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Einsetzungsverfahren

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Erkläre anhand der Darstellung, wie das Einsetzungsverfahren Schritt für Schritt funktioniert.
$\text{I}$ $\,$ $ x - y = -4$
$\text{II}$ $\,$ $y =2x - 1$
$\rightarrow$
$\text{II $\rightarrow$ I}$
$x - (2x -1) = -4$
$\;$ $\rightarrow$
$x - 2x + 1 = -4$
$x = 5$
$\rightarrow$
$ x \rightarrow \text{I}$
$\text{I}$ $\,$ $5 - y = -4$
$\downarrow$
$(5 \mid 9)$
$\text{I}$ $\,$ $ x - y = -4$
$\text{II}$ $\,$ $y =2x - 1$
$\, \downarrow$
$\text{II $\rightarrow$ I}$
$x - (2x -1) = -4$
$\, \downarrow$
$x - 2x + 1 = -4$
$x = 5$
$\, \downarrow$
$ x \rightarrow \text{I}$
$\text{I}$ $\,$ $5 - y = -4$
$\, \downarrow$
$(5 \mid 9)$
b)
Löse das Gleichungssystem und wende dabei das Einsetzungsverfahren an. Orientiere dich dabei an Aufgabenteil a) der Einführungsaufgabe.
$\text{I}$ $\,$ $x + y = 3$
$\text{II}$ $\,$ $y = 3x - 5$
c)
Nicht immer kannst du ein Gleichungssystem sofort auflösen. Manchmal musst du eine der Gleichungen zuerst in die Form $y = m \cdot x + t$ bringen. Löse hierfür zuerst eine der beiden Gleichungen nach $x$ oder $y$ auf. Bei dieser Aufgabe bietet es sich an, Gleichung $\text{I}$ nach $x$ aufzulösen. Wende anschließend das Einsetzungsverfahren an, um das Gleichungssystem zu lösen.
$\text{I}$ $\,$ $x - y = 3$
$\text{II}$ $\,$ $3x = y + 13$
d)
Manchmal kann es dir helfen, eine der beiden Gleichungen nach einem Vielfachen von $x$ oder $y$ aufzulösen. Das kennst du schon aus dem Thema "Gleichsetzungsverfahren". Löse also Gleichung $\text{I}$ nach $2x$ auf und wende dann das Einsetzungsverfahren an.
$\text{I}$ $\,$ $2x +7y = 23$
$\text{II}$ $\,$ $ 2x + 4y = 14$
e)
Löse die folgende Textaufgabe. Gliedere dazu den Text in einzelne Abschnitte, wie du es schon aus dem Thema "Einsetzungsverfahren" kennst. Vielleicht hilft es dir auch, dir die Textabschnitte farbig zu markieren. Das kann dir ein besseres Verständnis für die Aufgabe vermitteln.
$\text{I}$ Die Differenz aus $x$ und $y$ ergibt $2$.
$\text{II}$ Das Doppelte von $x$ um $6$ vermindert ergibt $y$.
#einsetzungsverfahren#gleichungssystem

Aufgabe 1

Löse die Gleichungssysteme, indem du das Einsetzungsverfahren verwendest.
b)
$\text{I}$ $\,$ $4x + y = 24$
$\text{II}$ $\,$ $y = 4x$
d)
$\text{I}$ $\,$ $y = 10 - x$
$\text{II}$ $\,$ $7x = 30 + y$
f)
$\text{I}$ $\,$ $10x = 43 - 3y$
$\text{II}$ $\,$ $x = 4y$
h)
$\text{I}$ $\,$ $23x - 2 = 11y$
$\text{II}$ $\,$ $3y - 10 = x$
#einsetzungsverfahren#gleichungssystem

Aufgabe 2

Löse das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren. Verfahre wie in Aufgabenteil c) der Einführungsaufgabe.
b)
$\text{I}$ $\,$ $3x = 6y + 3$
$\text{II}$ $\,$ $5x - 12y = -3$
d)
$\text{I}$ $\,$ $7x + 9y = 58$
$\text{II}$ $\,$ $6x = 42y$
f)
$\text{I}$ $\,$ $24x - y = 37$
$\text{II}$ $\,$ $y + 1 = 6x$
#einsetzungsverfahren#gleichungssystem

Aufgabe 3

Löse die folgenden Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren. Gehe vor wie in Aufgabenteil d) der Einführungsaufgabe.
b)
$\text{I}$ $\,$ $30x - 2y = 24$
$\text{II}$ $\,$ $4x - 2y = -2$
d)
$\text{I}$ $\,$ $17x + 5y = 86$
$\text{II}$ $\,$ $3x + 5y = 44$
f)
$\text{I}$ $\,$ $5x + 14y = 156$
$\text{II}$ $\,$ $4x + 14y = 150$
#gleichungssystem#einsetzungsverfahren

