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Verschiedenartig Lösen

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Für einen Brunch mit ihren Freundinnen fehlen Charlotta noch insgesamt $9$ Packungen Milch. Sie kauft Mandelmilch und Kuhmilch und bezahlt insgesamt $14,10$ $€$. Eine Packung Mandelmilch kostet $2,10$ $€$ und eine Packung Kuhmilch kostet $0,90$ $€$. Wie viele Packungen jeder Sorte hat Charlotta gekauft? Um diese Aufgabe zu lösen, benötigst du ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen.
Lineare Gleichungssysteme: Verschiedenartig Lösen
Abb. 1: Brunch ohne Milch? Geht nicht!
Lineare Gleichungssysteme: Verschiedenartig Lösen
Abb. 1: Brunch ohne Milch? Geht nicht!
Stelle das Gleichungssystem auf und löse es.
#gleichungssystem#lgs

Aufgabe 1

Löse jedes der Gleichungssysteme mit dem Gleichsetzungsverfahren, dem Einsetzungsverfahren und dem Additionsverfahren. Was fällt dir auf?
a)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y&=& 5x + 4 \quad &\\ \text{II}\quad&y&=& 6x - 2 \quad &\\ \end{array}$
b)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&y + 10&=& 7x \quad &\\ \text{II}\quad&y&=& x + 2 \quad &\\ \end{array}$
c)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&- 2x + 6y&=& 42 \quad &\\ \text{II}\quad&2x - 5y&=& -34 \quad &\\ \end{array}$
#gleichsetzungsverfahren#gleichungssystem#additionsverfahren#lgs#einsetzungsverfahren

Aufgabe 2

Löse die Gleichungssysteme mit einem Verfahren deiner Wahl.
b)
$\begin{array}[t]{} \text{I}& 0,5x-4y&=& -1 \\[5pt] \text{II}& 1,5x+2y&=& 11 \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} \text{I}& y&=& -3x-2 \\[5pt] \text{II}& y&=& -2x+4 \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{rll} \text{I}& 4x - 2y&=& 9 \\[5pt] \text{II}& 10x + 6y&=&39 \end{array}$
h)
$\begin{array}[t]{rll} \text{I}& y&=& 3x - 18 \\[5pt] \text{II}& y&=&4x -23 \end{array}$
#gleichsetzungsverfahren#additionsverfahren#einsetzungsverfahren#lgs#gleichungssystem

Aufgabe 3

Manche lineare Gleichungssysteme haben drei Gleichungen mit drei verschiedenen Variablen. Diese lassen sich mit dem Einsetzungsverfahren lösen. Erkläre anhand des Beispiels, welche Rechenschritte du machen musst, um das Gleichungssystem zu lösen.
$\text{I} \quad x + y + z =9$
$\text{II} \quad x + y =5$
$\text{III} \quad x =2$
$\rightarrow$
$\text{III} \rightarrow \text{II} $
$\text{II} \quad 2 + y =5$
$\quad \;\; y =3$
$\rightarrow$
$x \, \text{und} \, y \rightarrow \text{I}$
$\text{I} \quad 2 + 3 + z =9$
$\,$ $\,$ $\;$ $z=4$
$\rightarrow$
$ (2 \mid 3 \mid 4)$
$\text{I} \quad x + y + z =9$
$\text{II} \quad x + y =5$
$\text{III} \quad x =2$
$\downarrow$
$\text{III} \rightarrow \text{II} $
$\text{II} \quad 2 + y =5$
$\quad \;\; y =3$
$\downarrow$
$x \, \text{und} \, y \rightarrow \text{I}$
$\text{I} \quad 2 + 3 + z =9$
$\,$ $\,$ $\;$ $z=4$
$\downarrow$
$ (2 \mid 3 \mid 4)$
Löse auf die gleiche Weise.
b)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x + 2y + z &=& 24 \quad &\\ \text{II}\quad& 3x + y&=& 18 \quad &\\ \text{III}\quad&2x&=&8 \quad &\\ \end{array}$
d)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&-x - 4y + 5z &=& 11 \quad &\\ \text{II}\quad& 2x - 6y&=& -6 \quad &\\ \text{III}\quad&3x&=&0 \quad &\\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
f)
$\begin{array}{} \text{I}\quad&2y - 5z &=& -38 \quad &\\ \text{II}\quad& 2y - 3x&=& 6 \quad &\\ \text{III}\quad&4x + 4z&=&48 \quad &\\ \end{array}$
#gleichungssystem#einsetzungsverfahren#lgs
Bildnachweise [nach oben]
[1]
https://goo.gl/m6m1KP ; Home made Almond Milk, Amazing Almonds, CC BY-SA.
