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Additionsverfahren

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Erkläre anhand der Darstellung, wie das Additionsverfahren Schritt für Schritt funktioniert.
$\text{I}$ $\,$ $x + y = 1$
$\text{II}$ $\,$ $2x +3y =4$
$\rightarrow$
$\text{I} \cdot -2$
$-2x - 2y = -2$
$\;$ $\rightarrow$
$\text{I+II}$
$y = 2$
$\rightarrow$
$\text{I}$ $\,$ $x + 2 = 1$
$\,$ $\;$ $x = -1$
$\downarrow$
$(-1 \mid 2)$
$\text{I}$ $\,$ $x + y = 1$
$\text{II}$ $\,$ $2x +3y =4$
$\downarrow$
$\text{I} \cdot -2$
$-2x - 2y = -2$
$\downarrow$
$\text{I+II}$
$y = 2$
$\downarrow$
$\text{I}$ $\,$ $x + 2 = 1$
$\,$ $\;$ $x = -1$
$\downarrow$
$(-1 \mid 2)$
b)
Wende das Additionsverfahren an.
$\text{I}$$\;$ $2x + 5y = 41$
$\text{II}$ $-2x + 3y=15$
c)
Multipliziere mit $-1$ und wende dann das Additionsverfahren an.
$\text{I}$$\;$ $3x + 8y= 38$
$\text{II}$ $3x -4y =-10$
d)
Forme die Gleichung äquivalent um und wende dann das Additionsverfahren an.
$\text{I}$$\;$ $x + 6y= 33$
$\text{II}$ $4x + 3y = 27$
e)
Stelle ein Gleichungssystem auf und löse es.
Hanna möchte sich zu ihrer Spielekonsole ein Spiel und einen Controller kaufen. Es gibt zwei verschiedene Sparpakete. Das erste Paket enthält zwei Controller und ein Spiel und kostet $65,70$ $€$. Das zweite Paket enthält einen Controller und zwei Spiele und kostet $62,70$ $€$. Wie viel kostet ein Controller? Was kostet ein Spiel?
#additionsverfahren#gleichungssystem

Aufgabe 1

Benutze das Additionsverfahren, um die Gleichungssysteme zu lösen.
b)
$\text{I}$ $\,$ $3x + y = 10$
$\text{II}$ $\,$ $2x -y = 5$
d)
$\text{I}$ $\,$ $12y = -x + 2$
$\text{II}$ $\,$ $12y = 5x -6$
f)
$\text{I}$ $\,$ $18 = 6x - y$
$\text{II}$ $\,$ $32 =2 x +y$
h)
$\text{I}$ $\,$ $10x = 2y + 40$
$\text{II}$ $\,$ $10x =3y - 5$
#gleichungssystem#additionsverfahren

Aufgabe 2

Du kannst nicht immer sofort das Additionsverfahren anwenden. Manchmal musst du die Gleichung mit $-1$ multiplizieren, um diese Methode anwenden zu können.
b)
$\text{I}$ $\,$ $2y + 6x = 2$
$\text{II}$$\,$ $2y + 5x =-8$
d)
$\text{I}$ $\,$ $5x + 4y = 4$
$\text{II}$$\,$ $6x + 4y = 16$
#additionsverfahren#gleichungssystem

Aufgabe 3

Forme eine Gleichung des Gleichungssystems durch Multiplikation so um, dass du das Additionsverfahren anwenden kannst.
b)
$\text{I}$ $\,$ $3x + 5y = 10$
$\text{II}$ $\,$ $2x + y = 6$
d)
$\text{I}$ $\,$ $5x + 2y = -6$
$\text{II}$ $\,$ $2x + y = 5$
f)
$\text{I}$ $\,$ $8x + 7y = 6$
$\text{II}$ $\,$ $4x + 2y =3$
h)
$\text{I}$ $\,$ $14x - 28y= -2$
$\text{II}$ $\,$ $ -7x + 21y = 8 $
j)
$\text{I}$ $\,$ $13x + 8y = 53$
$\text{II}$ $\,$ $7x - 2y =-13$
#additionsverfahren#gleichungssystem