Aufgabe 4

Stelle anhand der Textaufgaben Gleichungsysteme auf und löse sie.
Lineare Gleichungssysteme: Einsetzungsverfahren
Abb. 1: Ob Tom Riddle aka Lord Voldemort das Zahlenrätsel wohl gelöst hätte (engl. "riddle" $\rightarrow$ Rätsel)?
Lineare Gleichungssysteme: Einsetzungsverfahren
Abb. 1: Ob Tom Riddle aka Lord Voldemort das Zahlenrätsel wohl gelöst hätte (engl. "riddle" $\rightarrow$ Rätsel)?
#gleichungssystem
Bildnachweise [nach oben]
[1]
https://goo.gl/9ugwG7 ; Lord Voldemort, Cliff, CC BY-SA.
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Rechenschritte erklären
$\text{I}$ $\,$ $ x - y = -4$
$\text{II}$ $\,$ $y = \color{#2D6EC8}{2x - 1}$
Das ist das Gleichungssystem. $y$ ist bereits isoliert, das heißt, du kannst das Ergebnis für $y$ in Gleichung $\text{I}$ einsetzen.
$\quad$ $\,$ $\,$ $\quad$ $\downarrow$
$\text{II $\rightarrow$ I}$
$x - \color{#2D6EC8}{(2x - 1)} = -4$
Setze Gleichung $\text{II}$ in Gleichung $\text{I}$ ein.
$\quad$ $\,$ $\,$ $\quad$ $\downarrow$
$x - 2x + 1 = -4$
$x = \color{#2D6EC8}{5}$
Löse Gleichung $\text{I}$ jetzt nach $x$ auf.
$\quad$ $\,$ $\,$ $\quad$ $\downarrow$
$ x \rightarrow \text{I}$
$\text{I}$ $\,$ $\color{#2D6EC8}{5} - y = -4$
$x$ kannst du jetzt in die Gleichung $\text{I}$ einsetzen. Dann kannst du nach $y$ auflösen.
$\quad$ $\,$ $\,$ $\quad$ $\downarrow$
$\;$ $\;$ $\;$ $\;$ $(5 \mid 9)$
Das ist das Ergebnis.
$\text{I}$ $\,$ $ x - y = -4$
$\text{II}$ $\,$ $y = \color{#2D6EC8}{2x - 1}$
Das ist das Gleichungssystem. $y$ ist bereits isoliert, das heißt, du kannst das Ergebnis für $y$ in Gleichung $\text{I}$ einsetzen.
$\text{II $\rightarrow$ I}$
$x - \color{#2D6EC8}{(2x -1)} = -4$
Setze Gleichung $\text{II}$ in Gleichung $\text{I}$ ein.
$x - 2x + 1 = -4$
$x = \color{#2D6EC8}{5}$
Löse Gleichung $\text{I}$ jetzt nach $x$ auf.
$ x \rightarrow \text{I}$
$\text{I}$ $\,$ $\color{#2D6EC8}{5} - y = -4$
$x$ kannst du jetzt in die Gleichung $\text{I}$ einsetzen. Dann kannst du nach $y$ auflösen.
$(5 \mid 9)$
Das ist das Ergebnis.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem lösen
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x + y &=& 3 &\quad \\[5pt] \text{II}\quad&y&=& 3x - 5 &\quad \\ \end{array}$
Setze Gleichung $\text{II}$ in Gleichung $\text{I}$ ein $\left(\text{II $\rightarrow$ I}\right)$ und löse dann nach $x$ auf.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x +y &=& 3 &\quad \\ \text{II}\quad&y&=& 3x -5 &\quad \scriptsize\mid\; \text{II $\rightarrow$ I} \\ \hline \text{II $\rightarrow$ I} \quad& x + \color{#87c800}{(3x - 5)}&=& 3 &\quad \scriptsize\mid\; \text{löse die Klammer auf} \\ \quad& x + \color{#87c800}{3x - 5}&=& 3 &\quad \scriptsize\mid\; \text{fasse zusammen} \\ \quad& \color{#87c800}{4x} - 5&=& 3 &\quad \scriptsize\mid\; +5 \\ \quad& 4x &=& \color{#87c800}{8} &\quad \scriptsize\mid\; :4 \\ \quad& x &=& \color{#87c800}{2} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze das Ergebnis für $x$ jetzt in Gleichung $\text{II}$ ein und löse nach $y$ auf.
$\begin{array}{} x \rightarrow \text{II}\quad& y&=& 3 \cdot \color{#87c800}{2} - 5 &\quad \scriptsize\mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad& y&=& \color{#87c800}{6} - 5 &\quad \scriptsize\mid\; \text{subtrahiere} \\[5pt] \quad& y&=& \color{#87c800}{1 } \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(2 \mid 1)$.
c)
$\blacktriangleright$  Gleichung umformen und Gleichungssystem lösen
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x - y &=& 3 &\quad \\[5pt] \text{II}\quad& 3x &=& y + 13 &\quad \\ \end{array}$
Forme zuerst Gleichung $\text{I}$ um, indem du sie nach $x$ auflöst. Dadurch entsteht $\text{I'}$, eine andere Form der Gleichung $\text{I}$.
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x - y &=& 3 &\quad \scriptsize\mid\; +y \\[5pt] \text{I'}\quad& x &=& 3 + \color{#87c800}{y} &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze Gleichung $\text{I'}$ in Gleichung $\text{II}$ ein $\left(\text{I' $\rightarrow$ II}\right)$ und löse dann nach $y$ auf.
$\begin{array}{} \text{I'}\quad& x &=& 3 + y &\quad \scriptsize\mid\; \text{I' $\rightarrow$ II} \\ \text{II}\quad& 3x &=& y + 13 &\quad \\ \hline \text{I' $\rightarrow$ II} \quad& 3 \cdot \color{#87c800}{(3 + y)} &=& y + 13 &\quad \scriptsize\mid\; \text{löse die Klammer auf} \\ \quad& \color{#87c800}{9 + 9y} &=& y + 13 &\quad \scriptsize\mid\; -y \\ \quad& 9 + \color{#87c800}{8y} &=& 13 &\quad \scriptsize\mid\; - 9\\ \quad& 8y &=& \color{#87c800}{4} &\quad \scriptsize\mid\; :4 \\ \quad& y &=& \color{#87c800}{2} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze das Ergebnis für $y$ jetzt in Gleichung $\text{I'}$ ein und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{} y \rightarrow \text{I'}\quad& x&=& 3 + \color{#87c800}{2} &\quad \scriptsize\mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad& x&=& \color{#87c800}{5} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(5 \mid 2)$.
d)
$\blacktriangleright$  Gleichung umformen und Gleichungssystem lösen
$\begin{array}{} \text{I}\quad& 2x +7y &=& 23 &\quad \\[5pt] \text{II}\quad& 2x + 4y &=& 14 &\quad \\ \end{array}$
Forme zuerst Gleichung $\text{I}$ um, indem du sie nach $2x$ auflöst. Dadurch entsteht $\text{I'}$, eine andere Form der Gleichung $\text{I}$.
$\begin{array}{} \text{I}\quad& 2x +7y &=& 23 &\quad \scriptsize\mid\; - 7y \\[5pt] \text{I'}\quad& 2x &=& 23 - \color{#87c800}{7y} &\quad \\ \end{array}$
Setze Gleichung $\text{I'}$ in Gleichung $\text{II}$ ein $\left(\text{I' $\rightarrow$ II}\right)$ und löse dann nach $y$ auf.
$\begin{array}{} \text{I'}\quad& 2x &=& 23 - 7y &\quad \scriptsize\mid\; \text{I' $\rightarrow$ II} \\ \text{II}\quad& 2x + 4y &=& 14 &\quad \\ \hline \text{I' $\rightarrow$ II} \quad& \color{#87c800}{(23 - 7y)} + 4y &=& 14 &\quad \scriptsize\mid\; \text{löse die Klammer auf} \\ \quad& \color{#87c800}{23 - 7y} + 4y &=& 14 &\quad \scriptsize\mid\; \text{fasse zusammen} \\ \quad& 23 - \color{#87c800}{3y} &=& 14 &\quad \scriptsize\mid\; -23\\ \quad& - 3y &=& \color{#87c800}{-9} &\quad \scriptsize\mid\; :(-3) \\ \quad& y &=& \color{#87c800}{3} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze das Ergebnis für $y$ jetzt in Gleichung $\text{I'}$ ein und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{} y \rightarrow \text{I'}\quad& 2x &=& 23 - 7 \cdot \color{#87c800}{3} &\quad \scriptsize\mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad& 2x &=& 23 - \color{#87c800}{21} &\quad \scriptsize\mid\; \text{subtrahiere} \\[5pt] \quad& 2x &=& \color{#87c800}{2} &\quad \scriptsize\mid\; :2 \\[5pt] \quad& x &=& \color{#87c800}{1} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(1 \mid 3)$.
e)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem aufstellen und lösen
$\text{I} \,$ Die Differenz aus $\color{#db2416}{x}$ und $\color{#db2416}{y}$ ergibt $\color{#787828}{2}$.
$\text{II} \,$ Das Doppelte von $\color{#87c800}{x}$ um $\color{#a0321e}{6}$ vermindert ergibt $\color{#967117}{y}$.
$\begin{array}{} \text{I}\quad& \color{#db2416}{x - y} &\color{#fa7d19}{=}& \color{#787828}{2} &\quad \\ \text{II}\quad& \color{#87c800}{2x} \color{#0096c8}{-} \color{#a0321e}{6} &\color{#2D6EC8}{=}& \color{#967117}{y} &\quad \\ \end{array}$
Löse jetzt das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren. Setze dazu Gleichung $\text{II}$ in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{} \text{I}\quad& x - y &=& 2 &\quad \scriptsize\mid\; \text{I' $\rightarrow$ II} \\ \text{II}\quad& y &=& 2x - 6 &\quad \scriptsize\mid\; \text{II $\rightarrow$ I} \\ \hline \text{II $\rightarrow$ I} \quad& x - (2x - 6) &=& 2 &\quad \scriptsize\mid\; \text{löse die Klammer auf} \\ \quad& x - \color{#87c800}{2x + 6} &=& 2 &\quad \scriptsize\mid\; \text{fasse zusammen} \\ \quad& \color{#87c800}{-x} + 6 &=& 2 &\quad \scriptsize\mid\; -6\\ \quad& -x &=& \color{#87c800}{-4} &\quad \scriptsize\mid\; \cdot (-1) \\ \quad& x &=& \color{#87c800}{4} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze das Ergebnis für $x$ jetzt in Gleichung $\text{I'}$ ein und löse nach $y$ auf.
$\begin{array}{} x \rightarrow \text{II}\quad& y &=& 2 \cdot \color{#87c800}{4} - 6 &\quad \scriptsize\mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad& y &=& \color{#87c800}{8} - 6 &\quad \scriptsize\mid\; \text{subtrahiere} \\[5pt] \quad& y &=& \color{#87c800}{2} \end{array}$
Die Lösung ist $(4 \mid 2)$.

