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Quadrat

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Vierecke und Vielecke: Quadrat


Ein Quadrat ist ein Viereck, bei dem alle Seiten gleich lang sind. Gegenüberliegende Seiten sind parallel. Alle Innenwinkel im Quadrat betragen 90°. Die Diagonalen sind beide gleich lang und halbieren sich. Ihr Schnittpunk entspricht dem Mittelpunkt des Quadrates.
Vierecke und Vielecke: Quadrat Ein Quadrat ist ein Viereck, bei dem alle Seiten gleich lang sind. Gegenüberliegende Seiten sind parallel. Alle Innenwinkel im Quadrat betragen 90°. Die Diagonalen sind beide gleich lang und halbieren sich. Ihr Schnittpunk entspricht dem Mittelpunkt des Quadrates.
In einem Quadrat gelten folgende Regeln für die Berechnung :
  • Seiten: a
  • Winkel: $\alpha=\beta=\gamma=\delta=90\,^\circ$
  • Fläche: $A=a^2$
  • Umfang: $u=4\cdot a$
  • Diagonale: $d=a\cdot\sqrt{2}$

Beispiel

Wir wollen aus der Länge der Diagonale, $d=4\,\text{cm}$, den Flächeninhalt eines Quadrats berechnen.
$a=\dfrac{d}{\sqrt{2}}=\dfrac{4\,\text{cm}}{\sqrt{2}}=2,83\,\text{cm}$
$A=a^2=\left(2,83\,\text{cm}\right)^2=8\,\text{cm}^2$
#quadrat
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Vierecke und Vielecke: Quadrat
Vierecke und Vielecke: Quadrat Bearbeite die folgenden Aufgaben.
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1.  Zeichne ein Quadrat mit der Seitenlänge $a=3$ cm und gib die Länge der Diagonalen an.
2.  Gegeben ist die Seitenlänge $a$ eines Quadrats. Berechne den Flächeninhalt und den Umfang.
a)  $a=5\;\text{cm}$
b)  $a=3\;\text{cm}$
c)  $a=4\;\text{cm}$
d)  $a=6,75\;\text{cm}$
e)  $a=8,6\;\text{cm}$
f)  $a=3,4\;\text{cm}$
3.  Bestimme die Seitenlänge $a$.
a)  $u=20\;\text{cm}$
b)  $u=14\;\text{cm}$
c)  $A=16\;\text{cm}^2$
d)  $A=9\;\text{cm}^2$
e)  $d=\sqrt{18}\;\text{cm}$
f)  $d=10\;\text{cm}$
4.  Gib zu dem gegeben Flächeninhalt den passenden Umfang des Quadrats an.
a)  $A=9\;\text{cm}^2$
b)  $A=20,25\;\text{cm}^2$
c)  $A=49\;\text{cm}^2$
5.  Sebastian möchte sein $4$ m langes und $4$ m breites Zimmer renovieren.
a)  Er möchte einen neuen Boden verlegen.
Wie viel Quadratmeter Laminat benötigt Sebastian?
b)  Er benötigt außerdem noch neue Eckleisten, die er rundherum anbringen will.
Wie viel Meter Eckleiste braucht er?
c)  Um die 2,20 m hohen Wände zu streichen, will er gelbe Farbe kaufen.
Wie viel Liter Farbe braucht er, wenn 1 Liter für 7 Quadratmeter reicht?
Vierecke und Vielecke: Quadrat
Vierecke und Vielecke: Quadrat
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Lösungen
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1.  Quadrat zeichnen
Vierecke und Vielecke: Quadrat
Vierecke und Vielecke: Quadrat
Diagonale d
Die Formel der Diagonale $d$ im Quadrat lautet: $d=a\cdot\sqrt{2}$
$ \begin{array}{rll} d=&a\cdot\sqrt{2}&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] d=&3\text{ cm}\cdot\sqrt{2}\\[5pt] d\approx&4,24\text{ cm}\\[5pt] \end{array} $
2.  Flächeninhalt und Umfang
a) 
$ \begin{array}{rll} A=&a^2&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] A=&(5\text{ cm})^2\\[5pt] A=&25\text{ cm}^2 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} u=&4\cdot a&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] u=&4\cdot 5\text{ cm}\\[5pt] u=&20\text{ cm} \end{array} $
b) 
$ \begin{array}{rll} A=&(3\text{ cm})^2\\[5pt] A=&9\text{ cm}^2 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} u=&4\cdot 3\text{ cm}\\[5pt] u=&12\text{ cm}\\[5pt] \end{array} $
c) 
$ \begin{array}{rll} A=&(4\text{ cm})^2\\[5pt] A=&16\text{ cm}^2 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} u=&4\cdot 4\text{ cm}\\[5pt] u=&16\text{ cm} \end{array} $
d) 
$ \begin{array}{rll} A=&(6,75\text{ cm})^2\\[5pt] A=&45,56\text{ cm}^2 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} u=&4\cdot 6,75\text{ cm}\\[5pt] u=&27\text{ cm} \end{array} $
e) 
