Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Gymnasium (G9)
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 8
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
VERA 8
VERA 8
VERA 8
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Lineare Gleichungen mit zwei Variablen

Spickzettel
Download als Dokument:PDF
Es gibt nicht nur lineare Gleichungen mit einer Variablen $x$ sondern auch mit zwei Variablen $x$ und $y$.
Gesucht ist also ein Zahlenpaar $(x\mid y)$, das die Gleichung erfüllt.
So ein Paar findest du, indem du zuerst für Zahl für $x$ einsetzt und die Gleichung dann nach der $y$ auflöst. Es gibt unendlich viele solcher Lösungspaare.
Wenn du die berechneten Lösungspaare in ein Koordinatensystem einzeichnest, erhältst du eine Gerade. Die Funktionsgleichung dieser Geraden erhältst du, indem du die Gleichung so weit auflöst, bis $y$ alleine auf einer Seite steht.

Beispiel

$2y-6x=2$
Das Paar $x=1$ und $y=4$ erfüllt diese Gleichung. Genauso wie das Paar $x = 2$ und $y = 7$.
Trägst du diese in ein Koordinatensystem ein, kannst du eine Gerade durch diese beiden Punkte zeichnen.
Löst du nun die Gleichung nach $y$ auf, siehst du, dass diese Funktionsgleichung genau die Gerade beschreibt:

$\begin{array}[t]{rll} 2y-6x&=& 2 &\quad \scriptsize \mid\;+6x \\[5pt] 2y&=& 2+6x &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] y&=& 1+3x &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 2y-6x&=& 2 &\\[5pt] 2y&=& 2+6x &\\[5pt] y&=& 1+3x &\\[5pt] \end{array}$
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Aufgaben
Download als Dokument:PDF
1.
Gib jeweils drei mögliche Lösungspaare der Gleichungen an.
b)
$3x = y$
d)
$10x-2 = 5y+3$
2.
Zeichne jeweils die zugehörige Gerade und gib die Funktionsgleichung an.
b)
$4x-2y = 0$
3.
In einer Schule gibt es sowohl 4er Tische als auch 3er Tische. In einer Klasse sind 25 Kinder.
Wie viele Tische von welcher Sorte können aufgestellt werden, damit jeder Platz besetzt wird und jeder Schüler einen Platz hat? Stelle den Sachverhalt in einer Gleichung dar und gib eine mögliche Lösung an.
4.
Prüfe, ob $(3\mid -2)$ eine Lösung der folgenden Gleichungen ist.
b)
$4 -2x = y $
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1.
Lösungspaare angeben
a)
$x=y$
Hier kannst du drei verschiedene Werte für $x$ einsetzen und jeweils die Lösung für $y$ berechnen. Für $x =1$, $x=2$ und $x=3$ erhältst du jeweils:
  • $x = 1:\quad y = x =1$
  • $x =2 : \quad y = x =2$
  • $x=3: \quad y = x = 3$
Für die Gleichung $x =y$ gibt es also beispielsweise die Lösungspaare $(1\mid 1)$, $(2\mid 2)$ und $(3\mid 3)$.
b)
$3x = y$
Gehe hier wie bei der vorherigen Aufgabe vor und setze verschiedene Werte für $x$ ein, um $y$ zu berechnen:
  • $x=1: \quad y = 3x = 3\cdot 1 =3$
  • $x=2: \quad y = 3x = 3\cdot 2 =6$
  • $x=3: \quad y = 3x = 3\cdot 3 =9$
  • $x=1: \quad y = 3$
  • $x=2: \quad y = 6$
  • $x=3: \quad y = 9$
Die Zahlenpaare $(1\mid 3)$, $(2\mid 6)$ und $(3\mid 9)$ erfüllen die Gleichungen $y =3x$.
c)
$6x=2y+4$
Lösungen für diese Gleichung kannst du am schnellsten bestimmen, indem du sie nach $x$ auflöst und dann drei verschiedene Werte für $y$ einsetzt um jeweils das zugehörige $x$ zu berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} 6x&=&2y+4 &\quad \scriptsize \mid\; :6\\[5pt] x&=& \frac{1}{3}y+\frac{2}{3} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
  • $y = 1: \quad x = \frac{1}{3}y+\frac{2}{3} = \frac{1}{3}\cdot1 +\frac{2}{3} = 1$
  • $y = 4: \quad x = \frac{1}{3}y+\frac{2}{3} = \frac{1}{3}\cdot4 +\frac{2}{3} = 2$
  • $y = 7: \quad x = \frac{1}{3}y+\frac{2}{3} = \frac{1}{3}\cdot7 +\frac{2}{3} = 3$
$\boldsymbol{y = 1}:$
$x = \frac{1}{3}y+\frac{2}{3} = \frac{1}{3}\cdot1 +\frac{2}{3} = 1$
$\boldsymbol{y = 4}:$
$x = \frac{1}{3}y+\frac{2}{3} = \frac{1}{3}\cdot4 +\frac{2}{3} = 2$
$\boldsymbol{y = 7}:$
$x = \frac{1}{3}y+\frac{2}{3} = \frac{1}{3}\cdot7 +\frac{2}{3} = 3$
Die Gleichung $6x = 2y+4$ wird beispielsweise von $(1\mid1)$, $(2\mid4)$ und $(3\mid7)$ gelöst.
d)
$10x-2 = 5y+3$
Gehe hier ähnlich wie in der vorherigen Aufgabe vor. Löse die Gleichung zunächst nach $x$ oder $y$ und setze für die andere Variable verschiedene Werte ein:
$\begin{array}[t]{rll} 10x-2&=& 5y+3 &\quad \scriptsize \mid\; -3 \\[5pt] 10x-5&=& 5y &\quad \scriptsize \mid\; :5 \\[5pt] 2x-1&=& y &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 10x-2&=& 5y+3 &\quad \\[5pt] 10x-5&=& 5y &\quad \\[5pt] 2x-1&=& y &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
  • $x = 0:\quad y = 2x-1 = 2\cdot 0 -1 = -1$
  • $x = 1:\quad y = 2x-1 = 2\cdot 1 -1 = 1$
  • $x = 2:\quad y = 2x-1 = 2\cdot 2 -1 = 3$
$\boldsymbol{x = 0}:$
$y = 2x-1 = 2\cdot 0 -1 = -1$
$\boldsymbol{x = 1}:$
$y = 2x-1 = 2\cdot 1 -1 = 1$
$\boldsymbol{x = 2}:$
$y = 2x-1 = 2\cdot 2 -1 = 3$
Die Zahlenpaare $(0\mid-1)$, $(1\mid 1)$ und $(2\mid3)$ erfüllen die Gleichung $10x-2=5y+3$.
2.
Gerade zeichnen und Funktionsgleichung angeben
a)
$2x+7=y+5$
$\blacktriangleright$   Funktionsgleichung angeben
Löse die Gleichung nach $y$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} 2x+7&=& y+5 &\quad \scriptsize \mid\; -5\\[5pt] 2x+2&=& y \end{array}$
Die Funktionsgleichung der durch die Gleichung $2x+7=y+5$ beschriebenen Gerade lautet $y = 2x+2$.
$\blacktriangleright$   Gerade zeichnen
Um eine Gerade zeichnen zu können, benötigst du zwei Punkte, die darauf liegen. Bestimme also zwei Zahlenpaare, die die Gleichung erfüllen und somit die Koordinaten zweier Punkte auf der Geraden darstellen. Setze dazu in die Funktionsgleichung zwei Werte für $x$ ein und berechne das zugehörige $y$:
Lineare Gleichungen: Lineare Gleichungen mit zwei Variablen
Lineare Gleichungen: Lineare Gleichungen mit zwei Variablen
b)
$4x-2y = 0$
$\blacktriangleright$   Funktionsgleichung angeben
Löse die Gleichung nach $y$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} 4x-2y&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +2y\\[5pt] 4x&=&2y &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] 2x&=&y &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Funktionsgleichung der durch die Gleichung $4x-2y = 0$ beschriebenen Gerade lautet $y = 2x$.
$\blacktriangleright$   Gerade zeichnen
Um eine Gerade zeichnen zu können, benötigst du zwei Punkte, die darauf liegen. Bestimme also zwei Zahlenpaare, die die Gleichung erfüllen und somit die Koordinaten zweier Punkte auf der Geraden darstellen. Setze dazu in die Funktionsgleichung zwei Werte für $x$ ein und berechne das zugehörige $y$:
Lineare Gleichungen: Lineare Gleichungen mit zwei Variablen
Lineare Gleichungen: Lineare Gleichungen mit zwei Variablen
3.
Textaufgabe darstellen
$\blacktriangleright$   Gleichung aufstellen
Um eine Textaufgabe in eine mathematische Gleichung zu überführen, überlege dir zunächst was $x$ und $y$ beschreiben sollen. In diesem Fall ist es sinnvoll die Anzahl der 4er Tische als $x$ und die Anzahl der 3er Tische als $y$ zu bezeichnen. Dann gilt folgendes:
  • Die Anzahl der Plätze an 4er Tischen ist $4\cdot x$
  • Die Anzahl der Plätze an 3er Tischen ist $3\cdot y$
Insgesamt soll es genau $25$ Plätze geben, also ergibt sich folgende Gleichung:
$4x + 3y =25$
$\blacktriangleright$   Lösung ermitteln
Wie in den Aufgaben zuvor solltest du die Gleichung zunächst nach $y$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} 4x + 3y&=& 25&\quad \scriptsize \mid\; -4x \\[5pt] 3y&=& 25-4x &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] y&=&\frac{25}{3} -\frac{4}{3}x&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\frac{25}{3} -\frac{4}{3}x&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Hier musst du nun darauf achten, dass nur ganzzahlige Lösungen zugelassen sind. Es kann keine halben Tische oder ähnliches geben, vor allem aber keine negativen Vorzeichen. Um dies zu erreichen, musst du dir genau überlegen, welche $x$ du in die Gleichung einsetzen kannst, damit $y$ immernoch eine ganze Zahl ist.
Für $x=4$ ergibt sich beispielsweise $y = \frac{25}{3} -\frac{4}{3}\cdot 4= \frac{9}{3}=3$
Es könnten zum Beispiel vier 4er Tische und drei 3er Tische aufgestellt werden, sodass alle $25$ Schüler Platz haben und kein Stuhl leer bleibt.
4.
Lösung prüfen
a)
$4x+y=0$
Einsetzen in die Gleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 4x+y&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] 4\cdot 3+(-2)&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] 10&=&0 &\quad \scriptsize \color{#87c800}{↯} \\[5pt] \end{array}$
$(3\mid -2)$ ist keine Lösung der Gleichung $4x+y = 0$.
b)
$4 -2x = y $
Einsetzen in die Gleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 4-2x&=& y &\quad \scriptsize \\[5pt] 4-2\cdot 3&=&-2 &\quad \scriptsize\\[5pt] -2&=&-2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$(3\mid -2)$ ist eine Lösung von $4-2x=y$.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App