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Einführung

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Ergänze das Zahlenpaar in der Klammer so, dass es eine Lösung der gegebenen Gleichung ist.
$x - y = 13$
$(15 \mid\, ?)$
b)
Welches der Zahlenpaare gilt für beide Gleichungen?
Gleichung I $x + 2y = 19$
Lösungen: $(5\mid 7)$, $(7\mid 6)$, $(1 \mid 9)$, $(3 \mid 8)$
Gleichung II $x + y = 11$
Lösungen: $(0\mid 11)$, $(1\mid 10)$, $(3 \mid 8)$, $(5 \mid 6)$
c)
Es gibt ein Zahlenpaar, das die Lösung beider Gleichungen ist. Erstelle eine Tabelle wie unten und probiere systematisch, das Zahlenpaar zu finden.
Gleichung I: $y = x + 3$
Gleichung II: $y = 4x - 6$
$\;$
Gleichung II
$x$$y = 4x - 6$$y$
$0$$y = 4\cdot 0 - 6$$-6$
$1$$ y = 4 \cdot 1 - 6$$-2$
???
d)
Stelle eine Gleichung für folgende Figur auf und gib zwei verschiedene Zahlenpaare an, die eine Lösung für die Gleichung sein können.
#gleichungssystem#gleichung

Aufgabe 1

Die Zahlenpaare in der Klammer sind Lösungen der Gleichung. Ergänze sie.
b)
$2x + y= 10$
$(5\mid\, ?),(?\mid4)$
d)
$x - 3y= 9$
$(27\mid\, ?),(?\mid2)$
f)
$3x + 2y= 36$
$(10\mid\, ?),(?\mid6)$
h)
$3 \cdot (x +y) = 18$
$(2\mid\, ?),(?\mid3)$
#gleichungssystem#gleichung

Aufgabe 2

Eines der untenstehenden Zahlenpaaren ist die Lösung für beide Gleichungssysteme. Welches?
Gleichung I $x - 2y = 6$
Lösungen: $(20\mid 7)$, $(16\mid 5)$, $(6 \mid 0)$, $(4 \mid -1)$, $(10 \mid 2)$, $(26 \mid 10)$
Gleichung II $x + y = 12$
Lösungen: $(6\mid 6)$, $(5\mid 7)$, $(10 \mid 2)$, $(8 \mid 4)$, $(14 \mid -2)$, $(12 \mid 0)$
#gleichung#gleichungssystem

Aufgabe 3

Berechne das Zahlenpaar, das die Lösung für das Gleichungssystem ist. Erstelle dazu eine Tabelle und probiere systematisch, das Ergebnis zu finden.
b)
I $\,$ $ y = x-2$
II $\,$ $ y = 2x - 7$
d)
I $\,$ $ 2x + 3y =18$
II $\,$ $4x + y =16$
f)
I $\,$ $ 2x + y + 5 = 15$
II $\,$ $y- x + 3= 7$
Deine Tabelle kann für a) zum Beispiel so aussehen:
$\;$
Gleichung II
$x$$y = x + 4$$y$
$0$$y = 0 + 4$$4$
$1$$ y = 1 + 4$$5$
???
#gleichungssystem#gleichung

