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Gleichsetzungsverfahren

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Erkläre anhand der Darstellung, wie das Gleichsetzungsverfahren Schritt für Schritt funktioniert.
$\text{I}$ $\,$ $y =x+4$
$\text{II}$ $\,$ $y =2x - 1$
$\rightarrow$
$\text{I} = \text{II}$
$x+4 = 2x-1$
$\;$ $\rightarrow$
$x+4 = 2x - 1$
$x = -3$
$\rightarrow$
$\text{I}$ $\,$ $y = -3 + 4$
$\,$ $\;$ $y = 1$
$\downarrow$
$(-3 \mid 1)$
$\text{I}$ $\,$ $y =x+4$
$\text{II}$ $\,$ $y =2x - 1$
$\downarrow$
$\text{I} = \text{II}$
$x+4 = 2x-1$
$\downarrow$
$x+4 = 2x - 1$
$x = -3$
$\downarrow$
$\text{I}$ $\,$ $y = -3 + 4$
$\,$ $\;$ $y = 1$
$\downarrow$
$(-3 \mid 1)$
b)
Löse die Gleichung, indem du das Gleichsetzungsverfahren anwendest.
$\text{I}$$\;$ $y = x+1$
$\text{II}$ $y=2x+4$
c)
Forme die Gleichungen so um, dass du das Gleichsetzungsverfahren anwenden kannst.
$\text{I}$$\;$ $y + x =3$
$\text{II}$ $y-2x=8$
d)
Weder $x$ noch $y$ sind isoliert! Wende das Gleichsetzungsverfahren trotzdem an!
$\text{I}$$\;$ $3y = 4x -2$
$\text{II}$ $3y + 2x= 1$
e)
Stelle ein Gleichungssystem auf und löse es.
$\text{I}$$\;$ Das Dreifache einer Zahl $x$ ist um $2$ größer als $y$.
$\text{II}$ $x$ ist um $2$ kleiner als $y$.
#gleichsetzungsverfahren#gleichungen#gleichungssystem

Aufgabe 1

Löse die Gleichungen und verwende das Gleichsetzungsverfahren.
b)
$\text{I}$ $\,$ $y = 2x + 1$
$\text{II}$ $\,$ $y =3x + 4$
d)
$\text{I}$ $\,$ $y = -x + 2$
$\text{II}$ $\,$ $y =5x + 2$
f)
$\text{I}$ $\,$ $y = -7x + 10$
$\text{II}$ $\,$ $y =x - 14$
h)
$\text{I}$ $\,$ $x = 2y + 8$
$\text{II}$ $\,$ $x =3y - 5$
#gleichungen#gleichungssystem#gleichsetzungsverfahren

Aufgabe 2

Forme die Gleichung um, damit du das Gleichsetzungsverfahren anwenden kannst!
b)
$\text{I}$ $\,$ $2x - y = 3$
$\text{II}$ $\,$ $y + 4x= 5$
d)
$\text{I}$ $\,$ $y = -x + 2$
$\text{II}$ $\,$ $y + 5x = 2$
f)
$\text{I}$ $\,$ $y - 4x = 1$
$\text{II}$ $\,$ $10y + 30x=50$
#gleichungssystem#gleichungen#gleichsetzungsverfahren

Aufgabe 3

Erkläre, warum diese Gleichungen Sonderfälle sind. Löse sie im Anschluss.
b)
$\text{I}$ $\,$ $2x - 4y = 12$
$\text{II}$ $\,$$4y + 4x = 6$
d)
$\text{I}$ $\,$ $3x - 42 = -2y$
$\text{II}$ $\,$$4x + 2y = 6$
f)
$\text{I}$ $\,$ $10x -25 = -5y$
$\text{II}$ $\,$$5y + 3 = 4x$
#gleichungssystem#gleichsetzungsverfahren#gleichungen