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Einführungsaufgabe

$\blacktriangleright$  Gleichungssystem aufstellen und lösen
Gleichung $\text{I}$ gibt an, wie viele Packungen pro Sorte Charlotta gekauft hat. Eine Packung Kuhmilch kann hier zum Beispiel $x$ sein und eine Packung Mandelmilch $y$. Insgesamt sind es $9$ Packungen, die sich aus der Summe aus $x$ und $y$ ergeben. Diese Gleichung sieht dann so aus:
$\begin{array}{lrl} \text{I}\quad& x + y&=& 9 \quad &\\ \end{array}$
Bei der zweiten Gleichung bietet es sich an, mit der Gesamtsumme zu rechnen, die Charlotta für $x$ Packungen Kuhmilch à $0,90$ $€$ und für $y$ Packungen Mandelmilch à $2,10$ $€$ bezahlt:
$\begin{array}{lrl} \text{II}\quad& 0,9x + 2,1y&=& 14,1 \quad &\\ \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Schreibe beide Gleichungen jetzt in ein Gleichungssystem und benutze das Einsetzungsverfahren, um es zu lösen. Hierfür formst du Gleichung $\text{I}$ um, indem $y$ subtrahierst. Setze $x$ jetzt in Gleichung $\text{II}$ ein und löse nach $y$ auf:
$\begin{array}{lrl} \text{I}\quad&x+ y&=& 9 &\quad \scriptsize \mid\; -y \\[5pt] \text{II}\quad&0,9x + 2,1y &=& 14,1 \quad &\\ \hline \text{I}\quad&x &=& 9 \color{#87c800}{-y} &\quad \scriptsize \mid\; x \rightarrow \text{II} \\[5pt] \hline \text{II}\quad&0,9 \cdot (\color{#87c800}{9-y}) + 2,1y &=& 14,1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf} \\[5pt] \quad&\color{#87c800}{8,1 - 0,9y} + 2,1y &=& 14,1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] \quad&8,1 + \color{#87c800}{1,2y} &=& 14,1 &\quad \scriptsize \mid\; -8,1 \\[5pt] \quad&1,2y &=& \color{#87c800}{6} &\quad \scriptsize \mid\; :1,2 \\[5pt] \quad&y &=& \color{#87c800}{5} &\quad \scriptsize \mid\; y \rightarrow \text{I}\\[5pt] \hline \text{I}\quad&x+ \color{#87c800}{5}&=& 9 &\quad \scriptsize \mid\; -5 \\[5pt] \quad&x&=& \color{#87c800}{4 } &\quad \scriptsize \mid\; -5 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Charlotta kauft also $4$ Packungen Kuhmilch und $5$ Packungen Mandelmilch.

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Gleichsetzungsverfahren anwenden
$\begin{array}{lrl} \text{I}\quad&y&=& 5x + 4 \quad &\\ \text{II}\quad&y&=& 6x - 2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{I}=\text{II} \\[5pt] \hline \text{I=II} \quad&\color{#87c800}{5x + 4}&=&\color{#87c800}{6x - 2} &\quad \scriptsize \mid\; -5x \\[5pt] \quad&4&=&\color{#87c800}{x} - 2 &\quad \scriptsize \mid\; +2 \\[5pt] \quad&\color{#87c800}{6}&=&x &\quad \scriptsize \mid\; x \rightarrow \text{I} \\[5pt] \hline \text{I} \quad&y&=& 5 \cdot \color{#87c800}{6} + 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad&y&=& \color{#87c800}{30} + 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere} \\[5pt] \quad&y&=& \color{#87c800}{34} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(6 \mid 34)$.
$\blacktriangleright$  Einsetzungsverfahren anwenden
$\begin{array}{lrl} \text{I}\quad&y&=& 5x + 4 \quad &\\ \text{II}\quad&y&=& 6x - 2 \quad &\\ \hline \text{I} \quad&\color{#87c800}{6x - 2} &=& 5x + 4&\quad \scriptsize \mid\; -5x \\[5pt] \quad&\color{#87c800}{x }- 2&=&4 &\quad \scriptsize \mid\; +2 \\[5pt] \quad&x&=&\color{#87c800}{6} &\quad \scriptsize \mid\; x \rightarrow \text{I} \\[5pt] \hline \text{I} \quad&y&=& 5 \cdot \color{#87c800}{6} + 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad&y&=& \color{#87c800}{30} + 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere} \\[5pt] \quad&y&=& \color{#87c800}{34} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(6 \mid 34)$.
$\blacktriangleright$  Additionsverfahren anwenden
$\begin{array}{lrl} \text{I}\quad&y&=& 5x + 4 \quad &\\ \text{II}\quad&y&=& 6x - 2 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot(-1) \\[5pt] \hline \text{II} \quad& \color{#87c800}{-y}&=& \color{#87c800}{-6x + 2} &\quad \scriptsize \mid\; \text{I}+\text{II} \\[5pt] \hline \text{I+II} \quad& \color{#87c800}{0}&=& \color{#87c800}{-x} + \color{#87c800}{6} &\quad \scriptsize \mid\; -6 \\[5pt] \quad&\color{#87c800}{-6}&=&-x &\quad \scriptsize \mid\; :(-1) \\[5pt] \quad&\color{#87c800}{6}&=&x &\quad \scriptsize \mid\; x \rightarrow \text{I} \\[5pt] \hline \text{I} \quad&y&=& 5 \cdot \color{#87c800}{6} + 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad&y&=& \color{#87c800}{30} + 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere} \\[5pt] \quad&y&=& \color{#87c800}{34} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(6 \mid 34)$. Hier fällt auf, dass das Gleichsetzungsverfahren und das Einsetzungsverfahren sich sehr ähneln. Beim Additionsverfahren musst du zuerst die Gleichung $\text{II}$ mit $-1$ multiplizieren, was etwas umständlicher ist.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichsetzungsverfahren anwenden
$\begin{array}{lrl} \text{I}\quad&y + 10&=& 7x &\quad \scriptsize \mid\; -10 \\[5pt] \text{II}\quad&y&=& x + 2 &\quad \\[5pt] \hline \text{I} \quad&y&=&7x \color{#87c800}{- 10 }&\quad \scriptsize \mid\; \text{I}=\text{II}\\[5pt] \hline \text{I=II}\quad&\color{#87c800}{7x - 10} &=& \color{#87c800}{x + 2} &\quad \scriptsize \mid\; +10 \\[5pt] \quad&7x&=&x + \color{#87c800}{12} &\quad \scriptsize \mid\; -x \\[5pt] \quad&\color{#87c800}{6x}&=& 12 &\quad \scriptsize \mid\; :6 \\[5pt] \quad&x&=&\color{#87c800}{2} &\quad \scriptsize \mid\; x \rightarrow \text{II} \\[5pt] \hline \text{II} \quad&y&=& \color{#87c800}{2} + 2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere} \\[5pt] \quad&y&=&\color{#87c800}{ 4} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(2 \mid 4)$.
