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P-q-Formel

Spickzettel
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Mit der PQ-Formel kannst du die Lösungen von quadratischen Gleichungen in Normalform berechnen. Ist die quadratische Gleichung in allgemeiner Form, musst du sie zuerst in die Normalform umwandeln.
Normalform
$x^2+px+q=0$
$\boldsymbol{PQ}$-Formel
$x_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}$

Beispiel 1

Löse die Gleichung $2x^2-20x+48=0$.
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 2x^2-20x+48&=&0& \scriptsize \mid\;\; :2\; \text{(auf Normalform bringen)}\\ x^2-10x+24&=&0 \end{array}$
$p=-10$ $\qquad$ $q=24$ $\qquad$ in PQ-Formel einsetzen
$x_{1,2} = - \dfrac{-10}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{-10}{2}} \right)^2 - 24}$$\qquad$ $x_{1,2} = 5 \pm \sqrt {25 - 24}$ $\qquad$ $x_{1,2} = 5 \pm 1$
$x_1=4$ $\qquad$ $x_2=6$ $\qquad$ $\mathbb{L}=\{4;6\}$

Diskriminante

Löst du eine quadratische Gleichung mit der PQ-Formel, kannst du die Anzahl der Lösungen einfach ablesen.
$x_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}$
Der Ausdruck unter der Wurzel wird Diskriminante genannt:
$D=\left( \dfrac{p}{2} \right)^2-q$
Die Anzahl der Lösungen ist abhängig von der Diskriminante.
$\boldsymbol{D>0}$: Zwei Lösungen, $\mathbb{L}=\left\{x_1;x_2\right\}$
$\boldsymbol{D=0}$: Eine doppelte Lösungen, $\mathbb{L}=\left\{-\frac{p}{2}\right\}$
$\boldsymbol{D< 0}$: Keine reelle Lösung, $\mathbb{L}=\left\{\right\}$

Beispiel 2

$D>0:$
$x^2-2x-3=0$
In PQ-Formel einsetzen.
$\begin{array}[t]{ll@{\hspace{1cm}}l} x_{1,2} &=& - \frac{-2}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{-2}{2}} \right)^2 + 3}\\ x_{1,2} &=& 1 \pm \sqrt {4} \end{array}$
$\rightarrow$ zwei Lösungen
$\mathbb{L}=\left\{3;-1\right\}$
$D=0:$
$x^2-2x+1=0$
In PQ-Formel einsetzen.
$\begin{array}[t]{ll@{\hspace{1cm}}l} x_{1,2} &=& - \frac{-2}{2} \pm \sqrt {\left({\frac{-2}{2}} \right)^2 -1}\\ x_{1,2} &=& 1 \pm \sqrt {0} \end{array}$
$\rightarrow$ doppelte Lösung
$\mathbb{L}=\left\{1\right\}$
$D < 0:$
$x^2-2x+4=0$
In PQ-Formel einsetzen.
$\begin{array}[t]{ll} x_{1,2} = - \frac{-2}{2} \pm \sqrt {\left({\frac{-2}{2}} \right)^2 -4} \\ x_{1,2} = 1 \pm \sqrt {-3} \end{array}$
$\rightarrow$ keine Lösung
$\mathbb{L}=\{\}$
Mit der PQ-Formel kannst du die Lösungen von quadratischen Gleichungen in Normalform berechnen. Ist die quadratische Gleichung in allgemeiner Form, musst du sie zuerst in die Normalform umwandeln.
Normalform
$x^2+px+q=0$
$\boldsymbol{PQ}$-Formel
$x_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}$

Beispiel 1

Löse die Gleichung $2x^2-20x+48=0$.
$\mathbb{L}=\{4;6\}$

Diskriminante

Löst du eine quadratische Gleichung mit der PQ-Formel, kannst du die Anzahl der Lösungen einfach ablesen.
$x_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}$
Der Ausdruck unter der Wurzel wird Diskriminante genannt:
$D=\left( \dfrac{p}{2} \right)^2-q$
Die Anzahl der Lösungen ist abhängig von der Diskriminante.
$\boldsymbol{D>0}$: Zwei Lösungen, $\mathbb{L}=\left\{x_1;x_2\right\}$
$\boldsymbol{D=0}$: Eine doppelte Lösungen, $\mathbb{L}=\left\{-\frac{p}{2}\right\}$
$\boldsymbol{D< 0}$: Keine reelle Lösung, $\mathbb{L}=\left\{\right\}$