Aufgabe 1

Bei den folgen Aufgaben kannst du immer eine der beiden Gleichungen in die andere einsetzen, da entweder Gleichung $\text{I}$ oder Gleichung $\text{II}$ bereits nach einer Variablen aufgelöst sind. Nachdem du Gleichung $\text{I}$ in Gleichung $\text{II}$ oder Gleichung $\text{II}$ in Gleichung $\text{I}$ eingesetzt hast, kannst du nach einer Variablen auflösen. Mit der Lösung kannst du dann auch nach der anderen Variablen auflösen, indem du das Ergebnis in eine der beiden Gleichungen einsetzt und nach der zweiten Variablen auflöst.
a)
$\blacktriangleright$  Einsetzungsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $x + 4y = 45$
$\text{II}$ $\,$ $y = 2x$
Setze Gleichung $\text{II}$ in Gleichung $\text{I}$ ein ($\text{II} \rightarrow \text{I}$).
$\begin{array}{111} \text{I}\quad&x + 4y &=& 45 &\quad \\ \text{II}\quad&y&=& 2x &\quad \scriptsize\mid\; \text{II $\rightarrow$ I} \\ \hline \text{II $\rightarrow$ I } \quad& x + 4 \cdot \color{#87c800}{ (2x)} &=&45 \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Löse jetzt Gleichung $\text{I}$ nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} \text{I} &x + 4 \cdot (2x) &=& 45 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] &x + \color{#87c800}{8x} &=& 45&\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] &\color{#87c800}{9x} &=& 45&\quad \scriptsize \mid\; : 9\\[5pt] &\color{#78c800}{x} &=& \color{#78c800}{5} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze jetzt die Lösung für $x$ in Gleichung $\text{II}$ ein, um $y$ auszurechnen.
$\begin{array}[t]{rll} x \rightarrow \text{II} \quad y&=& 2 \cdot \color{#87c800}{5} &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{10} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(5 \mid 10)$.
b)
$\blacktriangleright$  Einsetzungsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $4x + y = 24$
$\text{II}$ $\,$ $y = 4x$
Setze Gleichung $\text{II}$ in Gleichung $\text{I}$ ein ($\text{II} \rightarrow \text{I}$).
$\begin{array}{111} \text{I}\quad&4x + y &=& 24 &\quad \\ \text{II}\quad&y&=& 4x &\quad \scriptsize\mid\;\text{II $\rightarrow$ I} \\ \hline \text{II $\rightarrow$ I } \quad& 4x + \color{#87c800}{4x} &=&24 \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Löse jetzt Gleichung $\text{I}$ nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} \text{I} \quad 4x + 4x &=&24 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] \quad \color{#87c800}{8x}&=&24 &\quad \scriptsize \mid\; : 8\\[5pt] \quad \color{#87c800}{x}&=&\color{#87c800}{3} \quad \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze jetzt die Lösung für $x$ in die Gleichung $\text{II}$ ein, um die Lösung für $y$ zu erhalten.
$\begin{array}[t]{rll} x \rightarrow \text{II} \quad y&=& 4 \cdot \color{#87c800}{3} &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{12} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(3 \mid 12)$.
c)
$\blacktriangleright$  Einsetzungsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $3x + y = 25$
$\text{II}$ $\,$ $x - 3 = y$
Setze Gleichung $\text{II}$ in Gleichung $\text{I}$ ein ($\text{II} \rightarrow \text{I}$).
$\begin{array}{111} \text{I}\quad&3x + y &=& 25 &\quad \\[5pt] \text{II}\quad&x - 3&=& y &\quad \scriptsize\mid\;\text{II $\rightarrow$ I} \\ \hline \text{II $\rightarrow$ I} \quad& 3x + \color{#87c800}{(x - 3)} &=& 25 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Löse jetzt die Gleichung $\text{I}$ nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} \text{I} \quad 3x + (x - 3) &=&25 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Klammer auflösen}\\[5pt] \quad 3x + \color{#87c800}{x - 3}&=&25 &\quad \scriptsize \mid\; \text{$x$ zusammenfassen}\\[5pt] \quad \color{#87c800}{4x} -3&=&25 &\quad \scriptsize \mid\; + 3 \\[5pt] \quad 4x &=& \color{#87c800}{28} &\quad \scriptsize \mid\; :4\\[5pt] \quad \color{#87c800}{x} &=& \color{#87c800}{7} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze jetzt das ausgerechnete $x$ in die Gleichung $\text{II}$ ein, um die Lösung für $y$ zu erhalten.
$\begin{array}[t]{rll} x \rightarrow \text{II} \quad \color{#87c800}{7} - 3&=&y &\quad \scriptsize \mid\; \text{substrahiere}\\[5pt] \quad \color{#87c800}{4}&=&y \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(7 \mid 4)$.
d)
$\blacktriangleright$  Einsetzungsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $y = 7 - x$
$\text{II}$ $\,$ $7x = 30 + y$
Setze Gleichung $\text{I}$ in Gleichung $\text{II}$ ein ($\text{I} \rightarrow \text{II}$).
$\begin{array}{111} \text{I}\quad& y &=& 10 - x &\quad \scriptsize \mid\; \text{I} \rightarrow \text{II}\\ \text{II}\quad&7x &=& 30 + y &\quad \\ \hline \text{I $\rightarrow$ II} \quad &7x &= &30 + \color{#87c800}{(10-x)} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Löse jetzt Gleichung $\text{II}$ nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} \text{II} \quad 7x &= &30 + (10-x) &\quad \scriptsize \mid\; \text{Klammer auflösen}\\[5pt] 7x &= &30 + \color{#87c800}{10 - x} &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere} \\[5pt] 7x &= &\color{#87c800}{40} - x &\quad \scriptsize \mid\; +\;x \\[5pt] \color{#87c800}{8x} &= &40 &\quad \scriptsize \mid\; :\;8 \\[5pt] \color{#87c800}{x} &= &\color{#87c800}{5} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze jetzt dein Ergebnis für $x$ in die Gleichung $\text{II}$ ein, um die Lösung für $y$ zu erhalten.
$\begin{array}[t]{rll} x \rightarrow \text{II} \quad y &= &10 - 5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{substrahiere}\\[5pt] y &=& \color{#87c800}{5} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(5 \mid 5)$.
e)
$\blacktriangleright$  Einsetzungsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $3x = 4y + 10$
