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Gleichungen mit Brüchen

Spickzettel
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Wenn du eine Gleichung mit Bruch lösen möchtest, führst du wie bisher die Gegenoperation auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens durch. Ganz wichtig ist, dass alle Rechnungen auf beiden Seiten stattfinden, da die Gleichungen immer im Gleichgewicht bleiben müssen.
Hierbei führst du immer die Gegenoperation durch:
  • $x \boldsymbol{\color{#87c800}{+}} \text {Zahl}$ heißt, dass du die Zahl subtrahieren musst.
  • $x \boldsymbol{\color{#87c800}{-}} \text {Zahl}$ heißt, dass du die Zahl addieren musst.
  • $x \boldsymbol{\color{#87c800}{\cdot}} \text {Zahl}$ heißt, dass du durch die Zahl dividieren musst.
  • $x \boldsymbol{\color{#87c800}{:}} \text {Zahl}$ heißt, dass du mit der Zahl multiplizieren musst.
Bei Brüchen funktioniert das genauso:
Die Gegenoperation zu $\dfrac{\text{Zähler}}{\color{#dc1400}{\text{Nenner}}}$ ist eine Multiplikation mit dem $\color{#dc1400}{\text{Nenner}}$.
Hierbei führst du immer die Gegenoperation durch:
  • $x \boldsymbol{\color{#87c800}{+}} \text {Zahl}$ heißt, dass du die Zahl subtrahieren musst.
  • $x \boldsymbol{\color{#87c800}{-}} \text {Zahl}$ heißt, dass du die Zahl addieren musst.
  • $x \boldsymbol{\color{#87c800}{\cdot}} \text {Zahl}$ heißt, dass du durch die Zahl dividieren musst.
  • $x \boldsymbol{\color{#87c800}{:}} \text {Zahl}$ heißt, dass du mit der Zahl multiplizieren musst.
Bei Brüchen funktioniert das genauso:
Die Gegenoperation zu $\dfrac{\text{Zähler}}{\color{#dc1400}{\text{Nenner}}}$ ist eine Multiplikation mit dem $\color{#dc1400}{\text{Nenner}}$.
Beispiel:
$\begin{array}[t]{rll} \color{#2D6EC8}{5}&=&\color{#dc1400}{\dfrac{3}{4}}\color{#0096C8}{x}+\color{#783C96}{13}\quad \scriptsize \mid\; -13 \\[5pt] -8&=&\color{#dc1400}{\dfrac{3}{4}}\color{#0096C8}{x}\quad \scriptsize \mid\; \cdot 4 \\[5pt] -32&=& 3\color{#0096C8}{x}\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] -10,33&=& \color{#0096C8}{x} \end{array}$
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Einführung

Die Wahl zum Weltfußballer des Jahres ehrt jedes Jahr den besten Fußballer der ganzen Welt. Hierbei werden einzelne Spieler, die besondere Leistungen erbracht haben, ausgezeichnet und somit noch berühmter und weltweit bekannt. In diesem Jahr hat Lionel Messi als Spieler des FC Barcelona diese Auszeichnung erhalten. Den zweiten Platz bekam Cristiano Ronaldo. Der Portugiese hat in der Saison für Real Madrid gespielt. Abgesehen von seinen $\boldsymbol{\color{#2D6EC8}{4}}$ Toren, die er als Elfmeter verwandelte, schoss er $\boldsymbol{\color{#FA7D19}{28}}$ Tore aus dem Spiel heraus. Das sind nur $\boldsymbol{\color{#dc1400}{\dfrac{2}{3}}}$ der Treffer von Lionel Messi, der zusätzlich noch $\boldsymbol{\color{#783C96}{8}}$ Elfmeter schoss. Wieviele Tore hat Messi geschossen? Natürlich ist die Anzahl der verwandelten Tore nicht alleine ausschlaggebend für die Auszeichnung, auch Fairness, Erfolge und Verhalten neben dem Platz werden von den Trainern und Wahlberechtigten berücksichtigt.

