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Aufstellen und Lösen

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Ein Hostel in London hat insgesamt $25$ Zimmer. Es bietet Vier-Bett-Zimmer und Sechs-Bett-Zimmer an, in denen ingsesamt $120$ Jugendliche Platz finden. Wie viele Vier-Bett-Zimmer und Sechs-Bett-Zimmer hat das Hostel?
Unten siehst du, wie du bei einer Textaufgabe vorgehen kannst. Lege zuerst die Variablen fest. Lies dir die Textaufgabe genau durch, und versuche, sie mit Variablen zu versehen. Das Hostel hat $25$ Zimmer insgesamt. Du weißt, dass es zwei verschiedene Zimmertypen gibt. Die Summe aus der Anzahl von Zimmertyp 1 und Zimmertyp 2 ergibt $25$. Das ist Gleichung $\text{I}$. Der Text sagt außerdem aus, dass insgesamt $120$ Personen in dem Hostel übernachten können, verteilt auf Vier-Bett-Zimmer und Sechs-Bett-Zimmer. Wenn je vier Personen also in $x$ Zimmern schlafen und je sechs Personen in $y$ Zimmern schlafen, schlafen insgesamt $120$ Personen in dem Hostel. Das ist dann Gleichung $\text{II}$. Löse jetzt das Gleichungssystem und beantworte die Aufgabe.
Variablen festlegen
Anzahl der Vierer-Zimmer: $x$
Anzahl der Sechser-Zimmer: $y$
$\rightarrow$
Gleichungssystem aufstellen
$\begin{array}{} \text{I} \; \; \; \; \, \, x + y &=& 25 &\quad \\ \text{II} \; 4x + 6y&=& 120 &\quad \\ \end{array}$
$\rightarrow$
Gleichungssystem lösen
$\begin{array}{} \text{I} \quad \quad \; \; \; \; x &=& ? \\ x \rightarrow \text{II} \quad ?&=& ? \end{array}$
$\rightarrow$
Lösung:
( $?$ $\mid$ $?$ )
$\;$
Variablen festlegen
Anzahl der Vierer-Zimmer: $x$
Anzahl der Sechser-Zimmer: $y$
$\downarrow$
Gleichungssystem aufstellen
$\begin{array}{} \text{I} \; \; \; \; \, \, x + y &=& 25 &\quad \\ \text{II} \; 4x + 6y&=& 120 &\quad \\ \end{array}$
$\downarrow$
Gleichungssystem lösen
$\begin{array}{} \text{I} \quad \quad \; \; \; \; x &=& ? \\ x \rightarrow \text{II} \quad ?&=& ? \end{array}$
$\downarrow$
Lösung:
( $?$ $\mid$ $?$ )
#lgs#gleichungssystem#gleichungen

Aufgabe 1

a)
Lineare Gleichungssysteme: Aufstellen und Lösen
Abb. 2: Waffeln sind ein beliebter Snack!
Lineare Gleichungssysteme: Aufstellen und Lösen
Abb. 2: Waffeln sind ein beliebter Snack!
b)
Lily hat zwei Nebenjobs. Sie verdient $10$ $€$ pro Stunde als Kellnerin. Als Verkäuferin verdient sie noch $9$ $€$ pro Stunde dazu. Letzte Woche hat sie insgesamt $128$ $€$ verdient. Sie hat zusammen $14$ Stunden gearbeitet. Wie viele Stunden hat sie jeweils gearbeitet? Stelle ein Gleichungssystem auf und löse es.
#gleichungen#gleichungssystem#lgs

Aufgabe 2

a)
Lineare Gleichungssysteme: Aufstellen und Lösen
Abb. 3: Felix spart darauf, seine Katze in die Ninja-Schule zuschicken.
Lineare Gleichungssysteme: Aufstellen und Lösen
Abb. 3: Felix spart darauf, seine Katze in die Ninja-Schule zuschicken.
b)
In einem Basketball-Spiel der Silver Starlights haben zwei Spieler zusammen $60$ Treffer erzielt. Hätte Spieler 1 einen Treffer weniger gemacht, und hätte Spieler 2 einen Treffer mehr gemacht, hätten sie genau gleich viele Treffer. Wie viele Treffer haben Spieler 1 und Spieler 2 jeweils erzielt? Stelle ein Gleichungssystem auf und löse es.
#lgs#gleichungssystem#gleichungen

Aufgabe 3

Ermittle das Alter der Personen. Stelle dazu ein Gleichungssystem auf und löse es.
a)
Lias Tante ist heute dreimal so alt wie Lia. Vor 8 Jahren war ihre Tante fünfmal so alt wie Lia.
b)
Alina war vor $6$ Jahren halb so alt wie ihre Schwester Fiona vor $6$ Jahren war. In $5$ Jahren wird Alina genauso alt sein, wie Fiona jetzt ist.
c)
Nick ist um $5$ Jahre mehr als doppelt so alt wie sein Cousin Luca. Vor $10$ Jahren war Nick fünfmal so alt wie Luca vor $10$ Jahren alt war.
#gleichungen#gleichungssystem#lgs