$\text{II}$ $\,$ $4 + y = x$
Setze Gleichung $\text{II}$ in Gleichung $\text{I}$ ein ($\text{II} \rightarrow \text{I}$).
$\begin{array}{111} \text{I}\quad&3x&=& 4y +10 &\quad \\ \text{II}\quad&4 + y&=& x &\quad \scriptsize\mid\;\text{II} \rightarrow \text{I} \\ \hline \text{II $\rightarrow$ I} \quad &3 \cdot \color{#87c800}{(4 + y)} &=& 4y + 10 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Löse jetzt Gleichung $\text{I}$ nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} \text{I} \quad 3 \cdot (4 + y) &=& 4y + 10 &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf} \\[5pt] \color{#87c800}{3 \cdot 4} + \color{#87c800}{3y} &=& 4y + 10 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \color{#87c800}{12} + 3y &=& 4y + 10 &\quad \scriptsize \mid\; -\;12 \\[5pt] 3y &=& 4y \color{#87c800}{- 2} &\quad \scriptsize \mid\; -\;4y \\[5pt] \color{#87c800}{-y} &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; :\;(-1) \\[5pt] \color{#87c800}{y} &=& \color{#87c800}{2} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze jetzt deine Lösung für $y$ in die Gleichung $\text{II}$ ein, um die Lösung für $x$ zu erhalten.
$\begin{array}[t]{rll} y\rightarrow \text{II} \quad &4 + \color{#87c800}{2} &=& x &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere}\\[5pt] &\color{#87c800}{6} &=& x \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(6 \mid 2)$.
f)
$\blacktriangleright$  Einsetzungsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $10x = 43 - 3y$
$\text{II}$ $\,$ $x = 4y$
Setze Gleichung $\text{II}$ in Gleichung $\text{I}$ ein ($\text{II} \rightarrow \text{I}$).
$\begin{array}{111} \text{I}\quad&10x&=& 43 - 3y &\quad \\ \text{II}\quad&x &=& 4y &\quad \scriptsize\mid\; \text{II} \rightarrow \text{I} \\ \hline \text{II $\rightarrow$ I} \quad &10 \cdot \color{#87c800}{(4y)} &=& 43 - 3y \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Löse jetzt Gleichung $\text{I}$ nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} \text{I} \quad 10 \cdot 4y&=&43 - 3y &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] 40y&=&43 - 3y &\quad \scriptsize \mid\; +\;3y\\[5pt] \color{#87c800}{43y} &=& 43 &\quad \scriptsize \mid\; :\;43\\[5pt] \color{#87c800}{y} &=& \color{#87c800}{1} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze jetzt deine Lösung für $y$ in die Gleichung $\text{II}$ ein, um die Lösung für $x$ zu erhalten.
$\begin{array}[t]{rll} y \rightarrow \text{II} \quad &x &=& \color{#87c800}{4 \cdot 1} &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] &x &=& \color{#87c800}{4} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(4 \mid 1)$.
g)
$\blacktriangleright$  Einsetzungsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $7x + 9y = 58$
$\text{II}$ $\,$ $y = x - 6$
Setze Gleichung $\text{II}$ in Gleichung $\text{I}$ ein ($\text{II} \rightarrow \text{I}$).
$\begin{array}{111} \text{I}\quad&7x + 9y &=& 58 &\quad \\ \text{II}\quad&y&=& x - 6 &\quad \scriptsize\mid\; \text{II} \rightarrow \text{I} \\ \hline \text{II $\rightarrow$ I} \quad &7x + \color{#87c800}{9 \cdot (x - 6)} &=& 58 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Löse jetzt Gleichung $\text{I}$, indem du zuerst die Variable $x$ zusammenfasst und anschließend nach $x$ auflöst.
$\begin{array}[t]{rll} \text{I} \quad 7x + 9 \cdot (x - 6) &=& 58&\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] 7x + \color{#87c800}{9x - 54} &=& 58 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere}\\[5pt] \color{#87c800}{16x} - 54 &=& 58 &\quad \scriptsize \mid\; +\;54 \\[5pt] 16x &=& \color{#87c800}{112} &\quad \scriptsize \mid\; :\;16 \\[5pt] \color{#87c800}{x} &=& \color{#87c800}{7} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze jetzt deine Lösung für $x$ in die Gleichung $\text{II}$ ein, um die Lösung für $y$ zu erhalten.
$\begin{array}[t]{rll} x \rightarrow \text{II} \quad& y &=& \color{#87c800}{7} - 6 &\quad \scriptsize \mid\; \text{substrahiere}\\[5pt] y &=& \color{#87c800}{1} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(7 \mid 1)$.
h)
$\blacktriangleright$  Einsetzungsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $23x - 2 = 11y$
$\text{II}$ $\,$ $3y - 10 = x$
Setze Gleichung $\text{II}$ in Gleichung $\text{I}$ ein ($\text{II} \rightarrow \text{I}$).
$\begin{array}{111} \text{I}\quad&23x - 2 &=& 11y &\quad \\ \text{II}\quad&3y - 10 &=& x &\quad \scriptsize\mid\;\text{II} \rightarrow \text{I} \\ \hline \text{II $\rightarrow$ I} \quad &23 \cdot \color{#87c800}{(3y - 10)} - 2 &=& 11y \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Löse jetzt Gleichung $\text{I}$, indem du zuerst die Variable $y$ zusammenfasst und anschließend nach $y$ auflöst.
$\begin{array}[t]{rll} \text{I} \quad 23 \cdot (3y - 10) - 2 &=& 11y&\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \color{#87c800}{69y - 230} - 2 &=& 11y &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahiere}\\[5pt] 69y - \color{#87c800}{232} &=& 11y &\quad \scriptsize \mid\; +\;232 \\[5pt] 69y &=& 11y \color{#87c800}{+ 232} &\quad \scriptsize \mid\; -\;11y \\[5pt] \color{#87c800}{58y} &=& 232 &\quad \scriptsize \mid\; :\;58 \\[5pt] \color{#87c800}{y} &=& 4 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze jetzt deine Lösung für $y$ in die Gleichung $\text{II}$ ein, um die Lösung für $x$ zu erhalten.
$\begin{array}[t]{rll} y \rightarrow \text{II} \quad& (3 \cdot \color{#87c800}{4}) - 10 &=&x &\quad \scriptsize \mid\; \text{multiplizieren}\\[5pt] &\color{#87c800}{12} - 10 &=& x &\quad \scriptsize \mid\; \text{multiplizieren}\\[5pt] &\color{#87c800}{2} &=& x \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(2 \mid 4)$.