Beispiel 2

$\boldsymbol{D>0:}$ $x^2-2x-3=0$
In PQ-Formel einsetzen:
$\begin{array}[t]{ll@{\hspace{1cm}}l} x_{1,2} = - \frac{-2}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{-2}{2}} \right)^2 + 3}\\ x_{1,2} = 1 \pm \sqrt {4} \end{array}$
$\rightarrow$ Zwei Lösungen
$\mathbb{L}=\left\{3;-1\right\}$
$\boldsymbol{D=0:}$ $x^2-2x+1=0$
In PQ-Formel einsetzen:
$\begin{array}[t]{ll@{\hspace{1cm}}l} x_{1,2} = - \frac{-2}{2} \pm \sqrt {\left({\frac{-2}{2}} \right)^2 -1}\\ x_{1,2} = 1 \pm \sqrt {0} \end{array}$
$\rightarrow$ Doppelte Lösung
$\mathbb{L}=\left\{1\right\}$
$\boldsymbol{D < 0:}$ $x^2-2x+4=0$
In PQ-Formel einsetzen:
$\begin{array}[t]{ll} x_{1,2} = - \frac{-2}{2} \pm \sqrt {\left({\frac{-2}{2}} \right)^2 -4}& \\ x_{1,2} = 1 \pm \sqrt {-3} \end{array}$
$\rightarrow$ Keine Lösung
$\mathbb{L}=\{\}$
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Aufgaben
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1.
Löse die Gleichungen mithilfe der PQ-Formel.
b)
$\dfrac{1}{2}x^2-3x+4=0$
d)
$2x^2-2x-12=0$
f)
$6x^2+30x-84=0$
2.
Nutze die PQ-Formel zum Lösen der Gleichungen.
b)
$\dfrac{1}{2}x^2-x-5$$=15+2x$
d)
$3x^2+5x$$=-9x^2+11x+6$
f)
$\dfrac{1}{4}(-8x^2+2x+\dfrac{61}{4})$$=-3x^2+4$
3.
Ist es sinnvoll, die Lösungen der folgenden Gleichungen mit der PQ-Formel zu berechnen? Begründe, warum nicht oder berechne mit der PQ-Formel.
b)
$x^2-3x=0$
d)
$\dfrac{1}{5}x^2-\dfrac{2}{5}x-7=0$
f)
$x^2+3x-24=8x$
4.
Von einem quadratischen Gartengrundstück werden 2 Meter (auf gesamter Breite) an den Nachbar verkauft. Das Grundstück ist nun noch 15 m$^2$ groß.
Stelle die passende quadratische Gleichung auf und löse sie.
Wie lang und breit war das Grundstück vor dem Verkauf? Begründe deine Antwort.
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Lösungen
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1.
Lösungen berechnen
a)
$x^2+6x-7=0$
$p=6$ $\hspace{1cm} q=-7$
$x_{1,2} $$= - \dfrac{6}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{6}{2}} \right)^2 - (-7)} $$=- 3 \pm \sqrt {9 + 7} $$= -3 \pm \sqrt{16}$
$x_{1}= -3 + 4 = 1$
$x_2= -3 - 4 = -7$
$\mathbb{L}=\{-7;1\}$
b)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} \dfrac{1}{2}x^2-3x+4&=&0& \scriptsize{\mid \cdot 2}\\[5pt] x^2-6x+8&=&0 \end{array}$
$p=-6$ $\hspace{1cm}q=8$
$x_{1,2} $$= - \dfrac{-6}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{-6}{2}} \right)^2 - 8} $$= 3 \pm \sqrt {9 - 8} $$= 3 \pm \sqrt{1}$
$x_1= 3+1=4$
$x_2=3-1=2$
$\mathbb{L}=\{2;4\}$
c)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} 5x^2+35x+30&=&0&\scriptsize{\mid :5}\\[5pt] x^2+7x+6&=&0 \end{array}$
$p=7$ $\hspace{1cm} q=6$
$x_{1,2} $$= - \dfrac{7}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{7}{2}} \right)^2 - 6} $$= - \dfrac{7}{2} \pm \sqrt {{\dfrac{49}{4}} - \dfrac{24}{4}} $$= - \dfrac{7}{2} \pm \sqrt {{\dfrac{25}{4}}}$
$x_1=- \dfrac{7}{2}+\dfrac{5}{2}= -1$
$x_2=- \dfrac{7}{2}-\dfrac{5}{2}= -6$
$\mathbb{L}=\{-6;-1\}$
d)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} 2x^2-2x-12&=&0&\scriptsize{\mid :2}\\[5pt] x^2-x-6&=&0 \end{array}$
$p=-1$ $\hspace{1cm} q=-6$
$x_{1,2} $$= - \dfrac{-1}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{-1}{2}} \right)^2 - (-6)} $$= \dfrac{1}{2} \pm \sqrt {\dfrac{1}{4} + \dfrac{24}{4}} $$= \dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25}{4}}$