$\blacktriangleright$  Einsetzungsverfahren anwenden
$\begin{array}{lrl} \text{I}\quad&y + 10&=& 7x &\quad \\[5pt] \text{II}\quad&y&=& x + 2 &\quad \scriptsize \mid\; y \rightarrow \text{I} \\[5pt] \hline \text{I} \quad&\color{#87c800}{x + 2} +10 &=& 7x &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] \quad&x + \color{#87c800}{12}&=&7x &\quad \scriptsize \mid\; -x \\[5pt] \quad&12&=&\color{#87c800}{6x} &\quad \scriptsize \mid\; :6 \\[5pt] \quad&\color{#87c800}{2}&=&x &\quad \scriptsize \mid\; x \rightarrow \text{II} \\[5pt] \hline \text{II} \quad&y&=& \color{#87c800}{2} + 2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere} \\[5pt] \quad&y&=& \color{#87c800}{4 } \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(2 \mid 4)$.
$\blacktriangleright$  Additionsverfahren anwenden
$\begin{array}{lrl} \text{I}\quad&y + 10&=& 7x &\quad \\[5pt] \text{II}\quad&y&=& x + 2 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot(-1) \\[5pt] \hline \text{II} \quad& \color{#87c800}{-y}&=& \color{#87c800}{-x - 2} &\quad \scriptsize \mid\; +2 \\[5pt] \quad& -y + \color{#87c800}{2}&=& -x &\quad \scriptsize \mid\; \text{I}+\text{II} \\[5pt] \hline \text{I+II} \quad& \color{#87c800}{0}\color{#87c800}{ + 12}&=& \color{#87c800}{6x} &\quad \scriptsize \mid\; :6 \\[5pt] \quad&\color{#87c800}{2}&=&x &\quad \scriptsize \mid\; x \rightarrow \text{II} \\[5pt] \hline \text{II} \quad&y&=& \color{#87c800}{2} + 2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere} \\[5pt] \quad&y&=&\color{#87c800}{ 4} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(2 \mid 4)$. Beim Gleichsetzungsverfahren musst du zuerst die Gleichung $\text{I}$ umformen, damit du das Gleichungssystem lösen kannst. Beim Additionsverfahren musst du zuerst die Gleichung $\text{II}$ mit $-1$ multiplizieren, was etwas umständlicher ist. Beim Einsetzungsverfahren sparst du dir diese Schritte.
c)
$\blacktriangleright$  Gleichsetzungsverfahren anwenden
$\begin{array}{lrl} \text{I}\quad&- 2x + 6y&=& 42 &\quad \scriptsize \mid\; -6y&\\ \text{II}\quad&2x - 5y&=& -34 &\quad \scriptsize \mid\; +5y \\[5pt] \hline \text{I} \quad&-2x&=& 42 \color{#87c800}{- 6y} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot(-1)\\[5pt] \quad&\color{#87c800}{2x}&=& \color{#87c800}{-42 + 6y} &\quad \scriptsize \mid\; \text{I}=\text{II} \\[5pt] \hline \text{II}\quad&2x&=& -34 +\color{#87c800}{5y} &\quad \scriptsize \mid\; \text{I}=\text{II} \\[5pt] \hline \text{I=II} \quad& \color{#87c800}{-42 + 6y} &=& \color{#87c800}{-34 + 5y} &\quad \scriptsize \mid\; -5y \\[5pt] \quad&\color{#87c800}{y} - 42 &=& -34 &\quad \scriptsize \mid\; +42 \\[5pt] \quad&y&=& \color{#87c800}{8} &\quad \scriptsize \mid\; y \rightarrow \text{I} \\[5pt] \hline \text{I} \quad& - 2x + 6 \cdot \color{#87c800}{8} &=& 42 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad& - 2x + \color{#87c800}{48} &=& 42 &\quad \scriptsize \mid\; -48 \\[5pt] \quad&-2x&=& \color{#87c800}{-6} &\quad \scriptsize \mid\; :(-2) \\[5pt] \quad&x&=& \color{#87c800}{3} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(3 \mid 8)$.