Aufgabe 2

Zur Lösung der folgenden Aufgaben muss immer eine der beiden Gleichungen nach einer Variable aufgelöst werden.
a)
$\blacktriangleright$  Einsetzungsverfahren anwenden
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x - y&=& 14 &\quad \\ \text{II}\quad& 5y &=& x-2 &\quad \\ \end{array}$
Löse Gleichung $\text{I}$ nach $x$ auf. So erhältst du $\text{I'}$, eine andere Form der Gleichung $\text{I}$.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x - y&=& 14 &\quad \\ \text{I'}\quad& \color{#87c800}{x} &=& 14 \color{#87c800}{+ y} &\quad \\ \end{array}$
Setze die umgeformte Gleichung $\text{I'}$ in Gleichung $\text{II}$ ein $\left(\text{I'} \rightarrow \text{II}\right)$. Löse die Gleichung anschließend nach $y$ auf.
$\begin{array}{111} \text{I' $\rightarrow$ II} \quad& 5y &=& \color{#87c800}{(14 + y)} - 2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf}\\[5pt] \quad& 5y &=&\color{#87c800}{14 + y - 2} &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahiere}\\[5pt] \quad& 5y &=& \color{#87c800}{12} + y &\quad \scriptsize \mid\; -\;y \\[5pt] \quad& \color{#87c800}{4y} &=& 12 &\quad \scriptsize \mid\; :\;4 \\[5pt] \quad& \color{#87c800}{y} &=& 3 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze jetzt die Lösung für $y$ in Gleichung $\text{I'}$ ein, um $x$ auszurechnen.
$\begin{array}[t]{rll} y \rightarrow \text{I'} \quad& x &=& 14 +\color{#87c800}{3}&\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere} \\[5pt] & x &=& \color{#87c800}{17} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(17 \mid 3)$.
b)
$\blacktriangleright$  Einsetzungsverfahren anwenden
$\begin{array}{} \text{I}\quad&3x&=&6y + 3 &\quad \\ \text{II}\quad&5x - 12y&=& -3 &\quad \\ \end{array}$
Löse Gleichung $\text{I}$ nach $x$ auf. So erhältst du $\text{I'}$, eine andere Form der Gleichung $\text{I}$.
$\begin{array}{} \text{I}\quad& 3x &=& 6y + 3 &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\ \text{I'}\quad& \color{#87c800}{x} &=& \color{#87c800}{2y + 1} &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze die umgeformte Gleichung $\text{I'}$ in Gleichung $\text{II}$ ein $\left(\text{I'} \rightarrow \text{II}\right)$. Löse die Gleichung anschließend.
$\begin{array}{111} \text{I' $\rightarrow$ II} \quad& 5 \cdot (\color{#87c800}{2y + 1}) - 12y &=& -3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf}\\[5pt] \quad& 5 \cdot(2y + 1) - 12y &=&-3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad& \color{#87c800}{10y + 5} - 12y &=&-3 &\quad \scriptsize \mid\; -\;5 \\[5pt] \quad& 10y - 12y &=& \color{#87c800}{-8} &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahieren} \\[5pt] \quad& \color{#87c800}{-2y} &=& -8 &\quad \scriptsize \mid\; :\;-2 \\[5pt] \quad& \color{#87c800}{y} &=& \color{#87c800}{4} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze jetzt die Lösung für $y$ in Gleichung $\text{I'}$ ein, um $x$ auszurechnen.
$\begin{array}[t]{rll} y \rightarrow \text{I'} \quad& x &=& 2 \cdot \color{#87c800}{4} + 1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multiplizieren} \\[5pt] & x &=& \color{#87c800}{8} + 1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addieren} \\[5pt] & x &=& \color{#87c800}{9} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(9 \mid 4)$.
c)
$\blacktriangleright$  Einsetzungsverfahren anwenden
$\begin{array}{} \text{I}\quad&10x &=& 43 - 3y &\quad \\ \text{II}\quad&2x &=& y + 5 &\quad \\ \end{array}$
Löse Gleichung $\text{II}$ nach $y$ auf. So erhältst du $\text{II'}$, eine andere Form der Gleichung $\text{II}$.
$\begin{array}{} \text{II}\quad& 2x &=& y + 5 &\quad \scriptsize \mid\; - 5 \\ \text{II'}\quad& 2x \color{#87c800}{- 5} &=& y &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze die umgeformte Gleichung $\text{II'}$ in Gleichung $\text{I}$ ein $\left(\text{II'} \rightarrow \text{I}\right)$. Löse die Gleichung anschließend nach $x$ auf.
$\begin{array}{111} \text{II' $\rightarrow$ I} \quad& 10x &=& 43 - 3 \cdot \color{#87c800}{(2x - 5)} &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf}\\[5pt] \quad& 10x &=& 43 \color{#87c800}{- 6x + 15} &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] \quad& 10x &=& \color{#87c800}{58} - 6x &\quad \scriptsize \mid\; +6x \\[5pt] \quad& \color{#87c800}{16x} &=& 58 &\quad \scriptsize \mid\; :16 \\[5pt] \quad& x &=& \color{#87c800}{3,625 } \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze jetzt die Lösung für $x$ in Gleichung $\text{II'}$ ein, um $y$ auszurechnen.
$\begin{array}[t]{rll} y \rightarrow \text{II'} \quad& 2 \cdot \color{#87c800}{3,625} - 5 &=& y &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad& \color{#87c800}{7,25} - 5 &=& y &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahiere} \\[5pt] \quad& \color{#87c800}{2,25} &=& y \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(3,625 \mid 2,25)$.
d)
$\blacktriangleright$  Einsetzungsverfahren anwenden
$\begin{array}{} \text{I}\quad&7x + 9y &=& 58 &\quad \\ \text{II}\quad&6x &=& 42y &\quad \\ \end{array}$
Löse Gleichung $\text{II}$ nach $x$ auf. So erhältst du $\text{II'}$, eine andere Form der Gleichung $\text{II}$.
$\begin{array}{} \text{II}\quad& 6x &=& 42y &\quad \scriptsize \mid\; :6 \\ \text{II'}\quad& x &=& \color{#87c800}{7y} &\quad \\ \end{array}$
Setze die umgeformte Gleichung $\text{II'}$ in Gleichung $\text{I}$ ein $\left(\text{II'} \rightarrow \text{I}\right)$. Löse die Gleichung anschließend nach $x$ auf.
$\begin{array}{111} \text{II' $\rightarrow$ I} \quad& 7 \cdot \color{#87c800}{7y} + 9y &=& 58 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] \quad& \color{#87c800}{49y} + 9y &=& 58 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] \quad& \color{#87c800}{58y} &=& 58 &\quad \scriptsize \mid\; :58 \\[5pt] \quad& y &=& \color{#87c800}{1} &\quad \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze jetzt die Lösung für $y$ in Gleichung $\text{II'}$ ein, um $x$ auszurechnen.
$\begin{array}[t]{rll} y \rightarrow \text{II'} \quad& x &=& 7 \cdot \color{#87c800}{1} &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad& x &=& \color{#87c800}{7} &\quad \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(7 \mid 1)$.
e)
$\blacktriangleright$  Einsetzungsverfahren anwenden
$\begin{array}{} \text{I}\quad& 23x - 2 &=& 11y &\quad \\ \text{II}\quad& y + 6 &=& 6x - 2 &\quad \\ \end{array}$
Löse Gleichung $\text{II}$ nach $y$ auf. So erhältst du $\text{II'}$, eine andere Form der Gleichung $\text{II}$.
$\begin{array}{} \text{II}\quad& y + 6 &=& 6x - 2 &\quad \scriptsize \mid\; -6 \\ \text{II'}\quad& y &=& 6x \color{#87c800}{- 8} &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze die umgeformte Gleichung $\text{II'}$ in Gleichung $\text{I}$ ein $\left(\text{II'} \rightarrow \text{I}\right)$. Löse die Gleichung anschließend nach $x$ auf.
$\begin{array}{111} \text{II' $\rightarrow$ I} \quad& 23x - 2 &=& 11 \cdot (6x-8) &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf}\\[5pt] \quad& 23x - 2 &=& \color{#87c800}{66x - 88} &\quad \scriptsize \mid\; + 2 \\[5pt] \quad& 23x &=& 66x \color{#87c800}{- 86} &\quad \scriptsize \mid\; -66x \\[5pt] \quad& \color{#87c800}{-43x} &=& -86 &\quad \scriptsize \mid\; :(-43) \\[5pt] \quad& x&=& \color{#87c800}{2} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze jetzt die Lösung für $x$ in Gleichung $\text{II'}$ ein, um $y$ auszurechnen.
$\begin{array}[t]{rll} x \rightarrow \text{II'} \quad& y &=& 6 \cdot \color{#87c800}{2} - 8 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad& y &=& \color{#87c800}{12} -8 &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahiere} \\[5pt] \quad& y &=& \color{#87c800}{4} &\quad \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(2 \mid 4)$.
f)
$\blacktriangleright$  Einsetzungsverfahren anwenden
$\begin{array}{} \text{I}\quad& 24x - y &=& 37 &\quad \\ \text{II}\quad& y + 1 &=& 6x &\quad \\ \end{array}$
Löse Gleichung $\text{II}$ nach $y$ auf. So erhältst du $\text{II'}$, eine andere Form der Gleichung $\text{II}$.
$\begin{array}{} \text{II}\quad& y + 1 &=& 6x &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\ \text{II'}\quad& y &=& 6x \color{#87c800}{- 1} &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze die umgeformte Gleichung $\text{II'}$ in Gleichung $\text{I}$ ein $\left(\text{II'} \rightarrow \text{I}\right)$. Löse die Gleichung anschließend nach $x$ auf.
$\begin{array}{111} \text{II' $\rightarrow$ I} \quad& 24x - \color{#87c800}{(6x - 1)} &=& 37 &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf}\\[5pt] \quad& 24x \color{#87c800}{- 6x + 1} &=& 37 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] \quad& \color{#87c800}{18x} + 1&=& 37 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] \quad& 18x &=& \color{#87c800}{36} &\quad \scriptsize \mid\; :18 \\[5pt] \quad& x&=& \color{#87c800}{\color{#87c800}{2}} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze jetzt die Lösung für $x$ in Gleichung $\text{II'}$ ein, um $y$ auszurechnen.
$\begin{array}[t]{rll} x \rightarrow \text{II'} \quad& y &=& 6 \cdot \color{#87c800}{2} - 1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad& y &=& \color{#87c800}{12} - 1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahiere} \\[5pt] \quad& y &=& \color{#87c800}{11} &\quad \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(2 \mid 11)$.

