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Schrägbilder

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
b)
Zeichne nun den Rest des Quaders, wenn du davon ausgehst, dass er $5\,\text{cm}$ hoch ist.

Aufgabe 1

Zeichne den Würfel mit der Seitenlänge $a=5\,\text{cm}$ als Schrägbild mit den folgenden Verkürzungsfaktoren und Verzerrungswinkeln:
  • $q=0,5$ und $\omega=45°$
  • $q=0,75$ und $\omega=45°$
  • $q=0,5$ und $\omega=33°$

Aufgabe 2

Ein Quader hat die Seitenlängen $a=6\,\text{cm}$, $b=3\,\text{cm}$ und $c=4\,\text{cm}$. Zeichne den Quader als Schrägbild in mindestens zwei verschiedenen Darstellungen. Der Verkürzungsfaktor soll $q=0,5$ sein und der Verzerrungswinkel $\omega=45°$.

Aufgabe 3

Aufgabe 4

In den Abbildungen siehst du die Grundflächen von Prismen. Zeichne ein Schrägbild des Prismas, wenn du davon ausgehst, dass die Prismen jeweils $6\,\text{cm}$ hoch sind.
Überlege dir vorher, wie du die Grundfläche möglichst genau als Schrägbild zeichnen kannst. Der Verkürzungsfaktor $q$ soll hier $0,5$ sein und der Verzerrungswinkel $45°$.
a)
b)
c)

Aufgabe 5

Ein Prisma hat als Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck mit einer Seitenlänge von $a=4\,\text{cm}$ und einer Höhe von $5\,\text{cm}$. Zeichne das Prisma als Schrägbild mit dem Verkürzungsfakotr $q=0,5$ und dem Verzerrungswinkel $\omega=45°$.
Zeichne für die Grundfläche zuerst ein $8\,\text{cm}$ breites und $6,9\,\text{cm}$ tiefes Rechteck.

Aufgabe 6

Eine Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit der Seitenlänge $6\,\text{cm}$. Ihre Spitze liegt über dem Mittelpunkt der Grundfläche.
a)
Zeichne die Grundfläche der Pyramide als Schrägbild mit dem Verkürzungsfaktor $q=0,5$ und dem Verzerrungswinkel $45°$. Zeichne außerdem auch den Mittelpunkt der Grundfläche ein und beschreibe, wie du vorgegangen bist, um ihn zu bestimmen.
Die Pyramide hat eine Höhe von $4\,\text{cm}$.
b)
Ergänze deine Zeichnung aus Aufgabenteil a) so, dass du das Schrägbild der Pyramide erhältst.
c)
Zeichne das Schrägbild einer quadratischen Pyramide mit der Seitenlänge $a=3\,\text{cm}$ und der Höhe $10\,\text{cm}$. Der Verkürzungsfaktor $q$ ist $0,5$ und der Verzerrungswinkel $\omega=45°$. Ihre Spitze liegt über dem Mittelpunkt der Grundfläche.

Aufgabe 7

Zeichne das Schrägbild der Pyramiden mit den folgenden Eigenschaften. Der Verkürzungsfaktor $q$ ist $0,5$ und der Verzerrungswinkel $\omega=45°$.
a)
Die Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche. Die Grundfläche ist $6\,\text{cm}$ breit und $5\,\text{cm}$ tief. Die Pyramide ist $7\,\text{cm}$ hoch. Ihre Spitze liegt direkt über dem Mittelpunkt der Grundfläche.
b)
Die Pyramide hat ein gleichseitiges Dreieck als Grundfläche. Die Seitenlänge beträgt $5\,\text{cm}$. Das Dreieck hat eine Höhe von $5,6\,\text{cm}$, während die Pyramide $8\,\text{cm}$ hoch ist. Ihre Spitze liegt direkt über dem Mittelpunkt der Grundfläche.
c)
Die Pyramide hat ein rechtwinkliges Dreieck als Grundfläche. Die beiden Katheten sind $8\,\text{cm}$ lang. Die Pyramide ist $5\,\text{cm}$ hoch. Ihre Spitze liegt über dem Punkt des Dreiecks, an dem der rechte Winkel liegt.

