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Strecken und Winkel in wahrer Größe

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
b)
Zeichne das Dreieck $EMS$ in wahrer Größe, wobei $E$ der Mittelpunkt der Seitenkante zwischen $A$ und $D$ ist.
c)
Bestimme die Länge der Seitenhöhe $\overline{ES}$ und den Winkel zwischen der Seitenfläche und der Grundfläche.

Aufgabe 1

Aufgabe 2

a)
b)
Zeichne das Dreieck $HDC$ in wahrer Größe und bestimme die Länge der Diagonalen $\overline{CH}$ der hinteren Seitenfläche.
c)
Zeichne das Dreieck $ACG$ in wahrer Größe und bestimme den Winkel zwischen der Raumdiagonalen $\overline{AG}$ und der Grundfläche $ABCD$.

Aufgabe 3

Die quadratische Pyramide $ABCDS$ ist $7\,\text{cm}$ hoch. Die Grundseite ist $4\,\text{cm}$ breit. Die Seitenkante $s$ ist $7,55\,\text{cm}$ lang.
a)
Bestimme den Winkel zwischen der Grundfläche $ABCD$ und der Seitenkante.
b)
Bestimme die Länge der Diagonalen der Grundfläche.
c)
Bestimme die Länge der Seitenhöhe zwischen dem Mittelpunkt einer Grundseite und der Spitze der Pyramide.
d)
Bestimme den Winkel zwischen der Seitenhöhe und der Grundfläche $ABCD$.

Aufgabe 4

a)
Überlege dir, wie der Zauberer den Zauberstab im Hut platzieren kann, sodass er den größt möglichen Platz hat und bestimme anschließen, ob der Zauberstab in den Hut passt, ohne herauszuschauen.
Für den Trick muss der Zauberer jedoch auch den Hut auf dem Kopf tragen. Wenn er den Zylinder auf hat, dann steckt sein Kopf $4\,\text{cm}$ tief im Zylinder.
b)
Passt der Zauberstab immernoch in den Hut, wenn der Zauberer den Zylinder trägt?

Aufgabe 5

Heute zählt die Statue als UNESCO-Welterbe. Mit einer Fähre kann man von New York aus nach Liberty Island fahren, wo die Statue steht. Die Fähre macht zuerst einen Bogen im Abstand von $350\,\text{m}$ um die Statue, bevor sie anlegt. Vom Boot aus hat man einen optimalen Ausblick auf die Statue. Wenn man den Kopf um $15°$ hebt, dann hat man die Spitze der Fackel direkt vor Augen.
Bestimme die Größe der Freiheitsstatue.
Bildnachweise [nach oben]
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Einführungsaufgabe

a)
Zeichne zuerst die Grundfläche der Pyramide. Dazu beginnst du mit einer Grundseite. Von dieser aus zeichnest du in einem $45°$ Winkel weitere Grundseiten um den Faktor $0,5$ verkürzt ein. Diese Seiten sind demnach $0,5\cdot7\,\text{cm}=3,5\,\text{cm}$ lang.
Als nächstes bestimmst du den Mittelpunkt der Grundfläche, indem du die Diagonalen der Grundfläche einzeichnest. Dort wo sie sich kreuzen ist der Mittelpunkt. Von dort aus zeichnest du die Höhe von $5\,\text{cm}$ ein und verbindest die Spitze mit den Ecken der Grundfläche.
Die fertige Pyramide sieht so aus:
b)
Konstruiere nun das Dreieck $EMS$. Überlege dir dazu, welche Angaben des Dreiecks du gegeben hast und was du brauchst, um das Dreieck eindeutig konstruieren zu können.
Du weißt, dass die Strecke zwischen $E$ und $M$ der halben Grundseite entspricht. Demnach muss sie $0,5\cdot7\,\text{cm}=3,5\,\text{cm}$ lang sein. Die Strecke zwischen $M$ und $S$ entspricht der Höhe der Pyramide, also $5\,\text{cm}$. Außderm entspricht der Winkel am Punkt $M$ einem rechten Winkel. Damit hast du nach dem Kongruenzsatz $SWS$ genug angaben, um das Dreieck eindeutig konstruieren zu können.
Beginne mit einer bekannten Seite des Dreiecks. An einem Ende der Seite zeichnest du die zweite Seite im rechten Winkel ein. Anschließend verbindest du die losen Enden zu einem Dreieck. Achte darauf, dass du besonders genau zeichnest, da diese Zeichnung in Aufgabenteil c) wichtig ist.
Das fertige Dreieck sieht so aus:
c)
Mit deinem konstruierten Dreieck kannst du nun die Länge der Strecke $\overline{ES}$ und den Winkel zwischen $\overline{ES}$ und $\overline{EM}$ durch abmessen bestimmen.
Die Strecke $\overline{ES}$ sollte ungefähr $6,1\,\text{cm}$ lang sein. Der Winkel $\sphericalangle\,SEM$ sollte ungefähr $55°$ groß sein.

