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Streckenzug

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Erklärung

Ein Streckenzug, auch Linienzug oder Polygonzug genannt, ist ein Weg, der sich aus mehreren Strecken zusammensetzt. Die einzelnen Teilstrecken lassen sich mit Hilfe von geometrischen Figuren wie Dreiecke, Vierecke oder Kreise berechnen. Die Gesamtlänge des Streckenzugs wird durch Addition der Teilstrecken ermittelt.

Vorgehen

Zur Berechnung eines Streckenzuges teilst du den kompletten Zug in einzelne Teilstrecken ein. Diese Teilstrecken berechnest du einzeln. Zum Schluss addierst du die einzelnen Teilstrecken zur Gesamtstrecke.

Beispiel

Wir wollen den Streckenzug der Figur berechnen.
Teilstrecke $\overline{AB}$: $\overline{AB}=\sqrt{a²+a²}=$$\sqrt{8\text{ cm}²}=2,8$ cm
Teilstrecke $\overline{BC}$: $\overline{BC}=\frac{a}{2}=1$ cm
Teilstrecke $\overline{CD}$: $\overline{CD}=a=2$ cm
Teilstrecke $\overline{DE}$: $\overline{DE}=\sqrt{a²+\left(\frac{a}{2}\right)²}$$=\sqrt{4\text{ cm}²+1\text{ cm}²}=2,2$ cm
Streckenzug: $\overline{AB}$ + $\overline{BC}$ + $\overline{CD}$ + $\overline{DE}$ = $2,8$cm + $1$cm + $2$cm + $2,2$ cm = $8$ cm
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1.
Das „Haus vom Nikolaus“ kann mit einem Stift, ohne abzusetzen gezeichnet werden. Dadurch entsteht ein Streckenzug.
Wie lange ist der Streckenzug?
2.
Das Spielfeld eines Billiardtischs ist 2,24m lang und 1,12m breit. Die schwarze Kugel liegt mitten auf dem Tisch und soll über die Bande in die Tasche gespielt werden. Die beiden Winkel links und rechts von dem Winkel mit $70°$ sind gleich groß.
Welche Strecke legt die schwarze Kugel zurück?
3.
Der Würfel hat eine Kantenlänge von $a = 4,5$ cm. Der Winkel $\alpha$ beträgt 36,5°, der in der Würfeloberfläche eingezeichnete Streckenzug die Gesamtlänge $15,5$cm.
Berechne die Größe des Winkels $\beta$.
4.
Auf die Oberfläche des Würfels sind die Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$ eingezeichnet.
Es sind gegeben:
$a=4,5$cm
$\alpha=24°$
Berechne die Länge $\overline{BC}$, sowie den Winkel $\beta$.
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1.
$\blacktriangleright$ Länge des Streckenzugs berechnen
In dieser Aufgabe sollst du den Streckenzug des gezeichneten „Haus vom Nikolaus“ berechnen.
Am einfachsten ist es, wenn du den Streckenzug zuerst in einzelne Teilstrecken einteilst.
Jetzt kannst du die einzelnen Teilstrecken berechnen und anschließend die Teilstrecken addieren.
Die Teilstrecke $\overline{AB}$ ist genau so lang wie die Teilstrecke $\overline{BC}$. Du kannst dir hier ein rechtwinkliges Dreieck vorstellen und zum berechnen der Länge dieser Teilstrecke den Satz des Pythagoras verwenden.
Teilstrecke $\overline{AB}=\overline{BC}$:
$\overline{AB}=\sqrt{(3\,\text{cm})²+(4\,\text{cm})²}=$$\sqrt{9\,\text{ cm}²+16\,\text{ cm}²}=\sqrt{25\,\text{cm}²}=5$cm.
Die Strecken $\overline{AC}$,$\overline{CD}$,$\overline{DE}$ und $\overline{EA}$ sind ebenfalls gleich lang, da sie ein Quadrat bilden. Die Länge der Teilstrecken kannst du direkt aus der Skizze ablesen.
Teilstrecke $\overline{AC}=\overline{CD}=\overline{DE}=\overline{EA}$: $\overline{AC}= 6\text{cm}$.