Aufgabe 4

Stelle eine Gleichung für die folgenden Figuren auf und gib zwei Lösungen an (Angaben in $cm$).
#gleichung#gleichungssystem
Bildnachweise [nach oben]
Abb. 1
© 2017 – SchulLV.
Abb. 2
© 2017 – SchulLV.
Abb. 3
© 2017 – SchulLV.
Abb. 4
© 2017 – SchulLV.
Abb. 5
© 2017 – SchulLV.
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Zahlenpaar ergänzen
Um die Aufgabe zu lösen, kannst du die bereits bekannte Zahl entweder für $x$ oder $y$ einsetzen. Dann kannst du nach der fehlenden Variablen auflösen. Mache zum Schluss die Probe, um dein Ergebnis zu überprüfen.
$x - y = 13$
$(\color{#87c800}{15} \mid\, ?)$
$\begin{array}[t]{rll} \color{#87c800}{15} - y&=&13 &\quad \scriptsize \mid\; -15\\[5pt] - y&=&\color{#87c800}{-2} &\quad \scriptsize \mid\; :-1\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{2} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Kontrolle durch Einsetzen von }y\\[5pt] 15 - \color{#87c800}{2}&=&13 &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahiere}\\[5pt] 13&=&13 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung für die Gleichung lautet also $( 15 \mid 2 )$.
b)
$\blacktriangleright$  Zahlenpaar finden
Um herauszufinden, welches Zahlenpaar die Lösung für beide Gleichungssysteme ist, musst du die Lösungen für Gleichung I in die Gleichung II einsetzen. Überprüfe, welches Zahlenpaar für Gleichung II gilt. Dasselbe machst du dann nun umgekehrt mit den Lösungen der Gleichung II, die du in Gleichung I einsetzt.
Gleichung II $x + y = 11$
Lösungen für Gleichung I in Gleichung II einsetzen: $(\color{#2D6EC8}{5\mid 7})$, $(\color{#fa7d19}{7\mid 6})$, $(\color{#0096c8}{1 \mid 9})$, $(\color{#787828}{3 \mid 8})$
$\begin{array}[t]{rll} x + y &=&11 &\quad \scriptsize \mid\; \text{setze ein Zahlenpaar in die Gleichung ein}\\[5pt] \color{#2D6EC8}{5} + \color{#2D6EC8}{7} &=&11 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere}\\[5pt] \color{#db2416}{12}&=&\color{#db2416}{11} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
$(5\mid 7)$ ist also keine Lösung für Gleichung II.
$\begin{array}[t]{rll} x + y &=&11 &\quad \scriptsize \mid\; \text{setze ein Zahlenpaar in die Gleichung ein} \\[5pt] \color{#fa7d19}{7} + \color{#fa7d19}{6} &=&11 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere}\\[5pt] \color{#db2416}{13}&=&\color{#db2416}{11} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
$(7 \mid6)$ ist also keine Lösung für Gleichung II.
$\begin{array}[t]{rll} x + y &=&11 &\quad \scriptsize \mid\; \text{setze ein Zahlenpaar in die Gleichung ein} \\[5pt] \color{#0096c8}{1 }+ \color{#0096c8}{9}&=&11 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere}\\[5pt] \color{#db2416}{10}&=&\color{#db2416}{11} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
$(1 \mid9)$ ist also keine Lösung für Gleichung II.
$\begin{array}[t]{rll} x + y &=&11 &\quad \scriptsize \mid\; \text{setze ein Zahlenpaar in die Gleichung ein} \\[5pt] \color{#787828}{3} + \color{#787828}{8}&=&11 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere}\\[5pt] \color{#87c800}{11}&=&\color{#87c800}{11 }\\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
$(3 \mid 8)$ ist also eine Lösung für Gleichung II.
$\longrightarrow$ Jetzt setzt du die Lösungen für Gleichung II in Gleichung I ein.
Gleichung I $x + 2y = 19$
Lösungen für Gleichung II in Gleichung I einsetzen: $(\color{#FFED00}{0\mid 11})$, $(\color{#742B20}{1\mid 10})$, $(\color{#002F5D}{3 \mid 8})$, $(\color{#967117}{5 \mid 6})$
$\begin{array}[t]{rll} x + 2y &=&19 &\quad \scriptsize \mid\; \text{setze ein Zahlenpaar in die Gleichung ein}\\[5pt] \color{#FFED00}{0} + 2 \cdot \color{#FFED00}{11}&=&19 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#db2416}{22}&=&\color{#db2416}{19} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
$(0\mid 11)$ ist also keine Lösung für Gleichung I.
$\begin{array}[t]{rll} x + 2y &=&19 &\quad \scriptsize \mid\; \text{setze ein Zahlenpaar in die Gleichung ein}\\[5pt] \color{#742B20}{1} + 2\cdot \color{#742B20}{10}&=&19 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] 1 + 20&=&19 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere}\\[5pt] \color{#db2416}{21}&=&\color{#db2416}{19} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
