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Satz von Vieta

Spickzettel
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Wenn $x_1$ und $x_2$ Lösungen einer quadratischen Gleichung in Normalform sind, gilt:
$\quad$ $x_1+x_2=-p \qquad x_1\cdot x_2=q$
Somit lässt sich die quadratische Gleichung in Normalform als Produkt darstellen:
$\begin{array}[t]{rlll} x^2+px+q=&0\quad&\scriptsize\text{$p$ und $q$ einsetzen} \\ x^2-x_1x-x_2x+x_1x_2=&0& \scriptsize\text{ausklammern} \\ (x-x_1)\cdot(x-x_2)=&0& \\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll} x^2+px+q=&0 \\ x^2-x_1x-x_2x+x_1x_2=&0 \\ (x-x_1)\cdot(x-x_2)=&0 \\ \end{array}$
Den Satz von Vieta kannst du zur Überprüfung oder zum Finden von Lösungen einer quadratischen Gleichung benutzen.

Beispiel

Bestimme die Lösungen der quadratischen Gleichung $x^2-7x+10$.
$\begin{array}[t]{rllllllllllllllllllllllllllll} -p&=&7&=&1+6&=&2+5=3+4 \quad& \scriptsize\text{Zahlenpaare, die in der Summe 7 ergeben.}\\ \;q&=&10&=&2\cdot5 &&& \scriptsize\text{Suche das Zahlenpaar aus, dessen Produkt 10 ist.} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rllllllllllllllllllllllllllll} -p&=&3+4 \\ \;q&=&2\cdot5 \end{array}$
$x_1=2$,$\quad$$x_2=5$$\qquad$ $\mathbb{L}=\left\{2;5\right\}$
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Aufgaben
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1.
Löse die Gleichung mithilfe des Satzes von Vieta.
b)
$x^2-3x+2=0$
d)
$x^2+6x+5=0$
f)
$x^2+3x-18=0$
2.
Überprüfe die Lösung der Gleichung mithilfe des Satzes von Vieta.
a)
$\mathbb{L}=\left\{2;1\right\} $$\qquad\quad\; x^2-3x+2=0$
b)
$\mathbb{L}=\left\{3;2\right\} $$\qquad\quad\; x^2-5x+6=0$
c)
$\mathbb{L}=\left\{-3;1\right\} $$\qquad\;\; x^2-x-3=0$
d)
$\mathbb{L}=\left\{-4;-2\right\} $$\qquad x^2+6x-8=0$
3.
Ergänze die fehlenden Platzhalter.
a)
$\mathbb{L}=\{2;$☐$\} $$\qquad\quad x^2-4x+ $☐$ =0$
b)
$\mathbb{L}=\{3; $☐$\} $$\qquad\quad x^2-6x+$☐$=0$
c)
$\mathbb{L}=\{-1;$☐$\} $$\qquad\; x^2-$☐$\; x +4=0$
d)
$\mathbb{L}=\{\sqrt{3};$☐$\} $$\qquad x^2-$☐$\; x-3=0$
4.
Bestimme die Lösung durch Linearfaktorzerlegung.
b)
$(x-4)\cdot(x-1)=0$
d)
$x^2+4x+4=0$
f)
$x^2+5x+6=0$
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Lösungen
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1.
Gleichungen lösen
a)
$x^2$ $\color{#87c800}{-2}x+\color{#dc1400}{1}=0$
Wenn $x_1$ und $x_2$ die Lösungen der Gleichung sind, dann gilt nach dem Satz von Vieta:
$-p=2$$=x_1+x_2$
$\color{#dc1400}{q=1} $ $=x_1\cdot x_2$
Mögliche Zerlegungen von $-p$: $2=1+1$$=0+2$
Passendes Produkt $q$ aus den Zerlegungen von $-p$: $=1=1\cdot1$
$x_{1/2}=1$$\qquad$ $\mathbb{L}=\{1\}$
b)
$x^2-3x+2=0$
$p=-3$
$q=2$
Mögliche Zerlegungen von $-p$:
$3=2+1$$=0+3$
Passendes Produkt $q$ aus den Zerlegungen von $-p$: $q=2=2\cdot1$
$x_1=2$ $\qquad$ $x_2=1$ $\qquad$ $\mathbb{L}=\{1;2\}$
c)
$x^2-8x+16=0$
$p=-8$
$q=16$
Zerlegungen von $-p$:
$8=8+0$$=7+1=6+2$$=5+3=4+4$
Passendes Produkt $q$ aus den Zerlegungen von $-p$: $q=16$$=4\cdot4$
$x_{1/2}=4$ $\qquad$ $\mathbb{L}=\{4\}$
d)
$x^2+6x+5=0$
$p=6$
$q=5$
Zerlegungen von $-p$:
$-6=-6+0$$=-5+(-1)=-4+(-2)$$=-3+(-3)$
Passendes Produkt $q$ aus den Zerlegungen von $-p$: $q=5=-5\cdot(-1)$
$x_1=-5$ $\qquad$ $x_2=-1$ $\qquad$ $\mathbb{L}=\{-5;-1\}$
e)
$x^2+2x-24=0$
$p=2$
$q=-24$
Mögliche Zerlegungen von $q=-24$:
$-24=-2\cdot12$$=-3\cdot8=-4\cdot6=$…(jeweils noch das Minuszeichen vertauscht)
Zerlegung von $q$, deren Summe $-p$ ergibt: $-2=4+(-6)$
$x_1=4$ $\qquad$ $x_2=-6$ $\qquad$ $\mathbb{L}=\{-6;4\}$
f)
$x^2+3x-18=0$
$p=3$
$q=-18$
Mögliche Zerlegungen von $q=-18$:
$-18=-2\cdot9$$=-3\cdot6=-9\cdot2$$=-6\cdot3$
Zerlegung von $q$, die in der Summe $-p$ ergibt: $-3=-6+3$
$x_1=-6$ $\qquad$ $x_2=3$ $\qquad$ $\mathbb{L}=\{-6;3\}$
2.
