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Einsetzungsverfahren

Spickzettel
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Beim Einsetzungsverfahren löst du eine Gleichung nach einer Variablen auf und setzt diese dann in die andere Gleichung ein. So erhältst du eine Gleichung mit nur einer Variablen, die du durch Termumformung lösen kannst.

Beispiel

Löse das lineare Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ& y=&2x+1\\[5pt] Ⅱ& y=&-x+4 \end{array}$
$x$ aus Ⅱ in Ⅰ einsetzen:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ & y=&2x+1\\[5pt] Ⅱa& x=&-y+4&\quad\small{\text{ in Ⅰ einsetzen}}\\[5pt] \hline Ⅰa&y=&2(-y+4)+1 \\[5pt] Ⅱ&y=&-x+4 \\[5pt] \hline Ⅰa&3y=&9& \quad\mid\; :3\\[5pt] &\Rightarrow\, y=&3 \end{array}$
$ y=3$
$y=3$ in Ⅱ einsetzen:
$\begin{array}{lrll} Ⅱ& 3=&-x+4\\[5pt] \hline Ⅱ& -1=&-x\\[5pt] &\Rightarrow\, x=&1\\[10pt] &\Rightarrow\, \mathbb{L}=&\{(1\mid3)\} \end{array}$
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Aufgaben
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1.
Löse das lineare Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren.
© SchulLV 2015 b) $\begin{array}[t]{rll} y=&\frac{2}{3}x-\frac{1}{2}\\[5pt] y=&-3x+25 \end{array}$
© SchulLV 2015 © SchulLV 2015
d)
$\begin{array}[t]{rll} y=&2-x\\[5pt] y=&-\frac{3}{4}x-5 \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{rll} -4y=& 10x-66\\[5pt] 11y=&-4x+65 \end{array}$
© SchulLV 2015
h)
$\begin{array}[t]{rll} y=&13x-2\\[5pt] \frac{1}{2}y=&26x+5 \end{array}$
2.
Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden mit dem Einsetzungsverfahren.
b)
$\begin{array}[t]{rll} 8x-7y-4=&0\\[5pt] -4x+2y+8=&0 \end{array}$
© SchulLV 2015
d)
$\begin{array}[t]{rll} 4x-2y+2=&0\\[5pt] 5x-18y-13=&0 \end{array}$
© SchulLV 2015
f)
$\begin{array}[t]{rll} 6x-7y-13=&0\\[5pt] -2x+3y+5=&0 \end{array}$
3.
Nutze das Einsetzungsverfahren.
© SchulLV 2015
b)
$\begin{array}[t]{rll} -x-13=&3y\\[5pt] 22+3y=&-2x \end{array}$
© SchulLV 2015
d)
$\begin{array}[t]{rll} 0=&8+2y+3x\\[5pt] -4=&-6x-2y \end{array}$
© SchulLV 2015
f)
$\begin{array}[t]{rll} -4-6m=&-2n\\[5pt] 5+n=&2m \end{array}$
4.
Finde das passende Zahlenpaar, um das lineare Gleichungssystem zu lösen.
b)
$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{4}a+\frac{3}{10}+\frac{5}{2}b=&0\\[5pt] 2a-7b=&3 \end{array}$
© SchulLV 2015
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Lösungen
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1.