$\blacktriangleright$  Einsetzungsverfahren anwenden
$\begin{array}{lrl} \text{I}\quad&- 2x + 6y&=& 42 &\quad \scriptsize \mid\; :(-2) \\[5pt] \text{II}\quad&2x - 5y&=& -34 &\quad \\[5pt] \hline \text{I} \quad&\color{#87c800}{x - 3y} &=& \color{#87c800}{-21} &\quad \scriptsize \mid\; +3y \\[5pt] \quad&x &=& -21 +\color{#87c800}{3y} &\quad \scriptsize \mid\; x \rightarrow \text{II} \\[5pt] \hline \text{II} \quad&2 \cdot (\color{#87c800}{-21 + 3y}) - 5y&=& -34 &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf} \\[5pt] \quad& \color{#87c800}{-42} + \color{#87c800}{6y} -5y&=&-34 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] \quad&-42 +\color{#87c800}{y}&=&-34 &\quad \scriptsize \mid\; +42 \\[5pt] \quad&y&=&\color{#87c800}{8} &\quad \scriptsize \mid\; y \rightarrow \text{I} \\[5pt] \hline \text{I}\quad& - 2x + 6 \cdot \color{#87c800}{8}&=& 42 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad& - 2x + \color{#87c800}{48}&=& 42 &\quad \scriptsize \mid\; -48 \\[5pt] \quad& - 2x &=& \color{#87c800}{-6} &\quad \scriptsize \mid\; :(-2) \\[5pt] \quad&x&=& \color{#87c800}{3} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(3 \mid 8)$.
$\blacktriangleright$  Additionsverfahren anwenden
$\begin{array}{lrl} \text{I}\quad&- 2x + 6y&=& 42 \quad &\\ \text{II}\quad&2x - 5y&=& -34 &\quad \scriptsize \mid\; \text{I}+\text{II} \\[5pt] \hline \text{I+II} \quad& \color{#87c800}{y}&=& \color{#87c800}{8} &\quad \scriptsize \mid\; x \rightarrow \text{I} \\[5pt] \hline \text{I}\quad& - 2x + 6 \cdot\color{#87c800}{8}&=& 42 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad& -2x + \color{#87c800}{48}&=& 42 &\quad \scriptsize \mid\; -48 \\[5pt] \quad& - 2x &=& \color{#87c800}{-6} &\quad \scriptsize \mid\; :(-2) \\[5pt] \quad&x&=& \color{#87c800}{3} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(3 \mid 8)$. Beim Gleichsetzungsverfahren musst du zuerst beide Gleichungen umformen, um weiter verfahren zu können. Beim Einsetzungsverfahren musst du eine Gleichung umformen. Beim Additionsverfahren kannst du sofort starten.

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Einsetzungsverfahren anwenden
Hier macht es Sinn, das Einsetzungsverfahren anzuwenden, da die Variable $x$ bereits isoliert ist. Du setzt also $x$ in Gleichung $\text{II}$ ein und löst dann nach $y$ auf. $y$ setzt du dann in Gleichung $\text{I}$ ein; löse anschließend nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{lrl} \text{I} \quad &y+3&=& x &\quad \scriptsize \mid\; x \rightarrow \text{II} \\[5pt] \text{II}\quad&2y+4x&=& 6 \\[5pt] \hline \text{II} \quad& 2y + 4 \cdot (\color{#87c800}{y+3}) &=& 6 &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf} \\[5pt] \quad& 2y + \color{#87c800}{4y} + \color{#87c800}{12} &=& 6&\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] \quad& \color{#87c800}{6y} + 12 &=& 6&\quad \scriptsize \mid\; -12 \\[5pt] \quad& 6y &=& \color{#87c800}{-6}&\quad \scriptsize \mid\; :6 \\[5pt] \quad& y &=& \color{#87c800}{-1}&\quad \scriptsize \mid\; y \rightarrow \text{I} \\[5pt] \hline \text{I}\quad &\color{#87c800}{-1}+3&=& x &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] \text{I}\quad &\color{#87c800}{2}&=& x &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(2 \mid -1)$.
b)
$\blacktriangleright$  Additionsverfahren anwenden
Hier macht es Sinn, das Additionsverfahren anzuwenden. Multipliziere Gleichung $\text{II}$ mit $2$ und addiere dann die beiden Gleichungen und löse dann nach $x$ auf. $x$ kannst du dann in Gleichung $\text{I}$ einsetzen und dann nach $y$ auflösen.
$\begin{array}[t]{lrl} \text{I}& 0,5x-4y&=& -1 &\quad \\[5pt] \text{II}& 1,5x+2y&=& 11 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \\[5pt] \hline \text{II} \quad& \color{#87c800}{3x} + \color{#87c800}{4y} &=& \color{#87c800}{22} &\quad \scriptsize \mid\; \text{I+II} \\[5pt] \hline \text{I+II} \quad& \color{#87c800}{3,5x} &=& \color{#87c800}{21} &\quad \scriptsize \mid\; :3,5 \\[5pt] \quad& x &=& \color{#87c800}{6}&\quad \scriptsize \mid\; x \rightarrow \text{I} \\[5pt] \hline \text{I}\quad &0,5 \cdot \color{#87c800}{6} - 4y&=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad &\color{#87c800}{3} - 4y&=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; -3 \\[5pt] \quad &- 4y&=&\color{#87c800}{-4} &\quad \scriptsize \mid\; :(-1) \\[5pt] \quad &y&=&\color{#87c800}{1} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(6 \mid 1)$.