$ \begin{array}{rll} A=&(8,6\text{ cm})^2\\[5pt] A=&73,96\text{ cm}^2 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} u=&4\cdot 8,6\text{ cm}\\[5pt] u=&34,4\text{ cm} \end{array} $
f) 
$ \begin{array}{rll} A=&(3,4\text{ cm})^2\\[5pt] A=&11,56\text{ cm}^2 \end{array} $
$ \begin{array}{rll} u=&4\cdot 3,4\text{ cm}\\[5pt] u=&13,6\text{ cm} \end{array} $
3.  Seitenlänge $\mathbf a$
Mit Hilfe der Formeln für den Umfang ($u=4\cdot a$), den Flächeninhalt ($A=a^2$) und der Diagonalen ($d=a\cdot\sqrt{2}$) eines Quadrates kannst du die Aufgabe lösen.
a) 
$ \begin{array}{rll} u=&4\cdot a&\scriptsize \text{umstellen}; \mid :4\\[5pt] \frac{u}{4}=&a&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] \frac{20\text{ cm}}{4}=&a\\[5pt] 5\text{ cm}=&a \end{array} $
b) 
$ \begin{array}{rll} u=&4\cdot a&\scriptsize \text{umstellen}; \mid :4\\[5pt] \frac{u}{4}=&a&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] \frac{14\text{ cm}}{4}=&a\\[5pt] 3,5\text{ cm}=&a \end{array} $
c) 
$ \begin{array}{rll} A=&a^2&\scriptsize \text{umstellen}; \mid \sqrt{\;\;}\\[5pt] \sqrt{A}=&a&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] \sqrt{16\text{ cm}^2}=&a\\[5pt] 4\text{ cm}=&a \end{array} $
d) 
$ \begin{array}{rll} A=&a^2&\scriptsize umstellen; \mid \sqrt{\;\;}\\[5pt] \sqrt{A}=&a&\scriptsize einsetzen\\[5pt] \sqrt{9\text{ cm}^2}=&a\\[5pt] 3\text{ cm}=&a \end{array} $
e) 
$ \begin{array}{rll} d=&\sqrt{2}\cdot a&\scriptsize \text{umstellen}; \mid :\sqrt{2}\\[5pt] \frac{d}{\sqrt{2}}=&a&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] \frac{\sqrt{18}\text{ cm}}{\sqrt{2}}=&a\\[5pt] 3\text{ cm}=&a \end{array} $
f) 
$ \begin{array}{rll} d=&\sqrt{2}\cdot a&\scriptsize \text{umstellen}; \mid :\sqrt{2}\\[5pt] \frac{d}{\sqrt{2}}=&a&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] \frac{10\text{ cm}}{\sqrt{2}}=&a\\[5pt] 7,07\text{ cm}\approx&a \end{array} $
4.  Umfang
Zunächst wird über die Formel für den Flächeninhalt ($A = a^2$) die Seitenlänge $a$ berechnet. Danach kannst du den Umfang ($u = 4\cdot a$) bestimmen.
a) 
$ \begin{array}{rll} A=&a^2&\scriptsize \text{umstellen}; \mid \sqrt{\;\;}\\[5pt] \sqrt{A}=&a&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] \sqrt{9\text{ cm}^2}=&a\\[5pt] 3\text{ cm}=&a \end{array} $
$ \begin{array}{rll} u=&4\cdot a&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] u=&4\cdot 3\text{ cm}\\[5pt] u=&12\text{ cm} \end{array} $
b) 
$ \begin{array}{rll} \sqrt{20,25\text{ cm}^2}=&a\\[5pt] 4,5\text{ cm}=&a \end{array} $
$ \begin{array}{rll} u=&4\cdot 4,5\text{ cm}\\[5pt] u=&18\text{ cm} \end{array} $
c) 
$ \begin{array}{rll} \sqrt{49\text{ cm}^2}=&a\\[5pt] 7\text{ cm}=&a \end{array} $
$ \begin{array}{rll} u=&4\cdot 7\text{ cm}\\[5pt] u=&28\text{ cm} \end{array} $
5. 
a)  Flächeninhalt
Die Formel für den Flächeninhalt lautet: $A = a^2$
$ \begin{array}{rll} A=&a^2&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] A=&(4\text{ m})^2\\[5pt] A=&16\text{ m}^2 \end{array} $
Er benötigt $16\text{ m}^2$ Laminat.
b)  Umfang
Die Formel für den Umfang lautet: $u = 4\cdot a$
$ \begin{array}{rll} u=&4\cdot a&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] u=&4\cdot 4\text{ m}\\[5pt] u=&16\text{ m} \end{array} $
Sebastian verbraucht $16\text{ m}$ Eckleisten.
c)  Flächeninhalt (Rechteck)
Die Formel für den Flächeninhalt lautet: $A = a\cdot b$
$ \begin{array}{rll} A=&a\cdot b&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] A=&4\text{ m}\cdot 2,20\text{ m}\\[5pt] A=&8,80\text{ m}^2 \end{array} $
Da ein Raum jedoch aus 4 Wänden besteht muss das Ergebnis mit 4 multipliziert werden.
$8,80\text{ m}^2\cdot 4=35,2\text{ m}^2$
Es muss also eine Fläche von $35,2\text{ m}^2$ gestrichen werden. Pro $7\text{ m}^2$ benötigt er 1 Liter Farbe. Daher muss das Ergebnis noch durch 7 dividiert werden.
$35,2\text{ m}^2:7\text{ m}^2=5,03$
Er benötigt mehr als 5 Liter Farbe, um seine Wände zu streichen.
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