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Mitternachtsformel

Spickzettel
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Mit der a-b-c-Formel oder auch Mitternachtsformel genannt kannst du Lösungen von quadratischen Gleichungen in allgemeiner Form und Normalform berechnen:
Die Lösungen der Gleichung $ax^2+bx+c=0 $ sind: $\quad x_{1,2} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}}$
Die Lösungen der Gleichung $ax^2+bx+c=0 $ sind: $\quad x_{1,2} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}}$

Beispiel

Löse die Gleichung $3x^2+6x-45 =0$ $\quad \Rightarrow a=3$, $b= 6$, $c= -45$.
$x_{1,2} = \dfrac{{ - 6 \pm \sqrt {6^2 - 4\cdot3 \cdot (-45)} }}{{2\cdot3}}$$\quad = \dfrac{ - 6 \pm \sqrt {576}}{6}$ $\quad = \dfrac{{ - 6 \pm 24}}{6}$
$\Rightarrow \quad x_1=\dfrac{18}{6}=3$ $\qquad$ $x_2=\dfrac{-30}{6}=-5$
$\mathbb{L}\{-5;3\}$
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Aufgaben
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1.
Gleichungen lösen
Löse die Gleichungen mithilfe der a-b-c-Formel.
b)
$\frac{1}{2}x^2-3x+4=0$
d)
$2x^2-2x-12=0$
f)
$6x^2+30x-84=0$
2.
Gleichungen lösen
Nutze die a-b-c-Formel zum Lösen der Gleichungen.
b)
$\dfrac{1}{2}x^2-x-5$$=15+2x$
d)
$3x^2+5x$$=-9x^2+11x+6$
f)
$\dfrac{1}{4}(-8x^2+2x+\dfrac{61}{4}) $$=-3x^2+4$
3.
Rechenweg begründen
Ist es sinnvoll, die Lösungen der folgenden Gleichungen mit der a-b-c-Formel zu berechnen? Begründe, warum nicht oder berechne mit der a-b-c-Formel.
b)
$x^2-3x=0$
d)
$\dfrac{1}{5}x^2-\dfrac{2}{5}x-7=0$
f)
$x^2+3x-24=8x$
4.
Gleichung aufstellen
Von einem quadratischen Gartengrundstück werden 2 Meter (auf gesamter Breite) an den Nachbar verkauft. Das Grundstück ist nun noch 15 m$^2$ groß.
Stelle die passende quadratische Gleichung auf und löse sie. Wie lang und breit war das Grundstück vor dem Verkauf? Begründe deine Antwort.
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Lösungen
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1.
Gleichungen lösen
a)
$x^2+6x-7=0$
$\Rightarrow\quad a=1$$\qquad$ $b=6$ $\qquad$ $c=-7$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=&\dfrac{{ - 6 \pm \sqrt {6^2 - 4\cdot 1 \cdot (-7)} }}{2\cdot 1} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ - 6 \pm \sqrt {36 + 28} }}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{{ - 6 \pm \sqrt {64} }}{2}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ - 6 \pm 8 }}{2} &\quad \scriptsize \\[10pt] x_1&=& \dfrac{-6+8}{2}= 1&\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=& \dfrac{-6-8}{2}= -7&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 1&\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=& -7&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\Rightarrow \quad \mathbb{L}=\{-7;1\}$
b)
$\frac{1}{2}x^2-3x+4=0$
$\Rightarrow \quad a=\frac{1}{2}$ $\qquad$ $b=-3$ $\qquad$ $c=4$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=&\dfrac{{ -(-3) \pm \sqrt {(-3)^2 - 4\cdot \frac{1}{2}\cdot 4} }}{{2\cdot \frac{1}{2}}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{{ 3 \pm \sqrt {9 - 8} }}{1}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{{ 3 \pm 1}}{1}&\quad \scriptsize \\[10pt] x_1&=& 3+1=4&\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=& 3-1 = 2 \end{array}$
$\frac{1}{2}x^2-3x+4=0$
$\Rightarrow \quad a=\frac{1}{2}$ $\qquad$ $b=-3$ $\qquad$ $c=4$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 3+1=4&\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=& 3-1 = 2 \end{array}$
$\Rightarrow\quad \mathbb{L}=\{2;4\}$
c)
$5x^2+35x+30=0$
