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Additionsverfahren

Spickzettel
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Beim Additionsverfahren löst du ein LGS durch Addition der beiden Gleichungen, so dass eine Variable „herausfällt“. Damit dies gelingt, musst du die Gleichungen jedoch meist durch geschicktes Umformen anpassen.

Beispiel

Löse das folgende lineare Gleichungssystem:
Rechnerische Lösungsverfahren: Additionsverfahren
Rechnerische Lösungsverfahren: Additionsverfahren
Aus der letzten Gleichung liest du $3y=9$ ab. Das führt zu $y=3$.
Diese Lösung setzt du nun in eine der beiden Gleichungen ein und erhältst so $x$.
$\begin{array}{rll} -2x+3=&1&\quad \mid\; -3\\[5pt] -2x=&-2&\quad \mid\; :-2\\[5pt] x=&1 \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{(1 \mid 3)\right\}$
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Aufgaben
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1.
Löse das lineare Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren.
b)
$\begin{array}[t]{rll} y=&\frac{2}{3}x-\frac{1}{2}\\[5pt] y=&-3x+25 \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} y=&2-x\\[5pt] y=&-\frac{3}{4}x-5 \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{rll} -4y=& 10x-66\\[5pt] 11y=&-4x+65 \end{array}$
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h)
$\begin{array}[t]{rll} y=&13x-2\\[5pt] \frac{1}{2}y=&26x+5 \end{array}$
2.
Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden mit dem Additionsverfahren.
b)
$\begin{array}[t]{rll} 8x-7y-4=&0\\[5pt] -4x+2y+8=&0 \end{array}$
© SchulLV 2015
d)
$\begin{array}[t]{rll} 4x-2y+2=&0\\[5pt] 5x-18y-13=&0 \end{array}$
© SchulLV 2015
f)
$\begin{array}[t]{rll} 6x-7y-13=&0\\[5pt] -2x+3y+5=&0 \end{array}$
3.
Nutze das Additionsverfahren.
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b)
$\begin{array}[t]{rll} -x-13=&3y\\[5pt] 22+3y=&-2x \end{array}$
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d)
$\begin{array}[t]{rll} 0=&8+2y+3x\\[5pt] -4=&-6x-2y \end{array}$
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f)
$\begin{array}[t]{rll} -4-6m=&-2n\\[5pt] 5+n=&2m \end{array}$
4.
Finde das passende Zahlenpaar, um das lineare Gleichungssystem zu lösen.
b)
$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{4}a+\frac{3}{10}+\frac{5}{2}b=&0\\[5pt] 2a-7b=&3 \end{array}$
© SchulLV 2015
