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Ungleichungen

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Lösungen PLUS
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Mit einer Ungleichung werden zwei Werte oder Terme miteinander verglichen. Der Vergleich der beiden Seiten der Ungleichung ist immer eindeutig, d. h. es kann nur eine der vier Möglichkeiten gelten:
  1. $a< b$ Die linke Seite kleiner als die rechte Seite.
  2. $a\leq b$ Die linke Seite ist kleiner oder gleich groß/ höchstens so groß wie die rechte Seite.
  3. $a> b$ Die linke Seite größer als die rechte Seite.
  4. $a\geq b$ Die linke Seite gleich groß oder größer/ mindestens so groß wie die rechte Seite.
Es gilt zum Beispiel:
  1. $2< 5$
  2. $10\leq 10 + x, \; x$ nicht negativ
  3. $7> 6$
  4. $3\geq 3 - y, \; y$ nicht negativ
Willst du eine Ungleichung lösen, kannst du dieselben Äquivalenzumformungen wie bei einer Gleichung durchführen. Dabei gibt es eine Besonderheit:
Bei der Division oder Multiplikation einer Ungleichung mit einer negativen Zahl musst du das Ungleichheitszeichen umkehren.
Bei der Division oder Multiplikation einer Ungleichung mit einer negativen Zahl musst du das Ungleichheitszeichen umkehren.

Beispiel

Löse folgende Ungleichungen:
$5x\leq 10$
$3-x<5$
a) $5x\leq 10$
b) $3-x<5$
Lösung:
$\begin{array}[t]{rll} 5x&\leq&10 &\quad \scriptsize \mid\;:5 \\[5pt] x&\leq&2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 3-x&\leq&5 &\quad \scriptsize \mid\;-3 \\[5pt] -x&\leq&2 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\;(-1) \\[5pt] x&\geq&-2 &\quad \scriptsize \end{array}$
a) $\begin{array}[t]{rll} 5x&\leq&10 &\quad \scriptsize \mid\;:5 \\[5pt] x&\leq&2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
b) $\begin{array}[t]{rll} 3-x&\leq&5 &\quad \scriptsize \mid\;-3 \\[5pt] -x&\leq&2 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\;(-1) \\[5pt] x&\geq&-2 &\quad \scriptsize \end{array}$
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