$(1 \mid 10)$ ist also keine Lösung für Gleichung I.
$\begin{array}[t]{rll} x + 2y &=&19 &\quad \scriptsize \mid\; \text{setze ein Zahlenpaar in die Gleichung ein}\\[5pt] \color{#002F5D}{3} - 2 \cdot \color{#002F5D}{8} &=&19 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] 3 + 16&=&19 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere}\\[5pt] \color{#87c800}{19}&=&\color{#87c800}{19 }\\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
$(3 \mid 8)$ ist also eine Lösung für Gleichung I.
$\begin{array}[t]{rll} x + 2y &=&19 &\quad \scriptsize \mid\; \text{setze ein Zahlenpaar in die Gleichung ein}\\[5pt] \color{#967117}{5} - 2 \cdot \color{#967117}{6}&=&19 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] 5 + 12&=&19 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere}\\[5pt] \color{#db2416}{17}&=&\color{#db2416}{19} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
$(5 \mid 6)$ ist also keine Lösung für Gleichung I.
$(3 \mid 8)$ ist das einzige Zahlenpaar, das die Lösung für Gleichung I und Gleichung II ist.
c)
$\blacktriangleright$  Tabelle ergänzen
Um systematisch vorzugehen, kannst du zwei Tabellen für die zwei Gleichungen erstellen. In die jeweilige Tabelle trägst du ein, welche Zahl du für $x$ eingesetzt hast. Wenn du eine Zahl für $x$ einsetzt und dann zusammenfasst, erhältst du das Ergebnis $y$. Dieses trägst du auch wieder in die Tabelle ein. Verfahre mit den genau gleichen Zahlen in der Tabelle für Gleichung II genau so. Sobald die Zahlenpaare für Gleichung I und Gleichung II dieselben sind, hast du die Lösung gefunden.
Gleichung I: $y = x + 3$
Gleichung II: $y = 4x - 6$
$\;$
Gleichung II
$x$$y = 4x - 6$$y$
$0$$y = 4\cdot 0 - 6$$-6$
$1$$ y = 4 \cdot 1 - 6$$-2$
$2$$ y = 4 \cdot 2 - 6$$2$
$3$$ y = 4 \cdot 3 - 6$$6$
Das Zahlenpaar, welches für beide Gleichungen gültig ist, ist $(3 \mid 6)$.
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung aufstellen und lösen
Dadurch, dass die Figur eine Rechteck ist, sind die sich gegenüberliegenden Seiten jeweils gleich lang. Sie sind also $2x$ und $2y$ lang. Der Umfang beträgt insgesamt $18$ $cm$. Wenn du nun $2x$ mit $2y$ addierst, erhältst du den Umfang von $18$ $cm$. Deine Gleichung lautet also so:
$\begin{array}[t]{rll} 2x + 2y &=&12 \\[5pt] \end{array}$
Um ein Zahlenpaar zu erhalten, kannst du einfach eine beliebige Zahl für $x$ einsetzen und dann nach $y$ auflösen. Du kannst beispielsweise $(2 \mid\, ?)$ und $(3 \mid\, ?)$ nehmen. Mache zum Schluss die Probe, um dein Ergebnis zu überprüfen.
1.
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot 2 + 2y&=&12 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{4} + 2y&=&12 &\quad \scriptsize \mid\; -4\\[5pt] 2y&=&\color{#87c800}{8 }&\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{4} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Kontrolle durch Einsetzen von }y\\[5pt] 2 \cdot 2 + 2 \cdot \color{#87c800}{4}&=&12 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{4} + \color{#87c800}{8}&=&12&\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere}\\[5pt] 12&=&12 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
2.
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot \color{#87c800}{3} + 2y&=&12 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{6} + 2y&=&12 &\quad \scriptsize \mid\; -6\\[5pt] 2y&=&\color{#87c800}{6} &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{3} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Kontrolle durch Einsetzen von }y\\[5pt] 2 \cdot 3 + 2 \cdot \color{#87c800}{3}&=&12 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{6} + \color{#87c800}{6}&=&40&\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere}\\[5pt] 12&=&12 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Zwei Zahlenpaare, die für die Gleichung gültig sind, könnten also $(2 \mid 4)$ und $(3 \mid 3)$ sein.