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem lösen
Löse Gleichung $\text{I}$ nach $x$ auf. So erhältst du $\text{I'}$, eine andere Form der Gleichung $\text{I}$.
$\begin{array}{} \text{I}\quad& 14x - 3y &=& 16 &\quad \\ \text{II}\quad& 2x + 3y &=& 16 &\quad \\ \end{array}$
Löse Gleichung $\text{II}$ nach $3y$ auf. So erhältst du $\text{II'}$, eine andere Form der Gleichung $\text{II}$.
$\begin{array}{} \text{II}\quad& 2x + 3y &=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; - 2x\\[5pt] \text{II'}\quad& 3y &=& 16 - \color{#87c800}{2x} &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze die umgeformte Gleichung $\text{II'}$ in Gleichung $\text{I}$ ein $\left(\text{II'} \rightarrow \text{I}\right)$. Löse die Gleichung anschließend nach $x$ auf.
$\begin{array}{111} \text{II' $\rightarrow$ I} \quad& 14x - \color{#87c800}{(16 - 2x)} &=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf}\\[5pt] \quad& 14x \color{#87c800}{- 16 + 2x} &=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] \quad& \color{#87c800}{16x} - 16 &=& 16&\quad \scriptsize \mid\; + 16 \\[5pt] \quad& 16x &=& \color{#87c800}{32} &\quad \scriptsize \mid\; :\;16 \\[5pt] \quad& x &=& \color{#87c800}{2} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze jetzt die Lösung für $x$ in Gleichung $\text{II'}$ ein, um $y$ auszurechnen.
$\begin{array}[t]{rll} x \rightarrow \text{II'} \quad& 3y &=& 16 - 2 \cdot \color{#87c800}{2} &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad& 3y &=& 16 - \color{#87c800}{4} &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahiere} \\[5pt] \quad& 3y &=& \color{#87c800}{12} &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] \quad& x &=& \color{#87c800}{4} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(2 \mid 4)$.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem lösen
Löse Gleichung $\text{I}$ nach $x$ auf. So erhältst du $\text{I'}$, eine andere Form der Gleichung $\text{I}$.
$\begin{array}{} \text{I}\quad& 30x - 2y &=& 24 &\quad \\ \text{II}\quad& 4x - 2y &=& -2 &\quad \\ \end{array}$
Löse Gleichung $\text{II}$ nach $-2y$ auf. So erhältst du $\text{II'}$, eine andere Form der Gleichung $\text{II}$.
$\begin{array}{} \text{II}\quad& 4x - 2y &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; - 4x\\[5pt] \text{II'}\quad& -2y &=& -2 \color{#87c800}{-4x} &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze die umgeformte Gleichung $\text{II'}$ in Gleichung $\text{I}$ ein $\left(\text{II'} \rightarrow \text{I}\right)$. Löse die Gleichung anschließend nach $x$ auf.
$\begin{array}{111} \text{II' $\rightarrow$ I} \quad& 14x - \color{#87c800}{(16 - 2x)} &=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf}\\[5pt] \quad& 30x - 2 - 4x &=& 24 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] \quad& \color{#87c800}{26x} - 2 &=& 24 &\quad \scriptsize \mid\; + 2 \\[5pt] \quad& 26x &=& \color{#87c800}{26} &\quad \scriptsize \mid\; :26 \\[5pt] \quad& x &=& \color{#87c800}{1} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze jetzt die Lösung für $x$ in Gleichung $\text{II'}$ ein, um $y$ auszurechnen.
$\begin{array}[t]{rll} x \rightarrow \text{II'} \quad& -2y &=& -2 - 4 \cdot \color{#87c800}{1} &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad& -2y &=& -2 \color{#87c800}{- 4} &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahiere} \\[5pt] \quad& -2y &=& \color{#87c800}{-6} &\quad \scriptsize \mid\; : (-2) \\[5pt] \quad& y &=& \color{#87c800}{3} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(1 \mid 3)$.
c)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem lösen
Löse Gleichung $\text{I}$ nach $x$ auf. So erhältst du $\text{I'}$, eine andere Form der Gleichung $\text{I}$.
$\begin{array}{} \text{I}\quad& 6x - 2y &=& -2 &\quad \\ \text{II}\quad& 6x + 4y &=& 40 &\quad \\ \end{array}$
Löse Gleichung $\text{II}$ nach $6x$ auf. So erhältst du $\text{II'}$, eine andere Form der Gleichung $\text{II}$.
$\begin{array}{} \text{II}\quad& 6x + 4y &=& 40 &\quad \scriptsize \mid\; - 4y\\[5pt] \text{II'}\quad& 6x &=& 40 \color{#87c800}{-4y} &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze die umgeformte Gleichung $\text{II'}$ in Gleichung $\text{I}$ ein $\left(\text{II'} \rightarrow \text{I}\right)$. Löse die Gleichung anschließend nach $x$ auf.
$\begin{array}{111} \text{II' $\rightarrow$ I} \quad& \color{#87c800}{(40 - 4y)} -2y &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf}\\[5pt] \quad& \color{#87c800}{40 -4y} - 2y &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] \quad& 40 \color{#87c800}{-6y} &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; -40 \\[5pt] \quad& -6y &=& \color{#87c800}{-42} &\quad \scriptsize \mid\; :(-6) \\[5pt] \quad& y &=& \color{#87c800}{7} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze jetzt die Lösung für $y$ in Gleichung $\text{II'}$ ein, um $x$ auszurechnen.
$\begin{array}[t]{rll} x \rightarrow \text{II'} \quad& 6x &=& 40 - 4 \cdot\color{#87c800}{7} &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad& 6x &=& 40 \color{#87c800}{-28} &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahiere} \\[5pt] \quad& 6x &=& \color{#87c800}{12} &\quad \scriptsize \mid\; : 6 \\[5pt] \quad& x &=& \color{#87c800}{2} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(2 \mid 7)$.
