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Modellieren

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Willst du ein reales Problem mit einem linearen Gleichungssystem modellieren, musst du folgende Punkte beachten:
  • lege für jede gesuchte Größe eine Variable an,
  • stelle für jede angegebene Bedingung eine Gleichung auf,
  • entscheide, welches Verfahren für das Lösen des LGS am einfachsten ist.
Beachte bei Textaufgaben immer prinzipiell folgendes Schaubild:
Rechnerische Lösungsverfahren: Modellieren
Rechnerische Lösungsverfahren: Modellieren
Gegeben ist immer eine reale Situation. Diese müssen wir so weit wie möglich vereinfachen, um dann ein reales Modell aufzustellen. Dieses Modell formulieren wir dann mathematisch, sodass wir ein mathematisches Modell erhalten. Mit diesem Modell können wir jetzt rechnen und das Problem mathematisch lösen. Es ist anschließend sehr wichtig die mathematische Lösung zu bewerten. Hierbei müssen wir uns nochmal die reale Situation anschauen und einen Antwortsatz formulieren.
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Aufgaben
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1.
Thomas ist dreimal so alt wie Lukas. Thomas sagt: „Vor vier Jahren war ich sogar viermal so alt wie Lukas.“. Wie alt sind Thomas und Lukas? Stelle ein Gleichungssystem auf.
2.
Anne und Viktor haben zusammen $40$ Euro. Anne sagt zu Viktor: „Wenn ich dir $5$ Euro gebe, haben wir genauso viel Geld.“. Wie viel Geld haben die beiden jeweils? Stelle ein Gleichungssystem auf.
3.
Frau Schneider will einen Obstsalat machen. Dabei stellt sie fest, dass sie noch Äpfel, Bananen und Kiwis braucht. Sie schickt ihren Sohn Marco mit einem Obstkorb zum Einkaufen. Er soll genau $12$ Früchte kaufen. Die Anzahl der Kiwis und Bananen zusammengenommen soll zweimal so groß sein wie die der Äpfel. Außerdem soll die Anzahl der Äpfel genau um eins größer sein, als die der Bananen. Wie viel Äpfel, Bananen und Kiwis muss Marco kaufen?
4.
Wir betrachten ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b$ und ein zweites Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $c$. Der Umfang des ersten Rechtecks soll anderthalb größer sein als der Umfang des zweiten Rechtecks. Die zweifache Länge der Seite $a$ ist dabei die Summe der Seite $b$ und dreimal die Seite $c$.
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Lösungen
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1.
Wie alt sind Thomas und Lukas?
Bezeichne mit der Variablen $x$ das Alter von Thomas und mit $y$ das Alter von Lukas. Dann folgt aus der Aussage „Thomas ist dreimal so alt wie Lukas. “ die Gleichung $$ x = 3y.$$ Aus der Aussage „Vor vier Jahren war Thomas viermal so alt wie Lukas.“ folgt die Gleichung $$ x-4 = 4 \cdot (y-4).$$ Benutze nun das Einsetzungsverfahren, um das LGS zu lösen.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x&=3y& \quad \\ \text{II}\quad&x-4&= 4 \cdot (y-4)&\quad\\ \hline \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x&=3y& \quad \\ \text{IIa}\quad&3y-4&= 4y - 16 \Longrightarrow y = 12 &\quad\\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x&=3y \\ \text{II}\quad&x-4&= 4 \cdot (y-4) \\ \end{array}$
Lukas ist also $12$ Jahre alt. Setzen wir nun das Alter von Lukas in die Bedingung $x = 3y$, so erhalten wir, dass Thomas $x = 36$ Jahre alt ist.
2.
Wie viel Geld haben Anne und Viktor jeweils?
Bezeichne mit der Variablen $x$ das Geld von Anne und mit der Variablen $y$ das von Viktor. Zusammengelegt müssen die beiden $40$ Euro haben. Daraus folgt die Gleichung $$x + y = 40. $$ Gibt nun Anne Viktor $5$ Euro ab, so hat Viktor $y + 5$ Euro und Anne $x - 5$ Euro. Diese beiden Beträge sind gleich. Also folgt daraus die Gleichung $$x - 5 = y + 5. $$ Benutze erneut das Einsetzungsverfahren , um das LGS zu lösen.
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x + y &=& 40\quad \\ \text{II}\quad&x - 5&=& y + 5\quad\\ \hline \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x&=& 40 - y\quad \\ \text{IIa}\quad&40 - y - 5&=& y + 5 \quad \Longrightarrow y = 15\\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad&x + y &=& 40 \\ \text{II}\quad&x - 5&=& y + 5 \\ \end{array}$
Viktor besitzt also $15$ Euro. Setze dies in die erste Gleichung $x = 40 - y$ ein, um den Betrag von Anne zu bekommen. Anne hat somit $25$ Euro.
3.
Obstsalat
Modelliere die Anzahl der Äpfel als $a$, die der Bananen als $b$ und die Anzahl der Kiwis als $k$. Hier siehst du, dass wir $3$ Variablen haben, somit benötigst du $3$ Gleichungen, um die Variablen eindeutig einem Wert zuzuordnen. Es sollen genau $12$ Früchte eingekauft werden. Daraus folgt die erste Gleichung $$ a + b + k = 12.$$ Nun heißt es, dass die Anzahl der Äpfel die Hälfte der Anzahl der Bananen und Kiwis zusammengenommen ist $$ b + k = 2a.$$ Im Obstkorb muss ein Apfel mehr liegen als Bananen. Also ist die dritte Gleichung $$a = b + 1.$$ Somit ergibt sich folgendes LGS, dabei bekommt jede Variable eine einzelne Spalte.
$\begin{array}{} \text{I}\quad& 12 &=& a ~~~~~+ b + k \\ \text{II}\quad& 0 &=& -2a + b + k \\ \text{III}\quad& 1 &=& a ~~~~~- b \\ \ \end{array}$
Benutze nun das Additionsverfahren. Ziehe Gleichung II von Gleichung I ab
$\begin{array}{} \text{Ia}\quad& 12 &=& 3a \Longrightarrow a = 4 \\ \text{II}\quad& 0 &=& -2a + b + k \\ \text{III}\quad& 1 &=& a ~~~~~- b \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{Ia}\quad& …\\ \text{II}\quad& …\\ \text{III}\quad& ..\\ \end{array}$
Die Anzahl der Äpfel ist also $4$. Setze dies in die dritte Gleichung ein, um die Anzahl der Bananen zu bestimmen $$ 1 = a - b = 4 - b.$$ Die Anzahl der Bananen ist also $b=3$. Die Anzahl der Kiwis ergibt sich, indem man die Werte für $a$ und $b$ in die zweite Gleichung einsetzt $$0 = -2a + b + k $$= -2 \cdot 4 + 3 + k.$$ Die Anzahl der Kiwis beträgt somit $k = 5$.
Marco muss also $4$ Äpfel, $3$ Bananen und $5$ Kiwis kaufen.
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