Aufgabe 4

Stelle ein Gleichungssystem auf und löse es.
Lineare Gleichungssysteme: Aufstellen und Lösen
Abb. 4: Eine Fahrt in den Freizeitpark lohnt sich immer!
Lineare Gleichungssysteme: Aufstellen und Lösen
Abb. 4: Eine Fahrt in den Freizeitpark lohnt sich immer!
#gleichungen#lgs#gleichungssystem

Aufgabe 5

Lineare Gleichungssysteme: Aufstellen und Lösen
Abb. 5: Jeder mag Burger!
Lineare Gleichungssysteme: Aufstellen und Lösen
Abb. 5: Jeder mag Burger!
b)
Das Euphoria-Musikfestival bietet zwei verschiedene Tickets an. Man kann ein normales Ticket oder ein VIP-Ticket kaufen, mit welchem man noch Zutritt zu einer extra Bühne hat und eine Getränke-Flatrate bekommt. Kauft man $10$ reguläre Tickets und $3$ VIP-Tickets, so bezahlt man $1.650$ $€$. Kauft man $10$ reguläre Tickets und $4$ VIP-Tickets, dann bezahlt man $1.800$ $€$. Wie viel kostet ein normales Ticket, wie viel kostet ein VIP-Ticket?
Lineare Gleichungssysteme: Aufstellen und Lösen
Abb. 7: Pfingstrosen machen in einem Blumenstrauß besonders viel her.
Lineare Gleichungssysteme: Aufstellen und Lösen
Abb. 7: Pfingstrosen machen in einem Blumenstrauß besonders viel her.
#gleichungssystem#lgs#gleichungen
Bildnachweise [nach oben]
[2]
https://goo.gl/8KfPvY ; Waffles, Ulrika, CC BY-SA.
[3]
https://goo.gl/cnBSJ3 ; Ninja Cat, Exile on Ontario St, CC BY-SA.
[4]
https://goo.gl/cfFK4b ; Busch Gardens Tampa 156, Jeremy Thompson, CC BY-SA.
[5]
Public Domain.
[6]
https://goo.gl/aVnxJA ; Future Music Festival 2013, Eva Rinaldi, CC BY-SA.
[7]
https://goo.gl/j3QPJW ; Peonies, julie, CC BY-SA.
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

$\blacktriangleright$  Gleichungssystem lösen
Das Gleichungssystem ist schon gegeben. Forme Gleichung $\text{I}$ um, damit du das Einsetzungsverfahren anwenden kannst. Setze die Lösung für $x$ dann in Gleichung $\text{II}$ ein und löse nach $y$ auf. Setze dein Ergebnis für $y$ dann in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x + y&=& 25 &\quad \scriptsize\mid\; - y\\ \text{II}\quad&4x + 6y &=& 120 &\quad \\ \hline \text{I}\quad&x &=& 25 \color{#87c800}{-y} &\quad \scriptsize\mid\; x \rightarrow \text{II}\\ \hline \text{II} \quad&4 \cdot (\color{#87c800}{25 - y}) + 6y &=& 120 &\quad \scriptsize\mid\; \text{multipliziere} \\ \quad& \color{#87c800}{100 - 4y} + 6y &=& 120 &\quad \scriptsize\mid\; \text{fasse zusammen} \\ \quad& 100 + \color{#87c800}{2y} &=& 120 &\quad \scriptsize\mid\; -100 \\ \quad& 2y &=& \color{#87c800}{20} &\quad \scriptsize\mid\; : 2\\ \quad& y &=& \color{#87c800}{10} &\quad \scriptsize\mid\; y \rightarrow \text{I} \\ \hline \text{I} \quad&x + \color{#87c800}{10} &=& 25 &\quad \scriptsize\mid\; -10\\ \quad&x &=& \color{#87c800}{15 } &\quad \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Das Hostel hat also $15$ Vier-Bett-Zimmer und $10$ Sechs-Bett-Zimmer.