Aufgabe 4

Lineare Gleichungssysteme: Additionsverfahren
Abb. 1: Jetzt 'nen Donut!
Lineare Gleichungssysteme: Additionsverfahren
Abb. Zahl: Jetzt 'nen Donut!
#gleichungssystem#additionsverfahren
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Rechenschritte erklären
$\text{I}$ $\,$ $x + y = 1$
$\text{II}$ $\,$ $2x +3y =4$
Das ist das Gleichungssystem.
$\quad$ $\,$ $\,$ $\quad$ $\downarrow$
$\text{I} \cdot (-2)$
$-2x - 2y = -2$
Damit du das Additionsverfahren anwenden kannst, musst du eine Gleichung so umformen, dass bei der Addition der Gleichungen eine Variable durch Subtraktion wegfällt. In diesem Fall multiplizierst du mit $-2$.
$\quad$ $\,$ $\,$ $\quad$ $\downarrow$
$\text{I+II}$
$y = 2$
Wenn du Gleichung $\text{I}$ mit Gleichung $\text{II}$ addierst, fällt $2x$ weg. $y$ hat dann den Wert $2$.
$\quad$ $\,$ $\,$ $\quad$ $\downarrow$
$\text{I}$ $\,$ $x + 2 = 1$
$\,$ $\;$ $x = -1$
$y$ wird jetzt in die Gleichung $\text{I}$ eingesetzt. Dann wird nach $x$ aufgelöst.
$\quad$ $\,$ $\,$ $\quad$ $\downarrow$
$\;$ $\;$ $\;$ $(-1 \mid 2)$
Das ist das Ergebnis.
$\text{I}$ $\,$ $x + y = 1$
$\text{II}$ $\,$ $2x +3y =4$
Das ist das Gleichungssystem.
$\text{I} \cdot (-2)$
$-2x - 2y = -2$
Damit du das Additionsverfahren anwenden kannst, musst du eine Gleichung so umformen, dass bei der Addition der Gleichungen eine Variable durch Subtraktion wegfällt. In diesem Fall multiplizierst du mit $-2$.
$\text{I+II}$
$y = 2$
Wenn du Gleichung $\text{I}$ mit Gleichung $\text{II}$ addierst, fällt $2x$ weg. $y$ hat dann den Wert $2$.
$\text{I}$ $\,$ $x + 2 = 1$
$\,$ $\;$ $x = -1$
$y$ wird jetzt in die Gleichung $\text{I}$ eingesetzt. Dann wird nach $x$ aufgelöst.
$(-1 \mid 2)$
Das ist das Ergebnis.
b)
$\blacktriangleright$  Additionsverfahren anwenden
$\text{I}$$\;$ $2x + 5y = 41$
$\text{II}$ $-2x + 3y=15$
Wende jetzt das Additionsverfahren $\text{I}$ + $\text{II}$ an.
$\begin{array}{lll} \text{I}\quad&2x + 5y&=&41 &\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&-2x + 3y&=& 15 &\quad\\ \hline \text{I + II} \quad& \color{#87c800}{8y} &=&\color{#87c800}{56} &\quad \scriptsize\mid\; :8\\ \quad& y &=& \color{#87c800}{7} &\quad\\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze $y$ in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 2x + 5 \cdot \color{#87c800}{7} &=&41 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] 2x +\color{#87c800}{35} &=&41 &\quad \scriptsize \mid\; -35\\[5pt] 2x&=&\color{#87c800}{6} &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{3} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(7 \mid 3)$.
c)
$\blacktriangleright$  Additionsverfahren anwenden
$\text{I}$$\;$ $3x + 8y= 38$
$\text{II}$ $3x -4y =-10$
Forme die Gleichung $\text{II}$ um, indem du mit $-1$ multiplizierst.
$\begin{array}[t]{rll} 3x -4y &=&-10 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (- 1)\\[5pt] \color{#87c800}{-3x + 4y}&=&\color{#87c800}{10} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Wende jetzt das Additionsverfahren $\text{I}$ + $\text{II}$ an.