Aufgabe 1

Um die Aufgabe zu lösen, kannst du die bereits bekannte Zahl entweder für $x$ oder $y$ einsetzen. Dann kannst du nach der fehlenden Variablen auflösen. Mache zum Schluss die Probe, um dein Ergebnis zu überprüfen.
a)
$\blacktriangleright$  Zahlenpaar ergänzen
$x + y= 13$
1. $(\color{#87c800}{3}\mid\, ?)$
2. $(?\mid \color{#87c800}{6})$
1.
$\begin{array}[t]{rll} \color{#87c800}{3}+y&=&13 &\quad \scriptsize \mid\; -3\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{10} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Kontrolle durch Einsetzen von }y\\[5pt] 3+\color{#87c800}{10}&=&13 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere}\\[5pt] 13&=&13 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
2.
$\begin{array}[t]{rll} x+\color{#87c800}{6}&=&13 &\quad \scriptsize \mid\; -6\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{7} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Kontrolle durch Einsetzen von }x\\[5pt] \color{#87c800}{7}+6&=&13 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere}\\[5pt] 13&=&13 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
1. $(3\mid 10)$
2. $(7\mid 6)$
b)
$\blacktriangleright$  Zahlenpaar ergänzen
$2x + y= 10$
1. $(\color{#87c800}{5}\mid\, ?)$
2. $(?\mid\color{#87c800}{4})$
1.
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot \color{#87c800}{5} + y&=&10 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{10} + y&=&10 &\quad \scriptsize \mid\; -10\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{0} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Kontrolle durch Einsetzen von }y\\[5pt] 2 \cdot 5 + \color{#87c800}{0}&=&10 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{10} + 0&=&10 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere}\\[5pt] 10&=&10 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
2.
$\begin{array}[t]{rll} 2x + \color{#87c800}{4}&=&10 &\quad \scriptsize \mid\; -4\\[5pt] 2x &=&\color{#87c800}{6} &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{3} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Kontrolle durch Einsetzen von }x\\[5pt] 2 \cdot \color{#87c800}{3} + 4&=&10 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{6} + 4&=&10 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere}\\[5pt] 10&=&10 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
1. $(5\mid 0)$
2. $(3\mid 4)$
c)
$\blacktriangleright$  Zahlenpaar ergänzen
$x - y= 8$
1. $(\color{#87c800}{10}\mid\, ?)$
2. $(?\mid \color{#87c800}{4})$
1.
$\begin{array}[t]{rll} \color{#87c800}{10} - y&=&8 &\quad \scriptsize \mid\; -10\\[5pt] -y&=&\color{#87c800}{-2} &\quad \scriptsize \mid\; :-1\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{2} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Kontrolle durch Einsetzn von }y\\[5pt] 10 - \color{#87c800}{2}&=&8 &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahiere}\\[5pt] 8&=&8 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
2.
$\begin{array}[t]{rll} x - \color{#87c800}{4}&=&8 &\quad \scriptsize \mid\; +4\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{12} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Kontrolle durch Einsetzen von }x\\[5pt] \color{#87c800}{12} - 4 &=&8 &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahiere}\\[5pt] 8&=&8 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
1. $(10\mid 2)$
2. $(12\mid 4)$
d)
$\blacktriangleright$  Zahlenpaar ergänzen
$x - 3y= 9$
1. $(\color{#87c800}{27}\mid\, ?)$
2. $(?\mid\color{#87c800}{2})$
1.
$\begin{array}[t]{rll} \color{#87c800}{27} - 3y&=&9 &\quad \scriptsize \mid\; -27\\[5pt] -3y&=&\color{#87c800}{-18} &\quad \scriptsize \mid\; : -3\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{6} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Kontrolle durch Einsetzen von }y\\[5pt] 27 - 3 \cdot \color{#87c800}{6}&=&9 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] 27 - \color{#87c800}{18}&=&9 &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahiere}\\[5pt] 9&=&9 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
2.
$\begin{array}[t]{rll} x - 3 \cdot \color{#87c800}{2}&=&9 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] x - \color{#87c800}{6} &=&9 &\quad \scriptsize \mid\; +6\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{15} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Kontrolle durch Einsetzen von }x\\[5pt] \color{#87c800}{15} - 3 \cdot 2&=&9 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] 9&=&9 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
1. $(27\mid 6)$
2. $(15\mid 2)$
e)
$\blacktriangleright$  Zahlenpaar ergänzen
$2x - 3y= 22$
1. $(\color{#87c800}{20}\mid\, ?)$
2. $(?\mid\color{#87c800}{12})$
1.
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot \color{#87c800}{20} - 3y&=&22 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{40} - 3y&=&22 &\quad \scriptsize \mid\; -40\\[5pt] -3y&=&\color{#87c800}{-18} &\quad \scriptsize \mid\; :-3\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{6} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Kontrolle durch Einsetzen von }y\\[5pt] 2 \cdot 20 - 3 \cdot \color{#87c800}{6}&=&22 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{40} - \color{#87c800}{18}&=&22 &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahiere}\\[5pt] 22&=&22 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
