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Bruchterme

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Lege den Definitionsbereich fest.
Alle Zahlen, die für $x$ einsetzbar sind, gehören zum Definitionsbereich. Für welche Zahl ist der Nenner $0$? Diese Zahl darf dann nicht für $x$ in den Bruch eingesetzt werden.
$\dfrac{12}{x-8}$
b)
Kürze.
$\dfrac{3}{24x}$
c)
Erweitere um $2$.
$\dfrac{5}{13x}$
d)
Bringe die Brüche auf den Hauptnenner.
$\dfrac{1}{4x} + \dfrac{2}{3x}$
#brücheerweitern#definitionsbereich#brüchekürzen#bruch

Aufgabe 1

Ergänze die fehlenden Zahlen. Was fällt dir auf?
x012345
$\dfrac{5}{x}$
$\dfrac{1}{1-x}$
$\dfrac{2}{2 \cdot (x-5)}$
$\dfrac{4}{3 \cdot (3x - 6)}$
#definitionsbereich#bruch

Aufgabe 2

Lege den Definitionsbereich fest.
b)
$\dfrac{4}{x+2}$
d)
$\dfrac{6}{17-x}$
f)
$\dfrac{2}{4x+3}$
h)
$\dfrac{23}{(3x-4) \cdot 4}$
#definitionsbereich#bruch

Aufgabe 3

1. Kürze
b)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{27}{3x}&=&\dfrac{9}{?} \\[5pt] \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{64}{28 \cdot (4x+10)}&=&\dfrac{16}{?} \\[5pt] \end{array}$
2. Erweitere
b)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{8}{5x}&=&\dfrac{32}{?} \\[5pt] \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{10}{3x+2}&=&\dfrac{50}{?} \\[5pt] \end{array}$
#brücheerweitern#brüchekürzen#bruch

Aufgabe 4

Bringe die Brüche auf den Hauptnenner.
b)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{5}{8x} - \dfrac{1}{6} \\[5pt] \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{2}{3x} + \dfrac{9}{12x} \\[5pt] \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{7}{8x} - \dfrac{3}{x} \\[5pt] \end{array}$
h)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{2}{x-3} - \dfrac{1}{5} \\[5pt] \end{array}$
j)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{9}{x} - \dfrac{10}{x+1} \\[5pt] \end{array}$
l)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{7}{x} + \dfrac{2}{x+9} \\[5pt] \end{array}$
#bruch
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Definitionsbereich festlegen
Zahlen sind nicht durch $0$ teilbar. Um zu vermeiden, dass im Nenner eines Bruches die Zahl $0$ steht, muss der Definitionsbereich festgelegt werden. Um dies zu tun, kannst du den Nenner mit $0$ gleichsetzen. Dann löst du nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{12}{\color{#87c800}{x-8}} \\[5pt] x-8&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; +8\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{8} \end{array}$
$8$ darf also nicht für $x$ eingesetzt werden.
b)
$\blacktriangleright$  Bruch kürzen
Hier kannst du mit $3$ kürzen.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{3}{24x}&=&\dfrac{\color{#87c800}{1}}{\color{#87c800}{8x}} \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Bruch erweitern
Hier kannst du um $2$ erweitern.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{5}{13x}&=&\dfrac{\color{#87c800}{10}}{\color{#87c800}{26x}} \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$  Brüche auf den Hauptnenner bringen
$\dfrac{1}{4x} + \dfrac{2}{3x}$
Hier ist der Hauptnenner $12x$. Die Lösung ist dann:
$\begin{array}[t]{rll} \color{#87c800}{\dfrac{3}{12x}} + \color{#87c800}{\dfrac{8}{12x}} \\[5pt] = \color{#87c800}{\dfrac{11}{12x}} \end{array}$

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$  Tabelle ausfüllen
$x$$0$$1$$2$$3$$4$$5$
$\dfrac{5}{x}$Error$5$$\dfrac{5}{2}$$\dfrac{5}{3}$$\dfrac{5}{4}$$\dfrac{5}{5}$
$\dfrac{1}{1-x}$$1$Error$-1$$-\dfrac{1}{2}$$-\dfrac{1}{3}$$-\dfrac{1}{4}$
$\dfrac{4}{2 \cdot (x-5)}$$-\dfrac{2}{5}$$-\dfrac{1}{2}$$-\dfrac{2}{3}$$-1$$-2$Error
$\dfrac{12}{3 \cdot (3x - 6)}$$-\dfrac{2}{3}$$-\dfrac{4}{3}$Error$\dfrac{4}{3}$$\dfrac{2}{3}$$\dfrac{4}{9}$
Beim Ansehen der Tabelle fällt auf, dass bestimmte Brüche nicht lösbar sind. Wenn man zum Beispiel $\dfrac{5}{0}$ in den Taschenrechner eingibt, wird keine Lösung gefunden. Dies ist darauf zurückzuführen, dass keine einzige Zahl durch $0$ geteilt werden kann. Das ist nämlich nicht zulässig.