$\begin{array}{lll} \text{I}\quad& 3x + 8y&=&38 &\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad& -3x + 4y&=&10 &\quad\\ \hline \text{I + II} \quad& \color{#87c800}{12y} &=&\color{#87c800}{48} &\quad \scriptsize\mid\; :12\\ \quad& y&=&4 &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze $y$ in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 3x + 8 \cdot \color{#87c800}{4} &=&38 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] 3x + \color{#87c800}{32} &=&38 &\quad \scriptsize \mid\; -32\\[5pt] 3x&=&\color{#87c800}{6} &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{2} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(4 \mid 2)$.
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung umformen und Gleichungssystem lösen
$\text{I}$$\;$ $x + 6y= 33$
$\text{II}$ $4x + 3y = 27$
Zuerst formst du die Gleichung $\text{II}$ um, indem du mit $-2$ multiplizierst.
$\begin{array}[t]{rll} 4x + 3y&=&27 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-2)\\[5pt] \color{#87c800}{-8x} \color{#87c800}{-6y}&=&\color{#87c800}{-54} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Wende jetzt das Additionsverfahren an.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x + 6y&=& 33 \quad &\scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&-8x -6y&=&-54 \quad &\\ \hline \text{I+II} \quad&\color{#87c800}{-7x}&=&\color{#87c800}{-21} \quad &\scriptsize\mid\; : (-7)\\ \quad&x&=& \color{#87c800}{3} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze $x$ jetzt in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} \color{#87c800}{3} + 6y&=&33 &\quad \scriptsize \mid\; -3\\[5pt] 6y&=& \color{#87c800}{30} &\quad \scriptsize \mid\; :6\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{5} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(3 \mid 5)$.
e)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem aufstellen und lösen
Das erste Paket enthält zwei Controller und ein Spiel und kostet $65,70$ $€$. Das zweite Paket enthält einen Controller und zwei Spiele und kostet $62,70$ $€$. Wieviel kostet ein Controller? Was bezahlt Hanna für ein Spiel?
Ein Controller steht hier für $x$, ein Spiel steht für $y$. Für Gleichung $\text{I}$ gilt also: zwei Controller mit einem Spiel addiert, kosten $65,70$ $€$. Für Gleichung $\text{II}$ gilt dann: ein Controller mit zwei Spielen addiert, kostet $62,70$ $€$. Diese Informationen kannst du jetzt in ein Gleichungssystem umwandeln:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&2x + y &=& 65,7 \quad &\\ \text{II}\quad& x + 2y&=& 62,7 \quad &\\ \end{array}$
Forme Gleichung $\text{II}$ jetzt so um, dass du das Additionsverfahren anwenden kannst. Multipliziere mit $-2$.
$\begin{array}[t]{rll} x + 2y&=&62,7 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-2)\\[5pt] \color{#87c800}{-2x - 4y}&=&\color{#87c800}{-125,4} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Wende das Additionsverfahren an und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&2x + y&=&65,7 \quad &\scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&-2x - 4y&=&-125,4 \quad &\\ \hline \text{I+ II} \quad&\color{#87c800}{-3y}&=& \color{#87c800}{-59,7} \quad &\scriptsize\mid\; : (-3)\\ \quad&y&=& \color{#87c800}{19,9} \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze $y$ in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 2x + \color{#87c800}{19,9}&=&65,70 &\quad \scriptsize \mid\; -19,9\\[5pt] 2x&=&\color{#87c800}{45,8} &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{22,9} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Ein Controller kostet also $22,90$ $€$ und ein Spiel kostet $19,90$ $€$.