Aufgabe 4

Stelle ein Gleichungssystem auf und löse es.
Lineare Gleichungssysteme: Gleichsetzungsverfahren
Abb. 1: Hier kommst du mit dem Taschenrechner nicht weit!
Lineare Gleichungssysteme: Gleichsetzungsverfahren
Abb. 1: Hier kommst du mit dem Taschenrechner nicht weit!
#gleichungssystem#gleichungen#gleichsetzungsverfahren
Bildnachweise [nach oben]
[1]
https://goo.gl/06RGf1 ; Calculated Choice, Tom Page, CC BY-SA 2.0.
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Rechenschritte erklären
$\text{I}$ $\,$ $y =x+4$
$\text{II}$ $\,$ $y =2x - 1$
Das ist das Gleichungssystem. Die Variablen $y$ sind identisch.
$\quad$ $\;$ $\quad$ $\downarrow$
$\text{I} = \text{II}$
$x+4 = 2x-1$
$y$ ist in beiden Gleichungen gleich. Deshalb werden jeweils die Seiten der Gleichungen $\text{I}$ und $\text{II}$, die kein $y$ enthalten miteinander gleichgesetzt.
$\quad$ $\;$ $\quad$ $\downarrow$
$x+4 = 2x - 1$
$x = -3$
Hier wird nach $x$ aufgelöst.
$\quad$ $\;$ $\quad$ $\downarrow$
$\text{I}$ $\,$ $y = -3 + 4$
$\,$ $\;$ $y = 1$
$x$ wird jetzt in die Gleichung $\text{I}$ eingesetzt. Dann wird nach $y$ aufgelöst.
$\quad$ $\;$ $\quad$ $\downarrow$
$\;$ $\;$ $\;$ $(-3 \mid 1)$
Das ist das Ergebnis.
$\text{I}$ $\,$ $y =x+4$
$\text{II}$ $\,$ $y =2x - 1$
Das ist das Gleichungssystem. Die Variablen $y$ sind identisch.
$\text{I} = \text{II}$
$x+4 = 2x-1$
$y$ ist in beiden Gleichungen gleich. Deshalb werden jeweils die Seiten der Gleichungen $\text{I}$ und $\text{II}$, die kein $y$ enthalten miteinander gleichgesetzt.
$x+4 = 2x - 1$
$x = -3$
Hier wird nach $x$ aufgelöst.
$\text{I}$ $\,$ $y = -3 + 4$
$\,$ $\;$ $y = 1$
$x$ wird jetzt in die Gleichung $\text{I}$ eingesetzt. Dann wird nach $y$ aufgelöst.
$\;$ $\;$ $\;$ $\;$ $\;$ $\;$ $(-3 \mid 1)$
Das ist das Ergebnis.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichsetzungsverfahren anwenden
Bei einem Gleichungssytem, bei dem jeweils eine Seite der Gleichung $\text{I}$ mit einer Seite der Gleichung $\text{II}$ identisch ist, kannst du das Gleichsetzungsverfahren anwenden. Du setzt also die Terme gleich. Dann berechnest du die erste Variable. Danach kannst du die errechnete Variable in die Gleichung $\text{I}$ einsetzen und nach der unbekannten Variable auflösen.
$\text{I}$$\;$ $y = x+1$
$\text{II}$ $y=2x+4$
Da $\text{I} = \text{II}$, wendest du das Gleichsetzungsverfahren an.
$\begin{array}[t]{rll} x +1&=&2x+4 &\quad \scriptsize \mid\; -x\\[5pt] 1&=&\color{#87c800}{x} +4 &\quad \scriptsize \mid\; -4\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{-3 } \end{array}$
Setze nun $x$ in Gleichung $\text{I}$ ein. Löse dann nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\color{#87c800}{-3}+1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere}\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{-2 } \end{array}$
Die Lösung ist $(-3 \mid -2)$.
c)
$\blacktriangleright$  Term umformen und Gleichsetzungsverfahren anwenden
Hier musst du die Gleichungen so umformen, dass die Variable $y$ isoliert auf einer Seite steht. Danach verfährst du wie in b).
$\text{I}$$\;$ $y + x =3$
$\text{II}$ $y-2x=8$
Hier musst du Gleichung $\text{I}$ und $\text{II}$ so umformen, damit $y$ auf einer Seite isoliert steht.
$\text{I}$ $\,$$\begin{array}[t]{rll} y+ x&=&3 &\quad \scriptsize \mid\; -x\\[5pt] y&=&3 - \color{#87c800}{x} \end{array}$