Lösungen des LGS bestimmen
a)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&y=&2x-8&\quad \mid\; +8\\[5pt] Ⅱ&y=&-\frac{1}{3}x+\frac{11}{3}\\[5pt] \hline Ⅰa&2x=&y+8&\quad \mid\;:2\\[5pt] Ⅱ&y=&-\frac{1}{3}x+\frac{11}{3}\\[5pt] \hline Ⅰb&x=&\frac{1}{2}y+4\\[5pt] Ⅱ&y=&-\frac{1}{3}x+\frac{11}{3}\\[5pt] \end{array}$
Ⅰbin Ⅱ einsetzen ergibt:
$\begin{array}{rll} y=&-\frac{1}{3}\cdot(\frac{1}{2}y+4)+\frac{11}{3}\\[5pt] y=&-\frac{1}{6}y-\frac{4}{3}+\frac{11}{3}\\[5pt] y=&-\frac{1}{6}y+\frac{7}{3}&\quad \mid\; +\frac{1}{6}y\\[5pt] \frac{7}{6}y=&\frac{7}{3}&\quad \mid\;:\frac{7}{6}\\[5pt] y=&2\\[5pt] \end{array}$
yin Ⅰb einsetzen:
$\begin{array}{rll} x=&\frac{1}{2}\cdot2+4=5\\[5pt] \mathbb{L}=&\{(5\mid2)\} \end{array}$
b)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&y=&\frac{2}{3}x-\frac{1}{2}\\[5pt] Ⅱ&y=&-3x+25&\quad \mid\; -25\\[5pt] \hline Ⅰ&y=&\frac{2}{3}x-\frac{1}{2}\\[5pt] Ⅱa&-3x=&y-25&\quad \mid\;:(-3)\\[5pt] \hline Ⅰ&y=&\frac{2}{3}x-\frac{1}{2}\\[5pt] Ⅱb&x=&-\frac{1}{3}y+\frac{25}{3}\\[5pt] \end{array}$
Ⅱbin Ⅰ einsetzenergibt:
$\begin{array}{rll} y=&\frac{2}{3}\cdot(-\frac{1}{3}y+\frac{25}{3})-\frac{1}{2}\\[5pt] y=&-\frac{2}{9}y+\frac{50}{9}-\frac{1}{2}\\[5pt] y=&-\frac{2}{9}y+\frac{91}{18}&\quad \mid\; +\frac{2}{9}y\\[5pt] \frac{11}{9}y=&\frac{91}{18}&\quad \mid\;:\frac{11}{9}\\[5pt] y=&\frac{91}{22}\\[5pt] \end{array}$
yin Ⅱb einsetzen:
$\begin{array}{rll} x=&-\frac{1}{3}\cdot\frac{91}{22}+\frac{25}{3}=\frac{153}{22}\\[5pt] \mathbb{L}=&\left\{(\frac{153}{22}\mid\frac{91}{22})\right\} \end{array}$
c)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&y=&\frac{1}{3}x-\frac{1}{6}&\quad \mid\; +\frac{1}{6}\\[5pt] Ⅱ&y=&-\frac{2}{5}x-\frac{4}{5}\\[5pt] \hline Ⅰa&\frac{1}{3}x=&y+\frac{1}{6}&\quad \mid\; \cdot 3\\[5pt] Ⅱ&y=&-\frac{2}{5}x-\frac{4}{5}\\[5pt] \hline Ⅰb&x=&3y+\frac{1}{2}\\[5pt] Ⅱ&y=&-\frac{2}{5}x-\frac{4}{5}\\[5pt] \end{array}$
Ⅰbin Ⅱ einsetzenergibt:
$\begin{array}{rll} y=&-\frac{2}{5}\cdot(3y+\frac{1}{2})-\frac{4}{5}\\[5pt] y=&-\frac{6}{5}y-\frac{1}{5}-\frac{4}{5}\\[5pt] y=&-\frac{6}{5}y-1&\quad \mid\; +\frac{6}{5}y\\[5pt] \frac{11}{5}y=&-1&\quad \mid\;:\frac{11}{5}\\[5pt] y=&-\frac{5}{11}\\[5pt] \end{array}$
