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Rhombus und Raute

Spickzettel
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Erklärung

Vierecke und Vielecke: Rhombus und Raute


Eine Raute, oder auch Rhombus genannt, ist ein spezielles Parallelogramm, das vier gleich lange Seiten hat. Wie beim Parallelogramm sind jeweils zwei Seiten parallel. Jede Diagonale teilt die Raute in je zwei gleichschenklige, kongruente Dreiecke. Die jeweils gegenüberliegenden Winkel sind gleich groß.
Vierecke und Vielecke: Rhombus und Raute Eine Raute, oder auch Rhombus genannt, ist ein spezielles Parallelogramm, das vier gleich lange Seiten hat. Wie beim Parallelogramm sind jeweils zwei Seiten parallel. Jede Diagonale teilt die Raute in je zwei gleichschenklige, kongruente Dreiecke. Die jeweils gegenüberliegenden Winkel sind gleich groß.

Vorgehen

In einer Raute gelten folgende Regeln für die Berechnung :
  • Winkel: $\alpha=\gamma; \beta=\delta$ und $\alpha+\beta=\gamma+\delta=180\,^\circ$
  • Fläche: $A=a\cdot h_a$ oder $A=\dfrac{e \cdot f}{2}$
  • Umfang: $u=4 a$
  • Diagonalen:
    $e = \sqrt{a^2 + a^2 - 2aa\cos \beta} = \sqrt{a^2 + a^2 - 2aa\cos \delta}$
    $f = \sqrt{a^2 + a^2 - 2aa\cos\alpha} = \sqrt{a^2 + a^2 - 2aa\cos\gamma}$