$\text{II}$ $\,$$\begin{array}[t]{rll} y - 2x&=&8 &\quad \scriptsize \mid\; -2x\\[5pt] y&=&8 - \color{#87c800}{2x} \end{array}$
Da $\text{I} = \text{II}$, wendest du das Gleichsetzungsverfahren an.
$\begin{array}[t]{rll} 3-x&=&8 -2x &\quad \scriptsize \mid\; +2x\\[5pt] 3 + \color{#87c800}{x} &=&8 &\quad \scriptsize \mid\; -3\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{5} \end{array}$
Jetzt kannst du $x$ in die umgeformte Gleichung $\text{I}$ einsetzen und nach $y$ auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} y+\color{#87c800}{5}&=&3 &\quad \scriptsize \mid\; -5\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{-2} \end{array}$
Die Lösung ist $(5 \mid -2)$.
d)
$\blacktriangleright$  Gleichsetzungsverfahren anwenden
Dieses Gleichungssystem ist ein Sonderfall, da die Variablen nicht isoliert sind. Allerdings kannst du das Gleichsetzungsverfahren trotzdem anwenden, wenn die Variable zwar nicht isoliert, dafür aber identisch ist. Du kannst die Terme also ganz normal gleichsetzen. Danach berechnest du die erste Variable. Die Lösung für die errechnete Variable kannst du dann in die Gleichung $\text{I}$ einsetzen und nach der unbekannten Variable auflösen.
$\text{I}$$\;$ $3y = 4x -2$
$\text{II}$ $3y + 2x= 1$
$3y$ ist in beiden Gleichungen gegeben. Du formst also die Gleichung $\text{II}$ so um, dass $3y$ isoliert steht.
$\text{I}$
$\begin{array}[t]{rll} 3y + 2x&=&1 &\quad \scriptsize \mid\; -2x\\[5pt] 3y&=&1 \color{#87c800}{-2x} \end{array}$
Da $\text{I} = \text{II}$, wendest du das Gleichsetzungsverfahren an.
$\begin{array}[t]{rll} 4x - 2&=&1 - 2x&\quad \scriptsize \mid\; + 2x\\[5pt] \color{#87c800}{6x} - 2&=&1 &\quad \scriptsize \mid\; +2\\[5pt] 6x&=&\color{#87c800}{3} &\quad \scriptsize \mid\; : 6\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{0,5} \end{array}$
Setze nun $x$ in die umgeformte Gleichung $\text{I}$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} 3y&=&4 \cdot \color{#87c800}{0,5} -2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] 3y&=&\color{#87c800}{-1,5} &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{-0,5 } \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(0,5 \mid -0,5)$.
e)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem aufstellen und lösen
$\text{I}$$\;$ Das Dreifache einer Zahl $\color{#fa7d19}{x}$ ist um $\color{#967117}{2}$ größer als $\color{#a0321e}{y}$.
$\text{II}$ $\color{#db2416}{x}$ ist um $\color{#87c800}{2}$ kleiner als $\color{#287882}{y}$.
$\text{I}$ $\,$ $\color{#fa7d19}{3x} \color{#967117}{+2} \color{#0096c8}{=} \color{#a0321e}{y}$
$\text{II}$ $\,$ $\color{#db2416}{x} \color{#87c800}{-2} \color{#2D6EC8}{=} \color{#287882}{y}$
Da $\text{I} = \text{II}$, wendest du das Gleichsetzungsverfahren an.
$\begin{array}[t]{rll} 3x + 2&=&x-2 &\quad \scriptsize \mid\; -x\\[5pt] \color{#87c800}{2x} + 2&=&-2 &\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] 2x&=&\color{#87c800}{-4} &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{-2} \end{array}$
Jetzt setzt du die Lösung für $x$ in die Gleichung $\text{I}$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} 3 \cdot \color{#87c800}{-2} + 2 &=&y &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{-4} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(-2 \mid -4)$.