2.
$\begin{array}[t]{rll} 2x - 3 \cdot \color{#87c800}{12}&=&22 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] 2x - \color{#87c800}{36}&=&22 &\quad \scriptsize \mid\; + 36\\[5pt] 2x&=&\color{#87c800}{58} &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{29} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Kontrolle durch Einsetzen von }x\\[5pt] 2 \cdot \color{#87c800}{29} - 3 \cdot 12&=&22 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{58} - \color{#87c800}{36}&=& &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahiere}\\[5pt] 22&=&22 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
1. $(20\mid 6)$
2. $(29\mid 12)$
f)
$\blacktriangleright$  Zahlenpaar ergänzen
$3x + 2y= 36$
1. $(10\mid\, ?)$
2. $(?\mid6)$
1.
$\begin{array}[t]{rll} 3 \cdot \color{#87c800}{10} + 2y&=&36 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{30} + 2y&=&36 &\quad \scriptsize \mid\; -30\\[5pt] 2y&=&\color{#87c800}{6} &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{3} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Kontrolle durch Einsetzen von }y\\[5pt] 30 + 2 \cdot \color{#87c800}{3}&=&36 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] 30 + \color{#87c800}{6}&=&36 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere}\\[5pt] 36&=&36 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
2.
$\begin{array}[t]{rll} 3x + 2 \cdot \color{#87c800}{6}&=&36 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] 3x + \color{#87c800}{12}&=&36 &\quad \scriptsize \mid\; -12\\[5pt] 3x&=&\color{#87c800}{24} &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{8} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Kontrolle durch Einsetzen von }x\\[5pt] 3 \cdot \color{#87c800}{8} + 2 \cdot 6&=&36 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{24} + \color{#87c800}{12}&=&36 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere}\\[5pt] 36&=&36 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
1. $(10\mid 3)$
2. $(8 \mid 6)$
g)
$\blacktriangleright$  Zahlenpaar ergänzen
$4x - 2y = 28$
1. $(\color{#87c800}{11}\mid\, ?)$
2. $(?\mid \color{#87c800}{6})$
1.
$\begin{array}[t]{rll} 4 \cdot \color{#87c800}{11 }- 2y&=&28 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{44} - 2y&=&28 &\quad \scriptsize \mid\; -44\\[5pt] -2y&=&\color{#87c800}{-16} &\quad \scriptsize \mid\; :-2\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{8} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Kontrolle durch Einsetzen von }y\\[5pt] 4 \cdot 11 - 2 \cdot \color{#87c800}{8}&=&28 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{44} - \color{#87c800}{16}&=&28 &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahiere}\\[5pt] 28&=&28 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
2.
$\begin{array}[t]{rll} 4x - 2 \cdot \color{#87c800}{6}&=&28 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] 4x - \color{#87c800}{12}&=&28 &\quad \scriptsize \mid\; +12\\[5pt] 4x&=&\color{#87c800}{40} &\quad \scriptsize \mid\; :4\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{10} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Kontrolle durch Einsetzen von }x\\[5pt] 4 \cdot \color{#87c800}{10} - 2 \cdot 6&=&28 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{40 }- 12&=&28 &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahiere}\\[5pt] 28&=&28 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
1. $(11 \mid 8)$
2. $(10 \mid 6)$
h)
$\blacktriangleright$  Zahlenpaar ergänzen
$3 \cdot (x +y) = 18$
1. $(\color{#87c800}{2}\mid\, ?)$
2. $(?\mid\color{#87c800}{3})$
1.
$\begin{array}[t]{rll} 3 \cdot (\color{#87c800}{2} +y)&=&18 &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf}\\[5pt] \color{#87c800}{6} + \color{#87c800}{3y}&=&18 &\quad \scriptsize \mid\; -6\\[5pt] 3y&=&\color{#87c800}{12} &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{4} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Kontrolle durch Einsetzen von }y\\[5pt] 3 \cdot (2 +\color{#87c800}{4})&=&18 &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf}\\[5pt] \color{#87c800}{6} + \color{#87c800}{12}&=&18 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] 18&=&18 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
2.
$\begin{array}[t]{rll} 3 \cdot (x + \color{#87c800}{3})&=&18 &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf}\\[5pt] \color{#87c800}{3x} + \color{#87c800}{9}&=&18 &\quad \scriptsize \mid\; -9\\[5pt] 3x&=&\color{#87c800}{9} &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] x&=& \color{#87c800}{3} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Kontrolle durch Einsetzen von }x\\[5pt] 3 \cdot \color{#87c800}{3 }+ 9&=&18 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{9} + 9&=&18 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere}\\[5pt] 18&=&18 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
1. $(2 \mid 4)$
2. $(3 \mid 3)$