Erklärung

Um herauszufinden, wieviele Saisontore Lionel Messi geschossen hat, lässt sich eine Gleichung aufstellen. Messis Tore ohne Elfmeter ist dabei mit der Variablen $\boldsymbol{\color{#0096C8}{x}}$ benannt.
  • Die Anzahl von Ronaldos Toren ist $\boldsymbol{\color{#FA7D19}{28}}$. Zusätzlich schoss er $\boldsymbol{\color{#2D6EC8}{4}}$ Elfmeter, also insgesamt $\boldsymbol{\color{#FA7D19}{28}} + \boldsymbol{\color{#2D6EC8}{4}}$ Tore.
  • Messi schoss $\boldsymbol{\color{#783C96}{8}}$ Elfmeter, die Anzahl seiner Tore im laufenden Spiel ist unbekannt $\boldsymbol{\color{#0096C8}{x}}$. Demnach schoss er insgesamt $\boldsymbol{\color{#0096C8}{x}+\color{#783C96}{8}}$ Tore.
  • Du kannst den Informationen entnehmen, dass Ronaldo nur $\boldsymbol{\color{#dc1400}{\dfrac{2}{3}}}$ der Treffer von Messi hat.
Aus den Informationen kannst du folgende Gleichung aufstellen:
$\begin{array}[t]{rll} \color{#FA7D19}{\text{Tore Ronaldo}}+\color{#2D6EC8}{\text{Elfmeter Ronaldo}}&=&\boldsymbol{\color{#dc1400}{\dfrac{2}{3}}} \cdot \color{#0096C8}{\text{Tore Messi} }+\color{#783C96}{\text{Elfmeter Messi}}&\quad \scriptsize \\[5pt] \boldsymbol{\color{#FA7D19}{28}} + \boldsymbol{\color{#2D6EC8}{4}}&=&\boldsymbol{\color{#dc1400}{\dfrac{2}{3}}}\boldsymbol{\color{#0096C8}{x}}+\boldsymbol{\color{#783C96}{8}}\quad \end{array}$
$ \boldsymbol{\color{#FA7D19}{28}} + \boldsymbol{\color{#2D6EC8}{6}}&=&\boldsymbol{\color{#dc1400}{\dfrac{2}{3}}}\boldsymbol{\color{#0096C8}{x}}+\boldsymbol{\color{#783C96}{8}}\quad $
Nun siehst du, dass ein Bruch in der Gleichung auftaucht, das hatten du bisher nicht. Um Lösungen für Gleichungen zu ermitteln, führst du Rechenoperationen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens durch. Wichtig ist, dass alle Rechnungen auf beiden Seiten stattfinden, da die Gleichungen immer im Gleichgewicht bleiben müssen.
Hierbei führst du immer die Gegenoperation durch:
  • $x \boldsymbol{\color{#87c800}{+}} \text {Zahl}$ heißt, dass du die Zahl subtrahieren musst.
  • $x \boldsymbol{\color{#87c800}{-}} \text {Zahl}$ heißt, dass du die Zahl addieren musst.
  • $x \boldsymbol{\color{#87c800}{\cdot}} \text {Zahl}$ heißt, dass du durch die Zahl dividieren musst.
  • $x \boldsymbol{\color{#87c800}{:}} \text {Zahl}$ heißt, dass du mit der Zahl multiplizieren musst.
Bei Brüchen funktioniert das genauso:
Die Gegenoperation zu $\dfrac{\text{Zähler}}{\color{#dc1400}{\text{Nenner}}}$ ist eine Multiplikation mit dem $\color{#dc1400}{\text{Nenner}}$.
Hierbei führst du immer die Gegenoperation durch:
  • $x \boldsymbol{\color{#87c800}{+}} \text {Zahl}$ heißt, dass du die Zahl subtrahieren musst.
  • $x \boldsymbol{\color{#87c800}{-}} \text {Zahl}$ heißt, dass du die Zahl addieren musst.
  • $x \boldsymbol{\color{#87c800}{\cdot}} \text {Zahl}$ heißt, dass du durch die Zahl dividieren musst.
