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Winkel im Raum

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Abbildung $1$ zeigt den die Pyramide $ABCDSM$. Beantworte die folgenden Fragen.
Grundlagen der Raumgeometrie: Winkel im Raum
Abb. 1: Pyramide $ABCDSM$
Grundlagen der Raumgeometrie: Winkel im Raum
Abb. 1: Pyramide $ABCDSM$
a)
Markiere die Winkel $\sphericalangle \; SAC, \; \sphericalangle \; SMC \; und \; \sphericalangle \; SBD $
b)
Benenne die jeweilige Winkelart (stumpfer, spitzer, rechter Winkel) der Winkel aus a).
c)
Um welche Art von Dreiecken handelt es sich bei den Seitenflächen?
d)
$\sphericalangle \; SAC$ ist der Winkel zwischen der Seitenkante $\overline {SA}$ und der Grundfläche. Benenne die Winkel zwischen den weiteren Seitenkanten und der Pyramidengrundfläche.
e)
Welcher Zusammenhang besteht bezüglich der Größe der in d) genannten Winkel?
f)
Welche Lage besitzt die Ebene $E \; (DBS)$ zur Ebene $E \; (ACS)$?
g)
Welche Winkel schließt die Ebene $E \; (BDS)$ mit der Grundfläche ein?

Aufgabe 1

Abbildung 2 zeigt die Pyramide $ABCSH$. Beantworte die folgenden Fragen.
Grundlagen der Raumgeometrie: Winkel im Raum
Abb. 2: Pyramide $ABCSH$
Grundlagen der Raumgeometrie: Winkel im Raum
Abb. 2: Pyramide $ABCSH$
a)
Um welche Art von Pyramide handelt es sich?
b)
Begründe warum $\overline {SM}$ und $\overline {CM}$ auf der Grundkante $\overline{AB}$ senkrecht stehen.
c)
Bezeichne die Winkel zwischen den Seitenflächen $\Delta \; ABS$, $\Delta \; BCS$, $\Delta \; CAS$ und der Grundfläche.

Aufgabe 2

Abbildung 3 zeigt eine Pyramide in einem Würfel. Wie viele Pyramiden mit quadratischer Grundfläche brauchst du, um einen Würfel zu bauen? Gehe davon aus, dass alle Pyramiden dieselben Maße haben und die Längen der jeweiligen Seitenkanten der Hälfte der Raumdiagonalen des Würfels entsprechen.
Grundlagen der Raumgeometrie: Winkel im Raum
Abb. 3: Pyramide in Quadrat
Grundlagen der Raumgeometrie: Winkel im Raum
Abb. 3: Pyramide in Quadrat

Aufgabe 3

Abbildung 4 zeigt die Pyramide $ABCDMS$. Die Grundseitenlänge der quadratischen Pyramide beträgt $250$ m. Die Seitenkanten haben jeweils die gleiche Länge.
Grundlagen der Raumgeometrie: Winkel im Raum
Abb. 4: Pyramide $ABCDMS$
Grundlagen der Raumgeometrie: Winkel im Raum
Abb. 4: Pyramide $ABCDMS$
a)
Die Spitze wird vom Boden aus unter einem Winkel von $\alpha = 25°$ angepeilt. Der Anpeilpunkt ist $180\;\text{m}$ von der äußeren Kante entfernt. Wie hoch ist die Pyramide?
b)
Von welcher horizontalen Entfernung müsstest du die Pyramidenspitze anpeilen, damit ein Winkel von $\alpha=30°$ entsteht?

Aufgabe 4

Abbildung 5 zeigt das Dach eines Turmes, das die Form einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide. Beantworte die folgenden Fragen.
Grundlagen der Raumgeometrie: Winkel im Raum
Abb. 5: Pyramidendach
Grundlagen der Raumgeometrie: Winkel im Raum
Abb. 5: Pyramidendach
a)
Wieviele Seitenflächen besitzt die Pyramide?
b)
Welche Winkelart schließen die Seitenflächen jeweils mit der Grundfläche ein?
c)
Begründe warum es sich hier um eine "regelmäßige" Pyramide handelt.
Bildnachweise [nach oben]
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Einführungsaufgabe