Lösung überprüfen
a)
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A
$\mathbb{L}=\left\{2;1\right\} $$\qquad\; x^2-3x+2=0$
$-p=3=2+1$ $\qquad$ $\checkmark$
$q=2=2\cdot1$ $\qquad$ $\checkmark$
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B
Nutze die Linearfaktorzerlegung.
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} (x-2)(x-1)&=&0& \text{ausmultiplizieren}\\ x^2-x-2x+2&=&0& \text{vereinfachen}\\ x^2-3x+2&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x^2-3x+2&=&0 \end{array}$
Die Lösungen sind korrekt.
b)
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A
$\mathbb{L}=\left\{3;2\right\} $$\qquad\quad\; x^2-5x+6=0$
$-p=5=3+2$ $\qquad$ $\checkmark$
$q=6=3\cdot2$ $\qquad$$\checkmark$
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B
Nutze die Linearfaktorzerlegung.
$\begin{array}[t]{llllllllllllll} (x-3)(x-2)&=&0& \text{ausmultiplizieren}\\ x^2-2x-3x+6&=&0& \text{vereinfachen}\\ x^2-5x+6&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{llllllllllllll} x^2-5x+6&=&0 \end{array}$
Die Lösungen sind richtig.
c)
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A
$\mathbb{L}=\left\{-3;1\right\}$$\qquad$$\;\; x^2-x-3=0$
$-p=1\neq-3+1=2$ $\qquad$ falsch
$q=-3=-3\cdot(-1)$ $\qquad$ $\checkmark$
Die Lösungen sind nicht richtig.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B
Nutze die Linearfaktorzerlegung.
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} (x+3)(x-1)&=&0& \text{ausmultiplizieren}\\ x^2-x+3x-3&=&0& \text{vereinfachen}\\ x^2+2x-3&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x^2+2x-3&=&0 \end{array}$
Die Lösungen sind nicht korrekt. Die angegebene Lösungsmenge $\mathbb{L}=\left\{-3;1\right\}$ gilt für die Gleichung $x^2+2x-3=0$.
d)
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A
$\mathbb{L}=\left\{-4;-2\right\}$ $\qquad$ $x^2+6x-8=0$
$-p=-6=-4+(-2)$$\qquad$$\checkmark$
$q=-8\neq-4\cdot(-2)=8$ $\qquad$ falsch
Die Lösungen sind nicht korrekt.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B
Nutze die Linearfaktorzerlegung.
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} (x+4)(x+2)&=&0& \text{ausmultiplizieren}\\ x^2+2x+4x+8&=&0& \text{vereinfachen}\\ x^2+6x+8&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x^2+6x+8&=&0 \end{array}$
Die Lösung ist nicht korrekt. Die angegebene Lösungsmenge $\mathbb{L}=\left\{-4;-2\right\}$ gilt für die Gleichung $x^2+6x+8=0$.
3.
Platzhalter ergänzen
Um mit den Platzhaltern rechnen zu können, ersetzt du sie durch Variablen (z.B. a und b).
a)
$\mathbb{L}=\left\{2;a\right\}$$\qquad\quad$ $x^2-4x+b=0$
Mithilfe des Satzes von Vieta kannst du diese Aufgabe einfach lösen.