$x_1=\dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2}= 3$
$x_2=\dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{2}= -2$
$\mathbb{L}=\{-2;3\}$
e)
$x^2-14x+45=0$
$p=-14$ $\hspace{1cm}q=45$
$x_{1,2} $$= - \dfrac{-14}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{-14}{2}} \right)^2 - 45} $$= 7 \pm \sqrt {49 - 45} $$= 7 \pm \sqrt {4}$
$x_1=7+2=9$
$x_2=7-2=5$
$\mathbb{L}=\{5;9\}$
f)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} 6x^2+30x-84&=&0&\scriptsize{\mid :6}\\[5pt] x^2+5x-14&=&0 \end{array}$
$p=5$ $\hspace{1cm}q=-14$
$x_{1,2} $$= - \dfrac{5}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^2 - (-14)} $$= - \dfrac{5}{2} \pm \sqrt {\dfrac{25}{4} + \dfrac{56}{4}} $$= - \dfrac{5}{2} \pm \sqrt {\dfrac{81}{4}}$
$x_1= - \dfrac{5}{2}+ \dfrac{9}{2}= 2$
$x_2= - \dfrac{5}{2}-\dfrac{9}{2}= -7$
$\mathbb{L}=\{-7;2\}$
2.
Gleichungen lösen
a)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} \dfrac{1}{7}x^2+x&=&-\dfrac{10}{7}&\scriptsize{\mid +\dfrac{10}{7}}\\[5pt] \dfrac{1}{7}x^2+x+\dfrac{10}{7}&=&0&\scriptsize{\mid \cdot7}\\[5pt] x^2+7x+10&0 \end{array}$
$p=7$ $\hspace{1cm}q=10$
$x_{1,2} = - \dfrac{7}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{7}{2}} \right)^2 - 10}= - \dfrac{7}{2} \pm \sqrt {\dfrac{49}{4} - \dfrac{40}{4}}= - \dfrac{7}{2} \pm \sqrt {\dfrac{9}{4}}$
$x_1= - \dfrac{7}{2}+ \dfrac{3}{2}=-2$
$x_2= -\dfrac{7}{2}- \dfrac{3}{2}= -5$
$\mathbb{L}=\{-5;-2\}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& - \dfrac{7}{2}+ \dfrac{3}{2}=-2 \\ x_2 &=& -\dfrac{7}{2}- \dfrac{3}{2}= -5 \\ \mathbb{L}&=&\{-5;-2\} \end{array}$
b)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} \dfrac{1}{2}x^2-x-5&=&15+2x&\scriptsize{\mid -15 \mid -2x}\\[5pt] \dfrac{1}{2}x^2-3x-20&=&0&\scriptsize{\mid \cdot 2 }\\[5pt] x^2-6x-40&=&0 \end{array}$
$p=-6$ $\hspace{1cm}q=-40$
$x_{1,2} = - \dfrac{-6}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{-6}{2}} \right)^2 - (-40)}= 3 \pm \sqrt {9 + 40}= 3 \pm \sqrt {49}$
$x_1= 3+7= 10$
$x_2= 3-7=-4$
$\mathbb{L}=\{-4;10\}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& 3+7= 10 \\ x_2 &=& 3-7=-4 \\ \mathbb{L}&=&\{-4;10\} \end{array}$
c)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} (x+2)^2&=&-x-2&\scriptsize{\text{2. Binom. Formel}}\\[5pt] x^2+4x+4&=&-x-2&\scriptsize{\mid +x \mid +2}\\[5pt] x^2+5x+6&=&0 \end{array}$
$p=5$ $\hspace{1cm}q=6$
$x_{1,2} = - \dfrac{5}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^2 - 6}= - \dfrac{5}{2} \pm \sqrt {\dfrac{25}{4} - \dfrac{24}{4}}= - \dfrac{5}{2} \pm \sqrt {\dfrac{1}{4}}$
$x_1= - \dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{2}= -2$
$x_2= - \dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2}= -3$
$\mathbb{L}=\{-3;-2\}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& - \dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{2}= -2 \\ x_2 &=& - \dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2}= -3 \\ \mathbb{L}&=&\{-3;-2\} \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} 3x^2+5x&=&-9x^2+11x+6&\scriptsize{\mid +9x^2 \mid -11x \mid -6}\\[5pt] 12x^2-6x -6&=&0&\scriptsize{\mid :12}\\[5pt] x^2-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}&=&0 \end{array}$
