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Lage von Geraden

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Betrachtest du die Lage von Geraden zueinander, kannst du zwischen parallelen und sich schneidenden Geraden unterscheiden. Ein Spezialfall der sich schneidenden Geraden sind die orthogonalen Geraden. Sie stehen senkrecht zueinander.
Parallele Geraden
Parallele Geraden haben an jeder Stelle den gleichen Abstand $a$ zueinander. Sie schneiden sich nicht. Ist die Gerade $g$ parallel zu $h$, wird dies mit der Schreibweise $g||h$ dargestellt.
Orthogonale Geraden
Orthogonale Geraden stehen senkrecht aufeinander. Ist eine Gerade $g$ orthogonal zu $h$, wird dies mit der Schreibweise $g\bot h$ dargestellt. Die Geraden schließen einen rechten Winkel ein.
Rechte Winkel
Ein rechter Winkel entsteht immer dann, wenn sich zwei Linien oder Geraden senkrecht schneiden. Im Alltag begegnest du ständig rechten Winkeln.
Das Geodreieck besitzt einen rechten Winkel, sodass du mithilfe des Geodreiecks andere Gegenstände auf rechte Winkel untersuchen kannst.
#parallel#orthogonal#rechterwinkel#gerade
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Untersuche die Lage der Geraden $h-j$ zur Geraden $g$. Ordne dazu den Geraden die passende Aussage zu. Einer Geraden können auch mehrere Begriffe zugeordnet werden.
  • Die Gerade ist parallel zu $g$.
  • Die Gerade ist orthogonal zu $g$.
  • Die Gerade schneidet die Gerade $g$.
#parallel#gerade#orthogonal

Aufgabe 1

Untersuche, welche Lage die jeweils markierten Geraden zueinander haben.
$\;$
#orthogonal#parallel#gerade

Aufgabe 2

a)
Finde in dem Raum, in dem du dich befindest Linien, die orthogonal zueinander stehen. Überprüfe mit deinem Geodreieck, ob du Recht hast.
b)
Entscheide, ob in folgenden Abbildungen zueinander orthogonale Linien zu finden sind.
#orthogonal

Aufgabe 3

Zeichne zu den vorgegebenen Geraden geweils eine orthogonale Gerade. Verwende dazu dein Geodreieck.
#orthogonal#gerade

Aufgabe 4

a)
Trage die Punkte $A(1,5\;|\;1)$, $B(4\;|\;5)$ und $P(1\;|\;4)$ in ein geeignetes Koordinatensystem ein. Konstruiere eine Gerade durch die Punkte $A$ und $B$ und eine dazu orthogonale Gerade durch $P$.
b)
Trage die Punkte $A(1\;|\;2)$, $B(6\;|\;4,5)$ und $P(2,5\;|\;4,5)$ in ein geeignetes Koordinatensystem ein. Konstruiere eine Gerade durch die Punkte $A$ und $B$ und eine dazu orthogonale Gerade durch $P$.
#gerade#orthogonal

Aufgabe 5

In der Abbildung $7$ sind die Geraden $g-k$ dargestellt.
Finde alle Geraden, die zueinander parallel verlaufen. Markiere parallele Geraden in der gleichen Farbe.
#parallel#gerade

Aufgabe 6

#parallel#gerade

Aufgabe 7

Erkläre, wie die Geraden $l$ und $m$ zueinander liegen, wenn folgende Beziehungen gelten:
a)
$l$ $\bot$ $p$ $\;\;$ und $\;\;$ $p$ $||$ $m$
b)
$l$ $||$ $p$ $\;\;$ und $\;\;$ $p$ $||$ $m$
c)
$l$ $||$ $p$ $\;\;$ und $\;\;$ $p$ $\bot$ $t$ $\;\;$ und $\;\;$ $t$ $\bot$ $m$
#parallel#orthogonal#gerade
Bildnachweise [nach oben]
[1-4]
© – SchulLV.
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Public Domain.
[6-8]
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

$\blacktriangleright$ Lage der Geraden untersuchen
Es lässt sich direkt erkennen, dass die Gerade $j$ nicht parallel oder orthogonal zu $g$ ist. Die Gerade $j$ schneidet $g$. Um zu überprüfen, ob die anderen Geraden parallel oder orthogonal zu $g$ verlaufen, kannst du dein Geodreieck zur Hilfe nehmen.
In Abbildung $1$ ist zu erkennen, dass die Gerade $i$ orthogonal zu $g$ verläuft. In Abbildung $2$ kannst du sehen, dass $h$ parallel zu $g$ liegt.
#parallel#gerade#parabel#orthogonal