Beispiel

Wir wollen aus der Länge der Seite $a=4\,\text{cm}$ und der Diagonalen $e=4\,\text{cm}$ und $f=4,4\,\text{cm}$, den Flächeninhalt und den Umfang einer Raute berechnen.
Umfang u:
$u=4\cdot a =4\cdot 4\text{ cm}=16$ cm
Fläche A:
$A=\dfrac{e\cdot f}{2}=\dfrac{4 \text{ cm}\cdot 4,4 \text{ cm}}{2}=8,8\text{ cm}²$
#raute
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Vierecke und Vielecke: Rhombus und Raute
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1.  Welche der folgenden Aussagen sind richtig und welche sind falsch?
a)  Eine Raute hat jeweils zwei gleich lange Seiten.
b)  Die beiden Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.
c)  Eine Raute hat vier gleich große Winkel.
d)  Eine Raute ist ein Parallelogramm mit vier gleich lange Seiten.
e)  Wenn die beiden Diagonalen gleich lang sind, ist die Raute ein Quadrat.
2.  Eine Raute hat den Flächeninhalt $A=40\;\text{cm}^2$, die Diagonale $e$ ist $12$ cm lang.
Wie lang ist die Diagonale $f$?
3.  Berechne die Winkel $\alpha$ und $\beta$ einer Raute mit einem Umfang $u=36$ cm und der Diagonale $e=7$ cm.
4.  Matthias möchte in seinem Zimmer das Vereinslogo seines Lieblingsverein HSV an die Wand malen. Das Logo hat die Form einer Raute, wobei alle vier Winkel $90\,^\circ$ groß sind. Die Seiten sind 1 m lang.
In welcher Höhe muss er den oberen Punkt einzeichnen, wenn die Raute auf seiner $2,20$ m hohen Wand nach oben und unten den gleichen Abstand haben soll?
Vierecke und Vielecke: Rhombus und Raute
Vierecke und Vielecke: Rhombus und Raute
5.  Im Stadtpark soll ein Blumenbeet in Form einer Raute angelegt werden. Die Diagonalen des Beets sollen 6 m bzw. 3 m lang sein. Es werden vier verschiedene Arten auf vier gleichen Teilflächen gepflanzt.
Vierecke und Vielecke: Rhombus und Raute
Vierecke und Vielecke: Rhombus und Raute
Quelle: www.Bilderkiste.de
a)  Wie groß ist eine Teilfläche?
b)  Das Beet soll eingezäunt werden, wie lang ist der Zaun?
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Lösungen
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1.  Entscheiden: Richtig oder falsch
a)  Falsch, eine Raute hat vier gleich lange Seiten.
b)  Richtig, die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.
c)  Falsch, es sind jeweils zwei Winkel gleich groß.
d)  Richtig, eine Raute ist ein Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten.
e)  Richtig, wenn beide Diagonalen gleich lang sind, ist die Raute ein Quadrat.
2.  Länge der Diagonale $\boldsymbol{f}$ berechnen
Mit der Formel für den Flächeninhalt einer Raute kannst du die Länge der Diagonalen $f$ berechnen.
$ \begin{array}{rll} A=&\frac{e\cdot f}{2}&\scriptsize \text{einsetzen} \\ 40\,\text{cm}^2=&\frac{12\,\text{cm}\cdot f}{2}&\scriptsize \mid \cdot2 \\ 80\,\text{cm}^2=&12\,\text{cm}\cdot f&\scriptsize \mid :12\,\text{cm} \\ f=&\frac{80\,\text{cm}^2}{12\,\text{cm}}& \\ f\approx&6,67\,\text{cm}& \end{array} $
Die Diagonale $f$ ist 6,67 cm lang.
3.  Winkel \(\boldsymbol{\alpha}\) und \(\boldsymbol{\beta}\) berechnen
Bevor du die Winkel $\alpha$ und $\beta$ berechnen kannst, musst du die Länge der Seite $a$ bestimmen. (Nutze hierfür die Formel für den Umfang einer Raute.
$ \begin{array}{rll} u=&4\cdot a&\scriptsize \text{einsetzen} \\ 36\,\text{cm}=&4\cdot a&\scriptsize \mid :4 \\ a=&\frac{36\,\text{cm}}{4}& \\ a=&9\,\text{cm}& \end{array} $
Nachdem du die Länge der Seite $a$ bestimmt hast, kannst du nun mit der Formel für die Diagonalen den Winkel $\beta$ berechnen.
$ \begin{array}{rll} e=&\sqrt{a^2+a^2-2aa\cdot\cos\beta}&\scriptsize \text{einsetzen} \\ 7\,\text{cm}=&\sqrt{(9\,\text{cm})^2+(9\,\text{cm})^2-2\cdot9\,\text{cm}\cdot9\,\text{cm} \cdot\cos\beta}&\scriptsize \mid ^2 \\ (7\,\text{cm})^2=&(9\,\text{cm})^2+(9\,\text{cm})^2-2\cdot9\,\text{cm}\cdot9\,\text{cm} \cdot\cos\beta&\scriptsize \\ 49\,\text{cm}^2=&81\,\text{cm}^2+81\,\text{cm}^2-2\cdot81\,\text{cm}^2\cdot\cos\beta &\scriptsize \mid -81\,\text{cm}^2 \mid -81\,\text{cm}^2 \\ -113\,\text{cm}^2=&-162\,\text{cm}^2\cdot\cos\beta &\scriptsize \mid :(-162\,\text{cm}^2) \\ \frac{-113\,\text{cm}^2}{-162\,\text{cm}^2}=&\cos\beta&\scriptsize \mid \cos^{-1} \\ \beta=&\cos^{-1}\left(\frac{113}{162}\right)&\scriptsize \\ \beta\approx&45,77\,^\circ& \end{array} $