c)
$\blacktriangleright$  Einsetzungsverfahren anwenden
Hier macht es Sinn, das Einsetzungsverfahren anzuwenden, da die Variable $y$ bereits isoliert ist. Du setzt also $y$ in Gleichung $\text{II}$ ein und löst dann nach $x$ auf. Anschließend setzt du dein Ergebnis für $x$ in Gleichung $\text{I}$ ein und löst nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{lrl} \text{I}& y&=& 2x+1 &\quad \scriptsize \mid\; y \rightarrow \text{II} \\[5pt] \text{II}& 3x+2y&=& -5 &\quad \\[5pt] \hline \text{II} \quad& 3x+2 \cdot (\color{#87c800}{2x+1})&=& -5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf} \\[5pt] \quad& 3x+\color{#87c800}{4x} + \color{#87c800}{2}&=& -5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] \quad& \color{#87c800}{7x} + 2&=& -5 &\quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt] \quad& 7x &=& \color{#87c800}{-7} &\quad \scriptsize \mid\; :7 \\[5pt] \quad& x &=& \color{#87c800}{-1} &\quad \scriptsize \mid\; x \rightarrow \text{I} \\[5pt] \hline \text{I} \quad& y&=& 2 \cdot\color{#87c800}{-1} +1 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad& y &=& \color{#87c800}{-2} + 1&\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] \quad &y &=& \color{#87c800}{-1} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(-1 \mid -1)$.
d)
$\blacktriangleright$  Gleichsetzungsverfahren anwenden
Hier macht es Sinn, das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden, da die Variable $x$ bereits isoliert ist. Du setzt also $x$ in Gleichung $\text{II}$ ein und löst dann nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{lrl} \text{I}& y&=& -3x-2 \\[5pt] \text{II}& y&=& -2x+4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{I=II} \\[5pt] \hline \text{I=II} \quad& \color{#87c800}{-3x-2}&=& \color{#87c800}{-2x+4} &\quad \scriptsize \mid\; +2x \\[5pt] \quad& \color{#87c800}{-x }- 2&=&4 &\quad \scriptsize \mid\; +2 \\[5pt] \quad& -x&=& \color{#87c800}{6} &\quad \scriptsize \mid\; :(-1) \\[5pt] \quad& x &=& \color{#87c800}{-6}&\quad \scriptsize \mid\; x \rightarrow \text{I} \\[5pt] \hline \text{I} \quad& y&=& -3 \cdot \color{#87c800}{-6} -2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad& y &=& \color{#87c800}{18} - 2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahiere} \\[5pt] \quad &y &=& \color{#87c800}{16} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(-6 \mid 16)$.
e)
$\blacktriangleright$  Additionsverfahren anwenden
Hier macht es Sinn, das Additionsverfahren anzuwenden, da hierdurch $3y$ wegfällt. Dafür formst du Gleichung $\text{I}$ äquivalent um. Wende dann das Additionsverfahren an. Du setzt also $x$ in Gleichung $\text{II}$ ein und löst dann nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{lrl} \text{I}& 2x + 18&=& 3y &\quad \scriptsize \mid\; -3y \\[5pt] \text{II}& 5x-3y&=& 0 \\[5pt] \hline \text{I} \quad& 2x + 18 \color{#87c800}{- 3y}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -18 \\[5pt] \quad& 2x - 3y&=&\color{#87c800}{-18} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \\[5pt] \quad& \color{#87c800}{-2x +3y}&=& \color{#87c800}{18} &\quad \scriptsize \mid\; \text{I+II} \\[5pt] \hline \text{I+II} \quad& \color{#87c800}{3x} &=& \color{#87c800}{18} &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] \quad& x &=& \color{#87c800}{6} &\quad \scriptsize \mid\; x \rightarrow \text{I} \\[5pt] \hline \quad& 2 \cdot \color{#87c800}{6} + 18&=& 3y &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad& \color{#87c800}{12} + 18&=& 3y &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere} \\[5pt] \quad& \color{#87c800}{30}&=& 3y &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] \quad &y &=& \color{#87c800}{10} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(6 \mid 10)$.
f)
$\blacktriangleright$  Additionsverfahren anwenden
Hier macht es Sinn, das Additionsverfahren anzuwenden, da hierdurch $6y$ wegfällt. Dafür formst du Gleichung $\text{I}$ äquivalent um. Wende dann das Additionsverfahren an. Du setzt also $x$ in Gleichung $\text{II}$ ein und löst dann nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{lrl} \text{I}& 4x - 2y&=& 9 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 3\\[5pt] \text{II}& 10x + 6y&=&39 \\[5pt] \hline \text{I} \quad& \color{#87c800}{12x} - \color{#87c800}{6y}&=& \color{#87c800}{27} &\quad \scriptsize \mid\; \text{I+II} \\[5pt] \hline \text{I+II} \quad& \color{#87c800}{22x} &=&\color{#87c800}{ 66} &\quad \scriptsize \mid\; :22 \\[5pt] \quad& x &=& \color{#87c800}{3} &\quad \scriptsize \mid\; x \rightarrow \text{I} \\[5pt] \hline \quad& 4 \cdot\color{#87c800}{ 3} - 2y&=& 9 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad& \color{#87c800}{12} -2y &=& 9 &\quad \scriptsize \mid\; -12 \\[5pt] \quad& -2y&=& \color{#87c800}{-3} &\quad \scriptsize \mid\; :(-2)\\[5pt] \quad &y &=& \color{#87c800}{1,5} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(3 \mid 1,5)$.
