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Einführung

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Von einem linearen Gleichungssystem (LGS) spricht man, wenn mindestens zwei lineare Gleichungen mit zwei oder mehr Variablen gegeben sind. Um ein LGS zu lösen, suchst du das Zahlenpaar $(x\mid y)$ (oder auch $(x\mid y\mid z)$), das beide Gleichungen erfüllt.
Du kann sich die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei Variablen veranschaulichen, indem man z.B. die Lösung $\mathbb{L}=\left\{(1 \mid 3)\right\}$ als Schnittpunkt $S(1 \mid 3)$ zweier Geraden interpretiert.
Zwei Geraden können sich schneiden, parallel oder identisch sein. Für das LGS bedeutet dies, dass es entweder genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen gibt.
Damit du nicht mit den Gleichungen durcheinander kommst, nummerierts du diese, häufig wird dies mit römischen Zahlen gemacht: $\text{I}$, $\text{II}$,…
Schnitt zweier Geraden Parallele Geraden Identische Geraden
Beispiel $\begin{array}{rll} \text{I}& -2x+y&=&1\\[5pt] \text{II}& x+y&=&4 \end{array}$ $\begin{array}{rll} \text{I}& -0,5x+y&=&0\\[5pt] \text{II}& -0,5x+y&=&2 \end{array}$ $\begin{array}{rll} \text{I}& -x+y&=&1\\[5pt] \text{II}& -3x+3y&=&3 \end{array}$
Lösung LGS eine Lösung
$\mathbb{L}=\left\{(1 \mid 3)\right\}$
keine Lösung
$\mathbb{L}=\left\{\right\}$
unendlich viele Lösungen
$\mathbb{L}=\left\{(x \mid y)\; \mid -x+y=1\right\}$
Grafisch
Schnitt zweier Geraden
Beispiel
$\begin{array}{rll} \text{I}& \\[5pt] \text{II}& \end{array}$
Lösung LGS eine Lösung
$\mathbb{L} $$=\left\{(1 \mid 3)\right\}$
Grafisch
Parallele Geraden
Beispiel
$\begin{array}{rll} \text{I} \\[5pt] \text{II} \end{array}$
Lösung LGS keine Lösung
$\mathbb{L}=\left\{\right\}$
Grafisch
Identische Geraden
Beispiel
$\begin{array}{rll} \text{I}&\\[5pt] \text{II}& \end{array}$
Lösung LGS unendlich viele Lösung
$\mathbb{L} $$=…$
Grafisch

Beispiel

$\begin{array}{rcrll} \text{I}&2 \color{green}{x}& + &4 \color{red}{y} &=2 \\[5pt] \text{II}&- \color{green}{x}& + &0,5 \color{red}{y} &=4 \end{array}$
Die Lösung von diesem LGS ist $\color{green}{x=-3}$ und $\color{red}{y=2}$. Dies bedeutetet, dass beide Gleichungen für dieses $x$ und $y$ erfüllt sind.
$\underbrace{2\cdot(\color{green}{-3})+4\cdot\color{red}{2}}_{=2}=2$ $\qquad$ $\underbrace{-(\color{green}{-3})+0,5\cdot\color{red}{2}}_{=4}=4$
Die Lösung eines linearen Gleichungssystems lässt sich durch verschiedene Verfahren entweder grafisch oder rechnerisch bestimmen.
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