a)
Grundlagen der Raumgeometrie: Winkel im Raum
Abb. 1: Winkel in der Pyramide
Grundlagen der Raumgeometrie: Winkel im Raum
Abb. 1: Winkel in der Pyramide
Der Winkel $\sphericalangle \; SAC$ ist in grün, $\sphericalangle \; SMC$ in rot und $\sphericalangle \; SBD$ in blau in Abbildung $1$ eingezeichnet.
b)
Bei $\sphericalangle \; SAC$ und $\sphericalangle \; SBD$ handelt es sich um spitze Winkel, da sie einen Winkel von weniger als $90°$ einschließen. $\sphericalangle \; SMC$ schließt einen Winkel von genau $90°$ ein, es handelt sich also um einen rechten Winkel.
c)
Die Seitenflächen bestehen jeweils aus identischen Dreiecken mit zwei gleich langen Schenkeln. Es handelt sich also um gleichschenklige Dreiecke.
d)
Es gibt drei weitere Seitenkanten, die einen Winkel mit der Grundfläche einschließen: $\overline{SD}$, $\overline{SC}$ und $\overline{SB}$. Diese schließen die Winkel $\sphericalangle \; SDB$, $\sphericalangle \; SCA$ und $\sphericalangle \; SBD$ ein.
e)
Es handelt sich hier um eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Das bedeutet, dass die Pyramidenspitze sich genau über dem Mittelpunkt der Grundfläche befindet. Somit haben alle Seitenflächen die gleiche Neigung zur Grundfläche. Der gesuchte Zusammenhang ist somit, dass alle Winkel aus d) die gleiche Größe haben.
f)
Die Ebene $E \; (DBS)$ steht senkrecht zur Ebene $E \; (ACS)$. Die Ebenen schneiden sich also im rechten Winkel.
g)
Die Ebene $E \; (BDS)$ steht senkrecht auf der Grundfläche. Der gesuchte Winkel ist also $\sphericalangle \; 90° $.

Aufgabe 1

Abbildung 2 zeigt die Pyramide $ABCSH$.
Grundlagen der Raumgeometrie: Winkel im Raum
Abb. 2: Pyramide $ABCSH$
Grundlagen der Raumgeometrie: Winkel im Raum
Abb. 2: Pyramide $ABCSH$
a)
Es handelt sich um eine dreiseitige, gerade Pyramide mit dreieckiger Grundfläche.
b)
Grundlagen der Raumgeometrie: Winkel im Raum
Abb. 3: Seitenfläche der Pyramide
Grundlagen der Raumgeometrie: Winkel im Raum
Abb. 3: Seitenfläche der Pyramide
$\overline{SM}$ ist die Höhe des Dreiecks $\Delta \; ABS$ (grün in Abb. 2). Die Höhe eines Dreiecks steht immer senkrecht auf der Grundseite. In diesem Fall ist die Grundseite gerade die Grundkante $\overline{AB}$ der Pyramide. Somit steht $\overline{SM}$ senkrecht auf $\overline{AB}$.
Grundlagen der Raumgeometrie: Winkel im Raum
Abb. 4: Seitenfläche der Pyramide
Grundlagen der Raumgeometrie: Winkel im Raum
Abb. 4: Seitenfläche der Pyramide
$\overline{CM}$ ist die Höhe des Dreiecks $\Delta \; ABC$ (gelb in Abb. 3). Die Grundseite des Dreiecks ist gleichzeitig die Grundkante der Pyramide. Somit steht $\overline{CM}$ senkrecht auf $\Delta \; ABC$.
c)
Die gesuchten Winkel lauten: $\sphericalangle \; SAH$, $\sphericalangle \; SBH$ und $\sphericalangle \; SCH$.

Aufgabe 2

Grundlagen der Raumgeometrie: Winkel im Raum
Abb. 5: Pyramide in Quadrat
Grundlagen der Raumgeometrie: Winkel im Raum
Abb. 5: Pyramide in Quadrat
Man benötigt insgesamt $4$ gleich große Pyramiden, um einen Würfel zu bauen.