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Lösungen
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1.
Lösungen des LGS bestimmen
a)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&2x-8=&y&\quad \mid\; -2x\\[5pt] Ⅱ&-\frac{1}{3}x+\frac{11}{3}=&y&\quad \mid\; +\frac{1}{3}\\[5pt] \hline Ⅰa&-2x+y=&-8\\[5pt] Ⅱa&\frac{1}{3}x+y=&\frac{11}{3}&\quad \mid\; Ⅱa-Ⅰa\\[5pt] \hline Ⅰa&-2x+y=&-8\\[5pt] Ⅱb&\frac{7}{3}x=&\frac{35}{3}&\quad \mid\;:\frac{7}{3}\\[5pt] \hline Ⅰa&-2x+y=&-8\\[5pt] Ⅱc&x=&5\\[5pt] \end{array}$
xin Ⅰ einsetzenergibt:
$\begin{array}{rll} y=&2\cdot5-8=2\\[5pt] \mathbb{L}=&\{(5\mid2)\} \end{array}$
$\begin{array}{rll}\mathbb{L}=&\{(5\mid2)\}\end{array}$
b)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&\frac{2}{3}x-\frac{1}{2}=&y&\quad \mid\; -\frac{2}{3}x\\[5pt] Ⅱ&-3x+25=&y&\quad \mid\; +3x\\[5pt] \hline Ⅰa&-\frac{2}{3}x+y=&-\frac{1}{2}\\[5pt] Ⅱa&3x+y=&25&\quad \mid\; Ⅱa-Ⅰa\\[5pt] \hline Ⅰa&-\frac{2}{3}x+y=&-\frac{1}{2}\\[5pt] Ⅱb&\frac{11}{3}x=&\frac{51}{2}&\quad \mid\;:\frac{11}{3}\\[5pt] \hline Ⅰa&-\frac{2}{3}x+y=&-\frac{1}{2}\\[5pt] Ⅱc&x=&\frac{153}{22}\\[5pt] \end{array}$
xin Ⅰ einsetzenergibt:
$\begin{array}{rll} y=&\frac{2}{3}\cdot\frac{153}{22}-\frac{1}{2}=\frac{91}{22}\\[5pt] \mathbb{L}=&\left\{(\frac{153}{22}\mid\frac{91}{22})\right\} \end{array}$
$\begin{array}{rll} \mathbb{L}=&\left\{(\frac{153}{22}\mid\frac{91}{22})\right\} \end{array}$
c)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&\frac{1}{3}x-\frac{1}{6}=&y&\quad \mid\; -\frac{1}{3}x\\[5pt] Ⅱ&-\frac{2}{5}x-\frac{4}{5}=&y&\quad \mid\; +\frac{2}{5}x\\[5pt] \hline Ⅰa&-\frac{1}{3}x+y=&-\frac{1}{6}\\[5pt] Ⅱa&\frac{2}{5}x+y=&-\frac{4}{5}&\quad \mid\; Ⅱa-Ⅰa\\[5pt] \hline Ⅰa&-\frac{1}{3}x+y=&-\frac{1}{6}\\[5pt] Ⅱb&\frac{11}{15}x=&-\frac{19}{30}&\quad \mid\;:\frac{11}{15}\\[5pt] \hline Ⅰa&-\frac{1}{3}x+y=&-\frac{1}{6}\\[5pt] Ⅱc&x=&-\frac{19}{22}\\[5pt] \end{array}$
xin Ⅰ einsetzenergibt:
$\begin{array}{rll} y=&\frac{1}{3}\cdot(-\frac{19}{22})-\frac{1}{6}=-\frac{5}{11}\\[5pt] \mathbb{L}=&\left\{(-\frac{19}{22}\mid-\frac{5}{11})\right\} \end{array}$
$\begin{array}{rll} \mathbb{L}=&\left\{(-\frac{19}{22}\mid-\frac{5}{11})\right\} \end{array}$
d)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&2-x=&y&\quad \mid\; +x\\[5pt] Ⅱ&-\frac{3}{4}x-5=&y&\quad \mid\; +\frac{3}{4}x\\[5pt] \hline Ⅰa&x+y=&2\\[5pt] Ⅱa&\frac{3}{4}x+y=&-5&\quad \mid\; Ⅱa-Ⅰa\\[5pt] \hline Ⅰa&x+y=&2\\[5pt] Ⅱb&-\frac{1}{4}x=&-7&\quad \mid\; \cdot(-4)\\[5pt] \hline Ⅰa&x+y=&2\\[5pt] Ⅱc&x=&28\\[5pt] \end{array}$