g)
$\blacktriangleright$  Einsetzungsverfahren anwenden
Hier macht es Sinn, das Einsetzungsverfahren anzuwenden, da die Variable $y$ bereits isoliert ist. Du setzt also $y$ in Gleichung $\text{I}$ ein und löst dann nach $x$ auf. Anschließend setzt du dein Ergebnis für $x$ in Gleichung $\text{I}$ ein und löst nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{lrl} \text{I}& 3x -0,5y&=& -1,5 \\[5pt] \text{II}& y&=& 2x + 7 &\quad \scriptsize \mid\; y \rightarrow \text{I} \\[5pt] \hline \text{I} \quad& 3x - 0,5 \cdot (\color{#87c800}{2x + 7})&=& -1,5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad& 3x \color{#87c800}{- x} \color{#87c800}{- 3,5} &=& -1,5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{subtrahiere} \\[5pt] \quad& \color{#87c800}{2x} - 3,5 &=& -1,5 &\quad \scriptsize \mid\; +3,5 \\[5pt] \quad& 2x&=& \color{#87c800}{2} &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] \quad& x&=& \color{#87c800}{1} &\quad \scriptsize \mid\; x \rightarrow \text{I} \\[5pt] \hline \text{I} \quad& 3 \cdot \color{#87c800}{1} -0,5y&=& -1,5 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad& \color{#87c800}{3} - 0,5y &=& -1,5 &\quad \scriptsize \mid\; -3 \\[5pt] \quad& 0,5y &=& \color{#87c800}{1,5} &\quad \scriptsize \mid\; :0,5 \\[5pt] \quad& y &=& \color{#87c800}{3} \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(1 \mid 3)$.
h)
$\blacktriangleright$  Gleichsetzungsverfahen anwenden
Hier macht es Sinn, das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden, da die Variable $y$ in beiden Gleichungen bereits isoliert ist. Du setzt also die beiden Gleichungen gleich und löst dann nach $x$ auf. Anschließend setzt du dein Ergebnis für $x$ in Gleichung $\text{I}$ ein und löst nach $y$ auf.
$\begin{array}[t]{lrl} \text{I}& y&=& 3x - 18 \\[5pt] \text{II}& y&=&4x -23 &\quad \scriptsize \mid\; \text{I=II} \\[5pt] \hline \text{I} \quad& \color{#87c800}{3x - 18}&=& \color{#87c800}{4x - 23} &\quad \scriptsize \mid\; +23 \\[5pt] \quad& 3x + \color{#87c800}{5} &=& 4x &\quad \scriptsize \mid\; -3x \\[5pt] \quad& 5 &=& \color{#87c800}{x} &\quad \scriptsize \mid\; x \rightarrow \text{I} \\[5pt] \hline \text{I} \quad& y&=& 3 \cdot \color{#87c800}{5} -18 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] \quad& y &=& \color{#87c800}{-3 } \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(5 \mid -3)$.

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$  Rechenschritte erklären
$\text{I} \quad x + y + z =9$
$\text{II} \quad x + y =5$
$\text{III} \quad x =2$
Das ist das Gleichungssystem. Die dritte Gleichung ist bereits die Lösung für die Variable $x$.
$\quad$ $\,$ $\,$ $\quad$ $\downarrow$
$\text{III} \rightarrow \text{II} $
$\text{II} \quad 2 + y =5$
$\quad \;\; y =3$
Die Lösung für $x$ kannst du jetzt in Gleichung $\text{II}$ einsetzen und nach $y$ auflösen.
$\quad$ $\,$ $\,$ $\quad$ $\downarrow$
$x \, \text{und} \, y \rightarrow \text{I}$
$\text{I} \quad 2 + 3 + z =9$
$\,$ $\,$ $\;$ $z=4$
Jetzt kannst du nach $z$ auflösen.
$\quad$ $\,$ $\,$ $\quad$ $\downarrow$
$ \quad \, (2 \mid 3 \mid 4)$
Das ist die Lösung.
$\text{I} \quad x + y + z =9$
$\text{II} \quad x + y =5$
$\text{III} \quad x =2$
Das ist das Gleichungssystem. Die dritte Gleichung ist bereits die Lösung für die Variable $x$.
$\text{III} \rightarrow \text{II} $
$\text{II} \quad 2 + y =5$
$\quad \;\; y =3$
Die Lösung für $x$ kannst du jetzt in Gleichung $\text{II}$ einsetzen und nach $y$ auflösen.
$x \, \text{und} \, y \rightarrow \text{I}$
$\text{I} \quad 2 + 3 + z =9$
$\,$ $\,$ $\;$ $z=4$
Jetzt kannst du nach $z$ auflösen.
