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Vermischte Aufgaben

Aufgaben
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1.  Zeichne ein beliebiges Dreieck und zeige, wie man eine Winkelhalbierende konstruieren kann.
2.  Gegeben ist folgende Zeichnung.
a)  Fälle das Lot vom Punkt $P$ auf die Strecke $c$.
b)  Bilde aus der Strecke $c$ ein gleichseitiges Dreieck.
3.  Konstruiere die Dreiecke mit den angegebenen Seitenlängen bzw. Winkeln.
a)  $a=5\,\text{cm}$
$b=6\,\text{cm}$
$c=7\,\text{cm}$
b)  $\alpha=50°$
$\beta=60°$
$c=5\,\text{cm}$
c)  $a=4\,\text{cm}$
$b=6\,\text{cm}$
$\gamma=70°$
d)  $c=8\,\text{cm}$
$b=5\,\text{cm}$
$\gamma=90°$
e)  $a=5\,\text{cm}$
$b=4\,\text{cm}$
$c=6\,\text{cm}$
f)  $\alpha=70°$
$\beta=40°$
$c=7\,\text{cm}$
4.  Zeichne alle Winkelhalbierenden und Mittelsenkrechten ein.
a) 
b) 
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Lösungen
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1.  In dieser Aufgabe sollst du ein beliebiges Dreieck zeichnen und beschreiben, wie man darin eine Winkelhalbierende einzeichnet.
Um eine Winkelhalbierende zu zeichnen, musst du folgende Schritte befolgen:
  • Als erstes zeichnest du einen Kreis um Punkt $A$. Den Radius kannst du selbst wählen.
  • Punkt $A$ ist immer der Eckpunkt bei Winkel $\alpha$
  • Markiere dir die Schnittpunkte des Kreises um $A$ mit den Schenkeln, die den Winkel $\alpha$ einschließen
  • Zeichne nun jeweils einen Kreis um die Schnittpunkte $S_1$ und $S_2$
  • Diese Kreise sollten den selben Radius besitzen
  • Es ist nicht wichtig, dass dieser Radius der gleiche ist wie der Radius, den du bei Punkt $A$ gewählt hast
  • Markiere dir die Schnittpunkte der beiden Kreise (ist der Radius derselbe wie bei Punkt $A$, so ist Punkt $A$ ein Schnittpunkt und $W$ der andere)
  • Zum Schluss ziehst du eine Gerade $w$ durch den Punkt $A$ und den Schnittpunkt $W$
  • Die Gerade $w$ ist deine gesuchte Winkelhalbierende
2. 
a)  Hier sollst du als erstes das Lot vom Punkt $P$ auf die Strecke $c$ fällen.
  • Dazu zeichnest du zuerst einen Kreis um den Lotpunkt $P$, der Radius sollte so groß gewählt sein, dass der Kreis die Strecke $c$ schneidet
  • Markiere dir diese Schnittpunkte $S_1$ und $S_2$
  • Zeichne jeweils einen Kreis um die Schnittpunkte $S_1$ und $S_2$. Der Radius der beiden Kreise sollte gleich sein und so groß gewählt, dass sich die beiden Kreise schneiden.
  • Markiere dir die Schnittpunkte $S_3$ und $S_4$
  • Zieh eine Gerade durch die Schnittpunkte $S_3$ und $S_4$
  • Diese Gerade ist die gesuchte Lotgerade
b)  Als nächstes sollst du aus der Strecke $c$ ein gleichseitiges Dreieck bilden. Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang.
  • Zeichne als erstes einen Kreis um den Punkt $A$ und den Punkt $B$. Wichtig dabei ist, dass der Radius der beiden Kreise genau so groß ist wie die Strecke $c$ lang ist.
  • Die beiden Kreise schneiden sich in zwei Punkten. Wähle einen der Schnittpunkte aus und bezeichne ihn mit $C$. Dieser Punkt ist der dritte Punkt des Dreiecks.
  • Das Dreieck erhältst du, indem du die Punkt $A$ und $B$ jeweils mit $C$ verbindest.
  • Wenn du dir die Zeichnung genau anschaust, kannst du sehen, dass die Lotgerade eine Winkelhalbierende und gleichzeitig eine Mittelsenkrechte des gleichseitigen Dreiecks ist.
3.  In dieser Aufgabe sollst du Dreiecke konstruieren. Die Dreiecke kannst du mit Hilfe der 4 Kongruenzsätze SSS, SWS, SSW und WSW zeichnen.
a)  SSS
Hier sind alle Seitenlängen gegeben. Um das Dreieck zu konstruieren musst du so vorgehen:
  • Zeichne eine beliebige Strecke (z.B. $c$)
  • Markiere dir die Endpunkte dieser Strecke (hier wäre das am linken Ende $A$ und am rechten Ende $B$)
  • Zeichne einen Kreis um den einen Punkt (z.B. $A$, der Radius wäre hier der Wert der Strecke $b$)
  • Zeichne einen Kreis um den anderen Punkt (z.B. $B$, der Radius wäre dann der Wert der Strecke $a$)
  • Markiere dir die Schnittpunkte der Kreise und wähle einen aus (das ist dann der Eckpunkt $C$).