xin Ⅰ einsetzenergibt:
$\begin{array}{rll} y=&2-28=-26\\[5pt] \mathbb{L}=&\{(28\mid-26)\} \end{array}$
$\begin{array}{rll} \mathbb{L}=&\{(28\mid-26)\} \end{array}$
e)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&2x+5=&y&\quad \mid\; -2x\\[5pt] Ⅱ&6x+15=&4y&\quad \mid\; -6x\\[5pt] \hline Ⅰa&-2x+y=&5&\quad \mid\; \cdot3\\[5pt] Ⅱa&-6x+4y=&15\\[5pt] \hline Ⅰb&-6x+3y=&15\\[5pt] Ⅱa&-6x+4y=&15&\quad \mid\; Ⅱa-Ⅰb\\[5pt] \hline Ⅰb&-6x+3y=&15\\[5pt] Ⅱb&y=&0\\[5pt] \end{array}$
yin Ⅰ einsetzenergibt:
$\begin{array}{rll} 2x+5=&0&\quad \mid\; -5\\[5pt] 2x=&-5&\quad \mid\;:2\\[5pt] x=&-\frac{5}{2}\\[5pt] \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{(-\frac{5}{2}\mid0)\right\}$
$\mathbb{L}=\left\{(-\frac{5}{2}\mid0)\right\}$
f)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&10x-66=&-4y&\quad \mid\; -10x\\[5pt] Ⅱ&-4x+65=&11y&\quad \mid\; +4x\\[5pt] \hline Ⅰa&-10x-4y=&-66&\quad \mid\; \cdot2\\[5pt] Ⅱa&4x+11y=65&\quad \mid\; \cdot5\\[5pt] \hline Ⅰb&-20x-8y=&-132\\[5pt] Ⅱb&20x+55y=&325&\quad \mid\; Ⅱb+Ⅰb\\[5pt] \hline Ⅰb&-20x-8y=&-132\\[5pt] Ⅱc&47y=&193&\quad \mid\;:47\\[5pt] \hline Ⅰb&-20x-8y=&-132\\[5pt] Ⅱd&y=&\frac{193}{47}\\[5pt] \end{array}$
yin Ⅰ einsetzenergibt:
$\begin{array}{rll} (-4)\cdot\frac{193}{47}=&10x-66\\[5pt] \frac{772}{47}=&10x-66&\quad \mid\; +66\\[5pt] \frac{2330}{47}=&10x&\quad \mid\;:10\\[5pt] x=&\frac{233}{47}\\[5pt] \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{(\frac{233}{47}\mid\frac{193}{47})\right\}$
$\mathbb{L}=\left\{(\frac{233}{47}\mid\frac{193}{47})\right\}$
g)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&8x+1=&3y&\quad \mid\; -8x\\[5pt] Ⅱ&-6x=&-3y&\quad \mid\; +6x\\[5pt] \hline Ⅰa&-8x+3y=&1\\[5pt] Ⅱa&6x-3y=&0&\quad \mid\; Ⅱa+Ⅰa\\[5pt] \hline Ⅰa&-8x+3y=&1\\[5pt] Ⅱb&-2x=&1&\quad \mid\; \;:(-2)\\[5pt] \hline Ⅰa&-8x+3y=&1\\[5pt] Ⅱc&x=&-\frac{1}{2}\\[5pt] \end{array}$
xin Ⅰ einsetzenergibt:
$\begin{array}{rll} 8\cdot(-\frac{1}{2})+1=&3y\\[5pt] -3=&3y&\quad \mid\;:3\\[5pt] y=&-1\\[5pt] \end{array}$
$\mathbb{L}=\{(-\frac{1}{2}\mid-1)\}$
$\mathbb{L}=\{(-\frac{1}{2}\mid-1)\}$