Aufgabe 1

a)
Zeichne den Würfel. In Kavaliersperspektive ist der Verzerrungswinkel $45°$ und der Verkürzungsfaktor $0,5$.
Der Würfel sieht so aus:
b)
Überleg dir, welche Angaben des Dreiecks du gegeben hast und was du benötigst, um das Dreieck zu konstruieren.
Du weißt, dass die Diagonale $\overline{AC}$ $8,5\,\text{cm}$ lang ist. Die Seite $\overline{CG}$ steht im rechten Winkel dazu und ist $6\,\text{cm}$ lang. Damit hast du genug Angaben, um das Dreieck zu konstruieren. Achte darauf, dass du möglichst genau zeichnest.
Das Dreieck sieht so aus:
c)
Miss die Länge der Raumdiagonalen $\overline{AG}$ ab.
Die Raumdiagonale sollte ungefähr $9,8\,\text{cm}$ lang sein.

Aufgabe 2

a)
Überlege dir anhand der Skizze und den Angaben im Text, welche Angaben des Dreiecks du gegeben hast und wo genau das gesuchte Dreieck liegt.
Du weißt, dass die Strecke $\overline{AB}$ $4\,\text{cm}$ lang ist. Die Strecke $\overline{BC}$ steht im rechten Winkel dazu und ist $5\,\text{cm}$ lang. Damit hast du genug angaben, um das Dreieck zu konstruieren. Achte darauf, dass du möglichst genau zeichnest.
Das Dreieck sieht so aus:
Wenn du die Strecke $\overline{AC}$ abmisst, dann solltest du ungefähr auf $6,4\,\text{cm}$ kommen.
b)
Gehe hier wie in Aufgabenteil a) vor. Überlege dir, welche Angaben du gegeben hast und wo genau das Dreieck liegt.
Die Strecke $\overline{CD}$ ist genau wie die Strecke $\overline{AB}$ $4\,\text{cm}$ lang. Die Strecke $\overline{DH}$ ist $6\,\text{cm}$ lang und steht im rechten Winkel dazu.
Zeichne das Dreieck und achte darauf, besonders genau zu zeichnen.
Das fertige Dreieck sieht so aus:
Wenn du die Strecke $\overline{CH}$ abmisst, dann solltest du ungefähr auf $7,8\,\text{cm}$ kommen.
c)
Gehe hier wie in Aufgabenteil a) vor. Überlege dir, welche Angaben du gegeben hast und wo genau das Dreieck liegt.
Die Strecke $\overline{CG}$ ist genau wie die Strecke $\overline{DH}$ $6\,\text{cm}$ lang. Die Strecke $\overline{AC}$ hast du bereits in Aufgabenteil a) bestimmt. Sie ist $6,4\,\text{cm}$ lang.
Zeichne das Dreieck und achte darauf, besonders genau zu zeichnen.
Das fertige Dreieck sieht so aus:
Wenn du den Winkel $\sphericalangle\,GAC$ abmisst, dann solltest du ungefähr auf $43°$ kommen.

Aufgabe 3

In dieser Aufgabe musst du dir überlegen, welche Dreiecke du benötigst, um die gesuchten Strecken und Winkel bestimmen zu können. Wenn du dir unsicher bist, dann kannst du dir eine Skizze der Pyramide anfertigen oder du verwendest die Skizze aus der Einführungsaufgabe.
a)
Für diese Aufgabe brauchst du das Dreieck $AMS$, wobei $M$ der Mittelpunkt der Grundfläche ist. Du kennst die Länge der Seitenkante und der Höhe. Zwischen der halben Diagonalen der Grundfläche, also der Strecke $\overline{AM}$, und der Höhe liegt ein rechter Winkel.
Konstruiere das Dreieck, indem du die Höhe zeichnest. Um das eine Ende musst du einen Kreis mit deinem Zirkel ziehen. Dabei sollte der Abstand zwischen Stift und Nadel der Länge der Seitenkante, also $7,55\,\text{cm}$, entsprechen. Vom anderen Ende der Höhe ziehst du im rechten Winkel eine lange Gerade. Dort wo der Kreis und diese Gerade sich schneiden liegt der Punkt $A$. Du kannst nun die Strecken $\overline{AM}$ und $\overline{AS}$ einzeichnen.
Miss anschließend den Winkel $\sphericalangle\,SAM$ ab. Er sollte ungefähr $68°$ groß sein.
b)
Für diese Aufgabe brauchst du das gleiche Dreieck wie in Aufgabenteil a). Diesmal musst du die Strecke $\overline{AM}$ abmessen. Ihre länge sollte ungefähr $2,8\,\text{cm}$ entsprechen.
Damit hast du die Länge der halben Diagonalen gegeben. Die Diagonale ist demnach ungefähr $2\cdot 2,8\,\text{cm}=5,6\,\text{cm}$ lang.
c)
Für diese Aufgabe benötigst du das Dreieck $EMS$. Dabei ist $E$ der Mittelpunkt einer Seitenkante. Die Länge der Strecke $\overline{EM}$ entspricht der halben Länge einer Grundseite, also $0,5\cdot4\,\text{cm}=2\,\text{cm}$. Die Höhe $\overline{MS}$ der Pyramide steht im rechten Winkel darauf und ist $7\,\text{m}$ lang.
Wenn du das Dreieck zeichnest und die Länge der Seitenhöhe $\overline{ES}$ abmisst, dann solltest du ungefähr auf $8,1\,\text{cm}$ kommen.
d)
Für diese Aufgabe brauchst du das selbe Dreieck wie in Aufgabenteil c). Wenn du den Winkel $\sphericalangle\,SEM$ misst, dann sollte er ungefähr $74°$ entsprechen.