Aufgabe 1

Bei einem Gleichungssytem, bei dem jeweils eine Seite der Gleichung $\text{I}$ mit einer Seite der Gleichung $\text{II}$ identisch ist, kannst du das Gleichsetzungsverfahren anwenden. Du setzt also die Terme gleich. Dann berechnest du die erste Variable. Danach kannst du die errechnete Variable in die Gleichung $\text{I}$ einsetzen und nach der unbekannten Variable auflösen.
a)
$\blacktriangleright$  Gleichsetzungsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $y = 3x + 5$
$\text{II}$ $\,$ $y =2x + 3$
Da $\text{I} = \text{II}$, wendest du das Gleichsetzungsverfahren an.
$\begin{array}[t]{rll} 3x + 5 &=& 2x + 3 &\quad \scriptsize \mid\; -5\\[5pt] 3x&=&2x - \color{#87c800}{2} &\quad \scriptsize \mid\; -2x\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{-2} \\[5pt] \end{array}$
Setze nun $x$ in Gleichung $\text{I}$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} y &=& 3 \cdot \color{#87c800}{-2} + 5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] y&=&\color{#87c800}{-1} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(-2 \mid -1)$.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichsetzungsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $y = 2x + 1$
$\text{II}$ $\,$ $y =3x + 4$
Da $\text{I} = \text{II}$, wendest du das Gleichsetzungsverfahren an.
$\begin{array}[t]{rll} 2x + 1 &=& 3x + 4 &\quad \scriptsize \mid\; -2x\\[5pt] 1&=&\color{#87c800}{x} + 4 &\quad \scriptsize \mid\; -4\\[5pt] x &=&\color{#87c800}{-3} \end{array}$
Setze nun $x$ in Gleichung $\text{I}$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} y &=& 3 \cdot \color{#87c800}{-3} + 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] y&=&\color{#87c800}{-5} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(-3 \mid -5)$.
c)
$\blacktriangleright$  Gleichsetzungsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $y = 3x - 2$
$\text{II}$ $\,$ $y = x + 4$
Da $\text{I} = \text{II}$, wendest du das Gleichsetzungsverfahren an.
$\begin{array}[t]{rll} 3x - 2 &=& x + 4 &\quad \scriptsize \mid\; -x\\[5pt] \color{#87c800}{2x} - 2&=&4 &\quad \scriptsize \mid\; +2\\[5pt] 2x&=&\color{#87c800}{6} &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{3} \\[5pt] \end{array}$
Setze nun $x$ in Gleichung $\text{I}$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} y &=& 3 \cdot \color{#87c800}{3} - 2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] y&=&7 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(3 \mid 7)$.
d)
$\blacktriangleright$  Gleichsetzungsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $y = -x + 2$
$\text{II}$ $\,$ $y =5x + 2$
Da $\text{I} = \text{II}$, wendest du das Gleichsetzungsverfahren an.
$\begin{array}[t]{rll} -x + 2 &=& 5x + 2 &\quad \scriptsize \mid\; +x\\[5pt] 2&=&\color{#87c800}{6x} + 2 &\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] \color{#87c800}{0}&=&6x &\quad \scriptsize \mid\; :6\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{0} \\[5pt] \end{array}$
Setze nun $x$ in Gleichung $\text{I}$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} y &=& -\color{#87c800}{0} + 2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere} \\[5pt] y&=&\color{#87c800}{2} \\[5pt] \end{array}$
Die Lösung ist $(0 \mid 2)$.
e)
$\blacktriangleright$  Gleichsetzungsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $y = 2x + 7$
$\text{II}$ $\,$ $y =3x - 4$
Da $\text{I} = \text{II}$, wendest du das Gleichsetzungsverfahren an.
$\begin{array}[t]{rll} 2x + 7 &=& 3x - 4 &\quad \scriptsize \mid\; -2x\\[5pt] 7&=&\color{#87c800}{x} - 4 &\quad \scriptsize \mid\; +4\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{11} \\[5pt] \end{array}$
Setze nun $x$ in Gleichung $\text{I}$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} y &=& 2 \cdot \color{#87c800}{11} + 7 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] y&=&\color{#87c800}{29} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(11 \mid 29)$.
f)
$\blacktriangleright$  Gleichsetzungsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $y = -7x + 10$
$\text{II}$ $\,$ $y =x - 12$
Da $\text{I} = \text{II}$, wendest du das Gleichsetzungsverfahren an.
$\begin{array}[t]{rll} -7x + 10 &=& x - 14 &\quad \scriptsize \mid\; -x\\[5pt] \color{#87c800}{-8x} + 10&=& - 14 &\quad \scriptsize \mid\; -10\\[5pt] -8x &=& \color{#87c800}{-24} &\quad \scriptsize \mid\; :(-8)\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{3} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze nun $x$ in Gleichung $\text{I}$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} y &=& -7 \cdot \color{#87c800}{3} + 10 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] y&=&\color{#87c800}{-11} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(3 \mid -11)$.
g)
$\blacktriangleright$  Gleichsetzungsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $x = y + 9$
$\text{II}$ $\,$ $x =2y - 1$
Da $\text{I} = \text{II}$, wendest du das Gleichsetzungsverfahren an.
$\begin{array}[t]{rll} y + 9 &=& 2y - 1 &\quad \scriptsize \mid\; -y\\[5pt] 9&=&\color{#87c800}{y} - 1 &\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{10 } \\[5pt] \end{array}$
Setze nun $y$ in Gleichung $\text{I}$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} x &=& \color{#87c800}{10} + 9 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere} \\[5pt] x&=&\color{#87c800}{19} \\[5pt] \end{array}$
Die Lösung ist $(10 \mid 19)$.
h)
$\blacktriangleright$  Gleichsetzungsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $x = 2y + 8$
$\text{II}$ $\,$ $x =3y - 5$
Da $\text{I} = \text{II}$, wendest du das Gleichsetzungsverfahren an.
$\begin{array}[t]{rll} 2y + 8 &=& 3y - 5 &\quad \scriptsize \mid\; -2y\\[5pt] 8&=&\color{#87c800}{y} - 5 &\quad \scriptsize \mid\; +5\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{13} \\[5pt] \end{array}$
Setze nun $y$ in Gleichung $\text{I}$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} y &=& 2 \cdot \color{#87c800}{13} + 8 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] y&=&\color{#87c800}{34} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(13 \mid 34)$.

