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Vermischte Aufgaben

Quader

Spickzettel
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Erklärung

Ein Quader ist ein Prisma, bei dem alle gegenüberliegenden Kanten parallel und gleich lang sind. Alle Ecken sind rechtwinklig.
Grundfläche $\begin{array}[t]{@{\extracolsep{4pt}}lll} A_G&=&a\cdot b \end{array}$
Volumen $\begin{array}[t]{@{\extracolsep{4pt}}lll} V\;\;&=&A_G\cdot h=a\cdot b\cdot h \end{array}$
Oberfläche
$\begin{array}[t]{@{\extracolsep{4pt}}lll} A_O&=&2\cdot A_G + 2\cdot A_1 + 2\cdot A_2 \\ &=& 2\cdot (ab+ah+bh) \end{array}$
Grundfläche:
$\begin{array}[t]{@{\extracolsep{4pt}}lll} A_G&=&a\cdot b \end{array}$
Volumen:
$\begin{array}[t]{@{\extracolsep{4pt}}lll} V\;\;&=&A_G\cdot h=a\cdot b\cdot h \end{array}$
Oberfläche:
$\begin{array}[t]{@{\extracolsep{4pt}}lll} A_O&=&2\cdot A_G + 2\cdot A_1 + 2\cdot A_2 \\ &=& 2\cdot (ab+ah+bh) \end{array}$