Aufgabe 4

a)
Konstruiere dazu ein Dreieck. Eine Seite entspricht dem Durchmesser des Zylinders, also $19\,\text{cm}$. Im rechten Winkel dazu steht die Höhe des Zylinders von $16\,\text{cm}$. Die angegebenen Längen sind relativ groß. Du kannst das Dreieck z.B. auch im Maßstab $1:2$ zeichnen, sodass deine Dreiecksseiten nur $8\,\text{cm}$ und $9,5\,\text{cm}$ lang sind. Vergiss aber anschließend nicht, deine gemessene Länge wieder in die reale Länge umzurechnen.
Wenn du das Dreieck konstruierst und die Diagonale ausmisst, dann erhältst du eine Länge von ca. $24,8\,\text{cm}$. Diese Länge ist größer als die Länge des Zauberstabs. Der Zauberstab passt also in den Zylinder hinein.
b)
Überlege dir zuerst, was sich an den Maßen des Innensraums des Zylinders ändert, wenn der Zauberer ihn auf seinem Kopf trägt.
Der Kopf des Zauberers steckt $4\,\text{cm}$ tief im Zylinder. Dadurch verringert sich die effektive Höhe des Innenraums auf $16\,\text{cm}-4\,\text{cm}=12\,\text{cm}$.
Konstruiere ein neues Dreieck mit den Seitenlängen $12\,\text{cm}$ und $19\,\text{cm}$ und einem rechten Winkel und miss aus, ob der Zauberstab immernoch hinein passt. Du kannst wieder in einem Maßstab zeichnen. Vergiss jedoch nicht die gemessene Länge umzurechnen.
Wenn du das Dreieck zeichnest und ausmisst, dann erhältst du für die Raumdiagonale des Zylinders ungefähr $22,5\,\text{cm}$. Der Zauberstab passt also immernoch hinein, wenn der Zauberer den Zylinder trägt.

Aufgabe 5

Überlege dir anhand der Aufgaben im Text, wie du ein Dreieck konstruieren kannst, mit dem du die Größe der Freiheitsstatue bestimmen kannst.
Das Boot und die Freiheitsstatue sind ungefähr auf einer Höhe und $350\,\text{m}$ von einander entfernt. Die Höhe der Statue bildet eine Seite, die im rechten Winkel auf dieser Strecke steht. Eine weitere Strecke verbindet das Boot und die Spitze der Fackel, also den obersten Punkt der Höhe der Statue. Die Länge dieser Strecke weißt du nicht, aber du weißt, dass der Winkel zwischen der Strecke vom Boot zum Sockel und vom Boot zur Fackel $15°$ beträgt.
Nach dem Kongruenzsatz $WSW$ kannst du ein Dreieck konstruieren. Dazu zeichnest du zuerst die bekannte Strecke. Von den Enden der Strecke zeichnest du lange Geraden, die in den bekannten Winkeln zu der gezeichneten Strecke stehen. Dort, wo sich die beiden Geraden schneiden, liegt der dritte Punkt des Dreiecks. Du kannst nun die Punkte zum Dreieck verbinden.
Wenn du das Dreieck konstruierst, dann musst du in einem Maßstab zeichnen. Überlege dir einen geeigneten Maßstab. Eine Möglichkeit wäre z.B. der Maßstab $1:30.000$. Dabei würde jeder gezeichnete Zentimeter $30\,\text{m}$ entsprechen.
Wenn du die Strecke, die die Höhe der Statue darstellt, abmisst, dann kommst du ungefähr auf $93,8\,\text{m}$.
Bildnachweise [nach oben]
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