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Term umformen und Gleichsetzungsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $y -2x = 6$
$\text{II}$ $\,$ $y =x + 1$
Hier musst du Gleichung $\text{I}$ umformen, damit $y$ auf einer Seite isoliert steht.
$\text{I}$ $\,$$\begin{array}[t]{rll} y -2x&=&6 &\quad \scriptsize \mid\; +2x\\[5pt] y&=&6 + \color{#87c800}{2x} \end{array}$
Da $\text{I} = \text{II}$, wendest du das Gleichsetzungsverfahren an.
$\begin{array}[t]{rll} 6 + 2x&=&x+ 1 &\quad \scriptsize \mid\; -x\\[5pt] 6 + \color{#87c800}{x}&=&1 &\quad \scriptsize \mid\; -6\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{-5} \end{array}$
Jetzt kannst du $x$ in die umgeformte Gleichung $\text{I}$ einsetzen und nach $y$ auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&6 + 2 \cdot \color{#87c800}{-5} &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{-4 } \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(-5 \mid -4)$.
b)
$\blacktriangleright$  Term umformen und Gleichsetzungsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $2x - y = 3$
$\text{II}$ $\,$ $y + 4x= 5$
Hier musst du Gleichung $\text{I}$ und $\text{II}$ so umformen, damit $y$ auf einer Seite isoliert steht.
$\text{I}$ $\,$$\begin{array}[t]{rll} 2x - y&=&3 &\quad \scriptsize \mid\; -2x\\[5pt] y&=&3 - \color{#87c800}{2x} \end{array}$
$\text{II}$ $\,$$\begin{array}[t]{rll} y + 4x&=&5 &\quad \scriptsize \mid\; -4x\\[5pt] y&=&5 - \color{#87c800}{4x} \end{array}$
Da $\text{I} = \text{II}$, wendest du das Gleichsetzungsverfahren an.
$\begin{array}[t]{rll} 3 - 2x&=& 5 -4x &\quad \scriptsize \mid\; +2x\\[5pt] 3 &=&5 -\color{#87c800}{2x} &\quad \scriptsize \mid\; -5\\[5pt] \color{#87c800}{-2} &=& -2x &\quad \scriptsize \mid\; :(-2)\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{1 } \end{array}$
Jetzt kannst du $x$ in die umgeformte Gleichung $\text{I}$ einsetzen und nach $y$ auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&3 - 2 \cdot \color{#87c800}{1} &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{1} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(1 \mid 1)$.
c)
$\blacktriangleright$  Term umformen und Gleichsetzungsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $4x + 2y = 6 $
$\text{II}$ $\,$ $x + y = 5$
Hier musst du Gleichung $\text{I}$ und $\text{II}$ so umformen, damit $y$ auf einer Seite isoliert steht.
$\text{I}$ $\,$ $\begin{array}[t]{rll} 4x + 2y&=&6 &\quad \scriptsize \mid\; -4x\\[5pt] 2y&=&6 - \color{#87c800}{4x} &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{3} - \color{#87c800}{2x} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
$\text{II}$ $\,$$\begin{array}[t]{rll} x + y&=&5 &\quad \scriptsize \mid\; -x\\[5pt] y&=&5 - \color{#87c800}{x} \end{array}$
Da $\text{I} = \text{II}$, wendest du das Gleichsetzungsverfahren an.
$\begin{array}[t]{rll} 3 - 2x&=& 5 - x &\quad \scriptsize \mid\; +2x\\[5pt] 3 &=&5 + \color{#87c800}{x} &\quad \scriptsize \mid\; -5\\[5pt] x &=&\color{#87c800}{-2} \end{array}$
Jetzt kannst du $x$ in die umgeformte Gleichung $\text{I}$ einsetzen und nach $y$ auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&3 - 2 \cdot \color{#87c800}{-2 }&\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{7 } \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(-2 \mid 7)$.
d)
$\blacktriangleright$  Term umformen und Gleichsetzungsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $y = -x + 2$
$\text{II}$ $\,$ $y + 5x = 2$
Hier musst du Gleichung $\text{II}$ umformen, damit $y$ auf einer Seite isoliert steht.
$\text{I}$ $\begin{array}[t]{rll} y + 5x&=&2 &\quad \scriptsize \mid\; -5x\\[5pt] y&=&2 - \color{#87c800}{5x} \end{array}$
Da $\text{I} = \text{II}$, wendest du das Gleichsetzungsverfahren an.
$\begin{array}[t]{rll} - x + 2&=&2 - 5x &\quad \scriptsize \mid\; +5x\\[5pt] \color{#87c800}{4x} + 2&=&2 &\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] 4x&=&\color{#87c800}{0} &\quad \scriptsize \mid\; :4\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{0} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Jetzt kannst du $x$ in die Gleichung $\text{I}$ einsetzen und nach $y$ auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} y &=& -\color{#87c800}{0} + 2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] y&=& \color{#87c800}{2} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(0 \mid 2)$.
e)
$\blacktriangleright$  Term umformen und Gleichsetzungsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $2y + 4x =8$
$\text{II}$ $\,$ $3y + 6x =15$
Hier musst du Gleichung $\text{I}$ und $\text{II}$ umformen, damit $y$ auf einer Seite isoliert steht.
$\text{I}$ $\,$
$\begin{array}[t]{rll} 2y + 4x&=&8 &\quad \scriptsize \mid\; -4x\\[5pt] 2y&=&8 - \color{#87c800}{4x} &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{4} - \color{#87c800}{2x} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
$\text{II}$ $\,$
$\begin{array}[t]{rll} 3y + 6x&=&15 &\quad \scriptsize \mid\; -6x\\[5pt] 3y&=&15 - \color{#87c800}{6x }&\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{5} - \color{#87c800}{2x} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Da $\text{I} = \text{II}$, wendest du das Gleichsetzungsverfahren an.
$\begin{array}[t]{rll} 4 - 2x&=&5 -2x &\quad \scriptsize \mid\; -2x\\[5pt] \color{#db2416}{4}&=&\color{#db2416}{5} \end{array}$
Diese Gleichung enthält einen Widerspruch! Sie hat also keine Lösung.
f)
$\blacktriangleright$  Term umformen und Gleichsetzungsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $y - 4x = 1$
$\text{II}$ $\,$ $10y + 30x=50$
Hier musst du Gleichung $\text{I}$ umformen, damit $y$ auf einer Seite isoliert steht.
$\text{I}$ $\,$$\begin{array}[t]{rll} y - 4x&=&1 &\quad \scriptsize \mid\; +4x\\[5pt] y&=&1 + \color{#87c800}{4x} \end{array}$
$\text{II}$ $\,$
$\begin{array}[t]{rll} 10y + 30x&=&50 &\quad \scriptsize \mid\; -30x\\[5pt] 10y&=&50 - \color{#87c800}{30x} &\quad \scriptsize \mid\; :10\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{5} - \color{#87c800}{3x} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Da $\text{I} = \text{II}$, wendest du das Gleichsetzungsverfahren an.
$\begin{array}[t]{rll} 1 - 4x &=&5 - 3x &\quad \scriptsize \mid\; +3x\\[5pt] 1 + \color{#87c800}{x}&=&5 &\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{4 } \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Jetzt kannst du $x$ in die umgeformte Gleichung $\text{I}$ einsetzen und nach $y$ auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&1 + 4 \cdot \color{#87c800}{4} &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{17} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(4 \mid 17)$