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem aufstellen und lösen
Letztes Jahr hat die Klasse 9 $86$ Waffeln, die je $x$ $€$ kosten und $92$ Pfannkuchen, die je $y$ $€$ kosten, verkauft. Die Summe daraus beläuft sich auf $313$. Das ist Gleichung $\text{I}$. Gleichung $\text{II}$ sagt aus, dass Klasse 9 für $60$ Waffeln, die je $x$ $€$ kosten und $120$ Pfannkuchen, die je $y$ $€$ kosten, $330$ $€$ eingenommen hat. Das Gleichungssystem sieht also so aus:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& 86x +92y &=& 313 &\quad &\\ \text{II}\quad&60x + 120y&=& 330 &\quad &\\ \end{array}$
Jetzt kannst du das Gleichungssystem lösen. Nimm dafür das Einsetzungsverfahren. Forme dazu Gleichung $\text{II}$ um, indem du durch $60$ teilst und $2y$ subtrahierst. Setze die Lösung für $x$ dann in Gleichung $\text{II}$ ein und löse nach $y$ auf. Die Lösung für $y$ kannst du in Gleichung $\text{I}$ einsetzen und dann nach $x$ auflösen.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&86x +92y &=& 313 &\quad \\ \text{II}\quad&60x + 120y&=& 330 &\quad &\scriptsize\mid\; :60 \\ \hline \text{II}\quad&\color{#87c800}{x} +\color{#87c800}{2y} &=& \color{#87c800}{5,5} &\quad &\scriptsize\mid\; -2y \\ \quad&x &=& 5,5 \color{#87c800}{-2y} &\quad &\scriptsize\mid\; x \rightarrow \text{I}\\ \hline \text{I} \quad&86 \cdot (\color{#87c800}{5,5 -2y}) +92y &=& 313 &\quad &\scriptsize\mid\; \text{löse die Klammer auf} \\ \quad& \color{#87c800}{473 - 172y} +92y&=& 313 &\quad &\scriptsize\mid\; -473 \\ \quad&\color{#87c800}{-80y} &=& \color{#87c800}{-160} &\quad &\scriptsize\mid\; :(-80) \\ \quad&y &=& \color{#87c800}{2} &\quad &\scriptsize\mid\; y \rightarrow \text{I} \\ \hline \text{I} \quad&86x +92 \cdot \color{#87c800}{2} &=& 313 &\quad &\scriptsize\mid\; \text{multipliziere} \\ \quad&86x + \color{#87c800}{184} &=& 313 &\quad &\scriptsize\mid\; -184 \\ \quad&86x &=& \color{#87c800}{129} &\quad &\scriptsize\mid\; :86 \\ \quad&x &=& \color{#87c800}{1,5} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Eine Waffel kostet also $1,50$ $€$ und ein Pfannkuchen kostet $2,00$ $€$.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem aufstellen und lösen
In einer Woche hat Lily $x$ Stunden als Kellnerin gearbeitet und $y$ Stunden als Verkäuferin. Die Summe aus $x$ und $y$ beläuft sich auf die $14$ Stunden, die Lily in einer Woche gearbeitet hat. Das ist Gleichung $\text{I}$. Gleichung $\text{II}$ sagt aus, dass Lily für $x$ Stunden als Kellnerin $10$ $€$ bekommt und für $y$ Stunden als Verkäuferin $9$ $€$ verdient. In einer Woche hat sie $134$ $€$ verdient. Das Gleichungssystem sieht also so aus:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x +y &=& 14 &\quad &\\ \text{II}\quad&10x + 9y&=& 134 &\quad &\\ \end{array}$
Jetzt kannst du das Gleichungssystem lösen. Nimm dafür das Einsetzungsverfahren. Forme dazu Gleichung $\text{I}$ um, indem du $y$ subtrahierst. Setze die Lösung für $x$ dann in Gleichung $\text{II}$ ein und löse nach $y$ auf. Die Lösung für $y$ kannst du in Gleichung $\text{I}$ einsetzen und dann nach $x$ auflösen.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x +y &=& 14 &\quad &\scriptsize\mid\; - y \\ \text{II}\quad&10x + 9y&=& 134 &\quad &\\ \hline \text{I}\quad&x &=& 14 \color{#87c800}{- y} &\quad &\scriptsize\mid\; x \rightarrow \text{II} \\ \hline \text{II}\quad&10 \cdot (\color{#87c800}{14 - y}) + 9y&=& 134 &\quad &\scriptsize\mid\; \text{löse die Klammer auf} \\ \quad&\color{#87c800}{140 - 10y} + 9y&=& 134 &\quad &\scriptsize\mid\; \text{fasse zusammen} \\ \quad&120 \color{#87c800}{-y} &=& 134 &\quad &\scriptsize\mid\; -140 \\ \quad&-y &=& \color{#87c800}{-6} &\quad &\scriptsize\mid\; :(-1) \\ \quad&y &=& \color{#87c800}{6} &\quad &\scriptsize\mid\; y \rightarrow \text{I} \\ \hline \text{I} \quad&x +\color{#87c800}{6} &=& 14 &\quad &\scriptsize\mid\; - 6 \\ \quad&x &=& \color{#87c800}{8} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Lily hat also letzte Woche $8$ Stunden als Kellnerin und $6$ Stunden als Verkäuferin gearbeitet.