Aufgabe 8

Die Cheops-Pyramide hat eine quadratische Grundfläche und ist $230\,\text{m}$ breit. Ursprünglich war sie fast $150\,\text{m}$ hoch, doch im laufe der Jahrhunderte ist der Stein verwittert, weshalb sie heute nur noch ca. $138\,\text{m}$ hoch ist.
a)
Zeichne ein Schrägbild der Cheops-Pyramide in ihrer ursprünglichen Größe. Der Verkürzungsfaktor beträgt dabei $q=0,5$ und der Verzerrungswinkel ist $45°$ groß. Du darfst den Maßstab für deine Zeichnung selbst wählen, achte jedoch darauf, dass die Zeichnung mindestens $7\,\text{cm}$ breit ist und du das Verhältnis von Grundseite zu Höhe beachtest.
Die Grabkammer des Pharaos, sowie die Königinnenkammer und die unterirdische Grabkammer liegen alle unter der Spitze der Pyramide. Pharao Cheops ruht dabei in einer Höhe von ca. $50\,\text{m}$ über dem Erdboden. Die Königinnenkammer liegt $25\,\text{m}$ darunter. Die unterirdische Grabkammer liegt $40\,\text{m}$ unter dem Erdboden.
b)
Zeichne die drei Kammern in deiner Zeichnung aus Aufgabenteil a) ein.
Wenn du dir eine Linie denkst, die die Grabkammer des Pharaos mit der vorderen, rechten Ecke der Pyramide verbindet, dann verläuft die große Galerie die ersten $50\,\text{m}$ von der Grabkammer aus. Vom Ende der Galerie führt außerdem ein Weg direkt zur Königinnenkammer und zum Eingang der Pyramide. Der Eingang der Pyramide liegt an der vorderen, rechten Ecke der Pyramide, wenn du $20\,\text{m}$ die Pyramidenkannte hinauf gehst. Von der unterirdischen Grabkammer führt ein Weg direkt zum Eingang der Pyramide.
c)
Zeichne die große Galerie, den Pyramideneingang und die Wege innerhalb der Pyramide in deiner Skizze aus Aufgabenteil a) ein.

Aufgabe 9

Zu den wohl bekanntesten Legosteinen zählen der $2\times4$ und der $2\times2$ Legostein. Die Zahl in ihrem Namen gibt die Anzahl an Noppen an, die oben auf dem Legostein zu finden ist. Ein Legostein ist ca. $1\,\text{cm}$ hoch und der Bereich um eine Noppe ist $8\,\text{mm}\times8\,\text{mm}$ groß.
a)
Zeichne die beiden Legosteine als Schrägbilder. Der Verkürzungsfaktor soll $q=0,5$ sein und der Verzerrungswinkel $\omega=45°$. Deute die Noppen auf der Oberseite an.
b)
Du hast drei $2\times4$ und sechs $2\times2$ Legosteine. Baue daraus eine beliebig große Struktur und zeichne ein Schrägbild davon. Du musst mindestens $3$ Legosteine verwenden. Der Verkürzungsfaktor soll $q=0,5$ sein und der Verzerrungswinkel $\omega=45°$. Zeige deutlich, wo ein Legostein aufhört und wo ein anderer beginnt.
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
Beginne deine Zeichnung mit der $6\,\text{cm}$ langen Grundfläche deines Rechtecks. An den Enden dieser Strecke misst du den Verzerrungswinkel $\omega$ ab und zeichnest jeweils die $4\,\text{cm}$ langen Strecken daran. Beachte dabei, dass du die Länge dieser Strecken mit dem Verkürzungsfaktor $q$ multiplizierst. Demnach sind die Strecken nicht $4\,\text{cm}$ sondern $4\,\text{cm}\cdot0,5=2\,\text{cm}$ lang.
Diese verkürzten Strecken musst du noch markieren und den Winkel $\omega$ jeweils zwischen der $6\,\text{cm}$ langen Strecke und den verkürzten Strecken einzeichnen. Zum Schluss musst du noch ein weiteres mal die $6\,\text{cm}$ lange Strecke einzeichnen.
Die fertige Zeichnung sieht so aus:
b)
Hier zeichnest du von jeder Ecke deines in Aufgabenteil a) gezeichneten Rechtecks eine $5\,\text{cm}$ lange Strecke nach oben und verbindest die Ecken miteinander. Stelle dir vor, welche Seiten zu dir zeigen würden, wenn der Quader ein fester Körper wäre. Alle Strecken, die hinter diesen Seiten liegen, zeichnest du gestrichelt.
Die fertige Zeichnung sieht so aus:

Aufgabe 1

Zeichne dreimal den Würfel mit den unterschiedlichen Verkürzungsfaktoren und Verzerrungswinkeln nebeneinander. Mache deutlich, welcher Würfel zu welchem Wertepaar gehört. Zeichne Seiten, die hinter der Bildebene liegen gestrichelt ein.
Die gezeichneten Würfel sehen so aus:

Aufgabe 2

Du kannst den Quader auf mehrere verschiedene Arten zeichnen. Überlege dir, wie du normalerweise beim Zeichnen eines Schrägbilds vorgehst und wo du bei diesem Quader einen Unterschied machen kannst.
Du beginnst normalerweise damit, eine Grundseite zu zeichnen und von dort aus zwei verkürzte Seiten im richtigen Winkel zu zeichnen. Du kannst bei diesem Quader mit einer unterschiedlichen Seite starten oder jeweils andere Seiten verkürzt darstellen.
Insgesamt gibt es $6$ verschiedene Möglichkeiten den Quader darzustellen. Du solltest zwei der folgenden Darstellungen gezeichnet haben.

Aufgabe 3

Überlege dir anhand der Skizze und den gegebenen Punkten, wie du die $x$- bzw. $y$-Koordinaten der fehlenden Punkte bestimmen kannst.
Punkt $B$
Der Punkt $B$ liegt auf der selben $y$-Höhe wie Punkt $A$. Seine $y$-Koordinate ist demnach $0$. Der $x$-Abstand von $A$ und $B$ ist genauso groß wie der Abstand von $E$ und $F$. Wenn du die Differenz der $x$-Koordinaten der beiden Punkte bildest, dann siehst du, dass dieser Abstand $12-5,5=6,5$ ist.
Addiere diesen Wert zum $x$-Wert des Punktes $A$ und du erhältst, dass die $x$-Koordinate von Punkt $B$ $0+6,5=6,5$ ist.
Der Punkt $B$ hat die Koordinaten $(6,5\mid0)$.
Punkt $D$
Der Punkt $D$ liegt auf der selben $x$-Höhe wie Punkt $B$. Seine $x$-Koordinate ist demnach $6,5$. Er liegt außerdem auf der selben $y$-Höhe wie Punkt $C$. Demnach ist seine $y$-Koordinate $4$.
Der Punkt $D$ hat die Koordinaten $(6,5\mid4)$.
Punkt $G$
Der Punkt $G$ liegt auf der selben $x$-Höhe wie Punkt $F$. Seine $x$-Koordinate ist demnach $12$. Die Punkte $G$ und $F$ haben außerdem den selben $y$-Abstand wie die Punkte $A$ und $C$. Wenn du die Differenz der $y$-Werte der beiden Punkte bildest, dann erhältst du für den Abstand der beiden Punkte $4-0=4$.
Nun kannst du die $y$-Koordinate des Punktes $G$ berechnen, indem du den Abstand zum $y$-Wert des Punktes $F$ addierst. Du erhältst für den $y$-Wert $5,5+4=9,5$.
Der Punkt $G$ hat die Koordinaten $(12\mid9,5)$.
Punkt $H$
Der Punkt $H$ liegt auf der selben $x$-Höhe wie Punkt $E$. Seine $x$-Koordinate ist demnach $5,5$. Außerdem liegt er auf der selben $y$-Höhe wie Punkt $G$. Seine $y$-Koordinate ist demnach $9,5$.
Der Punkt $H$ hat die Koordinaten $(5,5\mid9,5)$.
Du kannst die berechneten Punkte nun in ein Koordinatensystem einzeichnen und zu einem Quader verbinden. Die Seiten, die hinter der Bildebene liegen, zeichnest du gestrichelt.
Die fertige Zeichnung sieht so aus:

Aufgabe 4

Hier musst du zuerst die Grundflächen als Schrägbild zeichnen. Anschließend kannst du die Höhe des Prismas einzeichnen und die Zeichnung zu einem Körper ergänzen.
Wenn du die Grundflächen zeichnen willst, dann empfiehlt es sich zuerst ein passendes Rechteck zu zeichnen und anhand von Orientierungspunkten die Grundfläche einzuzeichnen. Anhand der gegebenen Längen weißt du, wie groß das Rechteck sein muss.
a)
Zeichne ein Rechteck mit einer $4\,\text{cm}$ langen Seite und daran die verkürzten $5\,\text{cm}\cdot0,5=2,5\,\text{cm}$ langen Seiten. Vervollständige anschließend das Rechteck. Wenn du eine Diagonale in das Rechteck einzeichnest, dann erhältst du die Grundfläche deines Prismas.
Das fertige Prisma sieht so aus:
b)
Zeichne ein Rechteck mit einer $5\,\text{cm}$ langen Seite und daran zwei verkürzte $7,5\,\text{cm}\cdot 0,5=3,75\,\text{cm}$ lange Seiten. Vervollständige anschließend das Rechteck. Von den vorderen Ecken des Rechtecks kannst du zwei Linien zum Mittelpunkt der hinteren Strecke ziehen. Somit hast du deine dreieckige Grundfläche konstruiert und du kannst das Prisma fertig zeichnen.
Das fertige Prisma sieht so aus:
c)
Zeichne ein Rechteck mit einer $6\,\text{cm}$ langen Seite und verkürzten $7\,\text{cm}\cdot0,5=3,5\,\text{cm}$ langen Seiten. Die mittleren $2\,\text{cm}$ und die komplette hintere Seite gehören zur Grundfläche des Prismas. Verbinde die Enden beider Seiten zur Grundfläche und vervollständige das Prisma.
Das fertige Prisma sieht so aus:

Aufgabe 5

Bei einem regelmäßigen Sechseck sind alle Seiten gleich lang. Zuerst musst du das Rechteck als Hilfe zeichnen. Beachte dabei den Verzerrungswinkel und das du die $6,9\,\text{cm}$ Seite verkürzt.
Zeichne auf den $8\,\text{cm}$ langen Seiten in der Mitte deine $4\,\text{cm}$ langen Seiten des Sechsecks ein. Die Enden dieser beiden Seiten verbindest du anschließend mit der Mitte der verkürzten Seiten. So erhältst du deine sechseckige Grundfläche. Anschließend kannst du das Prisma vollenden.
Das fertige Prisma sieht so aus:

Aufgabe 6

a)
Zeichne zuerst das Quadrat als Schrägbild. Überlege dir anschließend, wie du den Mittelpunkt der Grundfläche bestimmen kannst. Hat ein Quadrat eventuell Eigenschaften, die es dir erlauben den Mittelpunkt zu bestimmen?
Wenn du in einem Rechteck oder Quadrat die Diagonalen einzeichnest, dann treffen diese sich im Mittelpunkt. Alternativ kannst du von einer Ecke des Quadrats auch jeweils die halben Streckenlängen aus einzeichnen, um den Mittelpunkt zu finden.
Das fertige Quadrat sieht so aus:
b)
Zeichne nun den Rest der Pyramide. Dazu zeichnest du vom Mittelpunkt der Grundfläche aus die Höhe der Pyramide ein und verbindest die Ecken der Grundfläche mit der Spitze der Pyramide.
Die fertige Pyramide sieht so aus:
c)
Zeichne die Pyramide, wie du es schon in Aufgabenteil a) und b) gemacht hast. Zeichne zuerst die Grundfläche und bestimme den Mittelpunkt. Vom Mittelpunkt aus zeichnest du die Höhe der Pyramide ein und verbindest die Ecken der Grundfläche mit der Spitze der Pyramide.
Die fertige Pyramide sieht so aus:

Aufgabe 7

a)
Gehe hier genauso vor wie in Aufgabe 6. Zeichne zuerst die Grundfläche und markiere den Mittelpunkt. Vom Mittelpunkt aus zeichnest du die Höhe ein und verbindest die Spitze mit den Ecken der Grundfläche.
Die fertige Pyramide sieht so aus:
b)
Gehe hier ähnlich vor wie in Aufgabe 6. Zeichne zuerst die Grundfläche und markiere den Mittelpunkt des Dreiecks. Diesen findest du, indem du von jeder Ecke des Dreiecks aus eine Linie zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite zeichnest. Vom Mittelpunkt aus zeichnest du die Höhe ein und verbindest die Spitze mit den Ecken der Grundfläche.
Die fertige Pyramide sieht so aus:
c)
Zeichne zunächst die Grundfläche deiner Pyramide ein. Dabei ist es am einfachsten, wenn die Katheten des Dreiecks die Seiten deines Hilfsrechtecks werden.
Du weißt, dass die Spitze der Pyramide über der Ecke, an der der rechte Winkel liegt, ist. Diese Ecke ist dort, wo sich die beiden Katheten des Dreiecks treffen. Zeichne von dort aus die Höhe ein und verbinde die Spitze mit den Ecken der Grundfläche.
Die fertige Pyramide sieht so aus:

Aufgabe 8

a)
Zeichne das Schrägbild der Pyramide, so wie du es schon in Aufgabe 6 und 7 getan hast. Überlege dir dabei einen Maßstab, den du verwenden willst.
Du kannst z.B. festlegen, dass $1\,\text{cm}$ der Zeichnung $10\,\text{m}$ in der Realität entsprechen. Damit wäre die Pyramide $23\,\text{cm}$ breit und $15\,\text{cm}$ hoch. Wenn dir das zu groß ist, dann kannst du z.B. auch den Maßstab so wählen, dass $1\,\text{cm}$ $20\,\text{m}$ entspricht. Dann würden deine Längen auf $11,5\,\text{cm}$ und $7,5\,\text{cm}$ schrumpfen.
Wenn du dich für einen Maßstab entschieden hast, dann zeichne die Pyramide.
Deine Zeichnung sollte in etwa so aussehen:
b)
Als nächstes musst du drei Punkte in deine Zeichnung aus Aufgabenteil a) einzeichnen. Hier ist es nun hilfreich, wenn du die Höhe bzw die Diagonalen der Grundfläche ingezeichnet hast. Von dem Fußpunkt der Höhe kannst du eine Strecke, die den $50\,\text{m}$ in deinem Maßstab entspricht, nach oben der Höhe entlang zeichnen und du erreichst den Punkt, an dem das Pharaonengrab liegt.
Auf die selbe Art kannst du die, in einer Höhe von $25\,\text{m}$ liegende, Königinnenkammer einzeichnen und auch die $40\,\text{m}$ unter der Erde liegende Grabkammer.
Anschließend sollte deine Zeichnung so aussehen:
c)
Zum Schluss musst du noch ein paar Wege in deine Zeichnung einzeichnen. Lege dein Lineal so an, dass du den Punkt des Pharaonengrabs und die vordere, rechte Ecke verbindest. Zeichne vom Pharaonengrab aus eine Strecke ein, die der Länge der großen Galerie in deinem Maßstab entspricht.
Als nächstes solltest du den Eingang der Pyramide einzeichnen. Dazu rechnest du aus, welche Strecke in deinem Maßstab $20\,\text{m}$ entsprechen würde. Diese Strecke misst du von der vorderen rechten Ecke der Pyramide zur Spitze hin ab und zeichnest dort den Eingang ein.
Zum Schluss verbindest du mit geraden Linien den Eingang und die Grabkammer, sowie den Eingang und das Ende der großen Galerie. Vom Ende der großen Galerie ziehst du außerdem noch eine Linie zur Königinnenkammer.
Deine fertige Zeichnung sieht so aus:

Aufgabe 9

a)
Berechne zuerst die Länge und Breite der beiden Legosteine. Du weißt, wie viele Noppen sie jeweils umfassen und welcher Bereich zu einer Noppe gehört.
Beide Legosteine sind $0,8\,\text{cm}\cdot2=1,6\,\text{cm}$ breit. Der $2\times2$ Legostein ist auch noch genauso lang. Der $2\times4$ Legostein ist $0,8\,\text{cm}\cdot4=3,2\,\text{cm}$ lang.
Zeichne beide Legosteine. Sie sehen so aus:
a)
Nun sollst du selbst kreativ werden und aus den gegebenen Legosteinen eine Konstruktion bauen. Dabei ist es wichtig, dass du klar machst, wo ein Stein aufhört und ein anderer beginnt. Achte auch darauf, dass alle Linien, die hinter der Bildebene sind gestrichelt sind.
Zum besseren unterscheiden der einzelnen Steine, kannst du die sichtbaren Flächen in unterschiedlichen Farben anmalen.
Deine Konstruktion kann z.B. so aussehen:
Bildnachweise [nach oben]
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