  • $x \boldsymbol{\color{#87c800}{:}} \text {Zahl}$ heißt, dass du mit der Zahl multiplizieren musst.
Bei Brüchen funktioniert das genauso:
Die Gegenoperation zu $\dfrac{\text{Zähler}}{\color{#dc1400}{\text{Nenner}}}$ ist eine Multiplikation mit dem $\color{#dc1400}{\text{Nenner}}$.

Beispiel

Wenn du diese Rechenregeln nun auf die Gleichung anwendest, erhälst du die Lösung und weißt, wieviele Tore Messi in der Saison geschossen hat.
$\begin{array}[t]{rll} \color{#FA7D19}{\text{Tore Ronaldo}}+\color{#2D6EC8}{\text{Elfmeter Ronaldo}}&=&\boldsymbol{\color{#dc1400}{\dfrac{2}{3}}} \cdot \color{#0096C8}{\text{Tore Messi} }+\color{#783C96}{\text{Elfmeter Messi}}&\quad &\scriptsize \\[5pt] \boldsymbol{\color{#FA7D19}{28}} + \boldsymbol{\color{#2D6EC8}{4}}&=&\boldsymbol{\color{#dc1400}{\dfrac{2}{3}}}\boldsymbol{\color{#0096C8}{x}}+\boldsymbol{\color{#783C96}{8}}\quad &\scriptsize \mid\; \text{zusammenfassen} \\[5pt] 32&=&\boldsymbol{\color{#dc1400}{\dfrac{2}{3}}}\boldsymbol{\color{#0096C8}{x}}+\boldsymbol{\color{#783C96}{8}}\quad &\scriptsize \mid\; -8 \\[5pt] 24&=&\boldsymbol{\color{#dc1400}{\dfrac{2}{3}}}\boldsymbol{\color{#0096C8}{x}}\quad &\scriptsize \mid\; \cdot 3 \ \text{(Multiplikation mit dem Nenner)} \\[5pt] 72&=& 2\boldsymbol{\color{#0096C8}{x}}\quad &\scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] 36&=& \boldsymbol{\color{#0096C8}{x}}\quad &\scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ \boldsymbol{\color{#FA7D19}{28}} + \boldsymbol{\color{#2D6EC8}{4}}=\boldsymbol{\color{#dc1400}{\dfrac{2}{3}}}\boldsymbol{\color{#0096C8}{x}}+\boldsymbol{\color{#783C96}{8}} $
Lionel Messi hat in der Saison $\boldsymbol{\color{#0096C8}{x}}=36$ Tore aus dem Spiel heraus geschossen, inklusive seiner Elfmeter sind das $\boldsymbol{\color{#0096C8}{36}}+\boldsymbol{\color{#783C96}{8}}=44$ Treffer. Ronaldo hat insgesamt nur $\boldsymbol{\color{#FA7D19}{28}} + \boldsymbol{\color{#2D6EC8}{4}}= 32$ Tore verwandelt.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Aufgaben
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1.
Löse die Gleichungen.
b)
$\dfrac{x}{5}=7$
d)
$\dfrac{x}{6}=9$
f)
$\dfrac{x}{7}=0,5$
h)
$\dfrac{x}{3}=3,1$
j)
$\dfrac{4}{7}\cdot x=28$
l)
$\dfrac{3}{5}\cdot x=45$
2.
Beschreibe mit eigenen Worten, wie du bei Bruchgleichungen den kleinsten gemeinsamen Hauptnenner findest.
3.
Löse die Gleichungen nach $x$ auf.
b)
$\dfrac{4}{5}\cdot x+8=40$
d)
$\dfrac{8}{3}\cdot x-18=46$
f)
$\dfrac{6}{8}\cdot x-21=54$
h)
$\dfrac{9}{3}\cdot x-18=72$
4.