$-p=4=2+a$$\qquad$$\Rightarrow$ $a=2$
$b=q=x_1\cdot x_2$$=2\cdot2=4$
$\mathbb{L}=\left\{2;\textbf{2}\right\}$$\qquad\quad$$ x^2-4x+\textbf{4}=0$
b)
$\mathbb{L}=\left\{3;a\right\}$$\qquad\quad $$x^2-6x+b=0$
$-p=6=3+a$ $\qquad$ $\Rightarrow$ $a=3$
$b=q=x_1\cdot x_2$$= 3\cdot3=9$
$\mathbb{L}=\left\{3;\textbf{3}\right\}$$\qquad\quad$$ x^2-6x+\textbf{9}=0$
c)
$\mathbb{L}=\left\{-1;a\right\}$$\qquad$$\; x^2-bx+4=0$
Nutze die Linearfaktorzerlegung.
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} (x-(-1))(x-a)&=&0& \text{ausmultiplizieren}\\ x^2-ax+x-a&=&0& \text{zusammenfassen}\\ x^2-(a-1)x-a&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} (x-(-1))(x-a)&=&0& \\ x^2-ax+x-a&=&0& \\ x^2-(a-1)x-a&=&0 \end{array}$
Nun kannst du den Wert für $a$ in der Gleichung oben ablesen und mithilfe von a dann auch b bestimmen.
$\Rightarrow\; a=-4$
$\Rightarrow\; b= (a-1) = -5$
$\mathbb{L}=\left\{-1;\textbf{-4}\right\}$$\qquad$$\; x^2\textbf{+5}x+4=0$
d)
$\mathbb{L}=\left\{\sqrt{3};a\right\}$$\qquad$$ x^2-bx-3=0$
Nutze die Linearfaktorzerlegung.
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} (x-\sqrt{3})(x-a)&=&0& \text{ausmultiplizieren}\\ x^2-ax-\sqrt{3}x+\sqrt{3}a&=&0& \text{zusammenfassen}\\ x^2-(a+\sqrt{3})x+\sqrt{3}a&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} (x-\sqrt{3})(x-a)&=&0& \\ \end{array}$
Nun kannst du den Wert für $a$ mithilfe der Gleichung oben bestimmen.
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} -3&=&\sqrt{3}a& \mid :\sqrt{3}\\ a&=&-\sqrt{3} \end{array}$
Jetzt kannst du auch $b$ bestimmen.
$b=(a+\sqrt{3})$$=(-\sqrt{3}+\sqrt{3})=0$
$\mathbb{L}=\left\{\sqrt{3};\boldsymbol{-\sqrt{3}}\right\}$$\qquad$$ x^2-\textbf{0}x-3=0$
4.
Linearfaktorzerlegung und Lösungen bestimmen
a)
$(x-2)\cdot(x+1)=0$
Da nach dem Satz von Vieta $(x-x_1)(x-x_2)=0$ gilt und $x_1$ und $x_2$ die Lösungen der Gleichung sind, kannst du die beiden Lösungen hier direkt aus der Linearfaktorzerlegung ablesen. Beachte dabei die Vorzeichen!
$x_1=2$ $\qquad$ $x_2=-1$ $\qquad$ $\mathbb{L}=\{-1;2\}$
b)
$(x-4)\cdot(x-1)=0$
Auch hier kannst du die Lösungen direkt ablesen.
$x_1=4$ $\qquad$ $x_2=1$ $\qquad$ $\mathbb{L}=\{1;4\}$
c)
$(x+1)\cdot(x-2)=0$
Hier kannst du die Lösung ebenfalls direkt ablesen.
$x_1=-1$ $\qquad$ $x_2=2$ $\qquad$ $\mathbb{L}=\{-1;2\}$
d)
$x^2+4x+4=0$
Bei dieser Gleichung musst du die Linearfaktorzerlegung erst finden. Die Gleichung sollte dich an die 1. Binomische Formel erinnern. Dann hast du auch die Linearfaktorzerlegung.
$(x+2)(x+2)=0$
Nun kannst du die Lösung wieder direkt ablesen.
$x_1=-2$ $\qquad$ $x_2=-2$ $\qquad$ $\mathbb{L}=\{-2\}$
e)
$x^2-3x+2=0$
Durch gezieltes Probieren erhältst du die Linearfaktorzerlegung (Überlege dir, wie du durch eine Multiplikation zweier Zahlen auf das Ergebnis $2$ kommst).
$(x-2)(x-1)=0$
Lese die Lösung ab.
$x_1=2$ $\qquad$ $x_2=1$ $\qquad$ $\mathbb{L}=\{2;1\}$
f)
$x^2+5x+6=0$
Durch gezieltes Probieren erhältst du folgende Linearfaktorzerlegung:
$(x+2)(x+3)=0$
Lese die Lösungen daraus ab.
$x_1=-2$ $\qquad$ $x_2=-3$ $\qquad$ $\mathbb{L}=\{-3;-2\}$
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