Aufgabe 3

a)
In dieser Aufgabe ist die Höhe der Pyramide gesucht. Um diese zu berechnen, solltest du in folgenden Schritten vorgehen:
1. Schritt: Gegebene Größen in die Abbildung einzeichnen
Zeichne die gegebenen Größen in die Abbildung ein. Du erhältst das folgende Bild:
Grundlagen der Raumgeometrie: Winkel im Raum
Abb. 6: Gegebene Größen
Grundlagen der Raumgeometrie: Winkel im Raum
Abb. 6: Gegebene Größen
2. Schritt: Trigonometrische Gesetze anwenden
Die Hypotenuse ist diejenige Seite in einem rechtwinklingen Dreieck, die sich gegenüber des rechten Winkels befindet. Da diese in diesem Fall nicht bekannt ist, solltest du die gesuchte Höhe mit Hilfe des Tangens berechnen. Die Definition des Tangens ist:
$tan(\alpha)=\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$
$tan(\alpha)=\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$
In diesem Fall ist die Gegenkathete gerade die gesuchte Höhe $h$. Die Ankathete berechnet sich zu $125+180=305$ [m], während $\alpha=25°$ ist.
3. Schritt: Werte einsetzen
Setze nun die Werte in die Formel zur Berechnung des Tangens ein. Löse anschließend nach $h$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} tan(\alpha)&=& \frac{Gegenkathete}{Ankathete} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Werte einsetzen} \\[5pt] tan(25°)&=& \frac{h}{305 \; \text{m}} \\[5pt] h &=& tan(25°) \cdot 305 \; \text{m} \\[5pt] &\approx& 142,22 \; \text{m} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} tan(\alpha)&=& \frac{Gegenkathete}{Ankathete} \\[5pt] tan(25°)&=& \frac{h}{305 \; \text{m}} \\[5pt] &\approx& 142,22 \; \text{m} \end{array}$
4. Schritt: Antwortsatz formulieren
Die Höhe der Pyramide beträgt etwa $142,22$ m.
b)
Im zweiten Aufgabenteil sollst du die horizontale Entfernung zwischen Punkt $M$ und dem Anpeilpunkt so verändern, dass sich statt ursprünglich $25°$ ein Winkel von $30°$ ergibt. Gehe dazu in folgenden Schritten vor.
1. Schritt: Gegebene Größen in Abbildung einzeichnen
Zeichne die gegebenen Größen in die Abbildung ein. Du erhältst das folgende Bild:
Grundlagen der Raumgeometrie: Winkel im Raum
Abb. 7: Gegebene Größen
Grundlagen der Raumgeometrie: Winkel im Raum
Abb. 7: Gegebene Größen
2. Schritt: Trigonometrische Gesetze anwenden
Du kennst bereits die Höhe $h=142,22$ m aus Aufgabenteil a). Darüberhinaus ist der Winkel $\alpha = 30°$ bekannt, sowie der Abstand zwischen Pyramidenmittelpunkt und Pyramidenkante, der $125$ m beträgt. Da somit ein Winkel und die entsprechende Gegenkathete bekannt ist, kannst du auch hier den Tangens zur Berechnung der gesuchten Dreiecksseite verwenden. Dabei ist die bereits bekannte Höhe $h$ die Gegenkathete und die gesuchte Länge $x$ ein Teil der Ankathete. Daher stellst du den Tangens nun nach der Ankathete um und setzt die bereits bekannten Werte ein.
3. Schritt: Werte einsetzen und Formel umstellen
$\begin{array}[t]{rll} tan(\alpha)&=& \frac{Gegenkathete}{Ankathete} \\[5pt] tan(30°)&=& \frac{h}{(x+125)\;\text{m}} \\[5pt] (x+125 \; \text{m}) &=& \frac{142,22 \; \text{m}}{tan(30°)} & \quad \mid -125 \; \text{m}\\[5pt] x&=& \frac{142,22 \; \text{m}}{tan(30°)} - 125 \; \text{m} \\[5pt] x &=& 121,33 \; \text{m} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} tan(\alpha)&=& \frac{Gegenkathete}{Ankathete} \\[5pt] tan(30°)&=& \frac{h}{(x+125)\;\text{m}} \\[5pt] (x+125 \; \text{m}) &=& \frac{142,22 \; \text{m}}{tan(30°)} \\[5pt] x&=& \frac{142,22 \; \text{m}}{tan(30°)} - 125 \; \text{m} \\[5pt] x &=& 121,33 \; \text{m} \end{array}$
Man müsste die Pyramidenspitze aus einer Entfernung von $121,33$ m anpeilen, um einen Winkel von $30°$ zu erhalten.

Aufgabe 4

Abbildung 5 zeigt das Dach eines Turmes, das die Form einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide. Beantworte die folgenden Fragen.
Grundlagen der Raumgeometrie: Winkel im Raum
Abb. 8: Pyramidendach
Grundlagen der Raumgeometrie: Winkel im Raum
Abb. 8: Pyramidendach
a)
Die Pyramide besitzt $6$ Seitenflächen, da die Grundfläche ein Sechseck ist.
b)
Die Seitenflächen schließen einen Winkel ein, der kleiner als $90°$ ist. Somit handelt es sich jeweils um spitze Winkel.
c)
Es handelt sich um eine regelmäßige Pyramide, da die Grundfläche aus einem regelmäßigen Vieleck besteht.
Bildnachweise [nach oben]
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