  • Verbinde den Schnittpunkt ($C$) nur noch mit den anderen Punkten ($A$ und $B$) und beschrifte die Strecken.
b)  WSW
Hier hast du eine Strecke und die Winkel am jeweiligen Endpunkt dieser Strecke gegeben. Um das Dreieck zeichnen zu können musst du so vorgehen:
  • Zeichne die gegebene Strecke auf
  • Zeichne die gegebenen Winkel ein
  • Markiere dir den Schnittpunkt der beiden Geraden
  • Beschrifte die fehlenden Strecken und Punkte
c)  SWS
Hier sind zwei Seiten gegeben und der Winkel, der von den beiden Seiten eingeschlossen wird. Um dieses Dreieck zu konstruieren musst du so vorgehen:
  • Zeichne eine beliebige Strecke (z.B. $c$)
  • Nun musst du den Winkel einzeichnen, achte dabei welcher Winkel gegeben ist!
  • Nun musst du diese Gerade verlängern bzw. kürzen, damit sie der Länge deiner anderen gegebenen Strecke entspricht
  • Verbinde die Endpunkte beider Strecken miteinander und beschrifte die fehlenden Strecken und Punkte
d)  SSW
Hier hast du auch zwei Seiten und einen Winkel gegeben, aber der Winkel ist diesmal nicht zwischen den beiden Strecken, die du gegeben hast. Um das Dreieck zu konstruieren solltest du so vorgehen:
  • Zeichne die kürzere der beiden gegebenen Strecken
  • Zeichne den gegebenen Winkel an der entsprechenden Stelle ein
  • Am anderen Endpunkt der Strecke solltest du nun einen Kreis zeichnen. Der Radius ist dabei der Wert der längeren Strecke
  • Markiere dir den Schnittpunkt zwischen Kreis und Geraden, mit der du den Winkel eingezeichnet hast
  • Verbinde den Schnittpunkt mit den anderen Endpunkten
  • Beschrifte die fehlenden Strecken und Punkte
e)  SSS
Hier sind alle Seitenlängen gegeben. Um das Dreieck zu konstruieren musst du so vorgehen:
  • Zeichne eine beliebige Strecke (z.B. $c$)
  • Markiere dir die Endpunkte dieser Strecke (hier wäre das am linken Ende $A$ und am rechten Ende $B$)
  • Zeichne einen Kreis um den einen Punkt (z.B. $A$, der Radius wäre hier der Wert der Strecke $b$)
  • Zeichne einen Kreis um den anderen Punkt (z.B. $B$, der Radius wäre dann der Wert der Strecke $a$)
  • Markiere dir die Schnittpunkte der Kreise und wähle einen aus (das ist dann der Eckpunkt $C$)
  • Verbinde den Schnittpunkt ($C$) nur noch mit den anderen Punkten ($A$ und $B$) und beschrifte die Strecken.
f)  WSW
Hier hast du eine Strecke und die Winkel am jeweiligen Endpunkt dieser Strecke gegeben. Um das Dreieck zeichnen zu können musst du so vorgehen:
  • Zeichne die gegebene Strecke auf
  • Zeichne die gegebenen Winkel ein
  • Markiere dir den Schnittpunkt der beiden Geraden
  • Beschrifte die fehlenden Strecken und Punkte
4.  In dieser Aufgabe hast du zwei Dreiecke gegeben und sollst die Winkelhalbierenden und die Mittelsenkrechten einzeichnen.
a)  Um die Winkelhalbierenden einzuzeichnen, kannst du so vorgehen:
  • Als erstes zeichnest du einen Kreis um Punkt $A$
  • Punkt $A$ ist immer der Eckpunkt bei Winkel $\alpha$
  • Markiere dir die Schnittpunkte ($S_1$ und $S_2$) des Kreises um $A$ mit den Schenkeln, die den Winkel $\alpha$ einschließen
  • Zeichne nun jeweils einen Kreis um die Schnittpunkte $S_1$ und $S_2$
  • Diese Kreise sollten den selben Radius besitzen
  • Es ist nicht wichtig, dass dieser Radius der gleiche ist wie der Radius, den du bei Punkt $A$ gewählt hast
  • Markiere dir die Schnittpunkte der beiden Kreise
  • Zum Schluss ziehst du eine Gerade $w$ durch den Punkt $A$ und den Schnittpunkt $W_1$
  • Die Gerade $w$ ist deine gesuchte Winkelhalbierende
  • Um die beiden anderen Winkelhalbierenden einzuzeichnen, kannst du genau so vorgehen.
Um die Mittelsenkrechten einzuzeichnen, kannst du so vorgehen:
  • Wähle einen geeigneten Radius, dieser sollte etwas größer als die Hälfte der Strecke sein
  • Zeichne nun jeweils einen Kreis um die Eckpunkte $A$ und $B$
  • Markiere die Schnittpunkte der Kreise $S_1$ und $S_2$
  • Zieh zum Schluss eine Gerade durch $S_1$ und $S_2$
  • Diese Gerade ist die gesuchte Mittelsenkrechte $M_1$
  • Um die beiden anderen Mittelsenkrechten einzuzeichnen, kannst du genau so vorgehen.
b)  Um die Winkelhalbierenden einzuzeichnen, kannst du wie in Aufgabenteil a) vorgehen.
Um die Mittelsenkrechten zu berechnen, kannst du auch hier wie in Aufgabenteil a) vorgehen.
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