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Definitionsbereich festlegen
$\dfrac{10}{x}$
Der Nenner darf nicht $0$ sein. Der Definitionsbereich beträgt also:
$\begin{array}[t]{rll} x&=&\color{#87c800}{0} \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Definitionsbereich festlegen
$\dfrac{4}{x+2}$
Der Nenner darf nicht $0$ sein. Der Definitionsbereich beträgt also:
$\begin{array}[t]{rll} x + 2&=&0 &\quad\scriptsize \mid\; -2\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{ -2} \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Definitionsbereich festlegen
$\dfrac{3-2}{x}$
Der Nenner darf nicht $0$ sein. Der Definitionsbereich beträgt also:
$\begin{array}[t]{rll} x&=&\color{#87c800}{0} \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$  Definitionsbereich festlegen
$\dfrac{6}{17-x}$
Der Nenner darf nicht $0$ sein. Der Definitionsbereich beträgt also:
$\begin{array}[t]{rll} 17-x&=&0 &\quad\scriptsize \mid\; +x\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{17} \end{array}$
e)
$\blacktriangleright$  Definitionsbereich festlegen
$\dfrac{8}{x+9}$
Der Nenner darf nicht $0$ sein. Der Definitionsbereich beträgt also:
$\begin{array}[t]{rll} x+9&=&0 &\quad\scriptsize \mid\; -9\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{-9} \end{array}$
f)
$\blacktriangleright$  Definitionsbereich festlegen
$\dfrac{2}{4x+3}$
Der Nenner darf nicht $0$ sein. Der Definitionsbereich beträgt also:
$\begin{array}[t]{rll} 4x+3&=&0 &\quad\scriptsize \mid\; -3\\[5pt] 4x&=&\color{#87c800}{-3} &\quad\scriptsize \mid\; :4\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{-\dfrac{3}{4}} \end{array}$
g)
$\blacktriangleright$  Definitionsbereich festlegen
$\dfrac{15}{4\cdot(x+1)}$
Der Nenner darf nicht $0$ sein. Der Definitionsbereich beträgt also:
$\begin{array}[t]{rll} 4\cdot(x+1)&=&0 &\quad\scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{4x}+\color{#87c800}{4}&=&0 &\quad\scriptsize \mid\; -4\\[5pt] 4x&=&\color{#87c800}{-4} &\quad\scriptsize \mid\; :4\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{-1} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
h)
$\blacktriangleright$  Definitionsbereich festlegen
$\dfrac{23}{(3x-4) \cdot 4}$
Der Nenner darf nicht $0$ sein. Der Definitionsbereich beträgt also:
$\begin{array}[t]{rll} (3x-4) \cdot 4&=&0 &\quad\scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{12x} - \color{#87c800}{16}&=&0 &\quad\scriptsize \mid\; +16\\[5pt] 12x&=&\color{#87c800}{16} &\quad\scriptsize \mid\; :12\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{\dfrac{4}{3}} \end{array}$
$ ERGEBNIS $