yin Ⅰb einsetzen:
$\begin{array}{rll} x=&3\cdot(-\frac{5}{11})+\frac{1}{2}=-\frac{19}{22}\\[5pt] \mathbb{L}=&\left\{(-\frac{19}{22}\mid-\frac{5}{11})\right\} \end{array}$
d)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&y=&2-x&\quad \mid\; +x\\[5pt] Ⅱ&y=&-\frac{3}{4}x-5\\[5pt] \hline Ⅰa&y+x=&2&\quad \mid\; -y\\[5pt] Ⅱ&y=&-\frac{3}{4}x-5\\[5pt] \hline Ⅰb&x=&2-y\\[5pt] Ⅱ&y=&-\frac{3}{4}x-5\\[5pt] \end{array}$
Ⅰbin Ⅱ einsetzenergibt:
$\begin{array}{rll} y=&-\frac{3}{4}\cdot(2-y)-5\\[5pt] y=&-\frac{3}{2}+\frac{3}{4}y-5\\[5pt] y=&-\frac{13}{2}+\frac{3}{4}y&\quad \mid\; -\frac{3}{4}y\\[5pt] \frac{1}{4}y=&-\frac{13}{2}&\quad \mid\; \cdot4\\[5pt] y=&-26\\[5pt] \end{array}$
yin Ⅰb einsetzen:
$\begin{array}{rll} x=&2-(-26)=28\\[5pt] \mathbb{L}=&\{(28\mid-26)\} \end{array}$
e)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&y=&2x+5\\[5pt] Ⅱ&3y=&6x+15&\quad \mid\; -15\\[5pt] \hline Ⅰ&y=&2x+5\\[5pt] Ⅱa&6x=&3y-15&\quad \mid\;:6\\[5pt] \hline Ⅰ&y=&2x+5\\[5pt] Ⅱb&x=&\frac{1}{2}y-\frac{5}{2}\\[5pt] \end{array}$
Ⅰin Ⅱb einsetzenergibt:
$\begin{array}{rll} x=&\frac{1}{2}\cdot(2x+5)-\frac{5}{2}\\[5pt] x=&x+\frac{5}{2}-\frac{5}{2}\\[5pt] x=&x\\[5pt] \end{array}$
xin Ⅰ einsetzen:
$\begin{array}{rll} y=&2x+5\\[5pt] \mathbb{L}=&\{(x\mid2x+5)\} \end{array}$
f)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&-4y=&10x-66&\quad \mid\;:(-4)\\[5pt] Ⅱ&11y=&-4x+65\\[5pt] \hline Ⅰa&y=&-\frac{10}{4}x+\frac{66}{4}\\[5pt] Ⅱ&11y=&-4x+65\\[5pt] \end{array}$
Ⅰain Ⅱ einsetzenergibt:
$\begin{array}{rll} 11\cdot(-\frac{10}{4}x+\frac{66}{4})=&-4x+65\\[5pt] -\frac{110}{4}x+\frac{726}{4}=&-4x+65&\quad \mid\; +4x\\[5pt] -\frac{47}{2}x+\frac{726}{4}=&65&\quad \mid\; -\frac{726}{4}\\[5pt] -\frac{47}{2}x=&-\frac{466}{4}&\quad \mid\;:(-\frac{47}{2})\\[5pt] x=&\frac{233}{47}\\[5pt] \end{array}$
xin Ⅰa einsetzen:
$\begin{array}{rll} y=&(-\frac{10}{4})\cdot\frac{233}{47}+\frac{66}{4}=\frac{193}{47}\\[5pt] \mathbb{L}=&\left\{(\frac{233}{47}\mid\frac{193}{47})\right\} \end{array}$
$\begin{array}{rll}\mathbb{L}=&\left\{(\frac{233}{47}\mid\frac{193}{47})\right\} \end{array}$