Aufgabe 1

Bei dieser Aufgabe wendest du das Additionsverfahren an. Du addierst also Gleichung $\text{I}$ mit Gleichung $\text{II}$. Somit löschst du eine Variable weg. Löse danach nach der verbleibenden Variable auf. Die Lösung für diese Variable setzt du nun in Gleichung $\text{I}$ ein und löst nach der übrig gebliebenen Variable auf. Daraus ergibt sich dann die Lösung.
a)
$\blacktriangleright$  Additionsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $4x + 2y = 2$
$\text{II}$ $\,$ $x -2y =3$
Wende jetzt das Additionsverfahren $\text{I}$ + $\text{II}$ an.
$\begin{array}{lll} \text{I}\quad&4x + 2y&=&2 &\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&x - 2y&=& 3 &\quad\\ \hline \text{I + II} \quad& \color{#87c800}{5x} &=&\color{#87c800}{5} &\quad \scriptsize\mid\; :5\\ \quad& x &=& \color{#87c800}{1} &\quad\\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze $x$ in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 4 \cdot \color{#87c800}{1} + 2y&=&2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{4} + 2y&=&2 &\quad \scriptsize \mid\; -4\\[5pt] 2y&=&\color{#87c800}{-2} &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{-1} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(1 \mid -1)$.
b)
$\blacktriangleright$  Additionsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $3x + y = 10$
$\text{II}$ $\,$ $2x -y = 5$
Wende jetzt das Additionsverfahren $\text{I}$ + $\text{II}$ an.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&3x + y&=&10 &\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&2x - y&=&5 &\quad\\ \hline \text{I + II} \quad& \color{#87c800}{5x} &=&\color{#87c800}{15} &\quad \scriptsize\mid\; :5\\ \quad& x&=&\color{#87c800}{ 3} &\quad\\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze $x$ in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 3 \cdot \color{#87c800}{3} + y&=&10 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{9} + y&=&10 &\quad \scriptsize \mid\; -9\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{1 } \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(3 \mid 1)$.
c)
$\blacktriangleright$  Additionsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $5x + 7y = 8$
$\text{II}$ $\,$ $2x - 7y = 13$
Wende jetzt das Additionsverfahren $\text{I}$ + $\text{II}$ an.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&5x + 3y&=&8 &\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&2x - 3y&=&13 &\quad\\ \hline \text{I + II} \quad& \color{#87c800}{7x} &=&\color{#87c800}{21} &\quad \scriptsize\mid\; :7\\ \quad& x&=& \color{#87c800}{3} &\quad\\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze $x$ in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 5 \cdot\color{#87c800}{ 3} + 7y&=&8 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{15} + 7y&=&8 &\quad \scriptsize \mid\; -15\\[5pt] 7y&=&\color{#87c800}{-7} &\quad \scriptsize \mid\; :7\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{-1} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(3 \mid -1)$.
d)
$\blacktriangleright$  Additionsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $12y = -x + 2$
$\text{II}$ $\,$ $-12y = 5x -6$
Wende jetzt das Additionsverfahren $\text{I}$ + $\text{II}$ an.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&8y&=&-x + 2 &\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&-8y&=&5x - 6 &\quad\\ \hline \text{I + II} \quad& \color{#87c800}{0} &=&\color{#87c800}{4x} \color{#87c800}{-4} &\quad \scriptsize\mid\; +4\\ \quad& \color{#87c800}{4}&=& 4x &\quad \scriptsize\mid\; :4\\ \quad& x&=& \color{#87c800}{1} &\quad\\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze $x$ in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 12y&=&-\color{#87c800}{1} + 2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere}\\[5pt] 12y&=&\color{#87c800}{1} &\quad \scriptsize \mid\; :12\\[5pt] y&=& \color{#87c800}{\dfrac{1}{12} } \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $\left(1 \mid \dfrac{1}{12}\right)$.
e)
$\blacktriangleright$  Additionsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $8x + 5y + 13 = 0$
$\text{II}$ $\,$ $3x - 5y -2 =0$
Wende jetzt das Additionsverfahren $\text{I}$ + $\text{II}$ an.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&8x + 5y + 13&=&0 &\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&3x - 5y - 2&=&0 &\quad\\ \hline \text{I + II} \quad& \color{#87c800}{11x} + \color{#87c800}{11}&=&\color{#87c800}{0} &\quad \scriptsize\mid\; -11\\ \quad& 11x&=& \color{#87c800}{-11} &\quad \scriptsize\mid\; :11\\ \quad& x&=& \color{#87c800}{-1} &\quad\\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze $x$ in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 8 \cdot -1 + 5y + 13&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere}\\[5pt] \color{#87c800}{5} + 5y&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; -5\\[5pt] 5y&=&\color{#87c800}{-5} &\quad \scriptsize \mid\; :5\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{-1} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(-1 \mid -1)$.
f)
$\blacktriangleright$  Additionsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $18 = 6x - y$
$\text{II}$ $\,$ $32 =2x +y$
Wende jetzt das Additionsverfahren $\text{I}$ + $\text{II}$ an.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&18&=&6x - y &\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad& 32&=& 2x + y &\quad\\ \hline \text{I + II} \quad& \color{#87c800}{40}&=&\color{#87c800}{8x} &\quad \scriptsize\mid\; :8\\ \quad& x&=&\color{#87c800}{5} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze $x$ in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 18&=& 6 \cdot \color{#87c800}{5} - y &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] 18&=&\color{#87c800}{30} - y &\quad \scriptsize \mid\; -30\\[5pt] \color{#87c800}{-12}&=& -y &\quad \scriptsize \mid\; :-1\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{12} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(5 \mid 12)$.
g)
$\blacktriangleright$  Additionsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $2x = 5y +1$
$\text{II}$ $\,$ $-2x = 3y - 17$
Wende jetzt das Additionsverfahren $\text{I}$ + $\text{II}$ an.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&2x&=& 5y + 1 &\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad& -2x&=& 3y - 17 &\quad\\ \hline \text{I + II} \quad& \color{#87c800}{0}&=&\color{#87c800}{8y -16} &\quad \scriptsize\mid\; +16\\ \quad& \color{#87c800}{16}&=&8y &\quad \scriptsize\mid\; :8\\ \quad& y&=&\color{#87c800}{2} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze $y$ in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 2x &=& 5 \cdot \color{#87c800}{2} +1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] 2x&=&\color{#87c800}{11} &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] x&=& \color{#87c800}{5,5} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(5,5 \mid 2)$.
h)
$\blacktriangleright$  Additionsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $10x = 2y + 40$
$\text{II}$ $\,$ $-10x =3y - 6$
Wende jetzt das Additionsverfahren $\text{I}$ + $\text{II}$ an.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&10x&=& 2y + 40 &\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad& -10x&=& 3y - 5 &\quad\\ \hline \text{I + II} \quad& \color{#87c800}{0}&=&\color{#87c800}{5y -35} &\quad \scriptsize\mid\; +35\\ \quad& \color{#87c800}{35}&=&5y &\quad \scriptsize\mid\; :5\\ \quad& y&=&\color{#87c800}{7} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze $y$ in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 10x &=& 2 \cdot \color{#87c800}{5} + 40 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] 10x&=&\color{#87c800}{50} &\quad \scriptsize \mid\; :10\\[5pt] x&=& \color{#87c800}{5} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(5 \mid 7)$.