h)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&13x-2=&y&\quad \mid\; -13x\\[5pt] Ⅱ&26x+5=&\frac{1}{2}y&\quad \mid\; -26x\\[5pt] \hline Ⅰa&-13x+y=&-2\\[5pt] Ⅱa&-26x+\frac{1}{2}y=&5&\quad \mid\; \cdot2\\[5pt] \hline Ⅰa&-13x+y=&-2\\[5pt] Ⅱb&-52x+y=&10&\quad \mid\; Ⅱb-Ⅰa\\[5pt] \hline Ⅰa&-13x+y=&-2\\[5pt] Ⅱc&-39x=&12&\quad \mid\;:(-39)\\[5pt] \hline Ⅰa&-13x+y=&-2\\[5pt] Ⅱc&x=&-\frac{4}{13}\\[5pt] \end{array}$
xin Ⅰ einsetzenergibt:
$\begin{array}{rll} y=&13\cdot(-\frac{4}{13})-2=-6\\[5pt] \mathbb{L}=&\left\{(-\frac{4}{13}\mid-6)\right\} \end{array}$
$\begin{array}{rll}\mathbb{L}=&\left\{(-\frac{4}{13}\mid-6)\right\}\end{array}$
i)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&-15x=&9y&\quad \mid\; +15x\\[5pt] Ⅱ&-9-6x=&3y&\quad \mid\; +6x\\[5pt] \hline Ⅰa&15x+9y=&0&\quad \mid\;:3\\[5pt] Ⅱa&6x+3y=&-9\\[5pt] \hline Ⅰb&5x+3y=&0\\[5pt] Ⅱa&6x+3y=&-9&\quad \mid\; Ⅱa-Ⅰb\\[5pt] \hline Ⅰb&5x+3y=&0\\[5pt] Ⅱb&x=&-9\\[5pt] \end{array}$
xin Ⅰ einsetzenergibt:
$\begin{array}{rll} -15\cdot(-9)=&9y\\[5pt] 135=&9y&\quad \mid\;:9\\[5pt] y=&15\\[5pt] \end{array}$
$\mathbb{L}=\{(-9\mid15)\}$
$\mathbb{L}=\{(-9\mid15)\}$
2.
Bestimmung der Schnittpunkte der Geraden
a)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&7x+8y+8=&0&\quad \mid\; -8\\[5pt] Ⅱ&4x-y-40=&0&\quad \mid\; +40\\[5pt] \hline Ⅰa&7x+8y=&-8\\[5pt] Ⅱa&4x-y=&40&\quad \mid\; \cdot8\\[5pt] \hline Ⅰa&7x+8y=&-8\\[5pt] Ⅱb&32x-8y=&320&\quad \mid\; Ⅱb+Ⅰa\\[5pt] \hline Ⅰa&7x+8y=&-8\\[5pt] Ⅱc&39x=&312&\quad \mid\;:39\\[5pt] \hline Ⅰa&7x+8y=&-8\\[5pt] Ⅱd&x=&8\\[5pt] \end{array}$
xin Ⅰ einsetzenergibt:
$\begin{array}{rll} 7\cdot8+8y+8=&0\\[5pt] 64+8y=&0&\quad \mid\; -64\\[5pt] 8y=&-64&\quad \mid\;:8\\[5pt] y=&-8\\[5pt] \end{array}$
$\mathbb{L}=\{(8\mid-8)\}$
$\mathbb{L}=\{(8\mid-8)\}$
b)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&8x-7y-4=&0&\quad \mid\; +4\\[5pt] Ⅱ&-4x+2y+8=&0&\quad \mid\; -8\\[5pt] \hline Ⅰa&8x-7y=&4\\[5pt] Ⅱa&-4x+2y=&-8&\quad \mid\; \cdot2\\[5pt] \hline Ⅰa&8x-7y=&4\\[5pt] Ⅱb&-8x+4y=&-16&\quad \mid\; Ⅱb+Ⅰa\\[5pt] \hline Ⅰa&8x-7y=&4\\[5pt] Ⅱc&-3y=&-12&\quad \mid\;:(-3)\\[5pt] \hline Ⅰa&8x-7y=&4\\[5pt] Ⅱd&y=&4\\[5pt] \end{array}$
yin Ⅰ einsetzenergibt:
$\begin{array}{rll} 8x-7\cdot4-4=&0\\[5pt] 8x-32=&0&\quad \mid\; +32\\[5pt] 8x=&32&\quad \mid\;:8\\[5pt] x=&4\\[5pt] \end{array}$
$\mathbb{L}=\{(4\mid4)\}$
$\mathbb{L}=\{(4\mid4)\}$
