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Funktionen der Form y=mx

Aufgaben
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Aufgabe 1

Forme die Funktionsgleichungen in die Form $y=mx$ um.
a)
$y-x=0$
b)
$y+2x=0$
c)
$y-3x=-x$
d)
$y=x\cdot(7-2)-(y+x-y)$
e)
$y+x^2=(x+1)\cdot(x+2)-2$

Aufgabe 2

Zeichne den Graphen der Funktion in ein geeignetes Koordinatensystem im $x$-Bereich von $-2$ bis $3$.
a)
$y=x$
b)
$y=-2x$
c)
$y=3x$
d)
$y+x=0$
e)
$y-3x=x$
f)
$y=0,5\cdot x$
g)
$y=0,01\cdot x$

Aufgabe 3

Bestimme die fehlende Koordinate des Punktes so, dass er auf dem Graphen der Funktion mit der Gleichung $y=1,5\cdot x$ liegt.
a)
$A\,(x_a\mid1)$
b)
$B\,(x_b\mid3,25)$
c)
$C\,(3\mid y_c)$
d)
$D\,(-1\mid y_d)$
e)
$E\,(x_e\mid y_e)$

Aufgabe 4

Überprüfe, ob die Zahlenpaare einer proportionalen Zuordnung zu einer Fuktion der Form $y=mx$ gehören.
a)
xy
$-1$$2,35$
$0$$0$
$1$$-2,35$
$2$$-4,7$
$3$$-7,05$
b)
xy
$-3$$-12,5$
$2$$5$
$3$$8,5$
$6$$19$
$8$$26$
c)
xy
$-1$$0$
$1$$0$
$2$$0$
$3$$0$

Aufgabe 5

Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den Graphen in der Abbildung zu.
  1. $y=x$
  2. $y=0,2x$
  3. $y=-3x$
  4. $y=1,5x$
  5. $2y=0,4x$

Aufgabe 6

Überlege dir zu den folgenden Sachzusammenhängen passende Funktionsgleichungen der Form $y=mx$.
a)
Eine Badewanne wird mit Wasser gefüllt. Pro Minute fließen $10\,\text{l}$ Wasser in die Wanne.
b)
Im Supermarkt gibt es Schokolade in Blöcken von mehreren Tafeln zu kaufen. Ein Block enthält $5$ Tafeln.
c)
Eine Kerze brennt konstant ab. Pro Minute brennt etwa $0,1\,\text{cm}$ der Kerze ab.

Aufgabe 7

Für den Unterricht wird ein Experiment zum Thema Verdunstung durchgeführt. Dabei werden $50\,\text{ml}$ Wasser jeweils in einen breiten Messbecher, in ein Glas und in ein dünnes Reagenzglas gegeben und anschließend in die Sonne gestellt. Es wird jede Minute nachgemessen, wie viel Wasser bereits verdunstet ist.
Dabei kommt heraus, dass das Wasser konstant verdunstet. Im Reagenzglas waren nach $13$ Minuten $4,29\,\text{ml}$ verdunstet. Das Glas enthielt nach $9$ Minuten noch ca. $42,8\,\text{ml}$. Der große Messbecher war nach $40$ Minuten leer.
a)
Formuliere für jedes der drei Behältnisse eine Funktionsgleichung der Form $y=mx$.
b)
Gib für jede der Funktionsgleichungen sinnvolle Definitionsmengen $\mathbb{D}$ und Wertemengen $\mathbb{W}$ an.
c)
Zeichne die Graphen der drei Funktionen in ein geeignetes Koordinatensystem.