Aufgabe 2

Bei dieser Aufgabe formst du zuerst eine der Gleichungen um, indem du mit $-1$ multiplizierst. Erst danach kannst du das Additionsverfahren anwenden. Du addierst also Gleichung $\text{I}$ mit Gleichung $\text{II}$. Somit löschst du eine Variable weg. Löse danach nach der verbleibenden Variable auf. Die Lösung für diese Variable setzt du nun in Gleichung $\text{I}$ ein und löst nach der übrig gebliebenen Variable auf. Daraus ergibt sich dann die Lösung.
a)
$\blacktriangleright$  Additionsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $2x + 7y =11$
$\text{II}$$\,$ $x + 7y =2 $
Forme die Gleichung $\text{II}$ um, indem du mit $-1$ multiplizierst.
$\begin{array}[t]{rll} x + 3y &=&2 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (- 1)\\[5pt] \color{#87c800}{-x - 3y}&=&\color{#87c800}{-2} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Wende jetzt das Additionsverfahren $\text{I}$ + $\text{II}$ an.
$\begin{array}{lll} \text{I}\quad& 2x + 7y&=&11 &\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad& -x - 7y&=&-2 &\quad\\ \hline \text{I + II} \quad& \color{#87c800}{x} &=&\color{#87c800}{9} \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze $x$ in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot \color{#87c800}{9} + 7y&=&11 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{18} + 7y&=&11 &\quad \scriptsize \mid\; -18\\[5pt] 7y&=&\color{#87c800}{-7} &\quad \scriptsize \mid\; :7\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{-1} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(9 \mid -1)$.
b)
$\blacktriangleright$  Additionsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $2y + 6x = 2$
$\text{II}$$\,$ $2y + 5x =-8$
Forme die Gleichung $\text{II}$ um, indem du mit $-1$ multiplizierst.
$\begin{array}[t]{rll} 2y + 5x &=&-8 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (- 1)\\[5pt] \color{#87c800}{-2y - 5x}&=&\color{#87c800}{8} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Wende jetzt das Additionsverfahren $\text{I}$ + $\text{II}$ an.
$\begin{array}{lll} \text{I}\quad& 2y + 6x&=&2 &\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad& -2y -5x&=&8 &\quad\\ \hline \text{I + II} \quad& \color{#87c800}{x} &=&\color{#87c800}{10} \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze $x$ in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 2y + 6 \cdot \color{#87c800}{10} &=&2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] 2y + \color{#87c800}{60} &=&2 &\quad \scriptsize \mid\; -60\\[5pt] 2y&=&\color{#87c800}{-58} &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{-29} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(10 \mid -29)$.
c)
$\blacktriangleright$  Additionsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $12x + 16y = -14$
$\text{II}$$\,$ $12x + 4y = 130$
Forme die Gleichung $\text{II}$ um, indem du mit $-1$ multiplizierst.
$\begin{array}[t]{rll} 12x + 4y &=& 130 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (- 1)\\[5pt] \color{#87c800}{-12x -4y}&=&\color{#87c800}{ -130} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Wende jetzt das Additionsverfahren $\text{I}$ + $\text{II}$ an.
$\begin{array}{lll} \text{I}\quad& 12x + 16y&=&-14 &\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad& -12x -4y&=& -130 &\quad\\ \hline \text{I + II} \quad& \color{#87c800}{12y} &=&\color{#87c800}{-144} &\quad \scriptsize\mid\; :12\\ \quad& y&=&\color{#87c800}{-12} &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze $y$ in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 12x + 16 \cdot \color{#87c800}{12} &=&-14 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] 2y + \color{#87c800}{192} &=&-14 &\quad \scriptsize \mid\; -192\\[5pt] 2y&=&\color{#87c800}{-206} &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{-103} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(12 \mid -103)$.
d)
$\blacktriangleright$  Additionsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $5x + 4y = 4$
$\text{II}$$\,$ $6x + 4y = 16$
Forme die Gleichung $\text{I}$ um, indem du mit $-1$ multiplizierst.
$\begin{array}[t]{rll} 5x + 4y &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (- 1)\\[5pt] \color{#87c800}{-5x -4y}&=&\color{#87c800}{-4} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Wende jetzt das Additionsverfahren $\text{I}$ + $\text{II}$ an.
$\begin{array}{lll} \text{I}\quad& -5x -4y&=&-4 &\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad& 6x +4y&=&16 &\quad\\ \hline \text{I + II} \quad& \color{#87c800}{x} &=&\color{#87c800}{12} \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze $x$ in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} -5 \cdot \color{#87c800}{12} - 4y &=&-4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{-60} - 4y &=&-4 &\quad \scriptsize \mid\; +60\\[5pt] 4y&=&\color{#87c800}{56} &\quad \scriptsize \mid\; :4\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{14} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(12 \mid 14)$.