Aufgabe 3

Alle Gleichungen sind Sonderfälle, da die Variable nicht isoliert ist. Allerdings kannst du das Gleichsetzungsverfahren trotzdem anwenden, wenn die Variable zwar nicht isoliert, dafür aber identisch ist. Du kannst die Terme also gleichsetzen. Danach berechnest du die erste Variable. Die Lösung für die errechnete Variable kannst du dann in die Gleichung $\text{I}$ einsetzen und nach der unbekannten Variable auflösen.
a)
$\blacktriangleright$  Gleichsetzungsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $3y - 1 = 2$
$\text{II}$ $\,$$3y + 12x = 15$
$3y$ ist in beiden Gleichungen gegeben. Du formst also die Gleichungen um, um $3y$ jeweils zu isolieren.
$\text{I}$ $\begin{array}[t]{rll} 3y - 1&=&2x &\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] 3y&=&2x + \color{#87c800}{1} \end{array}$
$\text{II}$
$\begin{array}[t]{rll} 3y + 12x &=&15 &\quad \scriptsize \mid\; -12x\\[5pt] 3y&=&15 \color{#87c800}{- 12x} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Da $\text{I} = \text{II}$, wendest du das Gleichsetzungsverfahren an.
$\begin{array}[t]{rll} 2x + 1&=&15 - 12x &\quad \scriptsize \mid\; +12x\\[5pt] \color{#87c800}{14x} + 1&=&15 &\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] 14x&=&\color{#87c800}{14} &\quad \scriptsize \mid\; : 14\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{1} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze nun $x$ in die umgeformte Gleichung $\text{I}$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} 3y&=&2 \cdot \color{#87c800}{1} + 1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] 3y&=&\color{#87c800}{3} &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{1 } \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(1 \mid 1)$.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichsetzungsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $2x - 4y = 12$
$\text{II}$ $\,$$4y + 4x = 6$
$4y$ ist in beiden Gleichungen gegeben. Du formst also die Gleichungen um, um $4y$ jeweils zu isolieren.
$\text{I}$
$\begin{array}[t]{rll} 2x - 4y&=&12 &\quad \scriptsize \mid\; -2x\\[5pt] - 4y&=&12 \color{#87c800}{- 2x} &\quad \scriptsize \mid\; :(-1)\\[5pt] 4y&=& \color{#87c800}{- 12} \color{#87c800}{+ 2x} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
$\text{II}$
$\begin{array}[t]{rll} 4y + 4x &=&6 &\quad \scriptsize \mid\; -4x\\[5pt] 4y&=&6 \color{#87c800}{- 4x} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Da $\text{I} = \text{II}$, wendest du das Gleichsetzungsverfahren an.
$\begin{array}[t]{rll} - 12 + 2x&=&6 - 4x &\quad \scriptsize \mid\; +12\\[5pt] 2x&=&\color{#87c800}{18} - 4x &\quad \scriptsize \mid\; +4x\\[5pt] \color{#87c800}{6x}&=&18 &\quad \scriptsize \mid\; : 6\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{3} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze nun $x$ in die umgeformte Gleichung $\text{I}$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} 4y&=& - 12 + 2 \cdot \color{#87c800}{3} &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] 4y&=&\color{#87c800}{-6} &\quad \scriptsize \mid\; :4\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{1,5} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(3 \mid 1,5)$.
c)
$\blacktriangleright$  Gleichsetzungsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $5x +2y = 9$
$\text{II}$ $\,$$6y + 1 = 5x$
$5x$ ist in beiden Gleichungen gegeben. Du formst also die Gleichung $\text{I}$, um $5x$ zu isolieren.
$\text{I}$
$\begin{array}[t]{rll} 5x + 2y &=&9 &\quad \scriptsize \mid\; -2y\\[5pt] 5x&=&9 \color{#87c800}{- 2y} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Da $\text{I} = \text{II}$, wendest du das Gleichsetzungsverfahren an.
$\begin{array}[t]{rll} 9 - 2y&=&6y + 1 &\quad \scriptsize \mid\; -9\\[5pt] -2y&=&6y \color{#87c800}{-8} &\quad \scriptsize \mid\; -6y\\[5pt] \color{#87c800}{-8y}&=&-8 &\quad \scriptsize \mid\; : (-8)\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{1} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze nun $x$ in die umgeformte Gleichung $\text{I}$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} 5x&=&9 - 2 \cdot \color{#87c800}{1} &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] 5x&=&\color{#87c800}{7} &\quad \scriptsize \mid\; :5\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{1,4} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(1,4 \mid 1)$.