Aufgabe 8

Eigenschaften: Funktionen der Form y=mx
Abb. 2: Sir Isaac Newton.
Eigenschaften: Funktionen der Form y=mx
Abb. 2: Sir Isaac Newton.
Das zweite newtonsche Axiom lässt sich mit der folgenden Formel beschreiben:
$F=m\cdot a$
$F=m\cdot a$
Die Kraft $F$ entspricht der Masse $m$ eines Gegenstands mal der Beschleunigung $a$ dieses Gegenstands. Wenn nun z.B. ein Apfel vom Baum fällt, dann wird er durch die Gravitation der Erde beschleunigt. Diese entspricht der Konstante $g\approx9,8\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$. Die Einheit der Kraft wurde zu seinen Ehren $\text{N}$ (Newton) genannt.
a)
Formuliere eine Funktionsgleichung, die die Kraft in Abhängigkeit von der Masse angibt. Für die Beschleunigung kannst du die Erdbeschleunigung verwenden. Die Einheiten darfst du vernachlässigen.
b)
Bei einem Experiment im Physikunterricht haben die Schüler die Kraft in Abhängigkeit vom Gewich der Gegenstände gemessen und in eine Tabelle eingetragen. Daraus wollten sie die Gravitationskonstante $g$ berechnen.
Lars hat in der Pause folgenden Pause ausversehen seinen Orangensaft über seine Hefte gekippt, wodurch einige der Eintragungen in der Tabelle unleserlich geworden sind.
Hilf Lars die fehlenden Werte nachzurechnen und vervollständige die Tabelle. Lars erinnert sich noch, dass sie im Unterricht herausgefunden haben, dass die Beschleunigung, die sie bei ihrem Experiment erhalten haben, von den $9,8\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ abgewichen ist. Wie groß ist der Unterschied?
Masse $m$Kraft $F$
$0,1\,\text{kg}$$0,92\,\text{N}$
$0,32\,\text{kg}$
$3,68\,\text{N}$
$6,25\,\text{N}$
$1,1\,\text{kg}$
c)
Sir Isaac Newton hatte damals Glück, dass ihm nur ein Apfel auf den Kopf gefallen ist. Mit welcher Kraft landete der Apfel auf seinem Kopf, wenn du annimmst, dass der Apfel $0,23\,\text{kg}$ gewogen hat? Ab einer Kraft von $10\,\text{N}$ hätte Sir Isaac Newton am nächsten Tag noch starke Kopfschmerzen gehabt. Wieviele Äpfel hätten ihm gleichzeitig auf den Kopf fallen müssen, damit das passiert?
Bildnachweise [nach oben]
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Aufgabe 1

Forme die Funktionsgleichungen über Äquivalenzumformungen um, indem du beide Seiten der Gleichung mit dem selben Ausdruck verrechnest. Versuche dadurch die geforderte Schreibweise zu erreichen. Manchmal kann es hilfreich sein zuerst auszuklammern.
a)
$\begin{array}[t]{rll} y-x&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+x \\[5pt] y&=&x \\[5pt] \end{array}$
Die umgeformte Gleichung lautet $y=x$.
b)
$\begin{array}[t]{rll} y+2x&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-2x \\[5pt] y&=&-2x \\[5pt] \end{array}$
Die umgeformte Gleichung lautet $y=-2x$.
c)
$\begin{array}[t]{rll} y-3x&=&-x &\quad \scriptsize \mid\;+3x \\[5pt] y&=&-x+3x \\[5pt] y&=&2x \\[5pt] \end{array}$
Die umgeformte Gleichung lautet $y=2x$.
d)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&x\cdot(7-2)-(y+x-y) \\[5pt] y&=&x\cdot5-y-x+y \\[5pt] y&=&5x-x \\[5pt] y&=&4x \\[5pt] \end{array}$
Die umgeformte Gleichung lautet $y=4x$.
e)
$\begin{array}[t]{rll} y+x^2&=&(x+1)\cdot(x+2)-2 \\[5pt] y+x^2&=&x^2+2x+x+2-2 &\quad \scriptsize \mid\;-x^2\\[5pt] y&=&3x \\[5pt] \end{array}$
$y=3x$
Die umgeformte Gleichung lautet $y=3x$.