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$  Zahlenpaar finden
Um herauszufinden, welches Zahlenpaar die Lösung für beide Gleichungssysteme ist, musst du die Lösungen für Gleichung I in die Gleichung II einsetzen. Überprüfe, welches Zahlenpaar für Gleichung II gilt. Dasselbe machst du dann nun umgekehrt mit den Lösungen der Gleichung II, die du in Gleichung I einsetzt.
Gleichung II: $x + y = 12$
Lösungen für Gleichung I in Gleichung II einsetzen: $(\color{#2D6EC8}{20\mid 7})$, $(\color{#fa7d19}{16\mid 5})$, $(\color{#0096c8}{6 \mid 0})$, $(\color{#787828}{4 \mid -1})$, $(\color{#287882}{10 \mid 2})$, $(\color{#0B9A33}{26 \mid 10})$
$\begin{array}[t]{rll} x + y &=&12 &\quad \scriptsize \mid\; \text{setze ein Zahlenpaar in die Gleichung ein}\\[5pt] \color{#2D6EC8}{20} + \color{#2D6EC8}{7} &=&12 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere}\\[5pt] \color{#db2416}{27}&=&\color{#db2416}{12} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
$(20\mid 7)$ ist also keine Lösung für Gleichung II.
$\begin{array}[t]{rll} x + y &=&12 &\quad \scriptsize \mid\; \text{setze ein Zahlenpaar in die Gleichung ein} \\[5pt] \color{#fa7d19}{16} + \color{#fa7d19}{5} &=&12 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere}\\[5pt] \color{#db2416}{21}&=&\color{#db2416}{12} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
$(16 \mid5)$ ist also keine Lösung für Gleichung II.
$\begin{array}[t]{rll} x + y &=&12 &\quad \scriptsize \mid\; \text{setze ein Zahlenpaar in die Gleichung ein} \\[5pt] \color{#0096c8}{6 }+ \color{#0096c8}{0}&=&12 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere}\\[5pt] \color{#db2416}{6}&=&\color{#db2416}{12} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
$(16 \mid5)$ ist also keine Lösung für Gleichung II.
$\begin{array}[t]{rll} x + y &=&12 &\quad \scriptsize \mid\; \text{setze ein Zahlenpaar in die Gleichung ein} \\[5pt] \color{#787828}{4} - \color{#787828}{1}&=&12 &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahiere}\\[5pt] \color{#db2416}{3}&=&\color{#db2416}{12} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
$(4 \mid -1)$ ist also keine Lösung für Gleichung II.
$\begin{array}[t]{rll} x + y &=&12 &\quad \scriptsize \mid\; \text{setze ein Zahlenpaar in die Gleichung ein} \\[5pt] \color{#287882}{10} + \color{#287882}{2}&=&12 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere}\\[5pt] \color{#87c800}{12}&=&\color{#87c800}{12 }\\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
$(10 \mid 2)$ ist also eine Lösung für Gleichung II.
$\begin{array}[t]{rll} x + y &=&12 &\quad \scriptsize \mid\; \text{setze ein Zahlenpaar in die Gleichung ein} \\[5pt] \color{#0B9A33}{26} + \color{#0B9A33}{10}&=&12 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere}\\[5pt] \color{#db2416}{36}&=&\color{#db2416}{12} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
$(26 \mid 10)$ ist also keine Lösung für Gleichung II.
$\longrightarrow$ Jetzt setzt du die Lösungen für Gleichung II in Gleichung I ein.
Gleichung I: $x - 2y = 6$
Lösungen für Gleichung II in Gleichung I einsetzen: $(\color{#FFED00}{6\mid 6})$, $(\color{#742B20}{5\mid 7})$, $(\color{#002F5D}{10 \mid 2})$, $(\color{#967117}{8 \mid 4})$, $(\color{#287882}{14 \mid -2})$, $(\color{#fa7d19}{12 \mid 0})$
$\begin{array}[t]{rll} x - 2y &=&6 &\quad \scriptsize \mid\; \text{setze ein Zahlenpaar in die Gleichung ein}\\[5pt] \color{#FFED00}{6} - 2 \cdot \color{#FFED00}{6}&=&6 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] 6 - 12&=&6 &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahiere}\\[5pt] \color{#db2416}{-6}&=&\color{#db2416}{6} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
$(6\mid 6)$ ist also keine Lösung für Gleichung I.
$\begin{array}[t]{rll} x - 2y &=&6 &\quad \scriptsize \mid\; \text{setze ein Zahlenpaar in die Gleichung ein}\\[5pt] \color{#742B20}{5} - 2\cdot \color{#742B20}{7}&=&6 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] 5 - 14&=&6 &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahiere}\\[5pt] \color{#db2416}{-9}&=&\color{#db2416}{6} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
$(5 \mid 7)$ ist also keine Lösung für Gleichung I.
$\begin{array}[t]{rll} x - 2y &=&6 &\quad \scriptsize \mid\; \text{setze ein Zahlenpaar in die Gleichung ein}\\[5pt] \color{#002F5D}{10} - 2 \cdot \color{#002F5D}{2} &=&6 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] 10 - 4&=&6 &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahiere}\\[5pt] \color{#87c800}{6}&=&\color{#87c800}{6 }\\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
$(10 \mid 2)$ ist also eine Lösung für Gleichung I.
$\begin{array}[t]{rll} x - 2y &=&6 &\quad \scriptsize \mid\; \text{setze ein Zahlenpaar in die Gleichung ein}\\[5pt] \color{#967117}{8} - 2 \cdot \color{#967117}{4}&=&6 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] 8 - 8&=&6 &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahiere}\\[5pt] \color{#db2416}{0}&=&\color{#db2416}{6} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
$(8 \mid 4)$ ist also keine Lösung für Gleichung I.
$\begin{array}[t]{rll} x - 2y &=&6 &\quad \scriptsize \mid\; \text{setze ein Zahlenpaar in die Gleichung ein}\\[5pt] \color{#287882}{14} - 2 \cdot \color{#287882}{-2}&=&6 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] 14 - 4&=&6 &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahiere}\\[5pt] \color{#db2416}{10}&=&\color{#db2416}{6} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
$(14 \mid -2)$ ist also keine Lösung für Gleichung I.
$\begin{array}[t]{rll} x - 2y &=&6 &\quad \scriptsize \mid\; \text{setze ein Zahlenpaar in die Gleichung ein}\\[5pt] \color{#fa7d19}{12} - 2 \cdot \color{#fa7d19}{0}&=&6 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] 12 - 0&=&6 &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahiere}\\[5pt] \color{#db2416}{12}&=&\color{#db2416}{6} \\[5pt]\end{array}$
$ ERGEBNIS $
$(12 \mid 0)$ ist also keine Lösung für Gleichung I.
$(10 \mid 2)$ ist das einzige Zahlenpaar, das die Lösung für Gleichung I und Gleichung II ist.