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem aufstellen und lösen
Gleichung $\text{I}$ sagt aus, dass die $95$ Münzen im Glas zusammengesetzt werden aus der Summe von $x$ $1$-$€$-Münzen und $y$ $2$-$€$-Münzen. Gleichung $\text{II}$ bestimmt, dass die Summe von $x$ $1$-$€$-Münzen und $y$ $2$-$€$-Münzen insgesamt $175$ $€$ wert ist. Dein Gleichungssystem sieht also so aus:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x + y&=& 95 &\quad \\ \text{II}\quad&x+ 2y&=& 175 &\quad \\ \end{array}$
Jetzt kannst du das Gleichungssystem lösen. Nutze hierfür das Additionsverfahren. Forme hierfür Gleichung $\text{I}$ um, indem du mit $-1$ multiplizierst. Wende jetzt das Additionsverfahren an und löse nach $y$ auf. Das Ergebnis für $y$ kannst du dann in Gleichung $\text{I}$ einsetzen und nach $x$ auflösen.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x + y&=& 95 &\quad \scriptsize\mid\; \cdot (-1)\\ \text{II}\quad&x+ 2y&=& 175 &\quad \\ \hline \text{I}\quad&\color{#87c800}{-x - y}&=& \color{#87c800}{-95} &\quad \scriptsize\mid\; \text{I+II} \\ \hline \text{I+II} \quad&y&=& \color{#87c800}{80} &\quad \scriptsize\mid\; y \rightarrow \text{I} \\ \hline \text{I}\quad&x + \color{#87c800}{80}&=& 95 &\quad \scriptsize\mid\; -80 \\ \quad&x &=& \color{#87c800}{15 } \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Es sind also $15$ $1$-$€$-Münzen und $80$ $2$-$€$-Münzen im Abenteuer-Glas.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem aufstellen und lösen
Hier brauchst du wieder ein Gleichungssystem. Gleichung $\text{I}$ soll aussagen, dass die Summe aus den Treffern von Spieler 1 und Spieler 2 die $60$ Treffer ergibt. Die Treffer von Spieler 1 sind somit $x$ und die Treffer von Spieler 2 sind $y$. Gleichung $\text{II}$ gibt an, dass die Spieler die gleiche Anzahl an Treffern gemacht hätte, wenn Spieler 1 seine Treffer $x$ um $1$ vermindert hätte und wenn Spieler 2 seine Treffer $y$ um $1$ erweitert hätte. Das Gleichungssystem sieht also so aus:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x +y &=& 60 &\quad \\ \text{II}\quad&x-1&=&y+1 &\quad \\ \end{array}$
Jetzt kannst du es lösen, indem du das Einsetzungsverfahren benutzt.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x +y &=& 60 &\quad \\ \text{II}\quad&x-1&=&y+1 &\quad \scriptsize\mid\; + 1\\ \hline \text{II}\quad&x&=&y+\color{#87c800}{2} &\quad \scriptsize\mid\; x \rightarrow \text{I}\\ \hline \text{I}\quad&(\color{#87c800}{y + 2}) + y &=& 60 &\quad \scriptsize\mid\; \text{addiere}\\ \quad& 2 + \color{#87c800}{2y} &=& 60 &\quad \scriptsize\mid\; -2\\ \quad& 2y &=& \color{#87c800}{58} &\quad \scriptsize\mid\; :2\\ \quad& y &=& \color{#87c800}{29} &\quad \scriptsize\mid\; y \rightarrow \text{I}\\ \hline \text{I}\quad&x + \color{#87c800}{29} &=& 60 &\quad \scriptsize\mid\; -29\\ \quad&x &=& \color{#87c800}{31} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Spieler 1 hat also $31$ Treffer erzielt und Spieler 2 $29$.