Der Winkel $\beta$ hat eine Größe von \(45,77\,^\circ\).
Nachdem du den Winkel $\beta$ berechnet hast, gilt es nun den Winkel $\alpha$ zu bestimmen. Den Winkel $\alpha$ berechnest du am besten mit Hilfe der Winkelsumme.
Bei einer Raute sind gegenüberliegende Winkel immer Gleich groß. Dies bedeutet also:
$\beta=\delta$ und $\alpha=\gamma$.
Da bei einer Raute alle Innenwinkel addiert \(360\,^\circ\) ergeben müssen gilt folgende Formel:
$ \begin{array}{rll} 360\,^\circ=&\alpha+\beta+\gamma+\delta&\scriptsize \mid \delta=\beta \mid \gamma=\alpha \\[5pt] 360\,^\circ=&\alpha+\beta+\alpha+\beta&\scriptsize \\[5pt] 360\,^\circ=&2\cdot\alpha+2\cdot\beta&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] 360\,^\circ=&2\cdot\alpha+2\cdot45,77\,^\circ&\scriptsize \\[5pt] 360\,^\circ=&2\cdot\alpha+91,54\,^\circ&\scriptsize \mid -91,54\,^\circ \\[5pt] 268,46\,^\circ=&2\cdot\alpha&\scriptsize \mid :2 \\[5pt] \alpha=&134,23\,^\circ& \end{array} $
Der Winkel $\alpha$ hat eine Größe von \(134,23\,^\circ\).
4.  Höhe \(\boldsymbol{h}\) berechnen
Um die Höhe $h$ berechnen zu können, musst du zuerst die Länge der Diagonale $f$ berechnen. Dies machst du mit folgender Formel:
$ \begin{array}{rll} f=&\sqrt{a^2+a^2-2\cdot a\cdot a\cdot\cos\alpha}&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] f=&\sqrt{(1\,\text{m})^2+(1\,\text{m})^2-2\cdot 1\,\text{m}\cdot 1\,\text{m}\cdot\cos(90\,^\circ)}&\scriptsize \\[5pt] f=&\sqrt{2\,\text{m}^2-2\cdot 1\,\text{m}\cdot\cos(90\,^\circ)}&\scriptsize \\[5pt] f=&\sqrt{2\,\text{m}^2-2\,\text{m}\cdot0}&\scriptsize \\[5pt] f=&\sqrt{2\,\text{m}^2}&\scriptsize \\[5pt] f\approx&1,41\,\text{m}& \end{array} $
Die Diagonale $f$ ist also 1,41 m lang.
Da die Raute auf der 2, 20 m hohen Wand nach oben und unten den gleichen Abstand haben soll, muss der Mittelpunkt der Raute in 1,1 m Höhe gezeichnet werden.
Geht man von dieser Höhe nochmals die halbe Länge der Diagonalen $f$ nach oben, so erhält man die Höhe $h$, in der der oberer Punkt eingezeichnet werden muss.
$h=1,1\,\text{m}+\frac{1,41\,\text{m}}{2}\approx1,81\,\text{m}$
Der obere Punkt muss in 1,81 m Höhe gezeichnet werden, damit die Raute nach oben und unten den gleichen Abstand hat.
5. 
a)  Größe einer Teilfläche berechnen
Bevor du die Größe einer Teilfläche bestimmen kannst, musst du die Gesamtfläche der Raute mit der Formel für den Flächeninhalt einer Raute berechnen.
$ \begin{array}{rll} A=&\frac{e\cdot f}{2}&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] A=&\frac{6\,\text{m}\cdot 3\,\text{m}}{2}&\scriptsize \\[5pt] A=&\frac{18\,\text{m}^2}{2}&\scriptsize \\[5pt] A=&9\,\text{m}^2& \end{array} $
Die Raute hat eine Gesamtfläche von 9$\,\text{m}^2$.
Da die Raute in vier gleich große Teilflächen unterteil wird, hat eine Teilfläche eine Größe von $\frac{1}{4}$ der Gesamtfläche.
Eine Teilfläche ist also $9\,\text{m}^2\cdot\frac{1}{4}=2,25\,\text{m}^2$ groß.
b)  Umfang berechnen
Um die Länge des Zaunes bestimmen zu können, musst du zuerst die Länge der Seite $a$ berechnen. Die Länge der Seite $a$ berechnest du am besten mit dem Satz des Pythagoras.
$ \begin{array}{rll} a^2=&\left(\frac{e}{2}\right)^2+\left(\frac{f}{2}\right)^2&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] a^2=&\left(\frac{6\,\text{m}}{2}\right)^2+\left(\frac{3\,\text{m}}{2}\right)^2&\scriptsize \\[5pt] a^2=&\frac{36\,\text{m}^2}{4}+\frac{9\,\text{m}^2}{4}&\scriptsize \\[5pt] a^2=&\frac{45\,\text{m}^2}{4}&\scriptsize \mid \sqrt{\;} \\[5pt] a\approx&3,35\,\text{m}& \end{array} $
Nachdem du die Länge der Seite $a$ berechnet hast, kannst du nun den Umfang der Raute berechnen.
$ \begin{array}{rll} u=&4\cdot a&\scriptsize \text{einsetzen} \\ u=&4\cdot3,35\,\text{m}&\scriptsize \\ u=&13,4\,\text{m}& \end{array} $
Der Zaun ist 13,4 m lang.
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