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Lage der Geraden angeben
Stelle dir zunächst vor, wie ein Quader aufgebaut ist. Wenn es dir schwer fällt, dir einen Quader räumlich vorzustellen, suche einen in deiner Umgebung.
  • Die Geraden in Abbildung $2$ verlaufen orthogonal.
  • Die Geraden in Abbildung $3$ verlaufen parallel.
  • Die Geraden in Abbildung $4$ verlaufen orthogonal.
#gerade#parallel#orthogonal

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$ Gegenstände finden, die rechte Winkel besitzen.
Du begegnest täglich vielen Gegenständen mit rechten Winkeln. Einige Beispiele sind im Folgenden aufgelistet:
  • Hefte
  • Geodreieck
  • Bildschirm
  • Steckdosenleiste
  • Fußballfeld
  • Tor
  • Raum
  • Spielwürfel
b)
$\blacktriangleright$ Entscheiden, ob es rechte Winkel gibt
Um zu überprüfen, ob die Gegenstände rechte Winkel haben, kannst du dein Geodreieck verwenden. Leg das Geodreieck dazu an die Ecke an. Das Buch, der Bilderrahmen und das Fenster besitzen rechte Winkel.
#orthogonal#gerade

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Orthogonale Geraden einzeichnen
Um eine zu $g$ orthogonale Gerade zu zeichnen, legst du die Mittellinie deines Geodreiecks auf die vorgegebene Gerade, wie in Abbildung $4$ dargestellt. Du kannst nun eine weitere Gerade zeichnen. Diese Gerade ist orthogonal zu $g$.
Gehe in den gleichen Schritten vor, um eine orthogonale Gerade zu $h-k$ zu zeichnen.
#gerade#orthogonal

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$ Orthogonale Gerade einzeichnen
Um eine zu $AB$ orthogonale Gerade zu zeichnen, die durch den Punkt $P$ geht, kannst du dein Geodreieck verwenden.
Lege dein Geodreieck so auf die Gerade $AB$, dass die Mittellinie des Geodreiecks auf der Geraden liegt. Verschiebe das Geodreieck entlang der Geraden so, dass du eine Gerade durch $P$ zeichnen kannst.
b)
$\blacktriangleright$ Orthogonale Gerade einzeichnen
Um eine zu $AB$ orthogonale Gerade zu zeichnen, die durch den Punkt $P$ geht, kannst du dein Geodreieck verwenden.
Lege dein Geodreieck so auf die Gerade $AB$, dass die Mittellinie des Geodreiecks auf der Geraden liegt. Verschiebe das Geodreieck entlang der Geraden so, dass du eine Gerade durch $P$ zeichnen kannst.
#gerade#orthogonal

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$ Parallele Geraden markieren
Parallele Geraden kannst du finden, indem du dein Geodreieck auf eine Gerade legst und es so weit verschiebst, bis es auf einer anderen liegt. Wichtig ist, dass du das Geodreieck dabei nicht drehst.
#gerade#parallel

Aufgabe 6

$\blacktriangleright$ Gerade zeichnen
Leg das Geodreieck auf die Gerade $g$ und verschiebe es so lange in die Richtung von $P$, bis du den Punkt triffst. Wichtig ist dabei, dass du das Geodreieck nicht drehst. Zeichne nun eine Gerade durch $P$. Du kannst mit den Hilfslinien auf dem Geodreieck überprüfen, ob du richtig gezeichnet hast.
#parallel#gerade

Aufgabe 7

a)
$\blacktriangleright$ Gegenseitige Lage angeben
Um zu überprüfen, wie die Geraden $l$ und $m$ zueinander liegen, kannst du dir eine Skizze anlegen. Gehe schrittweise vor.
Die Gerade $l$ ist orthogonal zu $m$.
b)
$\blacktriangleright$ Gegenseitige Lage angeben
Um zu überprüfen, wie die Geraden $l$ und $m$ zueinander liegen, kannst du dir eine Skizze anlegen. Gehe schrittweise vor.
Die Geraden $l$ und $m$ liegen parallel zueinander.
c)
$\blacktriangleright$ Gegenseitige Lage angeben
Um zu überprüfen, wie die Geraden $l$ und $m$ zueinander liegen, kannst du dir eine Skizze anlegen. Gehe schrittweise vor.
Die Geraden $l$ und $m$ liegen parallel zueinander.
#gerade#parallel#orthogonal
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