Aufgabe 3

1.
a)
$\blacktriangleright$  Bruch kürzen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{32}{56x}&=&\dfrac{?}{7x} \\[5pt] \end{array}$
Hier kannst du mit der Zahl $8$ kürzen.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{32}{56x}&=&\dfrac{\color{#87c800}{4}}{7x} \\[5pt] \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Bruch kürzen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{27}{3x}&=&\dfrac{9}{?} \\[5pt] \end{array}$
Hier kannst du mit der Zahl $3$ kürzen.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{27}{3x}&=&\dfrac{9}{\color{#87c800}{x}} \\[5pt] \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Bruch kürzen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{12}{2 \cdot (x+8)}&=&\dfrac{?}{x+8} \\[5pt] \end{array}$
Hier kannst du mit der Zahl $2$ kürzen.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{12}{2 \cdot (x+8)}&=&\dfrac{\color{#87c800}{6}}{x+8} \\[5pt] \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$  Bruch kürzen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{64}{28 \cdot (4x+10)}&=&\dfrac{16}{?} \\[5pt] \end{array}$
Hier kannst du mit der Zahl $4$ kürzen.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{64}{28 \cdot (4x+10)}&=&\dfrac{16}{\color{#87c800}{7} \cdot (4x + 10 )} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
2.
a)
$\blacktriangleright$  Bruch erweitern
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{3}{4x}&=&\dfrac{?}{12x} \\[5pt] \end{array}$
Hier kannst du mit der Zahl $3$ erweitern.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{3}{4x}&=&\dfrac{\color{#87c800}{9}}{12x} \\[5pt] \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Bruch erweitern
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{8}{5x}&=&\dfrac{32}{?} \\[5pt] \end{array}$
Hier kannst du mit der Zahl $4$ erweitern.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{8}{5x}&=&\dfrac{32}{\color{#87c800}{20x}} \\[5pt] \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Bruch erweitern
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{7}{x+3}&=&\dfrac{?}{4 \cdot(x+3)} \\[5pt] \end{array}$
Hier kannst du mit der Zahl $4$ erweitern.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{7}{x+3}&=&\dfrac{\color{#87c800}{28}}{4 \cdot(x+3)} \\[5pt] \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$  Bruch erweitern
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{10}{3x+2}&=&\dfrac{50}{?} \\[5pt] \end{array}$
Hier kannst du mit der Zahl $5$ erweitern.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{10}{3x+2}&=&\dfrac{50}{\color{#87c800}{5\cdot (3x+2)}} \\[5pt] \end{array}$