Aufgabe 2

Zeichne den Graphen der Funktion im angegebenen Bereich. Rechne am besten zuerst ein paar Punkte des Graphens aus und zeichne sie ein. Dadurch erleichtest du dir das Zeichnen. Außerdem kannst du dadurch sehen, in welchem $y$-Bereich sich dein Graphen bewegt. Es kann dir helfen, die Gleichung vor dem Zeichnen in die Form $y=mx$ zu bringen.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)

Aufgabe 3

Wenn du die fehlende Koordinate des Punktes bestimmen willst, dann setze die bekannte Koordinate in die gegebene Funktionsgleichung ein und löse nach der unbekannten Variablen. Die Funktionsgleichung lautet $y=1,5\cdot x$.
a)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&1,5\cdot x &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 1&=&1,5\cdot x &\quad \scriptsize \mid\;:1,5 \\[5pt] 0,67&\approx&x \\[5pt] \end{array}$
Der Punkt hat die Koordinaten $A\,(0,67\mid1)$.
b)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&1,5\cdot x &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] 3,25&=&1,5\cdot x &\quad \scriptsize \mid\;:1,5 \\[5pt] 2,17&\approx&x \\[5pt] \end{array}$
Der Punkt hat die Koordinaten $B\,(2,17\mid3,25)$.
c)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&1,5\cdot x &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] y&=&1,5\cdot 3 \\[5pt] y&=&4,5 \\[5pt] \end{array}$
Der Punkt hat die Koordinaten $C\,(3\mid4,5)$.
d)
$\begin{array}[t]{rll} y&=&1,5\cdot x &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] y&=&1,5\cdot(-1) \\[5pt] y&=&-1,5 \\[5pt] \end{array}$
Der Punkt hat die Koordinaten $D\,(-1\mid-1,5)$.
e)
Bei dieser Aufgabe sind beide Koordinaten variabel. Du kannst also eine Koordinate festlegen und davon ausgehend die andere berechnen. Du kannst z.B. definieren, dass $x_e=0$ gilt.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&1,5\cdot x &\quad \scriptsize \mid\;\text{einsetzen} \\[5pt] y&=&1,5\cdot0 \\[5pt] y&=&0 \\[5pt] \end{array}$
Der Punkt hat z.B. die Koordinaten $E\,(0\mid0)$.

Aufgabe 4

Es gibt unterschiedliche Herangehensweisen, wenn du überprüfen willst, ob die Zahlenpaare zu einer Funktion der Form $y=mx$ gehören. Wenn dem so ist, dann verläuft die Funktion durch den Ursprung mit den Koordinaten $U\,(0\mid0)$. Wenn der $y$-Wert bei $x=0$ nicht gegeben ist, dann kannst du z.B. den Graphen der Funktion zeichnen und überprüfen, ob dieser durch den Ursprung läuft.
a)
Die Zahlenpaare gehören zu einer proportionalen Zuordnung und die Zuordnung verläuft durch den Punkt $P\,(0\mid0)$. Demnach muss es sich um eine Funktion der Form $y=mx$ handeln.
b)
In der Zeichnung ist eindeutig zu erkennen, dass die Zuordnung nicht zu einer Funktion der Form $y=mx$ gehört, weil sie nicht durch den Ursprung verläuft.
c)
Anhand der gegebenen Zahlenpaare ist eindeutig zu erkennen, dass der $y$-Wert bei jedem $x$-Wert immer $0$ beträgt. Demnach wird der $y$-Wert auch bei $x=0$ Null sein. Demnach verläuft die Zurodnung durch den Ursprung und gehört zu einer Funktion der Form $y=mx$.