Aufgabe 3

Um systematisch vorzugehen, kannst du zwei Tabellen für die zwei Gleichungen erstellen. In die jeweilige Tabelle trägst du ein, welche Zahl du für $x$ eingesetzt hast. Wenn du eine Zahl für $x$ einsetzt und dann zusammenfasst, erhältst du das Ergebnis $y$. Dieses trägst du auch wieder in die Tabelle ein. Verfahre mit den genau gleichen Zahlen in der Tabelle für Gleichung II genau so. Sobald die Zahlenpaare für Gleichung I und Gleichung II dieselben sind, hast du die Lösung gefunden.
a)
$\blacktriangleright$  Tabelle erstellen und Zahlenpaar finden
$\;$
Gleichung II
$x$$y = x + 4$$y$
$0$$y = 0 + 4$$4$
$1$$ y = 1 + 4$$5$
$2$$ y = 2 + 4$$6$
Das Zahlenpaar, welches für beide Gleichungen gültig ist, ist $(2 \mid 6)$.
b)
$\blacktriangleright$  Tabelle erstellen und Zahlenpaar finden
$\;$
Gleichung II
$x$$y = 2x - 7$$y$
$0$$y = 2 \cdot 0 -7$$-7$
$1$$ y = 2 \cdot 1 - 7$$-5$
$2$$ y = 2 \cdot 2 - 7$$-3$
$3$$ y = 2 \cdot 3 - 7$$-1$
$4$$ y = 2 \cdot 4 - 7 $$1$
$5$$ y = 2 \cdot 5 - 7$$3$
Das Zahlenpaar, welches für beide Gleichungen gültig ist, ist $(5 \mid 3)$.
c)
$\blacktriangleright$  Tabelle erstellen und Zahlenpaar finden
$\;$
Gleichung II
$x$$y = 5x - 17$$y$
$0$$y = 5 \cdot 0 - 17$$-17$
$1$$ y = 5 \cdot 1 - 17$$-12$
$2$$ y = 5 \cdot 2 - 17$$-7$
$3$$ y = 5 \cdot 3 - 17$$-2$
$4$$ y = 5 \cdot 4 - 17$$3$
$5$$ y = 5 \cdot 5 - 17$$8$
$6$$ y = 5 \cdot 6 - 17$$13$
Das Zahlenpaar, welches für beide Gleichungen gültig ist, ist $(6 \mid 13)$.
d)
$\blacktriangleright$  Tabelle erstellen und Zahlenpaar finden
Hier solltest du zuerst beide Gleichungen umformen, so dass $y$ auf einer Seite isoliert steht. Das sieht dann so aus:
Gleichung I:
$\begin{array}[t]{rll} 2x + 3y&=&18 &\quad \scriptsize \mid\; -2x\\[5pt] 3y&=&18 - 2x &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] y&=& 6 -\dfrac{2x}{3} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Gleichung II:
$\begin{array}[t]{rll} 4x + y &=&16 &\quad \scriptsize \mid\; -4x\\[5pt] y&=&16 - 4x \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
$\;$
Gleichung II
$x$$y = 16 - 4x$$y$
$0$$y = 16 - 4 \cdot 0$$16$
$1$$ y = 16 - 4 \cdot 1$$12$
$2$$ y = 16 - 4 \cdot 2$$8$
$3$$ y = 16 - 4 \cdot 3$$4$
Das Zahlenpaar, welches für beide Gleichungen gültig ist, ist $(3 \mid 4)$.
e)
$\blacktriangleright$  Tabelle erstellen und Zahlenpaar finden
Hier solltest du zuerst beide Gleichungen umformen, so dass $y$ auf einer Seite isoliert steht. Das sieht dann so aus:
Gleichung I:
$\begin{array}[t]{rll} x &=&3 -y &\quad \scriptsize \mid\; -3\\[5pt] x - 3&=&-y &\quad \scriptsize \mid\; :-1\\[5pt] y&=& -x + 3 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Gleichung II:
$\begin{array}[t]{rll} x + y&=&3 &\quad \scriptsize \mid\; -x\\[5pt] y&=& 3 -x \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
$\;$
Gleichung II
$x$$y = 3 -x$$y$
$0$$y = 3 -0$$3$
$1$$ y = 3 -1$$2$
Das Zahlenpaar, welches für beide Gleichungen gültig ist, ist $(1 \mid 2)$.
f)
$\blacktriangleright$  Tabelle erstellen und Zahlenpaar finden
Hier solltest du zuerst beide Gleichungen umformen, so dass $y$ auf einer Seite isoliert steht. Das sieht dann so aus:
Gleichung I:
$\begin{array}[t]{rll} 2x + y + 5&=&15 &\quad \scriptsize \mid\; -2x\\[5pt] y + 5&=&15 - 2x &\quad \scriptsize \mid\; -5\\[5pt] y&=&10 - 2x \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Gleichung II:
$\begin{array}[t]{rll} y - x + 3 &=&7 &\quad \scriptsize \mid\; + x\\[5pt] y + 3&=&7 +x &\quad \scriptsize \mid\; -3\\[5pt] y &=&4 +x \end{array}$
$ ERGEBNIS $
$\;$
Gleichung II
$x$$y = 4 +x$$y$
$0$$y = 4 +0$$4$
$1$$ y = 4 + 1$$5$
$2$$ y = 4 + 2$$6$
Das Zahlenpaar, welches für beide Gleichungen gültig ist, ist $(2 \mid 6)$.