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem aufstellen und lösen
Zuerst bestimmst du $x$ und $y$. Lias Alter beträgt $x$ Jahre, das ihrer Tante beläuft sich auf $y$ Jahre.
Lias Tante ist heute dreimal so alt wie Lia. Vor $\color{#87c800}{8}$ Jahren war ihre Tante fünfmal so alt wie Lia.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&\color{#787828}{3}\color{#db2416}{x}&=& \color{#0096c8}{y} &\quad \\ \text{II}\quad&\ \color{#fa7d19}{5} \color{#fa7d19}{\cdot} (\color{#db2416}{x}\color{#87c800}{-8}) &=& \color{#0096c8}{y}\color{#87c800}{-8} &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Jetzt kannst du das Gleichungssystem lösen, indem du das Einsetzungsverfahren benutzt. Setze also die Lösung für $y$ in Gleichung $\text{II}$ ein und löse nach $x$ auf. Die Lösung für $x$ kannst du dann in Gleichung $\text{I}$ einsetzen und nach $y$ auflösen.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&3x&=& y &\quad \scriptsize\mid\; y \rightarrow \text{II}\\ \text{II}\quad& 5 \cdot(x - 8)&=& y-8 &\quad \\ \hline \text{II}\quad& 5 \cdot(x - 8)&=& \color{#87c800}{3x}-8 &\quad \scriptsize\mid\; \text{löse die Klammer auf}\\ \quad& \color{#87c800}{5x - 40}&=& 3x - 8 &\quad \scriptsize\mid\; -3x\\ \quad& \color{#87c800}{2x} - 40 &=& -8 &\quad \scriptsize\mid\; +40\\ \quad& 2x&=& \color{#87c800}{32} &\quad \scriptsize\mid\; : 2\\ \quad& x&=& \color{#87c800}{16} &\quad \scriptsize\mid\; x \rightarrow \text{I} \\ \hline \text{I} \quad& 3 \cdot \color{#87c800}{16}&=& y &\quad \scriptsize\mid\; \text{multipliziere} \\ \quad& \color{#87c800}{48}&=& y &\quad \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Lia ist also $16$ Jahre alt, ihre Tante ist $48$ Jahre alt.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem aufstellen und lösen
Zuerst bestimmst du $x$ und $y$. Alinas Alter beträgt $x$ Jahre, das ihrer Schwester Fiona beläuft sich auf $y$ Jahre.
Alina war vor $\color{#87c800}{6}$ Jahren halb so alt wie ihre Schwester Fiona vor $\color{#87c800}{6}$ Jahren war. In $\color{#a0321e}{5}$ Jahren wird Alina genauso alt sein, wie Fiona jetzt ist.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&\ \color{#967117}{x} \color{#87c800}{- 6}&=& \color{#2D6EC8}{0,5} \color{#2D6EC8}{\cdot} (\color{#fa7d19}{y} \color{#87c800}{-6}) &\quad \\ \text{II}\quad&\ \color{#967117}{x} \color{#a0321e}{+ 5} &=& \color{#fa7d19}{y} &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Jetzt kannst du das Gleichungssystem lösen, indem du das Einsetzungsverfahren benutzt. Setze also die Lösung für $y$ in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $x$ auf. Die Lösung für $x$ kannst du dann in Gleichung $\text{II}$ einsetzen und nach $y$ auflösen.
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x - 6 &=& 0,5 \cdot (y - 6) &\quad \\ \text{II}\quad& x+ 5&=& y &\quad \scriptsize\mid\; y \rightarrow \text{I}\\ \hline \text{II}\quad& x - 6 &=& 0,5 \cdot (\color{#87c800}{(x+5)} - 6) &\quad \scriptsize\mid\; \text{löse die Klammer auf}\\ \quad& x - 6&=& \color{#87c800}{0,5x - 0,5 }&\quad \scriptsize\mid\; -0,5x\\ \quad&\color{#87c800}{ 0,5x} - 6 &=& -0,5 &\quad \scriptsize\mid\; +6\\ \quad& 0,5x&=& \color{#87c800}{5,5} &\quad \scriptsize\mid\; : 0,5\\ \quad& x&=& \color{#87c800}{11} &\quad \scriptsize\mid\; x \rightarrow \text{II} \\ \hline \text{II} \quad& \color{#87c800}{11}+ 5&=& y &\quad \scriptsize\mid\; \text{addiere} \\ \quad& \color{#87c800}{16}&=& y \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Alina ist also $11$ Jahre alt, ihre Schwester Fiona ist $16$ Jahre alt.
c)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem aufstellen und lösen
Zuerst bestimmst du $x$ und $y$. Nicks Alter beträgt $x$ Jahre, das seines Cousins Luca beläuft sich auf $y$ Jahre.
Nick ist um $\color{#87c800}{5}$ Jahre mehr als doppelt so alt wie sein Cousin Luca. Vor $\color{#fa7d19}{10}$ Jahren war Nick fünfmal so alt wie Luca vor $\color{#fa7d19}{10}$ Jahren alt war.
$\begin{array}{} \text{I}\quad& \color{#967117}{x} &=& \color{#0096c8}{2} \color{#db2416}{y} \color{#87c800}{+ 5} &\quad \\ \text{II}\quad& \color{#967117}{x} \color{#fa7d19}{- 10} &=& \color{#2D6EC8}{5} \color{#2D6EC8}{\cdot} (\color{#db2416}{y} \color{#fa7d19}{- 10}) &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Jetzt kannst du das Gleichungssystem lösen, indem du das Einsetzungsverfahren benutzt. Setze also die Lösung für $x$ in Gleichung $\text{II}$ ein und löse nach $y$ auf. Die Lösung für $y$ kannst du dann in Gleichung $\text{I}$ einsetzen und nach $x$ auflösen.
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x &=& 2y + 5 &\quad \scriptsize\mid\; x \rightarrow \text{II}\\ \text{II}\quad& x - 10 &=& 5 \cdot (y-10) &\quad \\ \hline \text{II}\quad& (\color{#87c800}{2y + 5}) - 10 &=& 5 \cdot (y-10) &\quad \scriptsize\mid\; \text{löse die Klammer auf}\\ \quad& 2y \color{#87c800}{- 5}&=& \color{#87c800}{5y - 50} &\quad \scriptsize\mid\; -2y\\ \quad& -5&=& \color{#87c800}{3y} - 50 &\quad \scriptsize\mid\; +50\\ \quad& \color{#87c800}{45}&=& 3y &\quad \scriptsize\mid\; : 3\\ \quad& \color{#87c800}{15}&=& y &\quad \scriptsize\mid\; y \rightarrow \text{I} \\ \hline \text{I} \quad& x&=& 2 \cdot \color{#87c800}{15} + 5 &\quad \scriptsize\mid\; \text{fasse zusammen} \\ \quad& x&=& \color{#87c800}{35} \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Nick ist also $35$ Jahre alt, sein Cousin Luca ist $15$ Jahre alt.