Aufgabe 5

Überlege dir anhand der gegebenen Gleichungen, wie der Graph der Funktion aussehen müsste und vergleiche deine Überlegungen mit der Abbildung. Alternativ kannst du ein paar Punkte für jede Gleichung berechnen und den Graphen suchen, der durch diese Punkte verläuft.
Gleichung 1: $\boldsymbol{y=x}$
Die Funktion steigt für jeden Schritt auf der $x$-Achse um $1$ auf der $y$-Achse. Der Graph müsste durch die Punkte $P_1\,(1\mid1)$ und $P_2\,(2\mid2)$ verlaufen. Das trifft auf den Graphen $h$ zu.
Gleichung 2: $\boldsymbol{y=0,2x}$
Die Funktion steigt für jeden Schritt auf der $x$-Achse nur um $0,2$ auf der $y$-Achse. Der Graph müsste viel flacher als der Graph der Gleichung 1 sein. Das trifft auf den Graphen $i$ zu.
Gleichung 3: $\boldsymbol{y=-3x}$
Die Funktion fällt für jeden Schritt auf der $x$-Achse um $-3$ auf der $y$-Achse. Wenn du die Gleichung mit den anderen Gleichungen vergleichst, dann muss der Graph der einzige Graph sein, der fällt. Das trifft auf den Graphen $f$ zu.
Gleichung 4: $\boldsymbol{y=1,5x}$
Die Funktion steigt für jeden Schritt auf der $x$-Achse um $1,5$ auf der $y$-Achse. Der Graph muss demnach stärker steigen als der Graph der Gleichung 1. Das trifft auf den Graphen $g$ zu.
Gleichung 5: $\boldsymbol{2y=0,4x}$
Formst du die Gleichung um, sodass kein Vorfaktor vor dem $y$ steht, dann erhältst du die Gleichung $y=0,2x$, die identisch zu Gleichung 2 ist. Die beiden Gleichungen sind also dem selben Graphen, also Graph $i$, zuzuordnen.

Aufgabe 6

Wenn du eine passende Funktionsgleichung aufstellen willst, dann überlege dir, um wieviel der $y$-Wert steigt, wenn du einen Schritt auf der $x$-Achse gehst. Diese Steigerung entspricht der Steigung $m$ in der Gleichung der Funktion. Mache dir vorher klar, welche Größe auf der $x$- und welche Größe auf der $y$-Achse dargestellt wird.
a)
Hier wird die Zeit in Minuten gegen die Menge an Wasser in der Badewanne aufgetragen. Pro Minute fließen $10\,\text{l}$ Wasser in die Badewanne. Die passende Gleichung lautet demnach: $y=10x$.
b)
Hier wird die Anzahl an Schokoladenblöcken gegen die Anzahl an Schokoladentafeln aufgetragen. Pro Block sind $5$ Tafeln Schokolade enthalten. Die passende Gleichung lautet demnach: $y=5x$.
c)
Hier wird die Zeit in Minuten gegen die heruntergebrannte Kerzenhöhe in $\text{cm}$ aufgetragen. Pro Minute brennt die Kerze $0,1\,\text{cm}$ herunter. Die passende Gleichung lautet demnach: $y=0,1x$.