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Gleichung umformen und Gleichungssystem lösen
$\text{I}$ $\,$ $10x + 4y = 8$
$\text{II}$ $\,$ $2x + 8y =52$
Zuerst formst du die Gleichung $\text{I}$ um, indem du mit $-2$ multiplizierst.
$\begin{array}[t]{rll} 10x + 4y&=&8 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-2)\\[5pt] \color{#87c800}{-20x} \color{#87c800}{- 8y}&=&\color{#87c800}{-16} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Wende jetzt das Additionsverfahren an.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&-20x - 8y&=& -16 \quad &\scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&2x + 8y&=&52 \quad &\\ \hline \text{I+II} \quad&\color{#87c800}{-18x}&=&\color{#87c800}{36} \quad &\scriptsize\mid\; : (-18)\\ \quad&x&=& \color{#87c800}{-2} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze $x$ jetzt in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 10 \cdot \color{#87c800}{-2} + 4y&=&8 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{-20} + 4y&=&8 &\quad \scriptsize \mid\; +20\\[5pt] 4y&=&\color{#87c800}{28} &\quad \scriptsize \mid\; :4\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{7 } \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(-2 \mid 7)$.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung umformen und Gleichungssystem lösen
$\text{I}$ $\,$ $3x + 5y = 9$
$\text{II}$ $\,$ $2x + y = 6$
Zuerst formst du die Gleichung $\text{II}$ um, indem du mit $-5$ multiplizierst.
$\begin{array}[t]{rll} 2x + y&=&6 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-5)\\[5pt] \color{#87c800}{-10x - 5y}&=&\color{#87c800}{-30 } \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Wende jetzt das Additionsverfahren an.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&3x + 5y &=& 9 \quad &\scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&-10x - 5y&=&-30 \quad &\\ \hline \text{I+II} \quad&\color{#87c800}{-7x}&=&\color{#87c800}{-21} \quad &\scriptsize\mid\; : (-7)\\ \quad&x&=& \color{#87c800}{3} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze $x$ jetzt in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 3 \cdot \color{#87c800}{3} + 5y&=&9 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{9} + 5y&=&9 &\quad \scriptsize \mid\; -9\\[5pt] 5y&=&\color{#87c800}{0} &\quad \scriptsize \mid\; :5\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{0} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(3 \mid 0)$.
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung umformen und Gleichungssystem lösen
$\text{I}$ $\,$ $2x + 3y = 4$
$\text{II}$ $\,$ $-x - 6y = 16$
Zuerst formst du die Gleichung $\text{I}$ um, indem du mit $2$ multiplizierst.
$\begin{array}[t]{rll} 2x + 3y&=&4 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2\\[5pt] \color{#87c800}{4x} + \color{#87c800}{6y}&=&\color{#87c800}{8 } \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Wende jetzt das Additionsverfahren an.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&4x + 6y &=& 8 \quad &\scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&-x - 6y&=&16\quad &\\ \hline \text{I+II} \quad&\color{#87c800}{3x}&=&\color{#87c800}{24} \quad &\scriptsize\mid\; : 3\\ \quad&x&=& \color{#87c800}{8} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze $x$ jetzt in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot \color{#87c800}{8} + 3y&=&4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{16} + 3y&=&4 &\quad \scriptsize \mid\; -16\\[5pt] 3y&=&\color{#87c800}{-12} &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{-4} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(8 \mid -4)$.
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung umformen und Gleichungssystem lösen
$\text{I}$ $\,$ $5x + 2y = -6$
$\text{II}$ $\,$ $2x + y = 5$
Zuerst formst du die Gleichung $\text{II}$ um, indem du mit $-2$ multiplizierst.
$\begin{array}[t]{rll} 2x + y&=&5 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-2)\\[5pt] \color{#87c800}{-4x -2y}&=&\color{#87c800}{-10 } \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Wende jetzt das Additionsverfahren an.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&5x + 2y &=& -6 \quad &\scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&-4x - 2y&=&-10\quad &\\ \hline \text{I+II} \quad&x&=&\color{#87c800}{-16} \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze $x$ jetzt in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 5 \cdot \color{#87c800}{-16} +2y&=&-6 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{-80} + 2y&=&-6 &\quad \scriptsize \mid\; +80\\[5pt] 2y&=&\color{#87c800}{74} &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{37} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(-16 \mid 37)$.
e)
$\blacktriangleright$  Gleichung umformen und Gleichungssystem lösen
$\text{I}$ $\,$ $8x + 5y = 10$
$\text{II}$ $\,$ $4x + 2y = 8$
Zuerst formst du die Gleichung $\text{II}$ um, indem du mit $-2$ multiplizierst.
$\begin{array}[t]{rll} 4x +2y&=&8 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-2)\\[5pt] \color{#87c800}{-8x -4y}&=&\color{#87c800}{-16} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Wende jetzt das Additionsverfahren an.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&8x + 5y &=& 10 \quad &\scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&-8x - 4y&=&-16\quad &\\ \hline \text{I+II} \quad&y&=&\color{#87c800}{-6} \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze $y$ jetzt in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 8x + 5 \cdot \color{#87c800}{-6}&=&10 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] 8x \color{#87c800}{-30}&=&10 &\quad \scriptsize \mid\; +30\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{40} &\quad \scriptsize \mid\; :8\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{5} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(-6 \mid 5)$.
f)
$\blacktriangleright$  Gleichung umformen und Gleichungssystem lösen
