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Ebenen

Aufgaben
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Aufgabe 1

Abbildung $1$ zeigt den Quader $ABCDEFGH$. Bestimme, wie die gegebenen Ebenen $E$ zueinander stehen.
Geraden und Ebenen im Raum: Ebenen
Abb. 1: Quader $ABCDEFGH$
Geraden und Ebenen im Raum: Ebenen
Abb. 1: Quader $ABCDEFGH$
a)
$E \; (ABE)$ und $E \; (CDF)$
b)
$E \; (HEF)$ und $E \; (FGC)$
c)
$E \; (BEF)$ und $E \; (EFG)$
d)
$E \; (ABH)$ und $E \; (BEF)$
e)
$E \; (HGC)$ und $E \; (BDF)$
f)
$E \; (ADF)$ und $E \; (BEF)$
g)
$E \; (GFA)$ und $E \; (HEF)$
h)
$E \; (GCB)$ und $E \; (GCE)$

Aufgabe 2

Bestimme, welche zwei Ebenen im Quader $ABCDEFGH$ die jeweils gegebene Schnittgerade erzeugen.
a)
$GF$
b)
$AC$
c)
$HE$
d)
$CF$
e)
$HF$

Aufgabe 3

Betrachte den Quader $ABCDEFGH$ und bearbeite die folgenden Aufgaben.
a)
Nenne $3$ andere mögliche Bezeichnungen für die Ebene $E \; (ABD).$
b)
Nenne $3$ Ebenen, die parallel zu $E \; (HEB)$ verlaufen.
c)
Nenne $3$ Ebenenpaare, die senkrecht aufeinander stehen.
d)
Welche Schnittgerade wird durch die Ebenen $E \; (BEG)$ und $E \; (ABD)$ erzeugt?

Aufgabe 4

Abbildung 2 zeigt die Pyramide $ABCDEF$. Beantworte die folgenden Fragen.
Geraden und Ebenen im Raum: Ebenen
Abb. 2: Pyramide $ABCDEF$
Geraden und Ebenen im Raum: Ebenen
Abb. 2: Pyramide $ABCDEF$
a)
Nenne $2$ Ebenenpaare innerhalb der Pyramide, die senkrecht aufeinander stehen.
b)
Welche Schnittgerade wird durch die Ebenen $E \; (AEC)$ und $E \; (BDE)$ erzeugt?
c)
Nenne $2$ Ebenen, die die Schnittgerade $AB$ erzeugen.
d)
Wie stehen die Ebenen $E \; (BEC)$ und $E \; (ADC)$ zueinander?
Bildnachweise [nach oben]
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© 2016 – SchulLV.
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Lösungen
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Aufgabe 1

In dieser Aufgabe sollst du bestimmen welche Lage die gegebenen Ebenen zueinander haben. Dabei gibt es zwei Möglichkeiten: die Ebenen schneiden sich oder die Ebenen sind zueinander parallel.
a)
Die Ebenen $E \; (ABE)$ und $E \; (CDF)$ sind zueinander parallel.
b)
Die Ebenen $E \; (HEF)$ und $E \; (FGC)$ schneiden sich im rechten Winkel. Sie stehen also senkrecht aufeinander.
c)
Die Ebenen $E \; (BEF)$ und $E \; (EFG)$ schneiden sich im rechten Winkel. Sie stehen also senkrecht aufeinander.
d)
Die Ebenen $E \; (ABH)$ und $E \; (BEF)$ schneiden sich im rechten Winkel. Sie stehen also senkrecht aufeinander.
e)
Die Ebenen $E \; (HGC)$ und $E \; (BDF)$ sind zueinander parallel.
f)
Die Ebenen $E \; (ADF)$ und $E \; (BEF)$ schneiden sich.
g)
Die Ebenen $E \; (GFA)$ und $E \; (HEF)$ schneiden sich.
h)
Die Ebenen $E \; (GCB)$ und $E \; (GCE)$ sind identisch.

Aufgabe 2

Wenn sich zwei Ebenen schneiden, entsteht dort wo sie sich berühren eine Schnittgerade.
Deine Aufgaben ist es diejenigen Ebenen zu bestimmen, die die jeweils gegebene Schnittgerade erzeugen. Beachte dabei, dass die gleiche Ebene mehrere Bezeichnungen hat (z.B. $E \; (ABD) \; = \; E \; (DBA)$), es also mehrere korrekte Lösungen gibt.
a)
Die Schnittgerade $GF$ wird durch die Ebenen $E \; (CDF)$ und $E \; (HEF)$ erzeugt.
b)
Die Schnittgerade $AC$ wird durch die Ebenen $E \; (CGH)$ und $E \; (CAB)$ erzeugt.
c)
Die Schnittgerade $HE$ wird durch die Ebenen $E \; (GFE)$ und $E \; (ABE)$ erzeugt.
d)
Die Schnittgerade $CF$ wird durch die Ebenen $E \; (CAE)$ und $E \; (CDF)$ erzeugt.
e)
Die Schnittgerade $HF$ wird durch die Ebenen $E \; (AHF)$ und $E \; (GHE)$ erzeugt.

Aufgabe 3

a)
Mögliche andere Bezeichnungen für die Ebene $E \; (ABD)$ sind:
$E \; (CAB), \; E \; (CDB), \; E \; (ACD), \; E \; (BAC), \; E \; (BDC)$ …
b)
Zur Ebene $E \; (HEB)$ verlaufen z.B. parallel:
$E \; (GFD), \; E \; (FGD), \; E \; (DFG)$
c)
Ebenenpaare, die senkrecht aufeinander stehen, sind z.B.:
$E \; (ABD)$ und $E \; (BEF)$, $E \; (HGF)$ und $E \; (FEB)$ oder auch $E \; (GHA)$ und $E \; (CAB)$
d)
Die Ebenen $E \; (BEG)$ und $E \; (ABD)$ erzeugen die Schnittgerade $BC$.

Aufgabe 4

In dieser Aufgabe sollst du die Ebenen der in Abbildung $2$ gegebenen Pyramide untersuchen.
a)
Die Ebenen $E \; (ABD)$ und $E \; (EBC)$, sowie $E \; (ABD)$ und $E \; (DAC)$ schneiden sich jeweils im rechten Winkel. Sie stehen somit senkrecht aufeinander.
b)
Durch das Schneiden der Ebenen $E \; (AEC)$ und $E \; (BDE)$ entsteht die Schnittgerade $AE$.
c)
Die Schnittgerade $AB$ wird durch die Ebenen $E \; (ABD)$ und $E \; (ABC)$ erzeugt.
d)
Die Ebenen $E \; (BEC)$ und $E \; (ADC)$ schneiden einander im rechten Winkel. Sie stehen also senkrecht aufeinander.
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