$\Rightarrow \quad a=5$$\qquad$ $b=35$ $\qquad$ $c=30$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=&\dfrac{{ - 35 \pm \sqrt {35^2 - 4\cdot 5 \cdot 30} }}{{2\cdot 5}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{{ - 35 \pm \sqrt {1.225 - 600} }}{{10}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ - 35 \pm \sqrt {625} }}{{10}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ - 35 \pm 25 }}{{10}} &\quad \scriptsize \\[10pt] x_1&=&\dfrac{{ - 35 +25 }}{{10}}= \dfrac{{ -10 }}{{10}}=-1 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=&\dfrac{{ - 35 -25 }}{{10}}= \dfrac{{ -60 }}{{10}}= -6&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&-1 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=& -6&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\Rightarrow \quad \mathbb{L}=\{-6;-1\}$
d)
$2x^2-2x-12=0$
$\Rightarrow \quad a=2$ $\qquad$ $b=-2$ $\qquad$ $c=-12$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{{ -(-2) \pm \sqrt {(-2)^2 - 4\cdot 2\cdot (-12)} }}{{2\cdot2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{{ 2 \pm \sqrt {4 + 96} }}{{4}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ 2 \pm \sqrt {100} }}{{4}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{{ 2 \pm 10 }}{{4}}&\quad \scriptsize \\[10pt] x_1&=& \dfrac{{ 2 + 10 }}{{4}}=3&\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=&\dfrac{{ 2 - 10 }}{{4}}=-2 \end{array}$
$\Rightarrow \quad a=2$ $\qquad$ $b=-2$ $\qquad$ $c=-12$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& \dfrac{{ 2 + 10 }}{{4}}=3&\\[5pt] x_2&=&\dfrac{{ 2 - 10 }}{{4}}=-2 \end{array}$
$\Rightarrow \quad \mathbb{L}=\{-2;3\}$
e)
$x^2-14x+45=0$
$\Rightarrow \quad a=1$$\qquad$ $b=-14$ $\qquad$ $c=45$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=&\dfrac{{ -(-14) \pm \sqrt {(-14)^2 - 4\cdot 1\cdot 45} }}{{2\cdot 1}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ 14 \pm \sqrt {196 - 180} }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{{ 14 \pm \sqrt {16} }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ 14 \pm 4 }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[10pt] x_1&=&\dfrac{{ 14 + 4 }}{{2}}= 9 &\quad \scriptsize\\[5pt] x_2&=&\dfrac{{ 14 - 4 }}{{2}}= 5 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\Rightarrow \quad a=1$$\qquad$ $b=-14$ $\qquad$ $c=45$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 9 &\quad \scriptsize\\[5pt] x_2&=& 5 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\Rightarrow \quad \mathbb{L}=\{5;9\}$
f)
$6x^2+30x-84=0$
$\Rightarrow \quad a=6$$\qquad$ $b=30$ $\qquad$ $c=-84$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2} &=&\dfrac{{ - 30 \pm \sqrt {30^2 - 4\cdot 6\cdot (-84)} }}{{2\cdot 6}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{{ - 30 \pm \sqrt {900 +2.016} }}{{12}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ - 30 \pm \sqrt {2916} }}{{12}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ - 30 \pm 54 }}{{12}}&\quad \scriptsize \\[10pt] x_1&=& \dfrac{{ - 30 + 54 }}{{12}}=2&\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=& \dfrac{{ - 30 - 54 }}{{12}}=-7&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\Rightarrow \quad a=6$$\qquad$ $b=30$ $\qquad$ $c=-84$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&=2& \\[5pt] x_2&=& -7&\\[5pt] \end{array}$
$\Rightarrow\quad \mathbb{L}=\{-7;2\}$
2.
Gleichungen lösen
Um die a-b-c-Formel anwenden zu können, muss auf einer Seite des Gleichheitszeichens 0 stehen. Forme also die Gleichung soweit um. Zur leichteren Rechnung, kannst du anschließend die gesamte Gleichung mit einer Zahl multiplizieren, um die Brüche in ganze Zahlen umzuwandeln oder auch durch eine Zahl teilen, um kleinere Zahlen zu erhalten.
