt{b^2 + c^2 - 2bc\cos\gamma}$

Beispiel

Wir wollen die Fläche eines allgemeinen Vierecks berechnen.
Vierecke und Vielecke: Allgemeines Viereck
Vierecke und Vielecke: Allgemeines Viereck
Zum einfacheren berechnen teilen wir das Viereck in eine Dreiecksfläche $A_{Dr}$ und eine Trapezfläche $A_{Tr}$.
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Bearbeite die folgenden Aufgaben.
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Vierecke und Vielecke: Allgemeines Viereck
Vierecke und Vielecke: Allgemeines Viereck Bearbeite die folgenden Aufgaben.
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1.  Von einem Viereck sind folgende Angaben bekannt:
$a=4$ cm, $b=1,7$ cm, $c=3,1$ cm, $d=3,1$ cm,
$\overline{CP}=3,2$ cm, $\overline{PD}=1,7$ cm,
$\alpha=\beta=75°$, $\delta=78°$
Vierecke und Vielecke: Allgemeines Viereck
Vierecke und Vielecke: Allgemeines Viereck
Berechne den Flächeninhalt.
2.  Wie lang ist die Seite $b$ des Vierecks?
Vierecke und Vielecke: Allgemeines Viereck
Vierecke und Vielecke: Allgemeines Viereck
3.  Ein viereckiges Getreidefeld wird von einer Straße und einem Bach begrenzt.
Vierecke und Vielecke: Allgemeines Viereck
Vierecke und Vielecke: Allgemeines Viereck
Welche Fläche hat das Getreidefeld?
4.  Familie Maier möchte einen Bauplatz kaufen.
Der Preis pro Quadratmeter beträgt $50$ €.
Vierecke und Vielecke: Allgemeines Viereck
Vierecke und Vielecke: Allgemeines Viereck
Was kostet der Bauplatz?
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Lösungen
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1.  Flächeninhalt berechnen
Um den Flächeninhalt berechnen zu können, teilst du das Viereck, wie vorgegeben, in ein Dreieck und in ein Trapez.
Zuerst berechnest du die Fläche des Trapezes.
Um die Fläche des Trapezes berechnen zu können, musst du zuerst die Länge der Höhe $h_a$ berechnen.
Die Höhe $h_a$ berechnest du mit dem Sinus.
Vierecke und Vielecke: Allgemeines Viereck
Vierecke und Vielecke: Allgemeines Viereck
$ \begin{array}{rll} \sin\beta=&\frac{h_a}{b}&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] \sin(75°)=&\frac{h_a}{1,7}&\scriptsize \mid \cdot 1,7 \\[5pt] h_a=&\sin(75°)\cdot1,7&\scriptsize \\[5pt] h_a\approx&1,64&\scriptsize \end{array} $
Nachdem du die Höhe $h_a$ berechnet hast, kannst du nun mit folgender Formel die Fläche des Trapezes berechnen:
$ \begin{array}{rll} A_{Tr}=&\frac{a+\overline{CP}}{2}\cdot h_a&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] A_{Tr}=&\frac{4\,\text{cm}+3,2\,\text{cm}}{2}\cdot 1,64\,\,\text{cm}&\scriptsize \\[5pt] A_{Tr}=&5,9\,\text{cm}^2&\scriptsize \end{array} $
Das Trapez hat einen Flächeninhalt von $5,9\,\text{cm}^2$.
Als nächster Schritt musst du die Fläche des Dreiecks berechnen.
Auch hier musst du zuerst die Höhe $h_c$ mit dem Sinus berechnen, bevor du die Fläche des Dreiecks berechnen kannst.
$ \begin{array}{rll} \sin\delta=&\frac{h_c}{\overline{PD}}&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] \sin(78°)=&\frac{h_c}{1,7}&\scriptsize \mid \cdot 1,7 \\[5pt] h_c=&\sin(78°)\cdot1,7&\scriptsize \\[5pt] h_c\approx&1,66&\scriptsize \end{array} $
Nachdem du die Höhe $h_c$ berechnet hast, kannst du nun mit folgender Formel die Fläche des Dreiecks berechnen:
$ \begin{array}{rll} A_{DR}=&\frac{1}{2}\cdot c\cdot h_c&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] A_{DR}=&\frac{1}{2}\cdot 3,1\,\text{cm}\cdot1,66\,\text{cm}&\scriptsize \\[5pt] A_{DR}\approx&2,57\,\text{cm}^2&\scriptsize \end{array} $
Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von $2,57\,\text{cm}^2$.
Um nun den Flächeninhalt des Vierecks zu erhalten, musst du nur noch die beiden Flächeninhalte addieren.
$A_{gesamt}=A_{Tr}+A_{Dr}$
$A_{gesamt}=5,9\,\text{cm}^2+2,57\,\text{cm}^2=7,47\,\text{cm}^2$
Das Viereck hat einen Flächeninhalt von $7,47\,\text{cm}^2$.
2.  Länge der Seite $b$ berechnen
Um die Länge der Seite $b$ berechnen zu können, benötigst du den Kosinussatz.