Jetzt fehlen nur noch die beiden Teilstrecken $\overline{AD}$ und $\overline{CE}$. Da diese beiden Teilstrecken die Diagonalen des Quaders sind, sind auch diese beiden Teilstrecken gleich lang. Auch hier kannst du dir wieder ein rechtwinkliges Dreieck vorstellen und mit Hilfe des Satz des Pythagoras die Länge der Teilstrecken berechnen.
Die Länge der Teilstrecke $\overline{DE}=\overline{EA}$ hast du schon berechnet und musst nun nur noch die Werte in die Formel einsetzten:
Teilstrecke $\overline{AD}=\overline{CE}$:
$\overline{AD}=\sqrt{(6\,\text{cm})²+(6\,\text{cm})²}$$=\sqrt{36\,\text{ cm}²+36\,\text{ cm}²}=\sqrt{72\,\text{cm}²}$$=8,5$cm.
Jetzt musst du nur noch alle Teilstrecken addieren und erhälst die Länge des Streckenzugs. Beachte dabei, dass du beim addieren die Teilstrecke $\overline{AB}$ und $\overline{AD}$ mit zwei multiplizieren musst (zwei Teilstrecken sind gleich lang) und die Teilstrecke $\overline{AC}$ mit vier multiplizieren musst (vier Teilstrecken sind gleich lang).
Streckenzug $=2\cdot\overline{AB}+4\cdot\overline{AC}+2\cdot\overline{AD}$$=2\cdot5\,\text{cm}+4\cdot5\,\text{cm}+2\cdot8,5\,\text{cm}$$=24,5$cm.
Der Streckenzug ist $24,5$cm lang.
2.
$\blacktriangleright$ Zurückgelegte Strecke berechnen
In dieser Aufgabe sollst du berechnen, welche Strecke die schwarze Kugel auf dem Billiardtisch zurücklegt.
Du kannst die gesamte Strecke in zwei Teilstrecken einteilen.
Berechne zuesrt die beiden Winkel rechts und links neben dem $70°$ Winkel. Den Winkel bei der Teilstreck $a$ kannst du zum Beispiel $α$ nennen, den Winkel bei der Teilstrecke $b$ $β$.
Diese beiden Winkel kannst du mit Hilfe der Winkelsumme berechnen. Da $α$ und $β$ gleich groß sind, erhältst du die Formel:
$\begin{array}[t]{rll} 180°&=&70°+2\cdotα &\quad \scriptsize \mid\; -70°\quad \mid :2 \\[5pt] α&=&55° \\[5pt] β&=&55° \end{array}$
Jetzt kannst du die Strecke $a$ berechnen. Dazu kannst du den Sinus-Satz verwenden, da du einen Winkel und die Länge der Gegenkathete kennst.
Da in der Aufgabe gegeben ist, dass die Kugel genau in der Mitte des Tisches liegt und auch die Breite des Tisches bekannt ist, kannst du die Länge der Gegenkathete berechnen.
$\text{Gegenkathete}=1,12\,\text{m}:2$
$\sin(α)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypothenuse}}$.
$\begin{array}[t]{rll} \sin(55°)&=&\dfrac{0,56\,\text{m}}{a}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot a \quad \mid : \sin(55°)\\[5pt] a&=&\dfrac{0,56\,\text{m}}{\sin(55°)} \\[5pt] a&=&0,68\,\text{m} \end{array}$
$ \sin(55°)=\dfrac{0,56\,\text{m}}{a} $
Jetzt musst du noch die Strecke $b$ berechnen. Auch hier kannst du wieder den Sinus-Satz verwenden, da wieder ein Winkel und die Länge der Gegenkathete gegeben ist.
Die Gegenkathete ist gerade so lang wie der Tisch breit ist. Du kannst die gegebenen Werte in die Formel einsetzten.
$\begin{array}[t]{rll} \sin(55°)&=&\dfrac{1,12\,\text{m}}{b}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot b \quad \mid : \sin(55°)\\[5pt] b&=&\dfrac{1,12\,\text{m}}{\sin(55°)} \\[5pt] b&=&1,37\,\text{m} \end{array}$
$ \sin (55°)=\dfrac{1,12\,\text{m}}{b} $
Um die zurückgelegte Strecke der Kugel zu bestimmen, musst du noch beide Teilstrecke addieren.