$p=-\dfrac{1}{2}$ $\hspace{1cm}q=-\dfrac{1}{2}$
$x_{1,2} = - \dfrac{-\dfrac{1}{2}}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{-\dfrac{1}{2}}{2}} \right)^2 - (-\dfrac{1}{2})}= \dfrac{1}{4} \pm \sqrt {\dfrac{1}{16} + \dfrac{8}{16}}= \dfrac{1}{4} \pm \sqrt {\dfrac{9}{16}}$
$x_1=\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}= 1$
$x_2=\dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{4}= -\dfrac{1}{2}$
$\mathbb{L}=\{-\dfrac{1}{2};1\}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& 1 \\ x_2 &=& -\dfrac{1}{2} \\ \mathbb{L}&=&\{-\dfrac{1}{2};1\} \end{array}$
e)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} 7x^2+5x+10&=&-8x^2+50x-20&\scriptsize{\mid +8x^2 \mid -50x \mid +20}\\[5pt] 15x^2-45x+30&=&0&\scriptsize{\mid :15}\\[5pt] x^2-3x+2&=&0 \end{array}$
$p=-3$ $\hspace{1cm}q=2$
$x_{1,2} = - \dfrac{-3}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{-3}{2}} \right)^2 - 2}= \dfrac{3}{2} \pm \sqrt {\dfrac{9}{4}- \dfrac{8}{4}}= \dfrac{3}{2} \pm \sqrt {\dfrac{1}{4}}$
$x_1=\dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}= 2$
$x_2=\dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2}= 1$
$\mathbb{L}=\{1;2\}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& 2 \\ x_2 &=& 1 \\ \mathbb{L}&=&\{1;2\} \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} \dfrac{1}{4}(-8x^2+2x+\dfrac{61}{4})&=&-3x^2+4&\scriptsize{\text{Klammer auflösen}}\\[5pt] -2x^2+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{61}{16}&=&-3x^2+4&\scriptsize{ \mid +3x^2 \mid -4}\\[5pt] x^2+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{16}&=&0 \end{array}$
$p=\dfrac{1}{2}$ $\hspace{1cm}q=-\dfrac{3}{16}$
$x_{1,2} = - \dfrac{\dfrac{1}{2}}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{\dfrac{1}{2}}{2}} \right)^2 - (-\dfrac{3}{16})}= -\dfrac{1}{4} \pm \sqrt {\dfrac{1}{16} + \dfrac{3}{16}}= -\dfrac{1}{4} \pm \sqrt {\dfrac{4}{16}}$
$x_1=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{4}= \dfrac{1}{4}$
$x_2=-\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{4}=-\dfrac{3}{4}$
$\mathbb{L}=\{-\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{4}\}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& \dfrac{1}{4} \\ x_2 &=& -\dfrac{3}{4} \\ \mathbb{L}&=&\{-\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{4}\} \end{array}$
3.
Gleichung prüfen und berechnen
a)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} 2x^2+2x&=&24&\scriptsize{\mid -24}\\[5pt] 2x^2+2x-24&=&0 &\scriptsize{\mid :2}\\[5pt] x^2+x-12&=&0 \end{array}$
Diese quadratische Gleichung hat die Form $x^2+px+q=0$. Deshalb ist es sinnvoll, sie mit der PQ-Formel zu lösen.
$p=1$ $\hspace{1cm}q=-12$
$x_{1,2} = - \dfrac{1}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2 - (-12)}$
$x_{1,2} = - \dfrac{1}{2} \pm \sqrt {\dfrac{1}{4} + \dfrac{48}{4}}$
$x_{1,2} = - \dfrac{1}{2} \pm \sqrt {\dfrac{49}{4}}$
$x_{1,2} = - \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{7}{2}$
$x_1=- \dfrac{1}{2} + \dfrac{7}{2} = 3$ $\hspace{1cm}x_2=- \dfrac{1}{2} - \dfrac{7}{2} = -4$
$\mathbb{L}=\{-4; 3\}$
b)
$x^2-3x=0$
Diese quadratische Gleichung hat die Form $x^2+px+q=0$. Man kann sie einfacher durch Ausklammern von x lösen. Du erhältst dann die folgenden Lösungen:
$\mathbb{L}=\{0;3\}$
Mit der $PQ$-Formel kannst du alternativ wie folgt vorgehen:
$p=-3$ $\hspace{1cm}q=0$
$x_{1,2} = - \dfrac{-3}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{-3}{2}} \right)^2 - 0}$
$x_{1,2} = \dfrac{3}{2} \pm \sqrt {\dfrac{9}{4}}$
$x_{1,2} = \dfrac{3}{2} \pm \dfrac{3}{2}$
$x_1= \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2} = 3$ $\hspace{1cm}x_2=\dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{2} = 0$
$\mathbb{L}=\{0; 3\}$
c)
$5x^2=15$
Diese quadratische Gleichung hat die Form $ax^2+c=0$. Du kannst sie einfacher durch Termumformung lösen und erhältst folgende Lösungen:
$\mathbb{L}=\{-\sqrt{3};\sqrt{3}\}$
d)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} \dfrac{1}{5}x^2-\dfrac{2}{5}x-7&=&0&\scriptsize{\mid \cdot5}\\[5pt] x^2-2x-35&=&0&\scriptsize{\mid }\\[5pt] \end{array}$
Diese Gleichung hat die Form $x^2+px+q=0$. Deshalb ist es sinnvoll sie mit der PQ-Formel zu lösen.
$p=-2$ $\hspace{1cm}q=-35$
$x_{1,2} = - \dfrac{-2}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{-2}{2}} \right)^2 - (-35)}$
$x_{1,2} = 1 \pm \sqrt {1 + 35}$
$x_{1,2} = 1 \pm \sqrt {36}$
$x_{1,2} = 1 \pm 6$
$x_1= 1+6=7$ $\hspace{1cm}x_2= 1-6=-5$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 1+6=7 & \\[5pt] x_2&=& 1-6=-5 \end{array}$
$\mathbb{L}=\{-5;7\}$
e)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} 5x-13&=&3x&\scriptsize{\mid -3x}\\[5pt] 2x-13&=&0 \end{array}$
Diese Gleichung ist keine quadratische Gleichung. Du kannst sie durch Termumformung lösen und erhältst als Lösung $x=\dfrac{13}{2}$.
f)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x^2+3x-24&=&8x&\scriptsize{\mid -8x}\\[5pt] x^2-5x-24&=&0 \end{array}$
Diese quadratische Gleichung hat die Form $x^2+px+q=0$. Es ist sinnvoll, sie mit der PQ-Formel zu lösen.
$p=-5$ $\hspace{1cm}q=-24$
$x_{1,2} = - \dfrac{-5}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{-5}{2}} \right)^2 - (-24)}$
$x_{1,2} = \dfrac{5}{2} \pm \sqrt {\dfrac{25}{4} + \dfrac{96}{4}}$
$x_{1,2} = \dfrac{5}{2} \pm \sqrt {\dfrac{121}{4}}$
$x_{1,2} = \dfrac{5}{2} \pm \dfrac{11}{2}$
$x_1= \dfrac{16}{2}= 8$ $\hspace{1cm}x_2=-\dfrac{6}{2}=-3$
$\mathbb{L}=\{-3;8\}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& \dfrac{16}{2}= 8 \\[5pt] x_2&=& -\dfrac{6}{2}=-3 \end{array}$
4.
Seitenmaße des Grundstücks berechnen
1. Schritt: Gleichung aufstellen
Das ursprüngliche Grundstück war quadratisch. Sei $x$ die Seitenlänge des Grundstücks:
Grundstücksfläche vor Verkauf: $x^2$
verkaufte Fläche: $2\cdot x$
Grundstück nach dem Verkauf: $x^2-2x$
Das Grundstück hat nach dem Verkauf noch eine Fläche von $15 \;\text{m}^2$. Du kannst den Sachverhalt also durch folgende Gleichung darstellen.
$x^2-2x=15$
2. Schritt: Gleichung lösen
$p=-2$ $\hspace{1cm}q=-15$
$x_{1,2} = - \dfrac{-2}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{-2}{2}} \right)^2 - (-15)}$
$x_{1,2} = 1 \pm \sqrt {1 + 15}$
$x_{1,2} = 1 \pm \sqrt {16}$
$x_1= 1+4=5$ $\hspace{1cm}x_2=1-4=-3$
$\mathbb{L}=\{-3;5\}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 1+4=5 & \\[5pt] x_2&=& 1-4=-3 \end{array}$
3. Schritt: Sinnvolle Lösung bestimmen
Das Grundstück war vor dem Verkauf je 5 m lang und breit. Die Lösung $x=-3$ ist nicht sinnvoll, da eine negative Seitenlänge keinen Sinn macht.
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