$ \quad \, (2 \mid 3 \mid 4)$
Das ist die Lösung.
a)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem lösen
Zuerst setzt du die Lösung für $x$ in Gleichung $\text{II}$ ein. Dann löst du nach $y$ auf. Die Lösungen für $x$ und $y$ setzt du dann in Gleichung $\text{I}$ ein und löst nach $z$ auf.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x + y + z &=& 12 \quad &\\ \text{II}\quad& x - y&=& -2 \quad &\\ \text{III}\quad&x&=&3 &\quad \scriptsize \mid\; x \rightarrow \text{II} \\[5pt] \hline \text{II}\quad& \color{#87c800}{3} - y&=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; - 3 \\[5pt] \quad& - y&=& \color{#87c800}{-5} &\quad \scriptsize \mid\; :(-1) \\[5pt] \quad& \color{#87c800}{y}&=& \color{#87c800}{5} &\quad \scriptsize \mid\; x \, y \rightarrow \text{I} \\[5pt] \hline \text{I}\quad&\color{#87c800}{3} + \color{#87c800}{5} + z &=& 12 &\quad \scriptsize \mid\; \text{addiere} \\[5pt] \quad&\color{#87c800}{8} + z &=& 12 &\quad \scriptsize \mid\; - 8 \\[5pt] \quad&z &=& \color{#87c800}{4} &\quad \scriptsize \mid\; - 8 \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(3 \mid 5 \mid 4)$.
b)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem lösen
Zuerst dividierst du, um $x$ zu isolieren. Dann setzt du die Lösung für $x$ in Gleichung $\text{II}$ ein. Dann löst du nach $y$ auf. Die Lösungen für $x$ und $y$ setzt du dann in Gleichung $\text{I}$ ein und löst nach $z$ auf.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x + 2y + z &=& 24 \quad &\\ \text{II}\quad& 3x + y&=& 18 \quad &\\ \text{III}\quad&2x&=&8 &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] \hline \text{III}\quad& x&=&\color{#87c800}{4} &\quad \scriptsize \mid\; x \rightarrow \text{II} \\[5pt] \hline \text{II}\quad&3 \cdot \color{#87c800}{4} + y &=& 18 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad&\color{#87c800}{12} + y &=& 18 &\quad \scriptsize \mid\; - 12 \\[5pt] \quad&y &=& \color{#87c800}{6} &\quad \scriptsize \mid\; x \, y \rightarrow \text{I} \\[5pt] \hline \text{I}\quad&\color{#87c800}{4} + 2 \cdot \color{#87c800}{6} + z &=& 24 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] \quad&\color{#87c800}{16} + z &=& 24 &\quad \scriptsize \mid\; -16 \\[5pt] \quad&z &=& \color{#87c800}{8} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(4 \mid 6 \mid 8)$.
c)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem lösen
Zuerst dividierst du, um $z$ zu isolieren. Dann setzt du die Lösung für $z$ in Gleichung $\text{II}$ ein. Dann löst du nach $y$ auf. Die Lösungen für $z$ und $y$ setzt du dann in Gleichung $\text{I}$ ein und löst nach $x$ auf.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&3x + 2y - z &=& 2 \quad &\\ \text{II}\quad& 3y + 2z&=& 23 \quad &\\ \text{III}\quad&3z&=&21 &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] \hline \text{III}\quad& \color{#87c800}{z}&=&\color{#87c800}{7} &\quad \scriptsize \mid\; x \rightarrow \text{II} \\[5pt] \hline \text{II}\quad& 3y + 2 \cdot\color{#87c800}{ 7} &=& 23 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad& 3y + \color{#87c800}{14} &=& 23 &\quad \scriptsize \mid\; - 14 \\[5pt] \quad&3y &=& \color{#87c800}{9} &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] \quad&y &=& \color{#87c800}{3} &\quad \scriptsize \mid\; y \, z \rightarrow \text{I} \\[5pt] \hline \text{I}\quad& 3x + 2 \cdot \color{#87c800}{3} - \color{#87c800}{7} &=& 2 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] \quad&3x \color{#87c800}{-1} &=& 2 &\quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt] \quad&3x &=& \color{#87c800}{3} &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] \quad&x &=& \color{#87c800}{1} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(1 \mid 3 \mid 7)$.
d)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem lösen
Zuerst dividierst du, um $x$ zu isolieren. Dann setzt du die Lösung für $x$ in Gleichung $\text{II}$ ein. Dann löst du nach $y$ auf. Die Lösungen für $x$ und $y$ setzt du dann in Gleichung $\text{I}$ ein und löst nach $z$ auf.