g)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&3y=&8x+1\\[5pt] Ⅱ&-3y=&-6x&\quad \mid\;:(-6)\\[5pt] \hline Ⅰ&3y=&8x+1\\[5pt] Ⅱa&x=&\frac{1}{2}y\\[5pt] \end{array}$
Ⅱain Ⅰ einsetzenergibt:
$\begin{array}{rll} 3y=&8\cdot\frac{1}{2}y+1\\[5pt] 3y=&4y+1&\quad \mid\; -4y\\[5pt] -y=&1&\quad \mid\;:(-1)\\[5pt] y=&-1\\[5pt] \end{array}$
yin Ⅱa einsetzen:
$\begin{array}{rll} x=&\frac{1}{2}\cdot(-1)=-\frac{1}{2}\\[5pt] \mathbb{L}=&\left\{(-\frac{1}{2}\mid-1)\right\} \end{array}$
h)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&y=&13x-2\\[5pt] Ⅱ&\frac{1}{2}y=&26x+5&\quad \mid\; -5\\[5pt] \hline Ⅰ&y=&13x-2\\[5pt] Ⅱa&26x=&\frac{1}{2}y-5&\quad \mid\;:26\\[5pt] \hline Ⅰ&y=&13x-2\\[5pt] Ⅱb&x=&\frac{1}{52}y-\frac{5}{26}\\[5pt] \end{array}$
Ⅱb in Ⅰ einsetzenergibt:
$\begin{array}{rll} y=&13\cdot(\frac{1}{52}y+\frac{5}{26})-2\\[5pt] y=&\frac{1}{4}y-\frac{5}{2}-2\\[5pt] y=&\frac{1}{4}y-\frac{9}{2}&\quad \mid\; -\frac{1}{4}y\\[5pt] \frac{3}{4}y=&-\frac{9}{2}&\quad \mid\;:\frac{3}{4}\\[5pt] y=&-6\\[5pt] \end{array}$
yin Ⅱb einsetzen:
$\begin{array}{rll} x=&\frac{1}{52}\cdot(-6)-\frac{5}{26}=-\frac{4}{13}\\[5pt] \mathbb{L}=&\left\{(-\frac{4}{13}\mid-6)\right\} \end{array}$
i)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&9y=&-15x\\[5pt] Ⅱ&3y=&-9-6x&\quad \mid\; +9\\[5pt] \hline Ⅰ&9y=&-15x\\[5pt] Ⅱa&-6x=&3y-9&\quad \mid\;:(-6)\\[5pt] \hline Ⅰ&9y=&-15x\\[5pt] Ⅱb&x=&-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\\[5pt] \end{array}$
Ⅱbin Ⅰ einsetzenergibt:
$\begin{array}{rll} 9y=&-15\cdot(-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2})\\[5pt] 9y=&\frac{15}{2}y+\frac{45}{2}&\quad \mid\; -\frac{15}{2}y\\[5pt] \frac{3}{2}y=&\frac{45}{2}&\quad \mid\;:\frac{3}{2}\\[5pt] y=&15\\[5pt] \end{array}$
yin Ⅱb einsetzen:
$\begin{array}{rll} x=&-\frac{1}{2}\cdot15-\frac{3}{2}=-9\\[5pt] \mathbb{L}=&\{(-9\mid15)\} \end{array}$
2.
Bestimmung der Schnittpunkte der Geraden
a)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&0=&7x+8y+8\\[5pt] Ⅱ&0=&4x-y-40&\quad \mid\; +y\\[5pt] \hline Ⅰ&0=&7x+8y+8\\[5pt] Ⅱa&y=&4x-40\\[5pt] \end{array}$
Ⅱa in Ⅰ einsetzen ergibt:
$\begin{array}{rll} 0=&7x+8\cdot(4x-40)+8\\[5pt] 0=&7x+32x-320+8\\[5pt] 0=&39x-312&\quad \mid\; +312\\[5pt] 312=&39x&\quad \mid\;:39\\[5pt] x=&8\\[5pt] \end{array}$