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem aufstellen und lösen
Hier stehen die Familien für die zwei verschiedenen Gleichungen. Die Tickets für die Erwachsenen kosten $x$ $€$ und die Tickets für die Kinder kosten $y$ $€$. Gleichung $\text{I}$ besagt, dass die Summe aus $3$ Erwachsenentickets ($x$) und $2$ Kindertickets ($y$) zusammen $189$ $€$ kosten. Geichung $\text{II}$ beinhaltet, dass $2$ Erwachsenentickets ($x$) und $3$ Kindertickets ($y$) zusammen $151$ $€$ kosten. Jetzt kannst du das Gleichungssystem aufstellen.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&3x + 3y&=& 189 &\quad \\ \text{II}\quad&2x + 3y&=& 151 &\quad \\ \end{array}$
Hier bietet es sich an, das Einsetzungsverfah anzuwenden. Forme dazu Gleichung $\text{II}$ um, indem du mit $-1$ multiplizierst. Wende dann das Additionsverfahren an. Setze $x$ in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $y$ auf.
$\begin{array}{} \text{I} \quad&3x + 3y&=& 189 &\quad \\ \text{II} \quad&2x + 3y&=& 151 &\quad \scriptsize\mid\; \cdot (-1) \\ \hline \text{II} \quad&\color{#87c800}{-2x - 3y}&=& \color{#87c800}{-151 } &\quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II} \\ \hline \text{I+II} \quad& \color{#87c800}{x} &=& \color{#87c800}{38} &\quad \scriptsize\mid\; x \rightarrow \text{I} \\ \hline \text{I} \quad& 3 \cdot \color{#87c800}{38} + 3y &=& 189 &\quad \scriptsize\mid\; \text{multipliziere} \\ \quad& \color{#87c800}{114} + 3y &=& 189 &\quad \scriptsize\mid\; -114 \\ \quad& 3y &=& \color{#87c800}{75} &\quad \scriptsize\mid\; :3 \\ \quad& y &=& \color{#87c800}{25} &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Ein Erwachsenenticket kostet also $38$ $€$ und ein Kinderticket kostet $25$ $€$.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem aufstellen und lösen
Hier stehen die zwei Klassen für die verschiedenen Gleichungen. Die regulären Tickets kosten $x$ und die ermäßigten Tickets kosten $y$ $€$. Gleichung $\text{I}$ sagt aus, dass die Summe aus $12$ regulären Tickets à $x$ $€$ und $5$ ermäßigten Tickets à $y$ $€$ insgesamt $225$ $€$ kosten. Gleichung $\text{II}$ sagt aus, dass die Summe aus $14$ regulären Tickets à $x$ $€$ und $3$ ermäßigten Tickets à $y$ $€$ insgesamt $243,75$ $€$ kosten. Jetzt kannst du das Gleichungssystem aufstellen.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&12x + 4y&=& 225 &\quad \\ \text{II}\quad&14x + 3y&=& 243,75 &\quad \\ \end{array}$
Hier bietet es sich an, das Einsetzungsverfahren anzuwenden. Forme dazu Gleichung $\text{I}$ um, indem du durch $4$ dividierst. Danach löst du nach $y$ auf und setzt dein Ergebnis in Gleichung $\text{II}$ ein. Löse jetzt nach $x$ auf und setze das Ergebnis in Gleichung $\text{I}$ ein. Jetzt kannst du nach $y$ auflösen.
$\begin{array}{} \text{I} \quad&12x + 4y&=& 225 &\quad \scriptsize\mid\; :4 \\ \text{II} \quad&14x + 3y&=& 243,75 &\quad \\ \hline \text{I} \quad& \color{#87c800}{3x} + \color{#87c800}{y}&=& \color{#87c800}{56,25} &\quad \scriptsize\mid\; -3x \\ \quad& y&=& 56,25 \color{#87c800}{- 3x} &\quad \scriptsize\mid\; y \rightarrow \text{II} \\ \hline \text{II} \quad& 14x + 3 \cdot (\color{#87c800}{56,25 - 3x}) &=& 243,75 &\quad \scriptsize\mid\; \text{löse die Klammer auf} \\ \quad& 14x + \color{#87c800}{168,75 - 9x} &=& 243,75 &\quad \scriptsize\mid\; \text{fasse zusammen} \\ \quad& \color{#87c800}{5x} + 168,75 &=& 243,75 &\quad \scriptsize\mid\; -168,75 \\ \quad& 5x &=&\color{#87c800}{ 75} &\quad \scriptsize\mid\; :5 \\ \quad& x &=& \color{#87c800}{15} &\quad \scriptsize\mid\; x \rightarrow \text{I} \\ \hline \text{I} \quad&12 \cdot \color{#87c800}{15} + 4y&=& 225 &\quad \scriptsize\mid\; \text{multipliziere} \\ \quad& \color{#87c800}{180} + 4y&=& 225 &\quad \scriptsize\mid\; -180 \\ \quad& 4y&=& \color{#87c800}{45} &\quad \scriptsize\mid\; :4 \\ \quad& y&=& \color{#87c800}{11,25} &\quad \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Ein reguläres Ticket kostet also $15$ $€$ und ein ermäßigtes Ticket kostet $11,25$ $€$.