a)
$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{7}x^2+x&=&-\frac{10}{7} & \mid\; +\frac{10}{7} \\[5pt] \frac{1}{7}x^2+x+\frac{10}{7}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 7 \\[5pt] x^2+7x+10&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\Rightarrow\quad a=1$ $\qquad$ $b=7$ $\qquad$ $c=10$
$\Rightarrow\quad \begin{array}[t]{rll} x_{1,2} &=&\dfrac{{ - 7 \pm \sqrt {7^2 - 4\cdot 1 \cdot 10} }}{{2\cdot 1}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ - 7 \pm \sqrt {49 - 40} }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{{ - 7 \pm \sqrt {9} }}{{2}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ - 7 \pm 3 }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[10pt] x_1&=&\dfrac{{ - 7 + 3 }}{{2}}= -2 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=& \dfrac{{ - 7 - 3 }}{{2}}=-5&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\Rightarrow\quad \begin{array}[t]{rll} x_1&=&-2 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=& -5&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\Rightarrow\quad \mathbb{L}=\{-5;-2\}$
b)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} \frac{1}{2}x^2-x-5&=&15+2x& \mid\; -15 \mid\; -2x\\ \frac{1}{2}x^2-3x-20&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} \frac{1}{2}x^2-3x-20&=&0 \end{array}$
$\Rightarrow\quad a=\frac{1}{2}$$\qquad$ $b=-3$ $\qquad$ $c=-20$
$\Rightarrow\quad \begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=&\dfrac{{ -(-3) \pm \sqrt {(-3)^2 - 4\cdot \frac{1}{2} \cdot (-20)} }}{{2\cdot \frac{1}{2}}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ 3 \pm \sqrt {9 + 40} }}{{1}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ 3 \pm \sqrt {49} }}{{1}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{{ 3 \pm 7 }}{{1}}&\quad \scriptsize \\[10pt] x_1&=&\dfrac{{ 3 + 7 }}{{1}}=10 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=&\dfrac{{ 3 - 7 }}{{1}}=-4 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\Rightarrow\quad \begin{array}[t]{rll} x_1&=&10 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=&-4 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\Rightarrow \quad\mathbb{L}=\{-4;10\}$
c)
$(x+2)^2=-x-2$
Die linke Seite der Gleichung musst du zunächst in eine Form bringen, aus welcher du $a$, $b$ und $c$ ablesen kannst. Verwende dazu die 2. Binomische Formel:
$ \begin{array}[t]{r@{ = }l@l} (x+2)^2&=&-x-2& \quad \text{2. Binomische Formel}\\ x^2+4x+4&=&-x-2& \quad \mid\;+x \quad \mid\; +2\\ x^2+5x+6&=&0 \end{array}$
$ \begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x^2+5x+6&=&0 \end{array}$
$\Rightarrow\quad a=1$$\qquad$ $b=5$ $\qquad$ $c=6$
$\Rightarrow\quad\begin{array}[t]{rll} x_{1,2} &=&\dfrac{{ - 5 \pm \sqrt {5^2 - 4\cdot 1\cdot 6} }}{{2\cdot 1}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ - 5 \pm \sqrt {25 - 24} }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ - 5 \pm \sqrt {1} }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ - 5 \pm 1 }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[10pt] x_1&=&\dfrac{{ - 5 + 1 }}{{2}}= -2 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=&\dfrac{{ - 5 - 1 }}{{2}}= -3 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\Rightarrow\quad\begin{array}[t]{rll} x_1&=& -2 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=& -3 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\Rightarrow\quad\mathbb{L}=\{-3;-2\}$
d)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} 3x^2+5x&=&-9x^2+11x+6& \quad \mid\; +9x^2 \mid\; -11x \mid\; -6\\ 12x^2-6x -6&=&0&\quad \mid\; :6\\ 2x^2-x-1&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} 2x^2-x-1&=&0 \end{array}$
$\Rightarrow\quad a=2$$\qquad$ $b=-1$ $\qquad$ $c=-1$
$\Rightarrow\quad \begin{array}[t]{rll} x_{1,2} &=&\dfrac{{ - (-1) \pm \sqrt {(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)} }}{{2 \cdot 2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ 1 \pm \sqrt {1 + 8} }}{{4}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ 1 \pm \sqrt {9} }}{{4}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ 1 \pm 3 }}{{4}} &\quad \scriptsize \\[10pt] x_1&=& \dfrac{{ 1 + 3 }}{{4}}= 1&\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=&\dfrac{{ 1 - 3 }}{{4}}= -\frac{1}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\Rightarrow\quad \begin{array}[t]{rll} x_1&=& 1&\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=& -\frac{1}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\Rightarrow\quad \mathbb{L}=\{-\frac{1}{2};1\}$