$\text{I}$ $\,$ $8x + 7y = 6$
$\text{II}$ $\,$ $4x + 2y =3$
Zuerst formst du die Gleichung $\text{II}$ um, indem du mit $-2$ multiplizierst.
$\begin{array}[t]{rll} 4x +2y&=&3 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-2)\\[5pt] \color{#87c800}{-8x -4y}&=&\color{#87c800}{-6} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Wende jetzt das Additionsverfahren an.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&8x + 7y &=& 6 \quad &\scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&-8x - 4y&=&-6\quad &\\ \hline \text{I+II} \quad&\color{#87c800}{3y}&=&\color{#87c800}{0} \quad &\scriptsize\mid\; :3\\ \quad&y&=&\color{#87c800}{0} \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze $y$ jetzt in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 8x + 7 \cdot \color{#87c800}{0}&=&6 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] 8x + \color{#87c800}{0}&=&6 &\quad \scriptsize \mid\; :8\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{0,75} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(0 \mid 0,75)$.
g)
$\blacktriangleright$  Gleichung umformen und Gleichungssystem lösen
$\text{I}$ $\,$ $9x + 12y= 0$
$\text{II}$ $\,$ $2x - 4y = 9$
Zuerst formst du die Gleichung $\text{II}$ um, indem du mit $3$ multiplizierst.
$\begin{array}[t]{rll} 2x -4y&=&9 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 3\\[5pt] \color{#87c800}{6x -12y}&=&\color{#87c800}{27} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Wende jetzt das Additionsverfahren an.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&9x + 12y &=& 0 \quad &\scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&6x - 12y&=&27 \quad &\\ \hline \text{I+II} \quad&\color{#87c800}{3x}&=&\color{#87c800}{27} \quad &\scriptsize\mid\; :3\\ \quad&x&=&\color{#87c800}{9} \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze $x$ jetzt in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 9 \cdot \color{#87c800}{9} + 12y&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{81} + 12y&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; -81\\[5pt] 12y&=&\color{#87c800}{-81} &\quad \scriptsize \mid\; :12\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{-6,75} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(9 \mid -6,75)$.
h)
$\blacktriangleright$  Gleichung umformen und Gleichungssystem lösen
$\text{I}$ $\,$ $14x - 28y= -2$
$\text{II}$ $\,$ $ -7x + 21y = 8 $
Zuerst formst du die Gleichung $\text{II}$ um, indem du mit $2$ multiplizierst.
$\begin{array}[t]{rll} -7x + 21y &=&8 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2\\[5pt] \color{#87c800}{-14x} + \color{#87c800}{42y}&=&\color{#87c800}{16} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Wende jetzt das Additionsverfahren an.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&14x - 28y &=& -2 \quad &\scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&-14x + 42y&=&16 \quad &\\ \hline \text{I+II} \quad&\color{#87c800}{14y}&=&\color{#87c800}{14} \quad &\scriptsize\mid\; :14\\ \quad&y&=&\color{#87c800}{1 }\\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze $y$ jetzt in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 14x - 28 \cdot \color{#87c800}{1}&=&-2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] 14x + \color{#87c800}{28}&=&-2 &\quad \scriptsize \mid\; -28\\[5pt] 14x&=&\color{#87c800}{-30} &\quad \scriptsize \mid\; :14\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{-\dfrac{15}{7}} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $\left(1 \mid -\dfrac{15}{7}\right)$.
i)
$\blacktriangleright$  Gleichung umformen und Gleichungssystem lösen
$\text{I}$ $\,$ $2x + 5y= 29$
$\text{II}$ $\,$ $4x -15y = -17$
Zuerst formst du die Gleichung $\text{I}$ um, indem du mit $3$ multiplizierst.
$\begin{array}[t]{rll} 2x + 5y &=&29&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 3\\[5pt] \color{#87c800}{6x} + \color{#87c800}{15y}&=&\color{#87c800}{87} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Wende jetzt das Additionsverfahren an.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&6x + 15y &=& 87 \quad &\scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&4x - 15y&=&-17 \quad &\\ \hline \text{I+II} \quad&\color{#87c800}{10x}&=&\color{#87c800}{70 }\quad &\scriptsize\mid\; :10\\ \quad&x&=&\color{#87c800}{7} \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze $x$ jetzt in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot \color{#87c800}{7} +5y&=&29 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{14} + 5y&=&29 &\quad \scriptsize \mid\; -14\\[5pt] 5y&=&\color{#87c800}{15} &\quad \scriptsize \mid\; :5\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{3} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(7 \mid 3)$.
j)
$\blacktriangleright$  Gleichung umformen und Gleichungssystem lösen
$\text{I}$ $\,$ $13x + 8y = 53$
$\text{II}$ $\,$ $7x - 2y =-3$
Zuerst formst du die Gleichung $\text{II}$ um, indem du mit $4$ multiplizierst.
$\begin{array}[t]{rll} 7x - 2y &=&-3 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 4\\[5pt] \color{#87c800}{28x} -\color{#87c800}{8y} &=&\color{#87c800}{-12} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Wende jetzt das Additionsverfahren an.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&13x + 8y &=& 53 \quad &\scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&28x - 8y&=&-12 \quad &\\ \hline \text{I+II} \quad&\color{#87c800}{41x}&=&\color{#87c800}{41} \quad &\scriptsize\mid\; :41\\ \quad&x&=&\color{#87c800}{1} \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze $x$ jetzt in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 13 \cdot \color{#87c800}{1} +8y&=&53 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{13} + 8y&=&53 &\quad \scriptsize \mid\; -13\\[5pt] 8y&=&\color{#87c800}{40} &\quad \scriptsize \mid\; :8\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{5} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(1\mid 5)$.