$\text{Strecke}= 0,68\,\text{m}+ 1,37\,\text{m}=2,05\,\text{m}$.
Die schwarze Kugel legt eine Strecke von $2,05$m zurück.
3.
$\blacktriangleright$ Winkel $β$ berechnen
In dieser Aufgabe sollst du den Winkel $β$ berechnen.
Du kannst dir den Quader und den darin liegenden Streckenzug wieder in Teilstrecke einteilen.
Am einfachsten ist es, wenn du zuerst die Teilstrecke $b$ berechnest.
Der Winkel $α$ und die Länge der Teilstrecke $a$ sind in der Aufgabe geben. Um die Teilstrecke $b$ zu berechnen kannst du die Cosinus-Formel verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} \cos(36,5°)&=&\dfrac{4,5\,\text{cm}}{b}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot b \quad \mid : \cos(36,5°)\\[5pt] b&=&\dfrac{4,5\,\text{cm}}{cos(36,5°)} \\[5pt] b&=&5,6\,\text{cm} \end{array}$
$ \cos(36,5°)=\dfrac{4,5\,\text{cm}}{b} $
Mit der Länge der Strecke $b$ kannst du nun die Läge der Strecke $c$ berechnen. Dazu kannst du den Satz des Pythagoras verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} b^2&=&a^2+c^2 \\[5pt] c^2&=&b^2-a^2 \\[5pt] c&=&\sqrt{b^2-a^2 } \\[5pt] c&=&\sqrt{(5,6\,\text{cm})^2-(4,5\,\text{cm})^2 } \\[5pt] c&=&\sqrt{31,36\,\text{cm}^2-20,25\,\text{cm}^2 } \\[5pt] c&=&\sqrt{11,11\,\text{cm}^2 } \\[5pt] c&=&3,3\,\text{cm} \end{array}$
Mit der Länge der Teilstrecke $c$ kannst du nun die Länge der Teilstrecke $d$ berechnen. Dazu musst du von der Länge der Teilstrecke $a$ die Länge der Teilstrecke $d$ subtrahieren.
$\begin{array}[t]{rll} d&=&a-c \\[5pt] d&=&4,5\,\text{cm}-3,3\,\text{cm} \\[5pt] d&=&1,2\,\text{cm} \end{array}$
Als nächstes kannst du die Länge der Teilstrecke $e$ berechnen. Das geht am einfachsten mit dem Satz des Pythagoras.
$\begin{array}[t]{rll} e^2&=&a^2+d^2 \\[5pt] e&=&\sqrt{a^2+d^2 } \\[5pt] e&=&\sqrt{(4,5\,\text{cm})^2+(1,2\,\text{cm})^2 } \\[5pt] e&=&\sqrt{20,25\,\text{cm}^2+1,44\,\text{cm}^2 } \\[5pt] e&=&\sqrt{21,69\,\text{cm}^2 } \\[5pt] e&=&4,7\,\text{cm} \end{array}$
In der Aufgabe ist auch die Gesamtlänge der Strecke im Quader gegeben. Damit kannst du dann die Länge der Teilstrecke $f$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} 15,5\,\text{cm}&=&b+e+f&\quad \scriptsize \mid\;-(b+e) \\[5pt] f&=&15,5\,\text{cm}-(b+e) \\[5pt] f&=&15,5\,\text{cm}-(5,6\,\text{cm}+4,7\,\text{cm}) \\[5pt] f&=&5,2\,\text{cm} \end{array}$
$ 15,5\,\text{cm}=b+e+f $
Mit der Länge der Teilstrecke $f$ kannst du jetzt den Winkel $β$ berechnen. Da du die Längen der Ankathete und der Hypothenuse gegeben hast, kannst mit dem Sinus-Satz den Winkel $β$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \sin(β)&=&\dfrac{a}{f} \\[5pt] \sin(β)&=&\dfrac{4,5\,\text{cm}}{5,2\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1} \\[5pt] β&=&\sin^{-1}\left(\dfrac{4,5\,\text{cm}}{5,2\,\text{cm}}\right)\\[5pt] β&=&60° \end{array}$
$ \sin(β)=\dfrac{a}{f} $
Der Winkel β ist also $60°$ groß.