c)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&15x-11y-1=&0&\quad \mid\; +1\\[5pt] Ⅱ&-15x-9y+12=&0&\quad \mid\; -12\\[5pt] \hline Ⅰa&15x-11y=&1\\[5pt] Ⅱa&-15x-9y=&-12&\quad \mid\; Ⅱa+Ⅰa\\[5pt] \hline Ⅰa&15x-11y=&1\\[5pt] Ⅱb&-20y=&-11&\quad \mid\;:(-20)\\[5pt] \hline Ⅰa&15x-11y=&1\\[5pt] Ⅱc&y=&\frac{11}{20}\\[5pt] \end{array}$
yin Ⅰ einsetzenergibt:
$\begin{array}{rll} 15x-11\cdot\frac{11}{20}-1=&0\\[5pt] 15x-\frac{141}{20}=&0&\quad \mid\; +\frac{141}{20}\\[5pt] 15x=&\frac{141}{20}&\quad \mid\;:15\\[5pt] x=&\frac{47}{100}\\[5pt] \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{(\frac{47}{100}\mid\frac{11}{20})\right\}$
$\mathbb{L}=\left\{(\frac{47}{100}\mid\frac{11}{20})\right\}$
d)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&4x-2y+2=&0&\quad \mid\; -2\\[5pt] Ⅱ&5x-18y-13=&0&\quad \mid\; +13\\[5pt] \hline Ⅰa&4x-2y=&-2&\quad \mid\; \cdot9\\[5pt] Ⅱa&5x-18y=&13\\[5pt] \hline Ⅰb&36x-18y=&-18\\[5pt] Ⅱa&5x-18y=&13&\quad \mid\; Ⅱa-Ⅰb\\[5pt] \hline Ⅰb&36x-18y=&-18\\[5pt] Ⅱb&-31x=&31&\quad \mid\;:(-31)\\[5pt] \hline Ⅰb&8x-7y=&4\\[5pt] Ⅱc&x=&1\\[5pt] \end{array}$
xin Ⅰ einsetzenergibt:
$\begin{array}{rll} 4\cdot1-2y+2=&0\\[5pt] 6+2y=&0&\quad \mid\; +18\\[5pt] -18y=&18&\quad \mid\;:(-18)\\[5pt] y=&-1\\[5pt] \end{array}$
$\mathbb{L}=\{(-1\mid-1)\}$
$\mathbb{L}=\{(-1\mid-1)\}$
e)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&9x-7y-19=&0&\quad \mid\; +19\\[5pt] Ⅱ&2x-6y+18=&0&\quad \mid\; -18\\[5pt] \hline Ⅰa&9x-7y=&19&\quad \mid\; \cdot2\\[5pt] Ⅱa&2x-6y=&-18&\quad \mid\; \cdot9\\[5pt] \hline Ⅰb&18x-14y=&38\\[5pt] Ⅱb&18x-54y=&-162&\quad \mid\; Ⅱb-Ⅰb\\[5pt] \hline Ⅰb&18x-14y=&38\\[5pt] Ⅱc&-40y=&-200&\quad \mid\;:(-40)\\[5pt] \hline Ⅰb&18x-14y=&38\\[5pt] Ⅱd&y=&5\\[5pt] \end{array}$
yin Ⅰ einsetzenergibt:
$\begin{array}{rll} 9x-7\cdot5-19=&0\\[5pt] 9x-54=&0&\quad \mid\; +54\\[5pt] 9x=&54&\quad \mid\;:9\\[5pt] x=&6\\[5pt] \end{array}$
$\mathbb{L}=\{(6\mid5)\}$
$\mathbb{L}=\{(6\mid5)\}$
f)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&6x-7y-13=&0&\quad \mid\; +13\\[5pt] Ⅱ&-2x+3y+5=&0&\quad \mid\; -5\\[5pt] \hline Ⅰa&6x-7y=&13\\[5pt] Ⅱa&-2x+3y=&-5&\quad \mid\; \cdot3\\[5pt] \hline Ⅰa&6x-7y=&38\\[5pt] Ⅱb&-6x+9y=&-15&\quad \mid\; Ⅱb+Ⅰa\\[5pt] \hline Ⅰa&6x-7y=&38\\[5pt] Ⅱc&2y=&-2&\quad \mid\;:2\\[5pt] \hline Ⅰa&6x-7y=&38\\[5pt] Ⅱd&y=&-1\\[5pt] \end{array}$
yin Ⅰ einsetzenergibt:
$\begin{array}{rll} 6x-7\cdot(-1)-13=&0\\[5pt] 6x-6=&0&\quad \mid\; +6\\[5pt] x=&1\\[5pt] \end{array}$
$\mathbb{L}=\{(1\mid-1)\}$
$\mathbb{L}=\{(1\mid-1)\}$
3.