d)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem lösen
Löse Gleichung $\text{I}$ nach $x$ auf. So erhältst du $\text{I'}$, eine andere Form der Gleichung $\text{I}$.
$\begin{array}{} \text{I}\quad& 17x + 5y &=& 86 &\quad \\ \text{II}\quad& 3x + 5y &=& 44 &\quad \\ \end{array}$
Löse Gleichung $\text{II}$ nach $5y$ auf. So erhältst du $\text{II'}$, eine andere Form der Gleichung $\text{II}$.
$\begin{array}{} \text{II}\quad& 3x + 5y &=& 44 &\quad \scriptsize \mid\; - 3x\\[5pt] \text{II'}\quad& 5y &=& 44 \color{#87c800}{-3x} &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze die umgeformte Gleichung $\text{II'}$ in Gleichung $\text{I}$ ein $\left(\text{II'} \rightarrow \text{I}\right)$. Löse die Gleichung anschließend nach $x$ auf.
$\begin{array}{111} \text{II' $\rightarrow$ I} \quad& 17x + \color{#87c800}{(44 - 3x)} &=& 86 &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf}\\[5pt] \quad& 17x + \color{#87c800}{44 -3x} &=& 86 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] \quad& \color{#87c800}{14x} + 44 &=& 86 &\quad \scriptsize \mid\; -44 \\[5pt] \quad& 14x &=& \color{#87c800}{42} &\quad \scriptsize \mid\; :14 \\[5pt] \quad& x &=& \color{#87c800}{3} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze jetzt die Lösung für $x$ in Gleichung $\text{II'}$ ein, um $y$ auszurechnen.
$\begin{array}[t]{rll} x \rightarrow \text{II'} \quad& 5y &=& 44 -3 \cdot \color{#87c800}{3} &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad& 5y &=& 44 \color{#87c800}{-9} &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahiere} \\[5pt] \quad& 5y &=& \color{#87c800}{35} &\quad \scriptsize \mid\; : 5 \\[5pt] \quad& y &=& \color{#87c800}{7} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(3 \mid 7)$.
e)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem lösen
Löse Gleichung $\text{I}$ nach $x$ auf. So erhältst du $\text{I'}$, eine andere Form der Gleichung $\text{I}$.
$\begin{array}{} \text{I}\quad& 13x + 4y &=& 39,5 &\quad \\ \text{II}\quad& 4x + 4y &=& 26 &\quad \\ \end{array}$
Löse Gleichung $\text{II}$ nach $4y$ auf. So erhältst du $\text{II'}$, eine andere Form der Gleichung $\text{II}$.
$\begin{array}{} \text{II}\quad& 4x + 4y &=& 26 &\quad \scriptsize \mid\; - 4x\\[5pt] \text{II'}\quad& 4y &=& 26 \color{#87c800}{-4x} &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze die umgeformte Gleichung $\text{II'}$ in Gleichung $\text{I}$ ein $\left(\text{II'} \rightarrow \text{I}\right)$. Löse die Gleichung anschließend nach $x$ auf.
$\begin{array}{111} \text{II' $\rightarrow$ I} \quad& 13x + \color{#87c800}{(26 - 4x)} &=& 39,5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf}\\[5pt] \quad& 13x + \color{#87c800}{26 - 4x} &=& 39,5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] \quad& \color{#87c800}{9x} + 26 &=& 39,5 &\quad \scriptsize \mid\; -26 \\[5pt] \quad& 9x &=& \color{#87c800}{13,5} &\quad \scriptsize \mid\; :9 \\[5pt] \quad& x &=& \color{#87c800}{1,5} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze jetzt die Lösung für $x$ in Gleichung $\text{II'}$ ein, um $y$ auszurechnen.
$\begin{array}[t]{rll} x \rightarrow \text{II'} \quad& 4y &=& 26 - 4 \cdot\color{#87c800}{1,5} &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad& 4y &=& 26 \color{#87c800}{-6} &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahiere} \\[5pt] \quad& 4y &=& \color{#87c800}{20} &\quad \scriptsize \mid\; : 4 \\[5pt] \quad& y &=& \color{#87c800}{5} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(1,5 \mid 5)$.
f)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem lösen
Löse Gleichung $\text{I}$ nach $x$ auf. So erhältst du $\text{I'}$, eine andere Form der Gleichung $\text{I}$.
$\begin{array}{} \text{I}\quad& 5x + 14y &=& 156 &\quad \\ \text{II}\quad& 4x + 14y &=& 150 &\quad \\ \end{array}$
Löse Gleichung $\text{II}$ nach $14y$ auf. So erhältst du $\text{II'}$, eine andere Form der Gleichung $\text{II}$.
$\begin{array}{} \text{II}\quad& 4x + 14y &=& 150 &\quad \scriptsize \mid\; - 4x\\[5pt] \text{II'}\quad& 14y &=& 150 \color{#87c800}{-4x} &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze die umgeformte Gleichung $\text{II'}$ in Gleichung $\text{I}$ ein $\left(\text{II'} \rightarrow \text{I}\right)$. Löse die Gleichung anschließend nach $x$ auf.
$\begin{array}{111} \text{II' $\rightarrow$ I} \quad& 5x + \color{#87c800}{(150 - 4x)} &=& 156 &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf}\\[5pt] \quad& 5x + \color{#87c800}{150 - 4x} &=& 156 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] \quad& \color{#87c800}{x} + 150 &=& 156 &\quad \scriptsize \mid\; -150 \\[5pt] \quad& x &=& \color{#87c800}{6} &\quad \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze jetzt die Lösung für $x$ in Gleichung $\text{II'}$ ein, um $y$ auszurechnen.
$\begin{array}[t]{rll} x \rightarrow \text{II'} \quad& 14y &=& 150 -4 \cdot \color{#87c800}{6} &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad& 14y &=& 150 \color{#87c800}{-24} &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahiere} \\[5pt] \quad& 14y &=& \color{#87c800}{126} &\quad \scriptsize \mid\; : 14 \\[5pt] \quad& y &=& \color{#87c800}{9} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(6 \mid 9)$.