Löse die Gleichungen nach $x$ auf.
b)
$\dfrac{2}{3}x-5=\dfrac{3}{6}x+3$
d)
$\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{10}=\dfrac{7}{8}x-\dfrac{6}{12}$
f)
$\dfrac{1}{7}x+\dfrac{6}{3}=\dfrac{4}{8}+\dfrac{1}{2}x$
h)
$\dfrac{123}{6}-1\dfrac{1}{2}x=2\dfrac{1}{2}x-19\dfrac{1}{2}$
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Lösungen
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1.
Löse die Gleichungen
a)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{x}{2}&=&4&& \mid\; \cdot 2\;\small{\text{(Nenner)}}\\[5pt] \dfrac{x\cdot \color{#87c800}{2}}{\color{#87c800}{2}}&=&4\cdot 2&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] x&=&8\\[5pt] \end{array}$
b)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{x}{5}&=&7&& \mid\; \cdot 5\\[5pt] \dfrac{x\cdot \color{#87c800}{5}}{\color{#87c800}{5}}&=&7\cdot 5&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] x&=&35\\[5pt] \end{array}$
c)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{x}{4}&=&6&& \mid\; \cdot 4\\[5pt] \dfrac{x\cdot \color{#87c800}{4}}{\color{#87c800}{4}}&=&6\cdot 4&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] x&=&24\\[5pt] \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{x}{6}&=&9&& \mid\; \cdot 6\\[5pt] \dfrac{x\cdot \color{#87c800}{6}}{\color{#87c800}{6}}&=&9\cdot 6&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] x&=&54\\[5pt] \end{array}$
e)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{x}{3}&=&2,5&& \mid\; \cdot 3\\[5pt] \dfrac{x\cdot \color{#87c800}{3}}{\color{#87c800}{3}}&=&2,5\cdot 3&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] x&=&7,5\\[5pt] \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{x}{7}&=&0,5&& \mid\; \cdot 7\\[5pt] \dfrac{x\cdot \color{#87c800}{7}}{\color{#87c800}{7}}&=&0,5\cdot 7&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] x&=&3,5\\[5pt] \end{array}$
g)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{x}{12}&=&0,2&& \mid\; \cdot 12\\[5pt] \dfrac{x\cdot \color{#87c800}{12}}{\color{#87c800}{12}}&=&0,2\cdot 12&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] x&=&2,4\\[5pt] \end{array}$
h)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{x}{3}&=&3,1&& \mid\; \cdot 3\\[5pt] \dfrac{x\cdot \color{#87c800}{3}}{\color{#87c800}{3}}&=&3,1\cdot 3&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] x&=&9,3\\[5pt] \end{array}$
i)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{3}{4}\cdot x&=&12&& \mid\; \cdot 4\\[5pt] \dfrac{3\cdot \color{#87c800}{4}}{\color{#87c800}{4}}x&=&12\cdot 4&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 3x&=&48&& \mid\;:3\\[5pt] x&=&16\\[5pt] \end{array}$
j)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{4}{7}\cdot x&=&28&& \mid\; \cdot 7\\[5pt] \dfrac{4\cdot \color{#87c800}{7}}{\color{#87c800}{7}}x&=&28\cdot 7&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 4x&=&196&& \mid\;:4\\[5pt] x&=&49\\[5pt] \end{array}$
k)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{8}{3}\cdot x&=&8&& \mid\; \cdot 3\\[5pt] \dfrac{8\cdot \color{#87c800}{3}}{\color{#87c800}{3}}x&=&8\cdot 3&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 8x&=&24&& \mid\;:8\\[5pt] x&=&3\\[5pt] \end{array}$
l)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{3}{5}\cdot x&=&45&& \mid\; \cdot 5\\[5pt] \dfrac{3\cdot \color{#87c800}{5}}{\color{#87c800}{5}}x&=&45\cdot 5&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 3x&=&225&& \mid\;:3\\[5pt] x&=&75\\[5pt] \end{array}$
2.
Beschreiben
Den Hauptnenner findest du mit dem kgV (kleinsten gemeinsamen Vielfachen). Die jeweiligen Zahlen werden mit 2, 3, 4 usw. multipliziert und in einer Reihe aufgeschrieben.