x in Ⅱa einsetzen:
$\begin{array}{rll} y=&4\cdot8-40=-8\\[5pt] \mathbb{L}=&\{(8\mid-8)\} \end{array}$
$\begin{array}{rll}\mathbb{L}=&\{(8\mid-8)\} \end{array}$
b)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&0=&8x-7y-4\\[5pt] Ⅱ&0=&-4x+2y+8&\quad \mid\; -2y\\[5pt] \hline Ⅰ&0=&8x-7y-4\\[5pt] Ⅱa&-2y=&-4x+8&\quad \mid\;:(-2)\\[5pt] \hline Ⅰ&0=&8x-7y-4\\[5pt] Ⅱb&y=&2x-4\\[5pt] \end{array}$
Ⅱb in Ⅰ einsetzen ergibt:
$\begin{array}{rll} 0=&8x-7\cdot(2x-4)-4\\[5pt] 0=&8x-14x+28-4\\[5pt] 0=&-6x+24&\quad \mid\; +6x\\[5pt] 6x=&24&\quad \mid\;:6\\[5pt] x=&4\\[5pt] \end{array}$
x in Ⅱb einsetzen:
$\begin{array}{rll} y=&2\cdot4-4=4\\[5pt] \mathbb{L}=&\{(4\mid4)\} \end{array}$
$\begin{array}{rll}\mathbb{L}=&\{(4\mid4)\} \end{array}$
c)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&0=&15x-11y-1\\[5pt] Ⅱ&0=&-15x-9y+12&\quad \mid\; +15x\\[5pt] \hline Ⅰ&0=&15x-11y-1\\[5pt] Ⅱa&15x=&-9y+12&\quad \mid\;:15\\[5pt] \hline Ⅰ&0=&15x-11y-1\\[5pt] Ⅱb&y=&-\frac{3}{5}y+\frac{4}{5}\\[5pt] \end{array}$
Ⅱb in Ⅰ einsetzen ergibt:
$\begin{array}{rll} 0=&15\cdot(-\frac{3}{5}y+\frac{4}{5})-11y-1\\[5pt] 0=&-9y+12-11y-1\\[5pt] 0=&-20y+11&\quad \mid\; +20y\\[5pt] 20y=&11&\quad \mid\;:20\\[5pt] y=&\frac{11}{20}\\[5pt] \end{array}$
y in Ⅱb einsetzen:
$\begin{array}{rll} x=&(-\frac{3}{5})\cdot\frac{11}{20}+\frac{4}{5}=\frac{47}{100}\\[5pt] \mathbb{L}=&\left\{(\frac{47}{100}\mid\frac{11}{20})\right\} \end{array}$
$\begin{array}{rll}\mathbb{L}=&\left\{(\frac{47}{100}\mid\frac{11}{20})\right\} \end{array}$
d)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&0=&4x-2y+2&\quad \mid\; +2y\\[5pt] Ⅱ&0=&5x-18y-13\\[5pt] \hline Ⅰa&2y=&4x+2&\quad \mid\;:2\\[5pt] Ⅱ&0=&5x-18y-13\\[5pt] \hline Ⅰb&y=&2x+1\\[5pt] Ⅱ&0=&5x-18y-13\\[5pt] \end{array}$
Ⅰb in Ⅱ einsetzen ergibt:
$\begin{array}{rll} 0=&5x-18\cdot(2x+1)-13\\[5pt] 0=&5x-36x-18-13\\[5pt] 0=&-31x-31&\quad \mid\; +31x\\[5pt] 31x=&-31&\quad \mid\;:31\\[5pt] x=&-1\\[5pt] \end{array}$
x in Ⅰb einsetzen:
$\begin{array}{rll} y=&2\cdot(-1)+1=-1\\[5pt] \mathbb{L}=&\{(-1\mid-1)\} \end{array}$
$\begin{array}{rll}\mathbb{L}=&\{(-1\mid-1)\} \end{array}$