Lösungen des LGS bestimmen
a)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&8y=&3x-7,5\\[5pt] Ⅱ&-12=&2x-4y& \\[5pt] \hline Ⅰ&8y=&3x-7,5\\[5pt] Ⅱa&y=&3\\[5pt] \end{array}$
y in Ⅰ einsetzen ergibt:
$\begin{array}{rll} 8\cdot3=&3x-7,5\\[5pt] 24=&3x-7,5&\quad \mid\; +7,5\\[5pt] \frac{63}{2}=&3x&\quad \mid\;:3\\[5pt] x=&\frac{21}{2}\\[5pt] \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{(\frac{21}{2}\mid3)\right\}$
$\mathbb{L}=\left\{(\frac{21}{2}\mid3)\right\}$
b)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&-x-13=&3y&\quad \mid\; +x\\[5pt] Ⅱ&22+3y=&-2x&\quad \mid\; -3y\\[5pt] \hline Ⅰa&x+3y=&-13\\[5pt] Ⅱa&-2x-3y=&22&\quad \mid\; Ⅱa+Ⅰa\\[5pt] \hline Ⅰa&x+3y=&-13\\[5pt] Ⅱb&-x=&9&\quad \mid\; (-1)\\[5pt] \hline Ⅰa&x+3y=&-13\\[5pt] Ⅱc&x=&-9\\[5pt] \end{array}$
x in Ⅰ einsetzen ergibt:
$\begin{array}{rll} -(-9)-13=&3y\\[5pt] -4=&3y&\quad \mid\;:3\\[5pt] y=&-\frac{4}{3}\\[5pt] \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{(-9\mid-\frac{4}{3})\right\}$
$\mathbb{L}=\left\{(-9\mid-\frac{4}{3})\right\}$
c)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&-4x-5y=&-4\\[5pt] Ⅱ&19+x=&-\frac{1}{4}y&\quad \mid\; -x\\[5pt] \hline Ⅰ&-4x-5y=&-4\\[5pt] Ⅱa&-x-\frac{1}{4}y=&-19&\quad \mid\; \cdot 4\\[5pt] \hline Ⅰ&-4x-5y=&-4\\[5pt] Ⅱb&-4x-y=&76&\quad \mid\; Ⅱb-Ⅰ\\[5pt] \hline Ⅰ&-4x-5y=&-4\\[5pt] Ⅱb&4y=&80&\quad \mid\;:4\\[5pt] \hline Ⅰ&-4x-5y=&-4\\[5pt] Ⅱb&y=&20\\[5pt] \end{array}$
y in Ⅰ einsetzen ergibt:
$\begin{array}{rll} -4x-5\cdot20=&-4\\[5pt] -4x-100=&-4&\quad \mid\; +100\\[5pt] -4x=&96&\quad \mid\;:(-4)\\[5pt] x=&-24\\[5pt] \end{array}$
$\mathbb{L}=\{(-24\mid20)\}$
$\mathbb{L}=\{(-24\mid20)\}$
d)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&8+2y+3x=&0&\quad \mid\; -8\\[5pt] Ⅱ&-6x-2y=&-4\\[5pt] \hline Ⅰa&3x+2y=&-8\\[5pt] Ⅱ&-6x-2y=&0&\quad \mid\; Ⅱ+Ⅰa\\[5pt] \hline Ⅰa&3x+2y=&-8\\[5pt] Ⅱa&-3x=&-23&\quad \mid\;:(-3)\\[5pt] \hline Ⅰa&3x+2y=&-8\\[5pt] Ⅱb&x=&4\\[5pt] \end{array}$
x in Ⅰ einsetzen ergibt:
$\begin{array}{rll} 8+2y+3\cdot4=&0\\[5pt] 20+2y=&0&\quad \mid\; -20\\[5pt] 2y=&-20&\quad \mid\;:2\\[5pt] y=&-10\\[5pt] \end{array}$
$\mathbb{L}=\{(4\mid-10)\}$
$\mathbb{L}=\{(4\mid-10)\}$
e)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&4b+6=&-3a&\quad \mid\; -4b\\[5pt] Ⅱ&3a+2b=&18\\[5pt] \hline Ⅰa&-3a-4b=&6\\[5pt] Ⅱ&3a+2b=&18&\quad \mid\; Ⅱ+Ⅰa\\[5pt] \hline Ⅰa&-3a-4b=&6\\[5pt] Ⅱa&-2b=&24&\quad \mid\;:(-2)\\[5pt] \hline Ⅰa&-3a-4b=&6\\[5pt] Ⅱb&b=&-12\\[5pt] \end{array}$
b in Ⅰ einsetzen ergibt:
$\begin{array}{rll} 4\cdot(-12)+6=&-3a\\[5pt] -42=&-3a&\quad \mid\;:(-3)\\[5pt] a=&14\\[5pt] \end{array}$
$\mathbb{L}=\{(14\mid-12)\}$
$\mathbb{L}=\{(14\mid-12)\}$
f)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&-4-6m=&-2n&\quad \mid\; +6m\\[5pt] Ⅱ&5+n=&2m&\quad \mid\; -n\\[5pt] \hline Ⅰa&6m-2n=&-4&\quad \mid\;:2\\[5pt] Ⅱa&2m-n=&5\\[5pt] \hline Ⅰb&3m-n=&-2\\[5pt] Ⅱa&2m-n=&5&\quad \mid\; Ⅱa-Ⅰb\\[5pt] \hline Ⅰb&3m-n=&-2\\[5pt] Ⅱb&-m=&7&\quad \mid\; \cdot(-1)\\[5pt] \hline Ⅰb&3m-n=&-2\\[5pt] Ⅱc&m=&-7\\[5pt] \end{array}$
m in Ⅰ einsetzen ergibt:
$\begin{array}{rll} -4-6\cdot(-7)=&-2n\\[5pt] 38=&-2n&\quad \mid\;:(-2)\\[5pt] n=&-19\\[5pt] \end{array}$
$\mathbb{L}=\{(-7\mid-19)\}$
$\mathbb{L}=\{(-7\mid-19)\}$
4.
Lösungen des LGS bestimmen
a)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&\frac{4}{3}y=&\frac{5}{3}-\frac{1}{2}x&\quad \mid\; +\frac{1}{2}x\\[5pt] Ⅱ&-\frac{1}{4}y+1=&\frac{7}{16}x&\quad \mid\; +\frac{1}{4}y\\[5pt] \hline Ⅰa&\frac{1}{2}x+\frac{4}{3}y=&\frac{5}{3}&\quad \mid\; \cdot7\\[5pt] Ⅱa&\frac{7}{16}x+{1}{4}y=&1&\quad \mid\; \cdot8\\[5pt] \hline Ⅰb&\frac{7}{2}x+\frac{28}{3}y=&\frac{35}{3}\\[5pt] Ⅱb&\frac{7}{2}x+2y=&8&\quad \mid\; Ⅱb-Ⅰa\\[5pt] \hline Ⅰb&\frac{7}{2}x+\frac{28}{3}y=&\frac{35}{3}&\quad \mid\; -8\\[5pt] Ⅱc&-\frac{22}{3}y=&-\frac{11}{3}&\quad \mid\;:(-\frac{22}{3})\\[5pt] \hline Ⅰb&\frac{7}{2}x+\frac{28}{3}y=&\frac{35}{3}\\[5pt] Ⅱd&y=&\frac{1}{2}\\[5pt] \end{array}$
yin Ⅰ einsetzenergibt:
$\begin{array}{rll} \frac{4}{3}\cdot\frac{1}{2}=&\frac{5}{3}-\frac{1}{2}x\\[5pt] \frac{2}{3}=&\frac{5}{3}-\frac{1}{2}x&\quad \mid\; -\frac{5}{3}\\[5pt] -1=&-\frac{1}{2}x&\quad \mid\; \cdot(-\frac{1}{2})\\[5pt] x=&2\\[5pt] \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{(2\mid\frac{1}{2})\right\}$
$\mathbb{L}=\left\{(2\mid\frac{1}{2})\right\}$
b)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&\frac{1}{4}a+\frac{3}{10}+\frac{5}{2}b=&0&\quad \mid\; -\frac{3}{10}\\[5pt] Ⅱ&2a-7b=&3\\[5pt] \hline Ⅰa&\frac{1}{4}a+\frac{5}{2}b=&-\frac{3}{10}&\quad \mid\; \cdot8\\[5pt] Ⅱ&2a-7b=&3&\quad \mid\; \cdot8\\[5pt] \hline Ⅰb&2a+20b=&-\frac{12}{5}\\[5pt] Ⅱ&2a-7b=&3&\quad \mid\; Ⅱ-Ⅰb\\[5pt] \hline Ⅰb&2a+20b=&-\frac{12}{5}\\[5pt] Ⅱa&-27b=&\frac{27}{5}&\quad \mid\;:(-27)\\[5pt] \hline Ⅰb&2a+20b=&-\frac{12}{5}\\[5pt] Ⅱb&b=&-\frac{1}{5}\\[5pt] \end{array}$
bin Ⅰ einsetzenergibt:
$\begin{array}{rll} \frac{1}{4}a+\frac{3}{10}+\frac{5}{2}\cdot(-\frac{1}{5})=&0\\[5pt] \frac{1}{4}a-\frac{1}{5}=&0&\quad \mid\; +\frac{1}{5}\\[5pt] \frac{1}{4}a=&\frac{1}{5}&\quad \mid\; \cdot4\\[5pt] a=&\frac{4}{5}\\[5pt] \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{(\frac{4}{5}\mid-\frac{1}{5})\right\}$
$\mathbb{L}=\left\{(\frac{4}{5}\mid-\frac{1}{5})\right\}$
c)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&3x+\frac{1}{7}y+5=&7-2&\quad \mid\; -5\\[5pt] Ⅱ&13x+y=&3+\frac{1}{21}\\[5pt] \hline Ⅰa&3x+\frac{1}{7}y=&0&\quad \mid\; \cdot7\\[5pt] Ⅱ&13x+y=&\frac{64}{21}\\[5pt] \hline Ⅰb&21x+y=&0\\[5pt] Ⅱ&13x+y=&\frac{64}{21}&\quad \mid\; Ⅱ-Ⅰb\\[5pt] \hline Ⅰb&21x+y=&0\\[5pt] Ⅱ&-8x=&\frac{64}{21}&\quad \mid\;:(-1)\\[5pt] \hline Ⅰb&21x+y=&0\\[5pt] Ⅱ&x=&-\frac{8}{21}\\[5pt] \end{array}$
xin Ⅰa einsetzenergibt:
$\begin{array}{rll} 3\cdot(-\frac{8}{21})+\frac{1}{7}y=&0\\[5pt] -\frac{8}{7}+\frac{1}{7}y=&0&\quad \mid\; +\frac{8}{7}\\[5pt] \frac{1}{7}y=&\frac{8}{7}&\quad \mid\; \cdot7\\[5pt] y=&8\\[5pt] \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{(-\frac{8}{21}\mid8)\right\}$
$\mathbb{L}=\left\{(-\frac{8}{21}\mid8)\right\}$
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