$\blacktriangleright$  Beispiel: kgV von 6 und 18
  • Vielfache von 6: 6, 12, 18, 24…
  • Vielfache von 18: 18, 36, 54…
Die kleinste gemeinsame Zahl und somit der Hauptnenner ist 18.
3.
Löse die Gleichungen nach $x$ auf.
a)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{0.5cm}}l} \dfrac{3}{6}\cdot x-11&=&14&& \mid\; \cdot 6\\[5pt] \dfrac{3\cdot \color{#87c800}{6}}{\color{#87c800}{6}}x-11\cdot 6&=&14\cdot 6&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 3x-66&=&84&& \mid\; +66\\[5pt] 3x&=&150&& \mid\;:3\\[5pt] x&=&50\\[5pt] \end{array}$
b)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{0.5cm}}l} \dfrac{4}{5}\cdot x+8&=&40&& \mid\; \cdot 5\\[5pt] \dfrac{4\cdot \color{#87c800}{5}}{\color{#87c800}{5}}x+8\cdot 5&=&40\cdot 5&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 4x+40&=&200&& \mid\; -40\\[5pt] 4x&=&160&& \mid\;:4\\[5pt] x&=&40\\[5pt] \end{array}$
c)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{0.5cm}}l} \dfrac{5}{8}\cdot x+20&=&30&& \mid\; \cdot 8\\[5pt] \dfrac{5\cdot \color{#87c800}{8}}{\color{#87c800}{8}}x+20\cdot 8&=&30\cdot 8&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 5x+160&=&240&& \mid\; -160\\[5pt] 5x&=&80&& \mid\;:5\\[5pt] x&=&16\\[5pt] \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{0.5cm}}l} \dfrac{8}{3}\cdot x-18&=&46&& \mid\; \cdot 3\\[5pt] \dfrac{8\cdot \color{#87c800}{3}}{\color{#87c800}{3}}x-18\cdot 3&=&46\cdot 3&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 8x-54&=&138&& \mid\; +54\\[5pt] 8x&=&192&& \mid\;:8\\[5pt] x&=&24\\[5pt] \end{array}$
e)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{0.5cm}}l} 12+\dfrac{4}{3}\cdot x&=&96&& \mid\; \cdot 3\\[5pt] 12\cdot 3+\dfrac{4\cdot \color{#87c800}{3}}{\color{#87c800}{3}}x&=&96\cdot 3&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 36+4x&=&288&& \mid\; -36\\[5pt] 4x&=&252&& \mid\;:4\\[5pt] x&=&63\\[5pt] \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{0.5cm}}l} \dfrac{6}{8}\cdot x-21&=&54&& \mid\; \cdot 8\\[5pt] \dfrac{6\cdot \color{#87c800}{8}}{\color{#87c800}{8}}x-21\cdot 8&=&54\cdot 8&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 6x-168&=&432&& \mid\; +168\\[5pt] 6x&=&600&& \mid\;:6\\[5pt] x&=&100\\[5pt] \end{array}$
g)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{0.5cm}}l} 17-\dfrac{4}{5}\cdot x&=&65&& \mid\; \cdot 5\\[5pt] 17\cdot 5-\dfrac{4\cdot \color{#87c800}{5}}{\color{#87c800}{5}}x&=&65\cdot 5&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 85-4x&=&325&& \mid\; -85\\[5pt] -4x&=&240&& \mid\;:(-4)\\[5pt] x&=&-60\\[5pt] \end{array}$
$17-\dfrac{4}{5}\cdot x = 65$
h)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{0.5cm}}l} \dfrac{9}{3}\cdot x-18&=&72&& \mid\; \cdot 3\\[5pt] \dfrac{9\cdot \color{#87c800}{3}}{\color{#87c800}{3}}x-18\cdot 3&=&72\cdot 3&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 9x-54&=&216&& \mid\; +54\\[5pt] 9x&=&270&& \mid\;:9\\[5pt] x&=&30\\[5pt] \end{array}$
$ \dfrac{9}{3}\cdot x-18 = 72 $
i)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{0.5cm}}l} 31-\dfrac{9}{11}\cdot x&=&175&& \mid\; \cdot 11\\[5pt] 31\cdot 11-\dfrac{9\cdot \color{#87c800}{11}}{\color{#87c800}{11}}x&=&175\cdot 11&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 341-9x&=&1925&& \mid\; -341\\[5pt] -9x&=&1584&& \mid\;:(-9)\\[5pt] x&=&-176\\[5pt] \end{array}$
$ 31-\dfrac{9}{11}\cdot x = 175 $
4.