Zuerst musst du mit dem Kosinussatz die Länge der Seite $e$ berechnen.
Vierecke und Vielecke: Allgemeines Viereck
Vierecke und Vielecke: Allgemeines Viereck
$ \begin{array}{rll} e=&\sqrt{d^2+c^2-2\cdot d\cdot c\cdot \cos\delta}&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] e=&\sqrt{(3\,\text{cm})^2+(3\,\text{cm})^2-2\cdot3\,\text{cm}\cdot3\,\text{cm}\cdot \cos(70°)}&\scriptsize \\[5pt] e\approx&\sqrt{18\,\text{cm}^2-2\cdot9\,\text{cm}^2\cdot0,34}&\scriptsize \\[5pt] e\approx&\sqrt{11,88\,\text{cm}^2}&\scriptsize \\[5pt] e\approx&3,45\,\text{cm}&\scriptsize \end{array} $
Nun kannst du mit dem Kosinussatz die Länge der Seite $b$ berechnen.
$ \begin{array}{rll} b=&\sqrt{e^2+a^2-2\cdot e\cdot a\cdot\cos\epsilon}&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] b=&\sqrt{(3,45\,\text{cm})^2+(3\,\text{cm})^2-2\cdot 3,45\,\text{cm}\cdot 3\,\text{cm}\cdot\cos(20°)}&\scriptsize \\[5pt] b\approx&\sqrt{20,9\,\text{cm}^2-2\cdot10,35\,\text{cm}^2\cdot0,94}&\scriptsize \\[5pt] b\approx&\sqrt{1,44\,\text{cm}^2}&\scriptsize \\[5pt] b\approx&1,2\,\text{cm}&\scriptsize \end{array} $
Die Seite $b$ ist 1,2 cm lang.
3.  Fläche des Getreidefelds berechnen
Vierecke und Vielecke: Allgemeines Viereck
Vierecke und Vielecke: Allgemeines Viereck
Um diese Aufgabe löse zu können, musst du das Viereck in Dreiecke und Rechtecke unterteilen. (siehe Abbildung)
Nun musst du von jeder geometrischen Fläche den Flächeninhalt separat berechnen.
Am besten fängst du mit der Fläche $A_1$ an.
Als erstes musst du mit dem Kosinus die Länge der Strecke $a$ berechnen.
$ \begin{array}{rll} \cos\alpha=&\frac{a}{e}&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] \cos(83°)=&\frac{a}{65}&\scriptsize \mid \cdot65 \\[5pt] a=&\cos(83°)\cdot 65&\scriptsize \\[5pt] a\approx&7,92&\scriptsize \end{array} $
Nun kannst du mit dem Satz des Pythagoras die Länge der Strecke $h_a$ berechnen.
$ \begin{array}{rll} e^2=&a^2+{h_a}^2&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] (65\,\text{m})^2=&(7,92\,\text{m})^2+{h_a}^2&\scriptsize \mid -(7,92\,\text{m})^2 \\[5pt] {h_a}^2=&(65\,\text{m})^2-(7,92\,\text{m})^2&\scriptsize \\[5pt] {h_a}^2\approx&4162,27\,\text{m}^2&\scriptsize \mid \sqrt{\;} \\[5pt] h_a\approx&64,52\,\text{m}&\scriptsize \end{array} $
Nun kannst du die Fläche $A_1$ mit der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen.
$ \begin{array}{rll} A_1=&\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_a&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] A_1=&\frac{1}{2}\cdot 7,92\,\text{m}\cdot64,52\,\text{m}&\scriptsize \\[5pt] A_1\approx&255,5\,\text{m}^2&\scriptsize \end{array} $
Die zweite zu berechnende Fläche ist $A_2$
Als nächstes solltest du mit dem Kosinus die Länge der Seite $c$ berechnen
$ \begin{array}{rll} \cos\alpha=&\frac{c}{f}&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] \cos(66°)=&\frac{c}{75}&\scriptsize \mid \cdot75 \\[5pt] c=&\cos(66°)\cdot 75&\scriptsize \\[5pt] c\approx&30,51&\scriptsize \end{array} $
Nun kannst du mit dem Satz des Pythagoras die Länge der Strecke $h_c$ berechnen.
$ \begin{array}{rll} f^2=&c^2+{h_c}^2&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] (75\,\text{m})^2=&(30,51\,\text{m})^2+{h_c}^2&\scriptsize \mid -(30,51\,\text{m})^2 \\[5pt] {h_c}^2=&(75\,\text{m})^2-(30,51\,\text{m})^2&\scriptsize \\[5pt] {h_c}^2\approx&4694,14\,\text{m}^2&\scriptsize \mid \sqrt{\;} \\[5pt] h_c\approx&68,51\,\text{m}&\scriptsize \end{array} $
Nun kannst du die Fläche $A_2$ mit der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen.
$ \begin{array}{rll} A_2=&\frac{1}{2}\cdot c\cdot h_c&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] A_2=&\frac{1}{2}\cdot 30,51\,\text{m}\cdot68,51\,\text{m}&\scriptsize \\[5pt] A_2\approx&1045,12\,\text{m}^2&\scriptsize \end{array} $
Die nächste Fläche die du berechnen musst ist die Fläche $A_3$
Als erste solltest du die Länge der Strecke $b$ berechnen.