e)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} 7x^2+5x+10&=&-8x^2+50x-20& \quad\mid\; +8x^2 \mid\; -50x \mid\; +20\\ 15x^2-45x+30&=&0& \quad\mid\; :15\\ x^2-3x+2&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x^2-3x+2&=&0 \end{array}$
$\Rightarrow\quad a=1$$\qquad$ $b=-3$ $\qquad$ $c=2$
$\Rightarrow\quad\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=&\dfrac{{ - (-3) \pm \sqrt {(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2} }}{{2 \cdot 1}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{3 \pm \sqrt {9 - 8} }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ 3 \pm \sqrt {1} }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ 3 \pm 1 }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[10pt] x_1 &=& \dfrac{{ 3 +1 }}{{2}}= 2&\quad \scriptsize \\[5pt] x_2 &=& \dfrac{{ 3 - 1 }}{{2}}= 1&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\Rightarrow\quad\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& 2&\quad \scriptsize \\[5pt] x_2 &=& 1&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\Rightarrow\quad \mathbb{L}=\{1;2\}$
f)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} \frac{1}{4}(-8x^2+2x+\frac{61}{4})&=&-3x^2+4&\quad \text{Klammer auflösen}\\ -2x^2+\frac{1}{2}x+\frac{61}{16}&=&-3x^2+4& \quad\mid\; +3x^2 \mid\; -4\\ x^2+\frac{1}{2}x-\frac{3}{16}&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x^2+\frac{1}{2}x-\frac{3}{16}&=&0 \end{array}$
$\Rightarrow\quad a=1$$\qquad$ $b=\frac{1}{2}$ $\qquad$ $c=-\frac{3}{16}$
$\Rightarrow\quad \begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=&\dfrac{{ - \frac{1}{2} \pm \sqrt {\frac{1}{2}^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-\frac{3}{16})} }}{{2 \cdot 1}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ - \frac{1}{2} \pm \sqrt {\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{{ - \frac{1}{2} \pm \sqrt {1} }}{{2}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{{ - \frac{1}{2} \pm 1 }}{{2}}&\quad \scriptsize \\[10pt] x_1&=& \dfrac{{ - \frac{1}{2} + 1 }}{{2}}= \frac{1}{4}&\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=&\dfrac{{ - \frac{1}{2} - 1 }}{{2}}= -\frac{3}{4} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\Rightarrow\quad \begin{array}[t]{rll} x_1&=& \frac{1}{4}&\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=& -\frac{3}{4} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\Rightarrow\quad \mathbb{L}=\{-\frac{3}{4};\frac{1}{4}\}$
3.
Lösungsweg begründen
a)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} 2x^2+2x&=&24& \mid\; -24\\ 2x^2+2x-24&=&0 \end{array}$
Diese quadratische Gleichung hat die Form $ax^2+bx+c=0$. Deshalb ist es sinnvoll, sie mit der a-b-c-Formel zu lösen.
$\Rightarrow \quad a=2$ $\qquad$ $b=2$ $\qquad$ $c=-24$
$\Rightarrow\quad\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{{ - 2 \pm \sqrt {2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-24)} }}{{2 \cdot 2}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ - 2 \pm \sqrt {4 + 192} }}{{4}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{{ - 2 \pm \sqrt {196} }}{{4}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{{ - 2 \pm 14 }}{{4}} &\quad \scriptsize \\[10pt] x_1&=& \dfrac{{ - 2 + 14 }}{{4}}=3&\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=& \dfrac{{ - 2 - 14 }}{{4}}=-4&\quad \scriptsize \end{array}$
$\Rightarrow\quad\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 3&\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=& -4&\quad \scriptsize \end{array}$
$\Rightarrow\quad \mathbb{L}=\{-4; 3\}$
b)
$x^2-3x=0$
Diese quadratische Gleichung hat die Form $x^2+px=0$. Da hier $q=0$ bzw. $c=0$, kann man sie einfacher durch Ausklammern von $x$ lösen:
$\begin{array}[t]{rll} x^2-3x&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] x(x-3)&=&0 &\quad \scriptsize \\[10pt] \end{array}$
Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt dann Null ist, wenn einer der Faktoren Null ist. Daher folgt nun $x_1=0$. Der zweite Faktor wird Null, wenn folgendes gilt:
$\begin{array}[t]{rll} x_2-3&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +3 \\[5pt] x_2&=&3 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\Rightarrow \quad \mathbb{L}=\{0;3\}$
c)
$5x^2=15$
Diese quadratische Gleichung hat die Form $ax^2=c$. Du kannst sie einfacher durch Termumformung lösen:
$\begin{array}[t]{rll} 5x^2&=& 15&\quad \scriptsize \mid\; :5\\[5pt] x^2&=& 3&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[10pt] x_1&=&-\sqrt{3} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=& \sqrt{3}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\Rightarrow\quad \mathbb{L}=\{-\sqrt{3};\sqrt{3}\}$
d)
$\frac{1}{5}x^2-\frac{2}{5}x-7=0$
Diese Gleichung hat die Form $ax^2+bx+c=0$. Deshalb ist es sinnvoll, sie mit Hilfe der a-b-c-Formel zu lösen:
$\Rightarrow\quad a =\frac{1}{5}$$\qquad$ $b=-\frac{2}{5}$ $\qquad$ $c=-7$
$\Rightarrow\quad \begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{ - (-\frac{2}{5}) \pm \sqrt {(-\frac{2}{5})^2 - 4 \cdot \frac{1}{5} \cdot (-7)}}{2 \cdot \frac{1}{5}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{ \frac{2}{5} \pm \sqrt {\frac{4}{25} + \frac{28}{5}}}{\frac{2}{5}}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{ \frac{2}{5} \pm \sqrt {\frac{144}{25}}}{\frac{2}{5}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{ \frac{2}{5} \pm \frac{12}{5} }{\frac{2}{5}} &\quad \scriptsize \\[10pt] x_1&=&\dfrac{ \frac{2}{5} + \frac{12}{5} }{\frac{2}{5}}= 7 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=& \dfrac{ \frac{2}{5} - \frac{12}{5} }{\frac{2}{5}}=-5&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\Rightarrow\quad \begin{array}[t]{rll} x_1&=& 7 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=& -5&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\Rightarrow \quad\mathbb{L}=\{-5;7\}$
e)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} 5x-13&=&3x&\\ \end{array}$
Diese Gleichung ist keine quadratische Gleichung. Du kannst sie durch Termumformung lösen und erhältst:
$\begin{array}[t]{rll} 5x-13&=&3x&\quad \mid\; -3x\\[5pt] 2x-13&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;+13 \\[5pt] 2x&=& 13&\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] x&=&\frac{13}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\Rightarrow\quad \mathbb{L} = \{ \frac{13}{2}\}$
f)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x^2+3x-24&=&8x& \mid\; -8x\\ x^2-5x-24&=&0 \end{array}$
Diese quadratische Gleichung hat die Form $ax^2+bx+c=0$. Es ist sinnvoll, sie mit der a-b-c-Formel zu lösen. Alternativ kannst du hier auch die p-q-formel verwenden.
$\Rightarrow\quad a=1$$\qquad$ $b=-5$ $\qquad$ $c=-24$
$\Rightarrow\quad\begin{array}[t]{rll} x_{1,2} &=&\dfrac{ - (-5) \pm \sqrt {(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24)}}{2 \cdot 1} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{ 5 \pm \sqrt {25 + 96}}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{ 5 \pm \sqrt {121}}{2}\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{ 5 \pm 11 }{2}&\quad \scriptsize \\[10pt] x_1&=& \dfrac{ 5 + 11 }{2}= 8&\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=& \dfrac{ 5 - 11 }{2}= -3&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\Rightarrow\quad\begin{array}[t]{rll} x_1&=&8&\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=& -3&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\Rightarrow\quad \mathbb{L}=\{-3;8\}$
4.
Gleichung aufstellen
1. Schritt: Gleichung aufstellen
Das ursprüngliche Grundstück war quadratisch. Sei $x$ die Seitenlänge des Grundstücks:
Grundstücksfläche vor Verkauf: $x^2$
verkaufte Fläche: $2\cdot x$
Grundstück nach dem Verkauf: $x^2-2x$
Das Grundstück hat nach dem Verkauf noch eine Fläche von $15 \;\text{m}^2$. Du kannst den Sachverhalt also durch folgende Gleichung darstellen.
$x^2-2x=15$
2. Schritt: Gleichung lösen
$a=1$ $\qquad$ $b=-2$ $\qquad$ $c=-15$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&= &\dfrac{ - (-2) \pm \sqrt {(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15)}}{2 \cdot 1} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{ 2 \pm \sqrt {4 + 60}}{2}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{ 2 \pm \sqrt {64}}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{ 2 \pm 8 }{2} &\quad \scriptsize \\[10pt] x_1&=&\dfrac{ 2 + 8 }{2}= 5 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=&\dfrac{ 2 - 8 }{2}= -3 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&\dfrac{ 2 + 8 }{2}= 5 & \\[5pt] x_2&=&\dfrac{ 2 - 8 }{2}= -3 & \\[5pt] \end{array}$
$\Rightarrow\quad \mathbb{L}=\{-3;5\}$
3. Schritt: Sinnvolle Lösung bestimmen
Das Grundstück war vor dem Verkauf je 5 m lang und breit. Die Lösung $x=-3$ ist nicht sinnvoll, da eine negative Seitenlänge in der Realität keinen Sinn ergibt.
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