Aufgabe 4

$\;$
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem aufstellen und lösen
Drei Donuts und vier Tassen heiße Schokolade kosten insgesamt $12,90$ $€$. Sechs Donuts und drei Tassen heiße Schokolade kosten $15,30$ $€$. Stelle ein Gleichungssystem auf und wende das Additionsverfahren an. Wieviel kostet ein Donut? Wieviel kostet eine Tasse heiße Schokolade?
Ein Donut kostet $x$. Genauso verhält es sich mit den Tassen heißer Schokolade. Eine Tasse kostet $y$. Für Gleichung $\text{I}$ gilt also: drei Donuts mit vier Tassen heißer Schokolade addiert, kosten $12,90$ $€$. Für Gleichung $\text{II}$ gilt dann: sechs Donuts mit drei Tassen heißer Schokolade addiert, kosten $15,30$ $€$. Diese Informationen kannst du jetzt in ein Gleichungssystem umwandeln:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&3x + 4y &=& 12,9 \quad &\\ \text{II}\quad&6x + 3y&=&15,3\quad &\\ \end{array}$
Forme Gleichung $\text{I}$ jetzt so um, dass du das Additionsverfahren anwenden kannst. Multipliziere mit $-2$.
$\begin{array}[t]{rll} 3x + 4y&=&12,9 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-2)\\[5pt] \color{#87c800}{-6x - 8y}&=&\color{#87c800}{-25,8} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Wende das Additionsverfahren an und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&-6x - 8y&=&-25,8 \quad &\scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\ \text{II}\quad&6x + 3y&=& 15,3 \quad &\\ \hline \text{I+ II} \quad&\color{#87c800}{-5y}&=& \color{#87c800}{-10,5} \quad &\scriptsize\mid\; : (-5)\\ \quad&y&=& \color{#87c800}{2,1} \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze $y$ in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 3x + 4 \cdot \color{#87c800}{2,1}&=&12,9 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] 3x+ \color{#87c800}{8,4}&=&12,9 &\quad \scriptsize \mid\; -8,4\\[5pt] 3x&=&\color{#87c800}{4,5} &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{1,5} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Ein Donut kostet also $1,50$ $€$ und eine Tasse heiße Schokolade kostet $2,10$ $€$.
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