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Satz von Vieta

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Lösungen PLUS
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Wenn $x_1$ und $x_2$ Lösungen einer quadratischen Gleichung in Normalform sind, gilt:
$\quad$ $x_1+x_2=-p \qquad x_1\cdot x_2=q$
Somit lässt sich die quadratische Gleichung in Normalform als Produkt darstellen:
$\begin{array}[t]{rlll} x^2+px+q=&0\quad&\scriptsize\text{$p$ und $q$ einsetzen} \\ x^2-x_1x-x_2x+x_1x_2=&0& \scriptsize\text{ausklammern} \\ (x-x_1)\cdot(x-x_2)=&0& \\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll} x^2+px+q=&0 \\ x^2-x_1x-x_2x+x_1x_2=&0 \\ (x-x_1)\cdot(x-x_2)=&0 \\ \end{array}$
Den Satz von Vieta kannst du zur Überprüfung oder zum Finden von Lösungen einer quadratischen Gleichung benutzen.

Beispiel

Bestimme die Lösungen der quadratischen Gleichung $x^2-7x+10$.
$\begin{array}[t]{rllllllllllllllllllllllllllll} -p&=&7&=&1+6&=&2+5=3+4 \quad& \scriptsize\text{Zahlenpaare, die in der Summe 7 ergeben.}\\ \;q&=&10&=&2\cdot5 &&& \scriptsize\text{Suche das Zahlenpaar aus, dessen Produkt 10 ist.} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rllllllllllllllllllllllllllll} -p&=&3+4 \\ \;q&=&2\cdot5 \end{array}$
$x_1=2$,$\quad$$x_2=5$$\qquad$ $\mathbb{L}=\left\{2;5\right\}$
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