Beispiel

Eine Kiste hat die Maße 24 x 17,5 x 7 cm (Länge $a$ mal Breite $b$ mal Höhe $h$).
Das Volumen dieser Kiste ist
$V=a\cdot b \cdot h=24\text{ cm}\cdot17,5\text{ cm}\cdot7\text{ cm}=2.940\text{ cm}^3$
$V=2.940\text{ cm}^3$
und die Oberfläche ist
$\begin{array}{@{\extracolsep{4pt}}llll} A_O&=&2\cdot (ab+ah+bh)=2\cdot(24\text{ cm}\cdot17,5\text{ cm}+24\text{ cm}\cdot7\text{ cm}+17,5\text{ cm}\cdot7\text{ cm})\\ &=&2\cdot (420\text{ cm}^2+168\text{ cm}^2+122,5\text{ cm}^2)=2\cdot 710\text{ cm}^2=1.421\text{ cm}^2 \end{array}$
$\begin{array}{@{\extracolsep{4pt}}llll}A_O&=1.421\text{ cm}^2 \end{array}$
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Aufgaben
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1.
Welches dieser drei Prismen ist ein Quader? Begründe deine Entscheidung!
2.
2.
Welche dieser Aussagen zum Quader sind richtig?
b)
Alle Ecken sind rechtwinklig.
d)
Ein Quader hat 6 Seitenflächen.
f)
Quadervolumen: $V=a\cdot b\cdot h$
3.
Ein Schuhkarton ist 32 cm lang, 20 cm breit und 12 cm hoch.
Welche Oberfläche hat der Schuhkarton?
4.
Laura möchte wissen, ob in die gekaufte Milchtüte wirklich 1 l Milch hinein passen. Mit ihrem Geodreieck misst sie folgende Werte ab: $a=9\text{ cm}$, $b=5,7\text{ cm}$ und $c=19,7\text{ cm}$.
Wie viele Liter passen in die Milchtüte?
5.
Welches Volumen und welche Oberfläche hat ein Quader mit den Maßen:
$a=4$ cm, $b=3$ cm und $h=5$ cm?
6.
Ein Quader mit dem Volumen 80 cm$^3$ ist 5 cm hoch.
Berechne die Größe der Grundfläche und gib zwei mögliche Werte für $a$ und $b$ an.
Gib die Größe der Oberfläche abhängig von $a$ und $b$ an. Setze danach deine gewählten Werte ein und berechne die Oberfläche.
7.
Ein Aquarium fasst 54 Liter Wasser. Es ist nach oben geöffnet und wird begrenzt durch fünf Glasscheiben. Zwei Seitenflächen sind so groß wie die Grundfläche, die anderen beiden sind halb so groß und quadratisch.
Bestimme die Maße des Aquariums.
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Lösungen
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1.
Prismen untersuchen
Bei einem Quader sind alle gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang. Des Weiteren sind alle Ecken rechtwinklig.
Figur 1 hat ein Rechteck als Grundfläche und die Ecken sind rechtwinklig. Hier handelt es sich also um einen Quader.
Figur 2 ist kein Quader, da die Grundfläche und die Deckfläche nicht deckungsgleich sind.
Figur 3 ist kein Quader, da hier die Ecken nicht rechtwinklig sind.
2.
Aussagen bewerten
a)
„Ein Quader hat 6 Ecken.“
Diese Aussage ist falsch. Ein Quader hat immer $8$ Ecken.
b)
„Alle Ecken sind rechtwinklig.“
Diese Aussage ist richtig. Ein Quader hat ein Rechteck als Grundfläche auf dem die Höhenkanten senkrecht aufsetzen. Somit sind alle Innenwinkel rechte Winkel.
c)
„Ein Quader hat 6 gleich große Flächen.“
Diese Aussage ist falsch. Ein Quader hat zwar 6 Flächen, jedoch sind diese nicht alle gleich groß.
d)
„Ein Quader hat 6 Seitenflächen.“
Diese Aussage ist richtig. Ein Quader hat $6$ Rechtecke als Seiten.
e)
„Gegenüberliegende Seitenkanten sind gleich lang.“
Diese Aussage ist richtig. Die gegenüberliegenden Seiten sind parallel und gleich lang.
f)
„Quadervolumen: $V=a\cdot b\cdot h$“
Diese Aussage ist richtig. Auch für den Quader gilt die Volumenformel
Grundfläche $\cdot$ Höhe“.
3.
Oberfläche des Kartons berechnen
Setze die gegebenen Werte in die Formel zur Berechnung der Oberfläche ein.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A_\text{O}&=&2\cdot (ab+ah+bh) &\scriptsize \text{einsetzen} \\ A_\text{O}&=& 2\cdot\left(32\,\text{cm}\cdot20\,\text{cm} + 32\,\text{cm}\cdot12\,\text{cm} + 20\,\text{cm}\cdot12\,\text{cm}\right)&\scriptsize \text{zusammenfassen}\\ A_\text{O}&=&2\cdot\left(640\,\text{cm}^2 + 384\,\text{cm}^2 + 40\,\text{cm}^2\right) \\ A_\text{O}&=& 2\cdot1264\,\text{cm}^2=2528\,\text{cm}^2 \end{array}$
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A_\text{O}=2\cdot1264\,\text{cm}^2=2528\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Schuhkarton hat eine Oberfläche von $2528\,\text{cm}^2$.
4.
Fassungsvermögen einer Milchtüte bestimmen
Berechne das Volumen der Milchtüte und rechne das Ergebnis in Liter um. Beachte dabei, dass ein Liter genau $1000\,\text{cm}^3$ entspricht.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} V &=&a\cdot b \cdot h &\scriptsize \text{einsetzen}\\ V &=&9\,\text{cm}\cdot 5,7\,\text{cm}\cdot 19,7\,\text{cm}\\ V &=&1010,61\,\text{cm}^3=1,01\,l \end{array}$
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} V &=&1010,61\,\text{cm}^3=1,01\,l \end{array}$
In eine Tüte passen $1,01\,l$ Milch.
5.
$\blacktriangleright\;$ Volumen berechnen
Setze die gegeben Werte in die Formel zur Berechnung des Volumens ein.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} V &=&a\cdot b\cdot h&\scriptsize \text{einsetzen} \\ V &=&4\,\text{cm}\cdot 3\,\text{cm}\cdot 5\,\text{cm} \\ V &=&60\,\text{cm}^3 \end{array}$
Der Quader hat ein Volumen von $60\,\text{cm}^3$.
$\blacktriangleright\;$ Oberfläche berechnen