Löse die Gleichungen nach $x$ auf.
a)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 2-\dfrac{3}{4}x&=&1+\dfrac{2}{8}x&& \mid\; \cdot 8\;\small{\text{(Hauptnenner)}}\\[5pt] 2\cdot 8-\dfrac{3\cdot \color{#87c800}{8}}{\color{#87c800}{4}}x&=&1\cdot 8 + \dfrac{2\cdot \color{#87c800}{8}}{\color{#87c800}{8}}x&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 16-6x&=&8+2x&& \mid\; -2x\\[5pt] 16-8x&=&8&& \mid\; -16\\[5pt] -8x&=&-8&& \mid\;:(-8)\\[5pt] x&=&1 \end{array}$
$ 2-\dfrac{3}{4}x = 1+\dfrac{2}{8}x $
b)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{2}{3}x-5&=&\dfrac{3}{6}x+3&& \mid\; \cdot 6\;\small{\text{(Hauptnenner)}}\\[5pt] \dfrac{2\cdot \color{#87c800}{6}}{\color{#87c800}{3}}x-5\cdot 6&=&\dfrac{3\cdot \color{#87c800}{6}}{\color{#87c800}{6}}x+3\cdot 6&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 4x-30&=&3x+18&& \mid\; -3x\\[5pt] x-30&=&18&& \mid\; +30\\[5pt] x&=&48\\[5pt] \end{array}$
$ \dfrac{2}{3}x-5 = \dfrac{3}{6}x+3 $
c)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{4}{5}x+\dfrac{1}{4}&=&9-\dfrac{9}{20}x&& \mid\; \cdot 20\;\small{\text{(Hauptnenner)}}\\[5pt] \dfrac{4\cdot \color{#87c800}{20}}{\color{#87c800}{5}}x+\dfrac{1\cdot \color{#87c800}{20}}{\color{#87c800}{4}}&=&9\cdot 20-\dfrac{9 \cdot \color{#87c800}{20}}{\color{#87c800}{20}}x&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 16x+5&=&180-9x&& \mid\; +9x\\[5pt] 25x+5&=&180&& \mid\; -5\\[5pt] 25x&=&175&& \mid\;:25\\[5pt] x&=&7\\[5pt] \end{array}$
$ \dfrac{4}{5}x+\dfrac{1}{4} = 9-\dfrac{9}{20}x $
d)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{10}&=&\dfrac{7}{8}x-\dfrac{6}{12}&& \mid\; \cdot 240\;\small{\text{(Hauptnenner)}}\\[5pt] \dfrac{3\cdot \color{#87c800}{240}}{\color{#87c800}{4}}x+\dfrac{5\cdot \color{#87c800}{240}}{\color{#87c800}{10}}&=&\dfrac{7\cdot \color{#87c800}{240}}{\color{#87c800}{8}}x-\dfrac{6\cdot \color{#87c800}{240}}{\color{#87c800}{12}}&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 180x+120&=&210x-120&& \mid\; -210x\\[5pt] -30x+120&=&-120&& \mid\; -120\\[5pt] -30x&=&-240&& \mid\;:(-30)\\[5pt] x&=&8\\[5pt] \end{array}$
$ \dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{10} = \dfrac{7}{8}x-\dfrac{6}{12} $