e)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&0=&9x-7y-19\\[5pt] Ⅱ&0=&2x-6y+18&\quad \mid\; -2x\\[5pt] \hline Ⅰ&0=&9x-7y-19\\[5pt] Ⅱa&-2x=&-6y+18&\quad \mid\;:(-2)\\[5pt] \hline Ⅰ&0=&9x-7y-19\\[5pt] Ⅱb&x=&3y-9\\[5pt] \end{array}$
Ⅱb in Ⅰ einsetzen ergibt:
$\begin{array}{rll} 0=&9\cdot(3y-9)-7y-19\\[5pt] 0=&27y-81-7y-19\\[5pt] 0=&20y-100&\quad \mid\; -20y\\[5pt] -20y=&-100&\quad \mid\;:(-20)\\[5pt] y=&5\\[5pt] \end{array}$
y in Ⅱb einsetzen:
$\begin{array}{rll} x=&3\cdot5-9=6\\[5pt] \mathbb{L}=&\{(6\mid5)\} \end{array}$
$\begin{array}{rll}\mathbb{L}=&\{(6\mid5)\} \end{array}$
f)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&0=&6x-7y-13\\[5pt] Ⅱ&0=&-2x+3y+5&\quad \mid\; +2x\\[5pt] \hline Ⅰ&0=&6x-7y-13\\[5pt] Ⅱa&2x=&3y+5&\quad \mid\;:2\\[5pt] \hline Ⅰ&0=&6x-7y-13\\[5pt] Ⅱb&x=&\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\\[5pt] \end{array}$
Ⅱb in Ⅰ einsetzen ergibt:
$\begin{array}{rll} 0=&6\cdot(\frac{3}{2}y+\frac{5}{2})-7y-13\\[5pt] 0=&9y+15-7y-13\\[5pt] 0=&2y+2&\quad \mid\; -2y\\[5pt] -2y=&2&\quad \mid\;:(-2)\\[5pt] y=&-1\\[5pt] \end{array}$
y in Ⅱb einsetzen:
$\begin{array}{rll} x=&\frac{3}{2}\cdot(-1)+\frac{5}{2}=1\\[5pt] \mathbb{L}=&\{(1\mid-1)\} \end{array}$
$\begin{array}{rll}\mathbb{L}=&\{(1\mid-1)\} \end{array}$
3.
Lösungen des LGS bestimmen
a)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&8y=&3x-7,5\\[5pt] Ⅱ&-12=&-4y&\quad \mid\;:(-4)\\[5pt] \hline Ⅰ&8y=&3x-\frac{15}{2}\\[5pt] Ⅱa&y=&3\\[5pt] \end{array}$
Ⅱain Ⅰ einsetzenergibt:
$\begin{array}{rll} 8\cdot3=&3x-\frac{15}{2}\\[5pt] 24=&3x-\frac{15}{2}&\quad \mid\; +\frac{15}{2}\\[5pt] 3x=&24+\frac{15}{2}\\[5pt] 3x=&\frac{63}{2}&\quad \mid\;:3\\[5pt] x=&\frac{21}{2}\\[5pt] \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{(\frac{21}{2}\mid3)\right\}$
b)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&3y=&-x-13\\[5pt] Ⅱ&-2x=&22+3y&\quad \mid\;:(-2)\\[5pt] \hline Ⅰ&3y=&-x-13\\[5pt] Ⅱa&x=&-11-\frac{3}{2}y\\[5pt] \end{array}$
Ⅱain Ⅰ einsetzenergibt:
$\begin{array}{rll} 3y=&-(-11-\frac{3}{2}y)-13\\[5pt] 3y=&11+\frac{3}{2}y-13\\[5pt] 3y=&-2+\frac{3}{2}y&\quad \mid\; -\frac{3}{2}y\\[5pt] \frac{3}{2}y=&-2&\quad \mid\;:\frac{3}{2}\\[5pt] y=&-\frac{4}{3}\\[5pt] \end{array}$
yin Ⅱa einsetzen:
$\begin{array}{rll} x=&-11-\frac{3}{2}\cdot(-\frac{4}{3})=-9\\[5pt] \mathbb{L}=&\left\{(-9\mid-\frac{4}{3})\right\} \end{array}$
c)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&-4=&-4x-5y\\[5pt] Ⅱ&0=&76+4x&\quad \mid\; -4x\\[5pt] \hline Ⅰ&-4=&-4x-5y\\[5pt] Ⅱa&-4x=&76&\quad \mid\;:(-4)\\[5pt] \hline Ⅰ&-4=&-4x-5y\\[5pt] Ⅱb&x=&-19\\[5pt] \end{array}$
Ⅱbin Ⅰ einsetzenergibt:
$\begin{array}{rll} -4=&(-4)\cdot(-19)-5y\\[5pt] -4=&76-5y&\quad \mid\; -76\\[5pt] -80=&-5y&\quad \mid\;:(-5)\\[5pt] y=&16\\[5pt] \end{array}$
$\mathbb{L}=\{(-19\mid16)\}$
d)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&0=&8+2y+3x\\[5pt] Ⅱ&-4=&-6x-2y&\quad \mid\; +6x\\[5pt] \hline Ⅰ&0=&8+2y+3x\\[5pt] Ⅱa&-2y=&-4+6x&\quad \mid\;:(-2)\\[5pt] \hline Ⅰ&0=&8+2y+3x\\[5pt] Ⅱb&y=&2-3x\\[5pt] \end{array}$
Ⅱbin Ⅰ einsetzenergibt:
$\begin{array}{rll} 0=&8+2\cdot(2-3x)+3x\\[5pt] 0=&8+4-6x+3x\\[5pt] 0=&12-3x&\quad \mid\; +3x\\[5pt] 3x=&12&\quad \mid\;:3\\[5pt] x=&4\\[5pt] \end{array}$
xin Ⅱb einsetzen:
$\begin{array}{rll} y=&2-3\cdot4=-10\\[5pt] \mathbb{L}=&\{(4\mid-10)\} \end{array}$
$\begin{array}{rll}\mathbb{L}=&\{(4\mid-10)\} \end{array}$
e)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&-3a=&4b+6&\quad \mid\;:(-3)\\[5pt] Ⅱ&18=&3a+2b\\[5pt] \hline Ⅰa&a=&-\frac{4}{3}b-2\\[5pt] Ⅱ&18=&3a+2b\\[5pt] \end{array}$
Ⅰain Ⅱ einsetzenergibt:
$\begin{array}{rll} 18=&3\cdot(-\frac{4}{3}b-2)+2b\\[5pt] 18=&-4b-6+2b\\[5pt] 18=&-2b-6&\quad \mid\; +6\\[5pt] 24=&-2b&\quad \mid\;:(-2)\\[5pt] b=&-12\\[5pt] \end{array}$
bin Ⅰa einsetzen:
$\begin{array}{rll} a=&(-\frac{4}{3})\cdot(-12)-2=14\\[5pt] \mathbb{L}=&\{(14\mid-12)\} \end{array}$
f)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&-4-6m=&-2n\\[5pt] Ⅱ&5+n=&2m&\quad \mid\; -5\\[5pt] \hline Ⅰ&-4-6m=&-2n\\[5pt] Ⅱa&n=&2m-5\\[5pt] \end{array}$
Ⅱain Ⅰ einsetzenergibt:
$\begin{array}{rll} -4-6m=&(-2)\cdot(2m-5)\\[5pt] -4-6m=&-4m+10&\quad \mid\; +4m\\[5pt] -4-2m=&10&\quad \mid\; +4\\[5pt] -2m=&14&\quad \mid\;:(-2)\\[5pt] m=&-7\\[5pt] \end{array}$
min Ⅱa einsetzen:
$\begin{array}{rll} n=&2\cdot(-7)-5=-19\\[5pt] \mathbb{L}=&\{(-7\mid-19)\} \end{array}$
$\begin{array}{rll}\mathbb{L}=&\{(-7\mid-19)\}\end{array}$
4.