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Gleichung aufstellen und lösen
Dadurch, dass die Figur eine Rechteck ist, sind die sich gegenüberliegenden Seiten jeweils gleich lang. Sie sind also $2x$ und $2y$ lang. Der Umfang beträgt insgesamt $18$ $cm$. Wenn du nun $2x$ mit $2y$ addierst, erhältst du den Umfang von $18$ $cm$. Deine Gleichung lautet also so:
$\begin{array}[t]{rll} 2x + 2y &=&40 \\[5pt] \end{array}$
Um ein Zahlenpaar zu erhalten, kannst du einfach eine beliebige Zahl für $x$ einsetzen und dann nach $y$ auflösen. Du kannst beispielsweise $(3 \mid\, ?)$ und $(10 \mid\, ?)$ nehmen. Mache zum Schluss die Probe, um dein Ergebnis zu überprüfen.
1.
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot 3 + 2y&=&40 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{6} + 2y&=&40 &\quad \scriptsize \mid\; -6\\[5pt] 2y&=&\color{#87c800}{34 }&\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{17} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Kontrolle durch Einsetzen von }y\\[5pt] 2 \cdot 3 + 2 \cdot \color{#87c800}{17}&=&40 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{6} + \color{#87c800}{34}&=&40&\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere}\\[5pt] 40&=&40 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
2.
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot \color{#87c800}{10} + 2y&=&40 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{20} + 2y&=&40 &\quad \scriptsize \mid\; -20\\[5pt] 2y&=&\color{#87c800}{20} &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{10} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Kontrolle durch Einsetzen von }y\\[5pt] 2 \cdot 3 + 2 \cdot \color{#87c800}{10}&=&40 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{20} + \color{#87c800}{20}&=&40&\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere}\\[5pt] 40&=&40 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Zwei Zahlenpaare, die für die Gleichung gültig sind, könnten also $(3 \mid 17)$ und $(10 \mid 10)$ sein.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichung aufstellen und lösen
Dadurch, dass die Figur eine Rechteck ist, sind die sich gegenüberliegenden Seiten jeweils gleich lang. Sie sind also $2x$ und $2y$ lang. Der Umfang beträgt insgesamt $32$ $cm$. Wenn du nun $2x$ mit $2y$ addierst, erhältst du den Umfang von $32$ $cm$. Deine Gleichung lautet also so:
$\begin{array}[t]{rll} 2x + 2y &=&32 \\[5pt] \end{array}$
Um ein Zahlenpaar zu erhalten, kannst du einfach eine beliebige Zahl für $x$ einsetzen und dann nach $y$ auflösen. Du kannst beispielsweise $(6 \mid\, ?)$ und $(12 \mid\, ?)$ nehmen. Mache zum Schluss die Probe, um dein Ergebnis zu überprüfen.
1.
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot 6 + 2y&=&32 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{12} + 2y&=&32 &\quad \scriptsize \mid\; -12\\[5pt] 2y&=&\color{#87c800}{20 }&\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{10} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Kontrolle durch Einsetzen von }y\\[5pt] 2 \cdot 6 + 2 \cdot \color{#87c800}{10}&=&32 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{12} + \color{#87c800}{20}&=&18&\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere}\\[5pt] 32&=&32 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
2.
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot \color{#87c800}{12} + 2y&=&32 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{24} + 2y&=&32 &\quad \scriptsize \mid\; -24\\[5pt] 2y&=&\color{#87c800}{8} &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{4} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Kontrolle durch Einsetzen von }y\\[5pt] 2 \cdot 12 + 2 \cdot \color{#87c800}{4}&=&32 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{24} + \color{#87c800}{8}&=&32&\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere}\\[5pt] 32&=&32 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Zwei Zahlenpaare, die für die Gleichung gültig sind, könnten also $(6 \mid 10)$ und $(12 \mid 4)$ sein.
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung aufstellen und lösen
Dadurch, dass die Figur ein gleichschenkliges Dreieck ist, sind zwei Seiten gleich lang. Du hast also $2x$ und $y$. Der Umfang beträgt insgesamt $50$ $cm$. Wenn du nun $2x$ mit $y$ addierst, erhältst du den Umfang von $50$ $cm$. Deine Gleichung lautet also so:
$\begin{array}[t]{rll} 2x + y &=&50 \\[5pt] \end{array}$
Um ein Zahlenpaar zu erhalten, kannst du einfach eine beliebige Zahl für $x$ einsetzen und dann nach $y$ auflösen. Du kannst beispielsweise $(22 \mid\, ?)$ und $(19 \mid\, ?)$ nehmen. Mache zum Schluss die Probe, um dein Ergebnis zu überprüfen.
1.
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot 22 + y&=&50 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{44} + y&=&50 &\quad \scriptsize \mid\; -44\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{6 }&\quad \scriptsize \mid\; \text{Kontrolle durch Einsetzen von }y\\[5pt] 2 \cdot 22 + \color{#87c800}{6}&=&50 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{44} + 6&=&18&\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere}\\[5pt] 50&=&50 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
2.
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot \color{#87c800}{19} + y&=&50 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{38} + y&=&50 &\quad \scriptsize \mid\; -38\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{12} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Kontrolle durch Einsetzen von }y\\[5pt] 2 \cdot 19 + \color{#87c800}{12}&=&50 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{38} + 12&=&50 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere}\\[5pt] 50&=&50 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Zwei Zahlenpaare, die für die Gleichung gültig sind, könnten also $(22 \mid 6)$ und $(19 \mid 12)$ sein.
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung aufstellen und lösen
Dadurch, dass die Figur ein gleichschenkliges Dreieck ist, sind zwei Seiten gleich lang. Du hast also $2x$ und $y$. Der Umfang beträgt insgesamt $74$ $cm$. Wenn du nun $2x$ mit $y$ addierst, erhältst du den Umfang von $74$ $cm$. Deine Gleichung lautet also so:
$\begin{array}[t]{rll} 2x + y &=&74 \\[5pt] \end{array}$
Um ein Zahlenpaar zu erhalten, kannst du einfach eine beliebige Zahl für $x$ einsetzen und dann nach $y$ auflösen. Du kannst beispielsweise $(45 \mid\, ?)$ und $(31 \mid\, ?)$ nehmen. Mache zum Schluss die Probe, um dein Ergebnis zu überprüfen.
1.
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot 45 + y&=&74 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{90} + y&=&74 &\quad \scriptsize \mid\; -90\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{-16 }&\quad \scriptsize \mid\; \text{Kontrolle durch Einsetzen von }y\\[5pt] 2 \cdot 45 \color{#87c800}{-16}&=&74 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{90} -16&=&74&\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahiere}\\[5pt] 74&=&74 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
2.
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot \color{#87c800}{31} + y&=&74 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{62} + y&=&74 &\quad \scriptsize \mid\; -62\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{12} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Kontrolle durch Einsetzen von }y\\[5pt] 2 \cdot 31 + \color{#87c800}{12}&=&74 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{62} + 12&=&74 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere}\\[5pt] 74&=&74 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Zwei Zahlenpaare, die für die Gleichung gültig sind, könnten also $(45 \mid -16)$ und $(31 \mid 12)$ sein.
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