e)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{2}{5}x-\dfrac{3}{8}&=&\dfrac{4}{12}x+4&& \mid\; \cdot 240\;\small{\text{(Hauptnenner)}}\\[5pt] \dfrac{2\cdot \color{#87c800}{240}}{\color{#87c800}{5}}x-\dfrac{3\cdot \color{#87c800}{240}}{\color{#87c800}{8}}&=&\dfrac{4\cdot \color{#87c800}{240}}{\color{#87c800}{12}}x+4\cdot 240&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 96x-90&=&80x+960&& \mid\; -80x\\[5pt] 16x-90&=&960&& \mid\; +90\\[5pt] 16x&=&1050&& \mid\;:16\\[5pt] x&=&65,625 \end{array}$
$ \dfrac{2}{5}x-\dfrac{3}{8} = \dfrac{4}{12}x+4 $
f)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{1}{7}x+\dfrac{6}{3}&=&\dfrac{4}{8}+\dfrac{1}{2}x&& \mid\; \cdot 168\;\small{\text{(Hauptnenner)}}\\[5pt] \dfrac{1\cdot \color{#87c800}{168}}{\color{#87c800}{7}}x+\dfrac{6\cdot \color{#87c800}{168}}{\color{#87c800}{3}}&=&\dfrac{4\cdot \color{#87c800}{168}}{\color{#87c800}{8}}+\dfrac{1\cdot \color{#87c800}{168}}{\color{#87c800}{2}}x&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 24x+336&=&84+84x&& \mid\; -84x\\[5pt] -60x+336&=&84&& \mid\; -336\\[5pt] -60x&=&-252&& \mid\;:(-60)\\[5pt] x&=&4,2\\[5pt] \end{array}$
$ \dfrac{1}{7}x+\dfrac{6}{3} = \dfrac{4}{8}+\dfrac{1}{2}x $
g)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 6\dfrac{1}{2}+\dfrac{6}{2}x&=&5x-6\dfrac{3}{4}&& \small{\text{umwandeln in unechten Bruch}}\\[5pt] \dfrac{13}{2}+\dfrac{6}{2}x&=&5x-\dfrac{27}{4}&& \mid\; \cdot 4\;\small{\text{(Hauptnenner)}}\\[5pt] \dfrac{13\cdot \color{#87c800}{4}}{\color{#87c800}{2}}+\dfrac{6\cdot \color{#87c800}{4}}{\color{#87c800}{2}}x&=&5x\cdot 4-\dfrac{27\cdot \color{#87c800}{4}}{\color{#87c800}{4}}&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 26+12x&=&20x-27&& \mid\; -20x\\[5pt] 26-8x&=&-27&& \mid\; -26\\[5pt] -8x&=&-53&& \mid\;:(-8)\\[5pt] x&=&6,625 \end{array}$
$ 6\dfrac{1}{2}+\dfrac{6}{2}x = 5x-6\dfrac{3}{4} $
h)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{123}{6}-1\dfrac{1}{2}x&=&2\dfrac{1}{2}x-19\dfrac{1}{2}&& \small{\text{umwandeln in unechten Bruch}}\\[5pt] \dfrac{123}{6}-\dfrac{3}{2}x&=&\dfrac{5}{2}x-\dfrac{39}{2}&& \mid\; \cdot 6\;\small{\text{(Hauptnenner)}}\\[5pt] \dfrac{123\cdot \color{#87c800}{6}}{\color{#87c800}{6}}-\dfrac{3\cdot \color{#87c800}{6}}{\color{#87c800}{2}}x&=&\dfrac{5\cdot \color{#87c800}{6}}{\color{#87c800}{2}}x-\dfrac{39\cdot \color{#87c800}{6}}{\color{#87c800}{2}}&& \small{\text{kürzen}}\\[5pt] 123-9x&=&15x-117&& \mid\; -15x\\[5pt] 123-24x&=&-117&& \mid\; -123\\[5pt] -24x&=&-240&& \mid\;:(-24)\\[5pt] x&=&10 \end{array}$
$ \dfrac{123}{6}-1\dfrac{1}{2}x = 2\dfrac{1}{2}x-19 $
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