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem aufstellen und lösen
$x$ steht hier für den Preis des Eistees und $y$ für den Preis des Burgers. Das, was die Mädchen konsumieren und dafür bezahlen, stellt Gleichung $\text{I}$ dar. Sie bestellen $4$ Eistees, die je $x$ $€$ kosten und $5$ Burger, die je $y$ $€$ kosten. Die Summe dessen ergibt $49,80$ $€$. Das, was die Jungen konsumieren und dafür bezahlen, spiegelt Gleichung $\text{II}$ wieder. Sie bestellen $3$ Eistees, die je $x$ $€$ kosten und $6$ Burger, die je $y$ $€$ kosten. Die Summe dessen ergibt $55,80$ $€$. Das Gleichungssystem sieht also so aus:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&4x + 5y&=& 49,8 &\quad \\ \text{II}\quad&3x + 6y&=& 55,8 &\quad \\ \end{array}$
Jetzt kannst du das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren lösen. Forme dazu Gleichung $\text{II}$ um, indem du durch $3$ dividierst. Löse jetzt nach $x$ auf und setze dein Ergebnis in Gleichung $\text{I}$ ein. Jetzt kannst du nach $y$ auflösen und dein Ergebnis wieder in Gleichung $\text{I}$ einsetzen. Löse dann nach $x$ auf.
$\begin{array}{} \text{I} \quad& 4x + 5y&=& 49,8 &\quad \\ \text{II} \quad& 3x + 6y&=& 55,8 &\quad \scriptsize\mid\;:3 \\ \hline \text{II} \quad& \color{#87c800}{x} + \color{#87c800}{2y}&=& \color{#87c800}{18,6} &\quad \scriptsize\mid\;-2y \\ \quad& x &=& 18,6 \color{#87c800}{-2y} &\quad \scriptsize\mid\; x \rightarrow \text{I} \\ \hline \text{I} \quad& 4 \cdot (\color{#87c800}{18,6 - 2y}) + 5y&=& 49,8 &\quad \scriptsize\mid\; \text{löse die Klammer auf}\\ \quad& \color{#87c800}{74,4 - 8y} + 5y&=& 49,8 &\quad \scriptsize\mid\; \text{fasse zusammen}\\ \quad& 74,4 \color{#87c800}{- 3y}&=& 49,8 &\quad \scriptsize\mid\; -74,4\\ \quad& - 3y&=& \color{#87c800}{-24,6} &\quad \scriptsize\mid\; :(-3)\\ \quad& y&=& \color{#87c800}{8,2} &\quad \scriptsize\mid\; y \rightarrow \text{I}\\ \hline \text{I} \quad& 4x + 5 \cdot \color{#87c800}{8,2} &=& 49,8 &\quad \scriptsize\mid\; \text{fasse zusammen} \\ \quad& 4x + \color{#87c800}{41} &=& 49,8 &\quad \scriptsize\mid\; -41 \\ \quad& 4x &=& \color{#87c800}{8,8} &\quad \scriptsize\mid\; :4 \\ \quad& x &=& \color{#87c800}{2,2} &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Ein Burger kostet also $8,20$ $€$ und ein Eistee kostet $2,20$ $€$.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem aufstellen und lösen
$x$ steht hier für den Preis der regulären Tickets und $y$ für den Preis des VIP-Tickets. Das, was $10$ reguläre Tickets und $3$ VIP-Tickets zusammen kosten, stellt Gleichung $\text{I}$ dar. Man kauft $10$ reguläre Tickets, die je $x$ $€$ kosten und $3$ VIP-Tickets, die je $y$ $€$ kosten. Die Summe dessen ergibt $1.650$ $€$. Gleichung $\text{II}$ spiegelt wieder, was $10$ reguläre Tickets, die je $x$ $€$ kosten und $4$ VIP-Tickets, die je $y$ $€$ kosten kosten. Die Summe daraus ergibt $1.800$ $€$. Das Gleichungssystem sieht also so aus:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&10x + 3y&=& 1.650 &\quad \\ \text{II}\quad&10x + 4y&=& 1.800 &\quad \\ \end{array}$