Lösungen des LGS bestimmen
a)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&\frac{4}{3}y=&\frac{5}{3}-\frac{1}{2}x&\quad \mid\;:\frac{4}{3}\\[5pt] Ⅱ&-\frac{1}{4}y+1=&\frac{7}{16}x\\[5pt] \hline Ⅰa&y=&\frac{5}{4}-\frac{3}{8}x\\[5pt] Ⅱ&-\frac{1}{4}y+1=&\frac{7}{16}x\\[5pt] \end{array}$
Ⅰain Ⅱ einsetzenergibt:
$\begin{array}{rll} -\frac{1}{4}\cdot(\frac{5}{4}-\frac{3}{8}x)+1=&\frac{7}{16}x\\[5pt] -\frac{5}{16}+\frac{3}{32}x+1=&\frac{7}{16}x\\[5pt] \frac{11}{16}+\frac{3}{32}x=&\frac{7}{16}x&\quad \mid\; -\frac{3}{32}x\\[5pt] \frac{11}{16}=&\frac{11}{32}x&\quad \mid\;: \frac{11}{16}\\[5pt] x=&2\\[5pt] \end{array}$
xin Ⅰa einsetzen:
$\begin{array}{rll} y=&\frac{5}{4}-\frac{3}{8}\cdot2=\frac{1}{2}\\[5pt] \mathbb{L}=&\left\{(2\mid\frac{1}{2})\right\} \end{array}$
$\begin{array}{rll}\mathbb{L}=&\left\{(2\mid\frac{1}{2})\right\}\end{array}$
b)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&0=&\frac{1}{4}a+\frac{3}{10}+\frac{5}{2}b\\[5pt] Ⅱ&3=&2a-7b&\quad \mid\; +7b\\[5pt] \hline Ⅰ&0=&\frac{1}{4}a+\frac{3}{10}+\frac{5}{2}b\\[5pt] Ⅱa&2a=&7b+3&\quad \mid\;:2\\[5pt] \hline Ⅰ&0=&\frac{1}{4}a+\frac{3}{10}+\frac{5}{2}b\\[5pt] Ⅱb&a=&\frac{7}{2}b+\frac{3}{2}\\[5pt] \end{array}$
Ⅱbin Ⅰ einsetzenergibt:
$\begin{array}{rll} \frac{1}{4}\cdot(\frac{7}{2}b+\frac{3}{2})+\frac{3}{10}+\frac{5}{2}b=&0\\[5pt] \frac{7}{8}b+\frac{3}{8}+\frac{3}{10}+\frac{5}{2}b=&0\\[5pt] \frac{27}{8}b+\frac{27}{40}=&0&\quad \mid\; -\frac{27}{40}\\[5pt] \frac{27}{8}b=&-\frac{27}{40}&\quad \mid\;: \frac{27}{8}\\[5pt] b=&-\frac{1}{5}\\[5pt] \end{array}$
bin Ⅱb einsetzen:
$\begin{array}{rll} a=&\frac{7}{2}\cdot(-\frac{1}{5})+\frac{3}{2}=\frac{4}{5}\\[5pt] \mathbb{L}=&\left\{(\frac{4}{5}\mid-\frac{1}{5})\right\} \end{array}$
$\begin{array}{rll}\mathbb{L}=&\left\{(\frac{4}{5}\mid-\frac{1}{5})\right\}\end{array}$
c)
Gegeben:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&3x+\frac{1}{7}y+5=&7-2&\quad \mid\; -5\\[5pt] Ⅱ&13x+1=&3+\frac{1}{21}&\quad \mid\; -1\\[5pt] \hline Ⅰa&3x+\frac{1}{7}y=&0\\[5pt] Ⅱa&13x=&\frac{43}{21}&\quad \mid\;:13\\[5pt] \hline Ⅰa&3x+\frac{1}{7}y=&0\\[5pt] Ⅱb&x=&\frac{43}{273}\\[5pt] \end{array}$
Ⅱbin Ⅰa einsetzenergibt:
$\begin{array}{rll} 3\cdot\frac{43}{273}+\frac{1}{7}y=&0\\[5pt] \frac{43}{91}+\frac{1}{7}y=&0&\quad \mid\; -\frac{43}{91}\\[5pt] \frac{1}{7}y=&-\frac{43}{91}&\quad \mid\; \cdot 7\\[5pt] y=&-\frac{43}{13}\\[5pt] \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{(\frac{43}{273}\mid-\frac{43}{13})\right\}$
$\mathbb{L}=\left\{(\frac{43}{273}\mid-\frac{43}{13})\right\}$
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