d)
$\blacktriangleright$  Gleichsetzungsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $3x - 42 = -2y$
$\text{II}$ $\,$$4x + 2y = 6$
$2y$ ist in beiden Gleichungen gegeben. Du formst also die Gleichungen um, um $2y$ zu isolieren.
$\text{I}$
$\begin{array}[t]{rll} 3x -42 &=& - 2y &\quad \scriptsize \mid\; :(-1)\\[5pt] \color{#87c800}{-3x} \color{#87c800}{+ 42 }&=& 2y \end{array}$
$ ERGEBNIS $
$\text{II}$
$\begin{array}[t]{rll} 4x + 2y &=&6 &\quad \scriptsize \mid\; -4x\\[5pt] 2y&=&6 \color{#87c800}{- 4x} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Da $\text{I} = \text{II}$, wendest du das Gleichsetzungsverfahren an.
$\begin{array}[t]{rll} -3x + 42&=&6- 4x &\quad \scriptsize \mid\; -6\\[5pt] -3x + \color{#87c800}{36} &=&-4x&\quad \scriptsize \mid\; +3x\\[5pt] 36&=&\color{#87c800}{-x} &\quad \scriptsize \mid\; :(-1)\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{-36} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze nun $x$ in die umgeformte Gleichung $\text{I}$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} -3 \cdot \color{#87c800}{-36} + 42 &=& 2y &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] 2y&=&\color{#87c800}{150} &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{75} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(-36 \mid 75)$.
e)
$\blacktriangleright$  Gleichsetzungsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $8y = 2,4x + 8$
$\text{II}$ $\,$$1,2x = 8y + 4$
$8y$ ist in beiden Gleichungen gegeben. Du formst also die Gleichung $\text{II}$ um, um $8y$ zu isolieren.
$\text{I}$
$\begin{array}[t]{rll} 1,2x &=&8y + 4 &\quad \scriptsize \mid\; -4\\[5pt] 1,2x \color{#87c800}{- 4}&=& 8y \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Da $\text{I} = \text{II}$, wendest du das Gleichsetzungsverfahren an.
$\begin{array}[t]{rll} 2,4x + 8&=&1,2x - 4 &\quad \scriptsize \mid\; -8\\[5pt] 2,4x&=&1,2x - \color{#87c800}{12}&\quad \scriptsize \mid\; -1,2x\\[5pt] \color{#87c800}{1,2x}&=&-12 &\quad \scriptsize \mid\; :1,2\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{-10} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze nun $x$ in die umgeformte Gleichung $\text{I}$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} 1,2 \cdot \color{#87c800}{-10} - 4&=& 8y &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] \color{#87c800}{-16}&=&8y &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{-0,5} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(-10 \mid -0,5)$.
f)
$\blacktriangleright$  Gleichsetzungsverfahren anwenden
$\text{I}$ $\,$ $10x -25 = -5y$
$\text{II}$ $\,$$5y + 3 = 4x$
$5y$ ist in beiden Gleichungen gegeben. Du formst also die Gleichungen um, um $5y$ zu isolieren.
$\text{I}$
$\begin{array}[t]{rll} 10x - 25&=&-5y &\quad \scriptsize \mid\; :(-1)\\[5pt] \color{#87c800}{-10x} + \color{#87c800}{25}&=& 5y \end{array}$
$ ERGEBNIS $
$\text{II}$
$\begin{array}[t]{rll} 5y + 3&=& 4x &\quad \scriptsize \mid\; -3\\[5pt] 5y&=& 4x \color{#87c800}{- 3} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Da $\text{I} = \text{II}$, wendest du das Gleichsetzungsverfahren an.
$\begin{array}[t]{rll} -10x + 25&=&4x- 3 &\quad \scriptsize \mid\; +3\\[5pt] -10x + \color{#87c800}{28}&=&4x&\quad \scriptsize \mid\; +10x\\[5pt] 28&=&\color{#87c800}{14x} &\quad \scriptsize \mid\; :14\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{2} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Setze nun $x$ in die umgeformte Gleichung $\text{I}$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} -10 \cdot \color{#87c800}{2} + 25&=& 5y &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen}\\[5pt] \color{#87c800}{5}&=&5y &\quad \scriptsize \mid\; :5\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{1} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(2 \mid 1)$.