Jetzt kannst du das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren lösen. Forme dazu beide Gleichungen so um, dass $10x$ isoliert ist. Wende dann das Gleichsetzungsverfahren an und löse nach $y$ auf. Setze dann dein Ergebnis für $y$ in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{} \text{I} \quad& 10x + 3y&=& 1.650 &\quad \scriptsize\mid\; -3y \\ \text{II} \quad& 10x + 4y&=& 1.800 &\quad \scriptsize\mid\; -4y \\ \hline \text{I} \quad& 10x&=& 1.650 \color{#87c800}{- 3y} &\quad \scriptsize\mid\; \text{I=II} \\ \text{II} \quad& 10x &=& 1.800 \color{#87c800}{- 4y} &\quad \\ \hline \text{I=II} \quad& \color{#87c800}{1.650 - 3y}&=& \color{#87c800}{1.800 - 4y} &\quad \scriptsize\mid\; -1650 \\ \quad& -3y&=& \color{#87c800}{150} - 4y &\quad \scriptsize\mid\; +4y \\ \quad& \color{#87c800}{y}&=& 150 &\quad \scriptsize\mid\; y \rightarrow \text{I} \\ \hline \text{I} \quad& 10x + 3 \cdot \color{#87c800}{150} &=& 1.650 &\quad \scriptsize\mid\; \text{multipliziere} \\ \quad& 10x + \color{#87c800}{450} &=& 1.650 &\quad \scriptsize\mid\; -450 \\ \quad& 10x &=& \color{#87c800}{120} &\quad \scriptsize\mid\; :10 \\ \quad& x &=& \color{#87c800}{120} &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Ein reguläres Ticket kostet also $120$ $€$ und ein VIP-Ticket kostet $150$ $€$.
c)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem aufstellen und lösen
$x$ steht hier für den Preis einer Pfingstrose und $y$ für den Preis einer Lilie. Das, was $8$ Pfingstrosen und $7$ Lilien zusammen kosten, stellt Gleichung $\text{I}$ dar. Fabian kauft $8$ Pfingstrosen, die je $x$ $€$ kosten und $7$ Lilien, die je $y$ $€$ kosten. Die Summe dessen ergibt $25,10$ $€$. Gleichung $\text{II}$ spiegelt wieder, dass $12$ Pfingstrosen, die je $x$ $€$ kosten und $7$ Lilien, die je $y$ $€$ kosten kosten, in der Summe $33,10$ $€$ kosten. Das Gleichungssystem sieht also so aus:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&8x + 7y&=& 25,1 &\quad \\ \text{II}\quad&12x + 7y&=& 33,1 &\quad \\ \end{array}$
Jetzt kannst du das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren lösen. Forme dazu beide Gleichungen so um, dass $7y$ isoliert ist. Wende dann das Gleichsetzungsverfahren an und löse nach $y$ auf. Setze dann dein Ergebnis für $y$ in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{} \text{I} \quad& 8x + 7y&=& 25,1 &\quad \scriptsize\mid\; -8x \\ \text{II} \quad& 12x + 7y&=& 33,1 &\quad \scriptsize\mid\; -12x \\ \hline \text{I} \quad& 7y&=& 25,1\color{#87c800}{ - 8x} &\quad \scriptsize\mid\; \text{I=II} \\ \text{II} \quad& 7y &=& 33,1 \color{#87c800}{- 12x} &\quad \\ \hline \text{I=II} \quad& \color{#87c800}{25,1 - 8x}&=& \color{#87c800}{33,1 - 12x} &\quad \scriptsize\mid\; -25,1 \\ \quad& -8x&=& \color{#87c800}{8} - 12x &\quad \scriptsize\mid\; +12x \\ \quad& \color{#87c800}{4x}&=& 8 &\quad \scriptsize\mid\; : 4 \\ \quad& x&=& \color{#87c800}{2} &\quad \scriptsize\mid\; x \rightarrow \text{I} \\ \hline \text{I} \quad& 8 \cdot \color{#87c800}{2} + 7y&=& 25,1 &\quad \scriptsize\mid\; \text{multipliziere} \\ \quad& \color{#87c800}{16} + 7y &=& 25,1 &\quad \scriptsize\mid\; -16 \\ \quad& 7y &=& \color{#87c800}{9,1} &\quad \scriptsize\mid\; :7 \\ \quad& y &=& \color{#87c800}{1,3} &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Eine Pfingstrose kostet also $2,00$ $€$ und eine Lilie kostet $1,30$ $€$.
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