Aufgabe 7

a)
Überlege dir für jedes der drei Behältnisse, was du über die Verdunstung des Wassers weißt und versuche daraus, wie in Aufgabe 6 eine passende Funktionsgleichung zu formulieren. Überlege dir vorher, welchen genauen Sachzusammenhang du darstellen willst. Gib jeder deiner Funktionsgleichungen einen Namen, damit sie einfacher unterschieden werden können.
Dargestellt wird die Menge an verdunstetem Wasser in Abhängigkeit von der Zeit in Minuten.
Messbecher
Der große Messbecher war nach $40$ Minuten komplett leer, d.h. innerhalb dieser Zeit müssen alle $50\,\text{ml}$ Wasser verdunstet sein. Rechne die Menge an Wasser aus, die pro Minute verdunstet ist, indem du die Menge an Wasser durch die Zeit teilst.
$\dfrac{50\,\text{ml}}{40\,\text{min}}=1,25\,\frac{\text{ml}}{\text{min}}$
Pro Minute sind also $1,25\,\text{ml}$ Wasser verdunstet. Daraus kannst du auf die Funktionsgleichung schließen. Sie lautet $f:y=1,25x$.
Glas
Das Glas enthielt nach $9$ Minuten noch $42,8\,\text{ml}$, d.h. innerhalb dieser Zeit müssen die anderen $50\,\text{ml}-42,8\,\text{ml}=7,2\,\text{ml}$ verdunstet sein. Rechne die Menge an Wasser aus, die pro Minute verdunstet ist, indem du die Menge an Wasser durch die Zeit teilst.
$\dfrac{7,2\,\text{ml}}{9\,\text{min}}=0,8\,\frac{\text{ml}}{\text{min}}$
Pro Minute sind also $0,8\,\text{ml}$ Wasser verdunstet. Daraus kannst du auf die Funktionsgleichung schließen. Sie lautet $g:y=0,8x$.
Reagenzglas
Aus dem Reagenzglas sind innerhalb von $13$ Minuten $4,29\,\text{ml}$ Wasser verdunstet. Rechne die Menge an Wasser aus, die pro Minute verdunstet ist, indem du die Menge an Wasser durch die Zeit teilst.
$\dfrac{4,29\,\text{ml}}{13\,\text{min}}=0,33\,\frac{\text{ml}}{\text{min}}$
Pro Minute sind also $0,33\,\text{ml}$ Wasser verdunstet. Daraus kannst du auf die Funktionsgleichung schließen. Sie lautet $h:y=0,33x$.
b)
Überlege dir für jede der Gleichungen, welcher Definitions- und Wertebereich Sinn ergibt und gib sie als Intervall an. Ein Intervall kann z.B. so aussehen $\mathbb{D}=[0;4]_\mathbb{Z}$. Dieses Intervall würde aussagen, dass alle ganzen Zahlen zwischen $0$ und $4$ zum Definitionsbereich gehören. Denke bei dieser Aufgabe nicht nur mathematisch sondern auch logisch.
Überlege dir, was der Wertebereich im Sachzusammenhang angibt.
Messbecher
Der Wertebereich muss von $0$ bis $50$ reichen und alle rationalen Zahlen umfassen. Der Messbecher kann nicht mehr als $50\,\text{ml}$ enthalten und nicht weniger als $0\,\text{ml}$. Auch würde es keinen Sinn ergeben, wenn nur ganze Zahlen herauskommen dürften, da ansonsten die Verdunstung in Sprüngen und nicht gleichmäßig stattfinden würde.
Der Definitionsbereich muss so gewählt sein, damit nur die Zahlen des Wertebereichs herauskommen. Du musst dich also fragen, wann wird meine aufgestellte Funktion $0$ bzw. $50$. Im Falle des Messbechers weißt du bereits beide Werte aus der Aufgabenstellung. Am Anfang ist noch nichts verdunstet und nach $40$ Minuten ist der Messbecher leer
Die Funktion $f$ besitzt den Definitionsbereich $\mathbb{D}_f=[0;40]_\mathbb{Q}$ und den Wertebereich $\mathbb{W}_f=[0;50]_\mathbb{Q}$.
Glas
Für das Glas musst du die selben Überlegungen anstellen, wie für den Messbecher. Logischerweise muss der Wertebereich identisch zu dem des Messbechers sein. Du musst noch klären, wann die Funktion des Glases die entsprechenden Werte annimmt.
Wie beim Messbecher startet das Glas bei $x=0$ und $y=0$. Setze außerdem noch $y=50$ in die Funktionsgleichung ein und berechne den $x$-Wert bei dem das gilt.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&0,8x &\quad \scriptsize \mid\;y=50 \\[5pt] 50&=&0,8x &\quad \scriptsize \mid\;:0,8 \\[5pt] 62,5&=&x \\[5pt] \end{array}$
Damit kennst du nun auch die zweite Grenze des Definitionsbereichs.
Die Funktion $g$ besitzt den Definitionsbereich $\mathbb{D}_g=[0;62,5]_\mathbb{Q}$ und den Wertebereich $\mathbb{W}_g=[0;50]_\mathbb{Q}$.
Reagenzglas
Auch hier ist der Wertebereich und die untere Grenze des Definitionsbereich identisch. Berechne zuletzt noch den $x$-Wert bei dem $y=50$ gilt.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&0,33x &\quad \scriptsize \mid\;y=50 \\[5pt] 50&=&0,33x &\quad \scriptsize \mid\;:0,33 \\[5pt] 151,15&\approx&x \\[5pt] \end{array}$
Damit kennst du nun auch die zweite Grenze des Definitionsbereichs.
Die Funktion $h$ besitzt den Definitionsbereich $\mathbb{D}_h=[0;151,15]_\mathbb{Q}$ und den Wertebereich $\mathbb{W}_h=[0;50]_\mathbb{Q}$.
c)
Zeichne nun deine drei Funktionen mit den vorher bestimmten Definitonsbereichen in ein Koordinatensystem. Überlege dir, wie weit du in $x$- und wie weit du in $y$-Richtung gehen musst. Beschrifte außerdem noch die Achsen und die Graphen.

