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Ungleichungen

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Mit einer Ungleichung werden zwei Werte oder Terme miteinander verglichen. Der Vergleich der beiden Seiten der Ungleichung ist immer eindeutig, d. h. es kann nur eine der vier Möglichkeiten gelten:
  1. $a< b$ Die linke Seite kleiner als die rechte Seite.
  2. $a\leq b$ Die linke Seite ist kleiner oder gleich groß/ höchstens so groß wie die rechte Seite.
  3. $a> b$ Die linke Seite größer als die rechte Seite.
  4. $a\geq b$ Die linke Seite gleich groß oder größer/ mindestens so groß wie die rechte Seite.
Es gilt zum Beispiel:
  1. $2< 5$
  2. $10\leq 10 + x, \; x$ nicht negativ
  3. $7> 6$
  4. $3\geq 3 - y, \; y$ nicht negativ
Willst du eine Ungleichung lösen, kannst du dieselben Äquivalenzumformungen wie bei einer Gleichung durchführen. Dabei gibt es eine Besonderheit:
Bei der Division oder Multiplikation einer Ungleichung mit einer negativen Zahl musst du das Ungleichheitszeichen umkehren.
Bei der Division oder Multiplikation einer Ungleichung mit einer negativen Zahl musst du das Ungleichheitszeichen umkehren.

Beispiel

Löse folgende Ungleichungen:
$5x\leq 10$
$3-x<5$
a) $5x\leq 10$
b) $3-x<5$
Lösung:
$\begin{array}[t]{rll} 5x&\leq&10 &\quad \scriptsize \mid\;:5 \\[5pt] x&\leq&2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 3-x&\leq&5 &\quad \scriptsize \mid\;-3 \\[5pt] -x&\leq&2 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\;(-1) \\[5pt] x&\geq&-2 &\quad \scriptsize \end{array}$
a) $\begin{array}[t]{rll} 5x&\leq&10 &\quad \scriptsize \mid\;:5 \\[5pt] x&\leq&2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
b) $\begin{array}[t]{rll} 3-x&\leq&5 &\quad \scriptsize \mid\;-3 \\[5pt] -x&\leq&2 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\;(-1) \\[5pt] x&\geq&-2 &\quad \scriptsize \end{array}$
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Aufgaben
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1.  Entscheide, ob die Aussagen wahr oder falsch sind.
a)  $2<3$
b)  $4<4$
c)  $-2<2$
d)  $-12\leq -12$
e)  $-22\geq -33$
2.  Finde die Lösungen der Aufgaben mit Hilfe von Ungleichungen.
a)  Herr Müller hat einen Grundstück. Sein Grundstück hat eine rechteckige Form. Die kürzere Seite ist halb so lang wie die längere. Der Umfang seines Grundstücks ist mindestens $120\; \text{m}$. Was gilt für die längere Seite des Grundstücks?
b)  Dividiert man eine Zahl durch $\;-7$, erhält man weniger als $\;-1$. Was gilt für diese Zahl?
c)  Wenn man zum Dreifachen einer Zahl $\;9\;$ addiert, erhält man ein negatives Ergebnis. Was gilt für die Zahl?
3.  Löse die Ungleichungen.
a)  $3x>12 $
b)  $-4x\geq16 $
c) $5-2x<-9 $
d)  $-\frac{5}{8}x-\frac{7}{4}\leq\frac{13}{4} $
e)  $\frac{1}{2}x+1\geq5x+\frac{8}{3} $
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Lösungen
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1.  Entscheiden, ob die Aussagen wahr oder falsch sind.
a)  $2<3$. Diese Aussage ist wahr.
b)  $4<4$. Diese Aussage ist falsch, da gilt: $4=4;\quad 4\leq 4 \quad 4\geq 4$
c)  $-2<2$. Diese Aussage ist wahr.
d)  $-12\leq -12$. Diese Aussage ist wahr.
e)  $-22\leq -33$. Diese Aussage ist falsch, da gilt:
$22\leq33$, multipliziere mit $(-1)$ und erhalte: $-22\geq -33$.
2.  Mit Hilfe der Ungleichungen lösen.
a)  Ein rechteckiges Grundstück hat den Umfang:
$U=2\cdot a+ 2\cdot b$
Bezeichne die Länge der längeren Seite mit $x$. Die kürzere Seite hat die Länge $\frac{1}{2}x$. Da der Umfang mindestens $120\; \text{m}$ ist, muss gelten:
$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot x+2\cdot \frac{1}{2}x&\geq& 120 \\[5pt] 3x&\geq&120& \quad \scriptsize \mid \; :3 \\[5pt] x&\geq& 40 \\[5pt] \end{array}$
Die längere Seite muss also mindestens $40\,\text{m}$ lang sein.
b) Dividiert man eine Zahl durch $\;-7$, erhält man weniger als $\;-1$. Was gilt für diese Zahl?
Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{x}{-7}&<&-1& \quad \scriptsize \mid\;\cdot\; (-7) \\[5pt] x&>&7&\\[5pt] \end{array}$
c)  Wenn man zum Dreifachen einer Zahl $\;9\;$ addiert, erhält man ein negatives Ergebnis. Was gilt für die Zahl?
Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} 3x+9&<&0& \quad \scriptsize \mid\;\; -9 \\[5pt] 3x&<&-9& \quad \scriptsize \mid\;\; :3 \\[5pt] x&<&-3& \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
3.  Ungleichungen lösen.
a)  $\begin{array}[t]{rll} 3x&>&12 & \quad \scriptsize \mid\;\; :3 \\[5pt] x&>&4 & \\[5pt] \end{array}$
b)  $\begin{array}[t]{rll} -4x&\geq&16 & \quad \scriptsize \mid\;\; :(-4) \\[5pt] x&\leq&-4 & \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
c) $\begin{array}[t]{rll} 5-2x&<&-9 & \quad \scriptsize \mid\;\; -5 \\[5pt] -2x&<&-14 & \quad \scriptsize \mid\;\; :(-2)\\[5pt] x&>&7 & \\[5pt] \end{array}$
d)  $\begin{array}[t]{rll} -\frac{5}{8}x-\frac{7}{4}&\leq&\frac{13}{4} & \quad \scriptsize \mid\;\; + \frac{7}{4} \\[5pt] -\frac{5}{8}x&\leq&\frac{20}{4} & \quad \scriptsize \mid\;\; \cdot \; \left(-\frac{8}{5}\right) \\[5pt] x&\geq&5\cdot \left(-\frac{8}{5}\right) & \\[5pt] x&\geq&-8 & \\[5pt] \end{array}$
e)  $\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{2}x+1&\geq&5x+\frac{8}{3} & \quad \scriptsize \mid\;\; - 1-5x \\[5pt] \frac{1}{2}x-5x&\geq&-1+\frac{8}{3} & \\[5pt] -\frac{9}{2}x&\geq&\frac{5}{3} & \quad \scriptsize \mid\;\; \cdot \; \left(-\frac{2}{9}\right) \\[5pt] x&\leq&-\frac{5\cdot 2}{3\cdot 9} & \quad \scriptsize \\[5pt] x&\leq&\frac{10}{27} & \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
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