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Abstände von Geraden

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Ist nach dem Abstand zweier Geraden, oder einem Punkt und einer Geraden gefragt, so ist damit in der Regel der kürzeste Abstand gemeint.
Schneiden sich zwei Geraden, so ist der kürzeste Abstand Null. Die Geraden berühren sich im Schnittpunkt.
Bei parallelen Geraden ist der kürzeste Abstand zwischen den Geraden an jeder Stelle gleich. Du kannst ihn bestimmen, indem du zu den vorgegebenen Geraden ein orthogonale Gerade zeichnest. Es ergeben sich zwei Schnittpunkte, deren Abstand dem Abstand der Geraden entspricht.
Den kürzsten Abstand von einem Punkt zu einer Geraden kannst du bestimmen, indem du eine zur vorgegebenen Geraden orthogonale Gerade zeichnest, die durch $P$ geht. Der Abstand von $P$ und dem Schnittpunkt der Geraden, entspricht dem kürzesten Abstand von Punkt und Gerade.
#gerade#orthogonal#abstand
Bildnachweise [nach oben]
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Einführungsaufgabe

In Abbildung $1$ ist ein Kanal in Venedig abgebildet. Übertrage die Skizze des Kanals in dein Heft. Wie breit ist der Kanal?
#gerade

Aufgabe 1

In der Abbildung $2$ sind zwei parallele Geraden dargestellt. Übertrage die Geraden in dein Heft.
Bestimme den Abstand der beiden Geraden.
#gerade

Aufgabe 2

#gerade

Aufgabe 3

Trage die Punkte $A(0\;|\;2)$, $B(2\;|\;0)$ und $P(1,5\;|\;2)$ in ein geeignetes Koordinatensystem ein. Konstruiere eine Gerade durch die beiden Punkte. Bestimme den kürzesten Abstand der Geraden zum Punkt P.
#gerade

Aufgabe 4

In Abbildung $4$ ist die Fluglinie eines Flugzeuges kurz nach dem Start dargestellt. Das Flugzeug fliegt an einem Strommast vorbei.
An welcher Stelle ist der Abstand vom Flugzeug zum Strommast am kürzesten? Bestimme diesen Abstand. Es gilt: $1\;\text{cm}\mathrel{\widehat{=}}100\;\text{m}$
#gerade
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Einführungsaufgabe

$\blacktriangleright$ Breite des Kanals bestimmen
Übertrage zunächst die Skizze in dein Heft. Achte dabei auf die Anzahl der Kästchen. Die Breite des Kanals entspricht dem kürzesten Abstand der beiden Geraden in deiner Skizze. Um diesen Abstand zu bestimmen, kannst du in folgenden Schritten vorgehen:
  • Leg die Mittellinie des Geodreiecks auf eine der vorgegebenen Geraden.
  • Zeichne eine Gerade, die die beiden vorgegebenen Geraden schneidet. Es ergeben sich zwei Schnittpunkte.
  • Miss den Abstand der beiden Schnittpunkte, dieser Abstand entspricht dem kürzesten Abstand der beiden Geraden.
  • Rechne dein Ergebnis in Meter um.
Der Abstand zwischen den beiden Geraden beträgt $2\;\text{cm}$. In der Zeichnung ist angegeben, dass $4\;\text{cm}$ in der Zeichnung, $10\;\text{m}$ in der Realität entsprechen.
Der Abstand der beiden Geraden ist genau halb so groß. Der Kanal ist also $5\;\text{m}$ breit.
#gerade

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Abstand der Geraden bestimmen
Zeichne eine Gerade, die zu den vorgegebenen Geraden orthogonal verläuft und sie schneidet. Miss den Abstand der beiden Schnittpunkte mit dem Geodreieck ab.
Der Abstand der beiden Geraden beträgt $2\;\text{cm}$.
#gerade

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Punkte einzeichnen
Leg die Mittellinie des Geodreiecks an einer beliebigen Stelle auf die Gerade. Trage $1\;\text{cm}$ von der Mittellinie einen Punkt ein. Du kannst den Punkt sowohl oberhalb der Geraden als auch unterhalb eintragen. Wähle dir eine weitere Stelle auf der Geraden und leg das Geodreieck erneut mit der Mittellinie an. Trage wieder $1\;\text{cm}$ von der Mittellinie einen Punkt ein.
Du kannst erkennen, dass sich die Punkte oberhalb und unterhalb der Geraden zu je einer Geraden verbinden lassen. Diese Geraden sind parallel zur vorgegebenen Geraden. Alle Punkte mit einem Abstand von $1\,\text{cm}$ liegen auf einer der beiden Geraden.
#gerade

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Kürzesten Abstand bestimmen
  • Trage zunächst die Punkte $A$ und $B$ in ein geeignetes Koordinatensystem ein.
  • Zeichne eine Gerade durch die beiden Punkte.
  • Trage den Punkt $P$ in das Koordinatensystem ein.
  • Leg die Mittellinie des Geodreiecks auf die Gerade und verschiebe es so weit, bis du eine Gerade durch $P$ zeichnen kannst. Wichtig dabei ist, dass du das Geodreieck nicht drehst.
  • Die Gerade durch $P$ schneidet die vorgegebene Gerade in einem Punkt. Bestimme den Abstand vom Schnittpunkt zu $P$. Dieser Abstand entspricht dem kürzesten Abstand von $P$ zur Geraden.
Der Abstand beträgt ca. $1,1\;\text{cm}$.
#gerade

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$ Kürzesten Abstand bestimmen
Um den kürzesten Abstand zu bestimmen, den das Flugzeug zum Strommast bestitzt kannst du in folgenden Schritten vorgehen:
  • Leg das Geodreieck auf die Gerade, die die Fluglinie des Flugzeugs beschreibt.
  • Verschiebe das Geodreieck parallel in Richtung des Strommast bis du eine parallele Gerade durch den Mast zeichnen kannst.
  • Zeichne durch diesen Punkte außerdem eine zur Fluglinie orthogonale Gerade. Die orthogonale Gerade schneidet die parallelen Geraden in zwei Punkten.
  • Bestimme die Abstand der beiden Schnittpunkte.
  • Berechne den Abstand in Meter.
Der Abstand der Geraden beträgt $5,5\;\text{cm}$. Der kürzeste Abstand von Flugzeug und Strommast beträgt $5,5\cdot 100\;\text{m} =550\;\text{m}$. Aufgrund verschiedener Bildschirmauflösungen sind auch andere Ergebnisse möglich.
#gerade
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