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Auf Hauptnenner erweitern
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{4}{5x} + \dfrac{2}{3} \\[5pt] \end{array}$
Der Hauptnenner ist hier $15x$. Die Lösung ist dann:
$\begin{array}[t]{rll} \color{#87c800}{\dfrac{\color{#87c800}{12}}{\color{#87c800}{15x}}} + \color{#87c800}{\dfrac{\color{#87c800}{10x}}{\color{#87c800}{15x}}} \\[5pt] = \color{#87c800}{\dfrac{12 + 10x}{15x}} \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Auf Hauptnenner erweitern
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{5}{8x} - \dfrac{1}{6} \\[5pt] \end{array}$
Der Hauptnenner ist hier $24x$. Die Lösung ist dann:
$\begin{array}[t]{rll} \color{#87c800}{\dfrac{\color{#87c800}{15}}{\color{#87c800}{24x}}} + \color{#87c800}{\dfrac{\color{#87c800}{4x}}{\color{#87c800}{24x}}} \\[5pt] = \color{#87c800}{\dfrac{15+4x}{24x}} \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Auf Hauptnenner erweitern
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{10x} - \dfrac{6}{8x} \\[5pt] \end{array}$
Der Hauptnenner ist hier $40x$. Die Lösung ist dann:
$\begin{array}[t]{rll} \color{#87c800}{\dfrac{\color{#87c800}{4}}{\color{#87c800}{40x}} }- \color{#87c800}{\dfrac{\color{#87c800}{30x}}{\color{#87c800}{40x}}} \\[5pt] = \color{#87c800}{\dfrac{4 - 30 x}{40x}} \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$  Auf Hauptnenner erweitern
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{2}{3x} + \dfrac{9}{12x} \\[5pt] \end{array}$
Der Hauptnenner ist hier $12x$. Die Lösung ist dann:
$\begin{array}[t]{rll} \color{#87c800}{\dfrac{8}{12x}} + \dfrac{9}{12x} \\[5pt] =\color{#87c800}{\dfrac{17}{12x}} \end{array}$
e)
$\blacktriangleright$  Auf Hauptnenner erweitern
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{3}{4x} +1 \\[5pt] \end{array}$
Der Hauptnenner ist hier $4x$. Die Lösung ist dann:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{3}{4x} +\color{#87c800}{\dfrac{4x}{4x}} \\[5pt] = \color{#87c800}{\dfrac{3 + 4x}{4x}} \end{array}$
f)
$\blacktriangleright$  Auf Hauptnenner erweitern
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{7}{8x} - \dfrac{3}{x} \\[5pt] \end{array}$
Der Hauptnenner ist hier $8x$. Die Lösung ist dann:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{7}{8x} - \color{#87c800}{\dfrac{24}{8x}} \\[5pt] =\color{#87c800}{- \dfrac{17}{8x}} \end{array}$
g)
$\blacktriangleright$  Auf Hauptnenner erweitern
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{5}{5x+5} - \dfrac{3}{5} \\[5pt] \end{array}$
Der Hauptnenner ist hier $5x+5$. Die Lösung ist dann:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{5}{5x+5} - \color{#87c800}{\dfrac{3 \cdot (x+1)}{5 \cdot (x+1)}} \\[5pt] \end{array}$
Löse jetzt die Klammern auf und fasse zusammen.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{5}{5x+5} - \color{#87c800}{\dfrac{3x+3}{5x+5}} \\[5pt] = \color{#87c800}{\dfrac{5-3x+3}{5x+5}} \\[5pt] = \dfrac{\color{#87c800}{-2 -3x}}{5x+5} \end{array}$
h)
$\blacktriangleright$  Auf Hauptnenner erweitern
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{2}{x-3} - \dfrac{1}{5} \\[5pt] \end{array}$
Hier ist der Hauptnenner nicht ganz so offensichtlich. Um ihn zu ermitteln, kannst du die Nenner miteinander multiplizieren. Der Hauptnenner ist dann $5x - 15$. Die Lösung ist dann:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{10}{5 \cdot (x-3)} - \color{#87c800}{\dfrac{1 \cdot (x-3)}{5 \cdot (x-3)}} \\[5pt] \end{array}$
Löse jetzt die Klammer auf und fasse zusammen.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{10}{\color{#87c800}{5x -15}} - \color{#87c800}{\dfrac{x-3}{5x-15}} \\[5pt] = \dfrac{\color{#87c800}{10-x-3}}{5x-15}\\[5pt] = \dfrac{\color{#87c800}{7-x}}{5x-15} \end{array}$
i)
$\blacktriangleright$  Auf Hauptnenner erweitern
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{4}{x} + \dfrac{5}{8x} \\[5pt] \end{array}$
Der Hauptnenner ist hier $8x$. Die Lösung ist dann:
$\begin{array}[t]{rll} \color{#87c800}{\dfrac{32}{8x}} + \dfrac{5}{8x} \\[5pt] = \color{#87c800}{\dfrac{37}{8x}} \end{array}$
j)
$\blacktriangleright$  Auf Hauptnenner erweitern
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{9}{x} - \dfrac{10}{x+1} \\[5pt] \end{array}$
Hier ist der Hauptnenner nicht ganz so offensichtlich. Um ihn zu ermitteln, kannst du die Nenner miteinander multiplizieren. Der Hauptnenner ist dann $x² + x$. Die Lösung ist dann:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{9 \cdot \color{#87c800}{(x+1)}}{\color{#87c800}{x² +x}} - \dfrac{10\color{#87c800}{x}}{\color{#87c800}{x² +x}} \\[5pt] \end{array}$
Löse jetzt die Klammer auf und fasse zusammen.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\color{#87c800}{9x+9}}{x²+x} - \dfrac{10x}{x² +x} \\[5pt] = \dfrac{\color{#87c800}{9x+9 -10x}}{x²+x} \\[5pt] = \dfrac{\color{#87c800}{-x+9}}{x²+x} \end{array}$
k)
$\blacktriangleright$  Auf Hauptnenner erweitern
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{x+3}{x-4} + 3 \\[5pt] \end{array}$
Der Hauptnenner ist hier $x-4$. Die Lösung ist dann:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{x+3}{x-4} + \color{#87c800}{\dfrac {3 \cdot (x-4)}{x-4}} \\[5pt] \end{array}$
Löse jetzt die Klammer auf und fasse zusammen.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{x+3}{x-4} + \dfrac {\color{#87c800}{3x-12}}{x-4} \\[5pt] = \dfrac{\color{#87c800}{x+3+3x-12}}{x-4}\\[5pt] = \dfrac{\color{#87c800}{4x-9}}{x-4} \end{array}$
l)
$\blacktriangleright$  Auf Hauptnenner erweitern
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{7}{x} + \dfrac{2}{x+9} \\[5pt] \end{array}$
Hier kannst du wieder die Nenner miteinander multiplizieren um den Hauptnenner herauszufinden. Der Hauptnenner ist dann $x² + 9x$. Die Lösung ist dann:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{7\cdot \color{#87c800}{(x+9)}}{\color{#87c800}{x² + 9x}} + \dfrac{2\color{#87c800}{x}}{\color{#87c800}{x²+9x}} \\[5pt] \end{array}$
Löse jetzt die Klammer auf und fasse zusammen.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\color{#87c800}{7x+63}}{x² + 9x} + \dfrac{2x}{x² + 9x} \\[5pt] = \dfrac{\color{#87c800}{7x+63 +2x}}{x² + 9x}\\[5pt] = \dfrac{\color{#87c800}{9x +63}}{x² + 9x} \end{array}$
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