$\begin{array}{} \text{I}\quad& -x - 4y + 5z &=& 11 \quad &\\ \text{II}\quad& 2x - 6y&=& -6 \quad &\\ \text{III}\quad&3x&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] \hline \text{III}\quad& x&=& \color{#87c800}{0} &\quad \scriptsize \mid\; x \rightarrow \text{II} \\[5pt] \hline \text{II}\quad& 2 \cdot \color{#87c800}{0} - 6y&=& -6 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad& \color{#87c800}{0} -6y &=& -6 &\quad \scriptsize \mid\; :(-6) \\[5pt] \quad& y &=& \color{#87c800}{1} &\quad \scriptsize \mid\; x \, y \rightarrow \text{I} \\[5pt] \hline \text{I}\quad& -\color{#87c800}{0} - 4 \cdot \color{#87c800}{1} + 5z &=& 11 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] \quad&\color{#87c800}{-4} + 5z &=& 11 &\quad \scriptsize \mid\; +4 \\[5pt] \quad&5z &=& \color{#87c800}{15} &\quad \scriptsize \mid\; :5 \\[5pt] \quad&z &=& \color{#87c800}{3 } \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(0 \mid 1 \mid 3)$.
e)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem lösen
Zuerst setzt du die Lösung für $y$ in Gleichung $\text{II}$ ein. Dann löst du nach $x$ auf. Die Lösungen für $x$ und $y$ setzt du dann in Gleichung $\text{I}$ ein und löst nach $z$ auf.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&5x - 3y - 2z &=& -37 \quad &\\ \text{II}\quad& 4x - y&=& -11 \quad &\\ \text{III}\quad&y&=&3 &\quad \scriptsize \mid\; y \rightarrow \text{II} \\[5pt] \hline \text{II}\quad& 4x - \color{#87c800}{3} &=& -11 &\quad \scriptsize \mid\; +3 \\[5pt] \quad& 4x &=& \color{#87c800}{-8} &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] \quad& x &=& \color{#87c800}{-2 }&\quad \scriptsize \mid\; x \, y \rightarrow \text{I} \\[5pt] \hline \text{I}\quad& 5 \cdot \color{#87c800}{-2 } - 3 \cdot \color{#87c800}{3} - 2z &=& -37 &\quad \scriptsize \mid\; \text{fasse zusammen} \\[5pt] \quad& \color{#87c800}{-19} - 2z &=& -37 &\quad \scriptsize \mid\; +19 \\[5pt] \quad&-2z &=& \color{#87c800}{-18} &\quad \scriptsize \mid\; :(-2) \\[5pt] \quad&z &=& \color{#87c800}{9} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(-2 \mid 3 \mid 9)$.
f)
$\blacktriangleright$  Gleichungssystem lösen
Zuerst dividierst du mit $4$ bei Gleichung $\text{III}$. Dann subtrahierst du $z$, um $x$ zu isolieren. Die Lösung für $x$ setzt du dann in Gleichung $\text{II}$ ein und löst nach $y$ auf. Die Lösung für $y$ setzt du wiederum in Gleichung $\text{I}$ ein und löst nach $z$ auf. $z$ kannst du nun wiederum in Gleichung $\text{I}$ einsetzen, um nach $y$ aufzulösen. $y$ setzt du jetzt in Gleichung $\text{II}$ ein und löst nach $x$ auf.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&2y - 5z &=& -38 \quad &\\ \text{II}\quad& 2y - 3x&=& 6 \quad &\\ \text{III}\quad&4x + 4z&=&48 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] \hline \text{III}\quad& \color{#87c800}{x} + \color{#87c800}{z} &=& \color{#87c800}{12} &\quad \scriptsize \mid\; -z \\[5pt] \quad& x &=& 12 - \color{#87c800}{z} &\quad \scriptsize \mid\; x \rightarrow \text{II} \\[5pt] \hline \text{II}\quad& 2y - 3 \cdot (\color{#87c800}{12 - z}) &=& 6 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad& 2y -\color{#87c800}{36} + \color{#87c800}{3z} &=& 6 &\quad \scriptsize \mid\; +36 \\[5pt] \quad&2y +3z &=& \color{#87c800}{42} &\quad \scriptsize \mid\; -3z \\[5pt] \quad&2y &=& 42 - \color{#87c800}{3z} &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] \quad&y &=& \color{#87c800}{21} - \color{#87c800}{1,5z} &\quad \scriptsize \mid\; y \rightarrow \text{I} \\[5pt] \hline \text{I}\quad& 2 \cdot (\color{#87c800}{21 -1,5z}) - 5z &=& -38 &\quad \scriptsize \mid\; \text{löse die Klammer auf} \\[5pt] \quad&\color{#87c800}{42} - \color{#87c800}{3z} - 5z &=& -38 &\quad \scriptsize \mid\; -42 \\[5pt] \quad&-8z &=& \color{#87c800}{-80} &\quad \scriptsize \mid\; :(-8) \\[5pt] \quad&z &=&\color{#87c800}{ 10} &\quad \scriptsize \mid\; z \rightarrow \text{I} \\[5pt] \hline \text{I}\quad&2y - 5 \cdot \color{#87c800}{10} &=& -38 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad&2y - \color{#87c800}{50} &=& -38 &\quad \scriptsize \mid\; +50 \\[5pt] \quad&2y &=&\color{#87c800}{ 12} &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] \quad&y &=& \color{#87c800}{6} &\quad \scriptsize \mid\; y \rightarrow \text{II} \\[5pt] \hline \text{II}\quad& 2 \cdot \color{#87c800}{6} - 3x&=& 6 &\quad \scriptsize \mid\; \text{multipliziere} \\[5pt] \quad&\color{#87c800}{12} -3x &=& 6 &\quad \scriptsize \mid\; -12 \\[5pt] \quad&-3x &=& \color{#87c800}{-6} &\quad \scriptsize \mid\; :(-3) \\[5pt] \quad&x &=& \color{#87c800}{2} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Die Lösung ist $(2 \mid 6 \mid 10)$.
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