4.
$\blacktriangleright$ Winkel $β$ und Strecke $\overline{BC}$ berechnen
In dieser Aufgabe sollst du die Strecke $\overline{BC}$ und den Winkel $β$ berechnen.
Als erstes kannst du dafür die Strecke $\overline{AB}$ berechnen. Da die Strecke $a$ und der Winkel $α$ gegeben sind, kannst du den Cosinus-Satz verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} \cos(24°)&=&\dfrac{4,5\,\text{cm}}{\overline{AB}}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{AB} \quad \mid : \cos(24°)\\[5pt] \overline{AB}&=&\dfrac{4,5\,\text{cm}}{\cos(24°)} \\[5pt] \overline{AB}&=&4,9\,\text{cm} \end{array}$
$ \cos(24°)=\dfrac{4,5\,\text{cm}}{\overline{AB}} $
Am einfachsten ist es, wenn du dir als nächstes die beiden Teilstrecken $\overline{DB}$ und $\overline{BE}$ bildest.
Mit dem Satz des Pythagoras kannst du jetzt die Länge der Teilstrecke $\overline{DB}$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AB}^2&=&a^2+\overline{DB}^2& \quad \scriptsize \mid\;-a^2 \\[5pt] \overline{DB}^2&=&\overline{AB}^2-a^2 \\[5pt] \overline{DB}&=&\sqrt{\overline{AB}^2-a^2 } \\[5pt] \overline{DB}&=&\sqrt{(4,9\,\text{cm})^2-(4,5\,\text{cm})^2 } \\[5pt] \overline{DB}&=&\sqrt{24,01\,\text{cm}^2-20,25\,\text{cm}^2 } \\[5pt] \overline{DB}&=&\sqrt{3,76\,\text{cm}^2 } \\[5pt] \overline{DB}&=&1,9\,\text{cm} \end{array}$
$ \overline{AB}^2=a^2+\overline{DB}^2 $
Mit Hilfe der Teilstrecke $\overline{DB}$ kannst du die Teilstrecke $\overline{BE}$ berechnen, in dem du von der Strecke $a$ die $\overline{DB}$ subtrahierst.
$\begin{array}[t]{rll} \overline{BE}&=&a-\overline{DB} \\[5pt] \overline{BE}&=&4,5\,\text{cm}-1,9\,\text{cm} \\[5pt] \overline{BE}&=&2,6\,\text{cm} \end{array}$
Mit dem Satz des Pythagoras kannst du jetzt die gesuchte Seite $\overline{BC}$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \overline{BC}^2&=&a^2+\overline{BE}^2 \\[5pt] \overline{BC}&=&\sqrt{a^2+\overline{BE}^2 } \\[5pt] \overline{BC}&=&\sqrt{(4,5\,\text{cm})^2+(2,6\,\text{cm})^2 } \\[5pt] \overline{BC}&=&\sqrt{20,25\,\text{cm}^2+6,76\,\text{cm}^2 } \\[5pt] \overline{BC}&=&\sqrt{27,01\,\text{cm}^2 } \\[5pt] \overline{BC}&=&5,2\,\text{cm} \end{array}$
Jetzt musst du nur noch den Winkel $β$ berechnen. Dafür kannst du wieder den Cosinus-Satz verwenden, es ist aber auch möglich den Winkel mit dem Sinus-Satz zu berechnen. Wenn du den Cosinus-Satz verwendest, musst du für die Ankathete die Strecke $a$ einsetzen und für die Hypothenuse die Strecke $\overline{BC}$.
$\begin{array}[t]{rll} \cos{β}&=&\dfrac{a}{\overline{BC}} \\[5pt] \cos(β)&=&\dfrac{4,5\,\text{cm}}{5,2\,\text{cm}}&\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] β&=&\cos^{-1}\left(\dfrac{4,5\,\text{cm}}{5,2\,\text{cm}}\right)\\[5pt] β&=&30°\,\text{cm} \end{array}$
$ \cos{β}=\dfrac{a}{\overline{BC}} $
Die Strecke $\overline{BC}$ ist $5,2$cm lang und der Winkel $β$ ist $30°$ groß.
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