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem aufstellen und lösen
$\text{I} \,$ Das Dreifache von $\color{#db2416}{x}$ ist um $\color{#0096c8}{4}$ größer als $\color{#787828}{y}$.
$\text{II} \,$ Die Summe aus $\color{#967117}{x}$ und $\color{#967117}{y}$ beträgt $\color{#2D6EC8}{12}$.
$\begin{array}{} \text{I}\quad& \color{#db2416}{3x} &\color{#87c800}{=}& \color{#787828}{y} \color{#fa7d19}{+} \color{#0096c8}{4} &\quad \\ \text{II}\quad& \color{#967117}{x + y} &\color{#a0321e}{=}& \color{#2D6EC8}{12} &\quad \\ \end{array}$
Löse jetzt das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren. Forme dazu Gleichung $\text{II}$ um, indem du $y$ isolierst. Das ist dann Gleichung $\text{II'}$.
$\begin{array}{} \text{II}\quad&x + y&=& 12 &\quad \scriptsize\mid\; -x \\ \text{II'}\quad&y&=& 12 - x &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze jetzt Gleichung $\text{II'}$ in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{} \text{II' $\rightarrow$ I}\quad& 3x &=& 12 - x + 4 &\quad \scriptsize\mid\; \text{fasse zusammen} \\ \quad& 3x &=& 16 -x &\quad \scriptsize\mid\; +x \\ \quad& 4x &=& 16 &\quad \scriptsize\mid\; :4 \\ \quad& x &=& 4 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze dein Ergebnis für $x$ jetzt in Gleichung $\text{II'}$ ein und löse nach $y$ auf.
$\begin{array}{} x \rightarrow \text{II'}\quad& y &=& 12 - 4 &\quad \scriptsize\mid\; \text{fasse zusammen} \\ \quad& y &=& 8 \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(4 \mid 8)$.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem aufstellen und lösen
$\text{I} \,$ Das Vierfache von $\color{#db2416}{x}$ vermehrt um das Fünffache von $\color{#787828}{y}$ ergibt $\color{#0096c8}{69}$.
$\text{II} \,$ Die Summe aus dem Sechsfachen von $\color{#967117}{x}$ und dem Fünffachen von $\color{#967117}{y}$ ist $\color{#2D6EC8}{81}$.
$\begin{array}{} \text{I}\quad& \color{#db2416}{4x} \color{#fa7d19}{+} \color{#787828}{5y} &\color{#87c800}{=}& \color{#0096c8}{69} &\quad \\ \text{II}\quad& \color{#967117}{6x + 5y} &\color{#a0321e}{=}& \color{#2D6EC8}{81} &\quad \\ \end{array}$
Löse jetzt das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren. Forme dazu Gleichung $\text{II}$ um, indem du $5y$ isolierst. Das ist dann Gleichung $\text{II'}$.
$\begin{array}{} \text{II}\quad&6x + 5y&=& 81 &\quad \scriptsize\mid\; -6x \\ \text{II'}\quad&5y&=& 81 \color{#87c800}{-6x} &\quad \\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze jetzt Gleichung $\text{II'}$ in Gleichung $\text{I}$ ein und löse nach $x$ auf.
$\begin{array}{} \text{II' $\rightarrow$ I}\quad& 4x + \color{#87c800}{(81 - 6x)} &=& 69 &\quad \scriptsize\mid\; \text{fasse zusammen} \\ \quad& -2x + 81 &=& 69 &\quad \scriptsize\mid\; -81 \\ \quad& -2x &=& -12 &\quad \scriptsize\mid\; : (-2) \\ \quad& x &=& 6 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze dein Ergebnis für $x$ jetzt in Gleichung $\text{II'}$ ein und löse nach $y$ auf.
$\begin{array}{} x \rightarrow \text{II'}\quad& 5y &=& 81 - 6 \cdot \color{#87c800}{6} &\quad \scriptsize\mid\; \text{fasse zusammen} \\ \quad& 5y &=& 81 -\color{#87c800}{36} &\quad \scriptsize\mid\; \text{fasse zusammen} \\ \quad& 5y &=& 45 &\quad \scriptsize\mid\; :5 \\ \quad& y &=& 9 \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(6 \mid 9)$.
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