Da die Strecken $a$, $b$ und $c$ zusammen 100 m lang sind gilt:
$ \begin{array}{rll} 100\,\text{m}=&a+b+c&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] 100\,\text{m}=&7,92\,\text{m}+b+30,51\,\text{m}&\scriptsize \mid -7,92\,\text{m} \mid -30,51\,\text{m} \\[5pt] b=&100\,\text{m}-7,92\,\text{m}-30,51\,\text{m}&\scriptsize \\[5pt] b=&61,57\,\text{m}&\scriptsize \end{array} $
Nun kannst du mit der Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks die Fläche $A_3$ berechnen.
$ \begin{array}{rll} A_3=&b\cdot h_a&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] A_3=&61,57\,\text{m}\cdot64,52\,\text{m}&\scriptsize \\[5pt] A_3\approx&3972,5\,\text{m}^2&\scriptsize \end{array} $
Nun kannst du als letztes die Fläche $A_4$ mit der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen.
$ \begin{array}{rll} A_4=&\frac{1}{2}\cdot (h_c-h_a)\cdot b&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] A_4=&\frac{1}{2}\cdot (68,51\,\text{m}-64,52\,\text{m})\cdot61,57\,\text{m}&\scriptsize \\[5pt] A_4=&122,83\,\text{m} \end{array} $
Als letzter Schritt musst du nur noch alle Flächeninhalte addieren, um die Fläche des Getreidefelds berechnen zu können.
$ \begin{array}{rll} A_{gesamt}=&A_1+A_2+A_3+A_4&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] A_{gesamt}=&255,5\,\text{m}+1045,12\,\text{m}+3972,5\,\text{m}+122,83\,\text{m} &\scriptsize \\[5pt] A_{gesamt}=&5395,95\,\text{m}^2&\scriptsize \end{array} $
Die Getreidefläche hat eine Fläche von $5395,95\,\text{m}^2$.
4.  Kosten für den Bauplatz berechnen
Vierecke und Vielecke: Allgemeines Viereck
Vierecke und Vielecke: Allgemeines Viereck
Um die Kosten für den Bauplatz berechnen zu können, musst du zuerst die Fläche des Bauplatzes berechnen.
Zuerst berechnest du die Fläche des Rechtecks und ziehst von dieser Fläche die Flächen $A_1$, $A_2$, $A_3$ und $A_4$ ab. So erhältst du den Flächeninhalt des Bauplatzes.
Die Flächen $A_1$, $A_2$ und $A_4$ kannst du mit der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen.
Die Rechtecksfläche und die Fläche $A_3$ kannst du mit der Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnen.
$A_{Rechteck}$
$ \begin{array}{rll} A_{Rechteck}=&a\cdot b&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] A_{Rechteck}=&(8,5\,\text{m}+6\,\text{m})\cdot10,5\,\text{m}&\scriptsize \\[5pt] A_{Rechteck}=&152,25\,\text{m}^2&\scriptsize \end{array} $
$A_1$
$ \begin{array}{rll} A_1=&\frac{1}{2}\cdot a\cdot c&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] A_1=&\frac{1}{2}\cdot 10,5\,\text{m}\cdot 8,5\,\text{m}&\scriptsize \\[5pt] A_1\approx&44,63\,\text{m}^2&\scriptsize \end{array} $
$A_2$
$ \begin{array}{rll} A_2=&\frac{1}{2}\cdot f\cdot d&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] A_2=&\frac{1}{2}\cdot ((8,5\,\text{m}+6\,\text{m})-11,5\,\text{m})\cdot 8,5\,\text{m}&\scriptsize \\[5pt] A_2=&12,75\,\text{m}^2& \end{array} $
$A_3$
$ \begin{array}{rll} A_3=&e\cdot f&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] A_3=&(10,5\,\text{m}-8,5\,\text{m})\cdot ((8,5\,\text{m}+6\,\text{m})-11,5\,\text{m})&\scriptsize \\[5pt] A_3=&6\,\text{m}^2& \end{array} $
$A_4$
$ \begin{array}{rll} A_4=&\frac{1}{2}\cdot g\cdot e&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] A_4=&\frac{1}{2}\cdot 11,5\,\text{m}\cdot (10,5\,\text{m}-8,5\,\text{m})&\scriptsize \\[5pt] A_4=&11,5\,\text{m}^2& \end{array} $
$A_{Bauplatz}$
$ \begin{array}{rll} A_{Bauplatz}=&A_{Rechteck}-A_1-A_2-A_3-A_4&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] A_{Bauplatz}=&152,25\,\text{m}^2-44,63\,\text{m}^2-12,75\,\text{m}^2- 6\,\text{m}^2-11,5\,\text{m}^2&\scriptsize \\[5pt] A_{Bauplatz}=&77,37\,\text{m}^2&\scriptsize \end{array} $
Da Familie Maier pro Quadratmeter 50 € zahlen muss, kostet der Bauplatz
$50\text{€}\cdot77,37=3.868,5$€.
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