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem aufstellen und lösen
$\text{I}$ $\,$ Die Zahl $\color{#87c800}{x}$ ist dreimal so groß wie die Zahl $\color{#a0321e}{y}$.
$\text{II}$ $\,$Die Zahl $\color{#db2416}{x}$ ist um $\color{#967117}{2}$ größer als die Zahl $\color{#287882}{y}$.
$\text{I}$ $\,$ $\color{#fa7d19}{3}\color{#87c800}{x} \color{#0096c8}{=} \color{#a0321e}{y}$
$\text{II}$ $\,$ $\color{#db2416}{x} \color{#2D6EC8}{=} \color{#287882}{y} \color{#967117}{+ 2}$
Forme Gleichung $\text{II}$ so um, dass $y$ isoliert ist.
$\text{II}$ $\,$ $ x- 2 = y$
Da $\text{I} = \text{II}$, wendest du das Gleichsetzungsverfahren an.
$\begin{array}[t]{rll} 3x&=&x-2 &\quad \scriptsize \mid\; -x\\[5pt] \color{#87c800}{2x}&=&-2 &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{-1} \end{array}$
Jetzt setzt du die Lösung für $x$ in die Gleichung $\text{I}$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} 3 \cdot \color{#87c800}{-1}&=&y &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere}\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{-3} \end{array}$
Die Lösung ist $(-1 \mid -3)$.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem aufstellen und lösen
$\text{I}$ $\,$Das Dreifache von $\color{#fa7d19}{y}$ ist gleich der Summe aus $\color{#a0321e}{x}$ und $\color{#0B9A33}{2}$.
$\text{II}$ $\,$Das Dreifache von $\color{#db2416}{y}$ ist um $\color{#87c800}{1}$ größer als das Doppelte von $\color{#287882}{x}$.
$\text{I}$ $\,$ $\color{#fa7d19}{3y} \color{#0096c8}{=} \color{#a0321e}{x} \color{#967117}{+} \color{#0B9A33}{2}$
$\text{II}$ $\,$$\color{#db2416}{3y} \color{#2D6EC8}{=} \color{#287882}{2x} \color{#87c800}{+1 }$
Da $\text{I} = \text{II}$, wendest du jetzt das Gleichsetzungsverfahren an.
$\begin{array}[t]{rll} x+ 2&=&2x + 1 &\quad \scriptsize \mid\; -x\\[5pt] 2&=&\color{#87c800}{x} + 1 &\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] x&=&\color{#87c800}{1} \end{array}$
Jetzt setzt du die Lösung für $x$ in die Gleichung $\text{I}$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} \color{#87c800}{1} + 2&=&3y &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere}\\[5pt] \color{#87c800}{3} &=&3y &\quad \scriptsize \mid\; :5\\[5pt] y&=&\color{#87c800}{1} \end{array}$
Die Lösung ist $(1 \mid 1)$.
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