Setze die gegeben Werte in die Formel für die Oberfläche ein.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A_\text{O}&=&2\cdot (ab+ah+bh)&\scriptsize \text{einsetzen}\\ A_\text{O}&=&2\cdot (4\,\text{cm}\cdot 3\,\text{cm} + 4\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} + 3\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm})&\scriptsize \text{zusammenfassen}\\ A_\text{O}&=&2\cdot (12\,\text{cm}^2 + 20\,\text{cm}^2 + 15\,\text{cm}^2) \\ A_\text{O}&=&2\cdot 47\,\text{cm}^2=94\,\text{cm}^2 \end{array}$
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A_\text{O}=2\cdot 47\,\text{cm}^2=94\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Quader hat eine Oberfläche von $94\,\text{cm}^2$.
6.
$\blacktriangleright\;$ 2 mögliche Werte für $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ finden
Bestimme zuerst die Grundfläche und suche danach mögliche Werte für $a$ und $b$.
1. Schritt: Grundfläche bestimmen
Löse die allgemeine Volumenformel nach der Grundfläche auf und berechne diese.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} V &=&A_\text{G}\cdot h&\scriptsize \mid\;:h \\ A_\text{G}&=&\dfrac{V}{h} &\scriptsize \text{einsetzen}\\ A_\text{G}&=&\dfrac{80\,\text{cm}^3}{5\,\text{cm}}\\ A_\text{G}&=& 16\,\text{cm}^2 \end{array}$
2. Schritt: Mögliche Werte für $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ finden
Die Grundfläche ist bei einem Quader immer ein Rechteck. Für die Flächenberechnung bei einem Rechteck gilt die Formel $A=a\cdot b$.
Finde nun Werte für $a$ und $b$, die multipliziert $16$ ergeben.
$a=2\,\text{cm}\qquad b=8\,\text{cm}$
$a=4\,\text{cm}\qquad b=4\,\text{cm}$
$\blacktriangleright\;$ Oberfläche in Abhängigkeit von $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ berechnen
Stelle zuerst eine Obeflächenformel in Abhängigkeit von $a$ und $b$ auf und berechne danach die Oberfläche.
1. Schritt: Allgemeine Oberflächenformel aufstellen
Setze alle bekannten Werte in die Formel ein.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A_\text{O}&=&2\cdot (ab+ah+bh)&\scriptsize \text{einsetzen} \\ A_\text{O}&=&2\cdot (ab + a5\,\text{cm}+ b5\,\text{cm})&\scriptsize \text{ausmultiplizieren}\\ A_\text{O}&=&2ab + a10\,\text{cm}+ b10\,\text{cm} \end{array}$
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l}A_\text{O}=2ab + a10\,\text{cm}+ b10\,\text{cm} \end{array}$
2. Schritt: Oberfläche berechnen
Setze nun die oben berechneten Werte für $a$ und $b$ ein und bestimme jeweils die Oberfläche.
Berechnung mit $a=2\,\text{cm}$ und $b=8\,\text{cm}$.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A_\text{O}&=&2ab + a10\,\text{cm}+ b10\,\text{cm} &\scriptsize \text{einsetzen}\\ A_\text{O}&=&2\cdot 2\,\text{cm}\cdot 8\,\text{cm} + 2\,\text{cm}\cdot10\,\text{cm}+ 8\,\text{cm}\cdot10\,\text{cm}& \scriptsize \text{zusammenfassen} \\ A_\text{O}&=&32\,\text{cm}^2 + 20\,\text{cm}^2+ 80\,\text{cm}^2 \\ A_\text{O}&=&132\,\text{cm}^2 \end{array}$
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l}A_\text{O}&=&132\,\text{cm}^2 \end{array}$
Berechnung mit $a=4\,\text{cm}$ und $b=4\,\text{cm}$.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A_\text{O}&=&2ab + a10\,\text{cm}+ b10\,\text{cm} &\scriptsize \text{einsetzen}\\ A_\text{O}&=&2\cdot 4\,\text{cm}\cdot 4\,\text{cm} + 4\,\text{cm}\cdot10\,\text{cm}+ 4\,\text{cm}\cdot10\,\text{cm}&\scriptsize \text{zusammenfassen} \\ A_\text{O}&=&32\,\text{cm}^2 + 40\,\text{cm}^2+ 40\,\text{cm}^2\\ A_\text{O}&=&112\,\text{cm}^2 \end{array}$
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l}A_\text{O}=112\,\text{cm}^2 \end{array}$
7.
Maße des Aquariums berechnen
Der Aufgabenstellung kannst du folgende zwei Bedingungen entnehmen:
1)
$V=a\cdot b\cdot h$
Da zwei Seitenflächen jedoch quadratisch sein müssen gilt:
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} V&=&a\cdot b\cdot b&\scriptsize \text{einsetzen} \\ 54&=&a\cdot b\cdot b&\scriptsize \end{array}$
2)
Da die Fläche der Grundseite doppelt so groß sein soll wie die Fläche der quadratischen Seite gilt:
$A_{Grundseite}=\frac{1}{2}\cdot A_{quadratische\;Seite}$
$a\cdot b=\frac{1}{2}\cdot b\cdot b$
Nun musst du die erste Bedingung nach $a$ umstellen.
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} 54&=&a\cdot b\cdot b&\scriptsize \mid\;:a\\ \frac{54}{a}&=&b\cdot b&\scriptsize \mid\;:54\\ \frac{1}{a}&=&\frac{b\cdot b}{54}&\scriptsize\\ a&=&\frac{54}{b\cdot b}&\scriptsize \end{array}$
Als nächstes musst du die nach $a$ umgestellte Bedingung in die zweite Bedingung einsetzen.
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} a\cdot b&=&\frac{1}{2}\cdot b\cdot b&\scriptsize \text{einsetzen} \\ \left(\frac{54}{b\cdot b}\right)\cdot b&=&\frac{1}{2}\cdot b\cdot b&\scriptsize \\ \frac{54}{b}&=&\frac{b^2}{2}&\scriptsize \mid\;\cdot 2 \\ \frac{108}{b}&=&b^2&\scriptsize \mid\;\cdot b\\ b^3&=&108&\scriptsize \mid\;\sqrt[3]{\;}\\ \sqrt[3]{b^3}&=&\sqrt[3]{108}&\scriptsize\\ b&\approx&4,76&\scriptsize \end{array}$
Als letztes kannst du nun mithilfe der ersten Bedingung die Länge der Seite $a$ berechnen.
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} 54&=&a\cdot b\cdot b&\scriptsize \text{einsetzen} \\ 54&=&a\cdot4,76\cdot4,76&\scriptsize \mid\;:(4,76\cdot4,76) \\ a&=&\frac{54}{(4,76\cdot4,76)}&\scriptsize \\ a&\approx&2,38&\scriptsize \end{array}$
Das Aquarium hat die Maße 2,38 x 4,76 x 4,76 m (Länge $a$ mal Breite $b$ mal Höhe $b$).
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