Aufgabe 8

a)
Die Grundform der Funktion hast du bereits gegeben. Du sollst die Kraft $F$ in Abhängigkeit von der Masse $m$ eines Gegenstands angeben. Dabei ist die Beschleunigung $a$ mit $9,8$ angegeben.
Die Gleichung lautet: $F=0,98\cdot m$.
b)
Für diese Aufgabe darfst du die Funktionsgleichung, die du im vorherigen Aufgabenteil aufgestellt hast nicht verwenden, da Lars sich daran erinnert, dass die gemessene Beschleunigung nicht den $0,98$ entsprach. Die Grundformel bleibt gleich. Außerdem hast du in der Tabelle ein Wertepaar gegeben. Stetze dieses Wertepaar in die Grundformel ein und berechne die Beschleunigung $a$.
$\begin{array}[t]{rll} F&=&m\cdot a &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] 0,92&=&0,1\cdot a &\quad \scriptsize \mid\; :0,1\\[5pt] 9,2&=&a &\quad \scriptsize \mid\; :0,1\\[5pt] \end{array}$
Die von Lars Klasse bestimmte Beschleunigung beträgt $9,2$. Die Formel für die Werte in der Tabelle lautet demnach $y=9,2\cdot m$. Berechne damit die fehlenden Werte in der Tabelle. Die ausgefüllte Tabelle sieht so aus:
Masse $m$Kraft $F$
$0,1\,\text{kg}$$0,92\,\text{N}$
$0,32\,\text{kg}$$2,94\,\text{N}$
$0,4\,\text{kg}$$3,68\,\text{N}$
$0,68\,\text{kg}$$6,25\,\text{N}$
$0,1\,\text{kg}$$10,1\,\text{N}$
Der Unterschied zwischen der Erdbeschleunigung und dem Wert, den Lars Klasse bestimmt hat, beträgt $0,98-0,92=0,06$.
c)
Zuerst sollst du die Kraft des Apfels mit dem angegebenen Gewicht bestimmen. Verwende dazu die Gleichung, die du in Aufgabenteil a) bestimmt hast. Anschließend musst du dir überlegen, wie viele Äpfel zusammen die Grenze von $10\,\text{N}$ überschreiten würden.
Das Gewicht des Apfels beträgt $0,23\,\text{kg}$. Die Formel lautet $F=9,8\cdot m$.
$\begin{array}[t]{rll} F&=&9,8\cdot m &\quad \scriptsize \mid\; \text{einsetzen}\\[5pt] F&=&9,8\cdot 0,23\\[5pt] F&=&2,25\\[5pt] \end{array}$
Der Apfel hat eine Kraft von $2,25\,\text{N}$. $n$ Äpfel erreichen gemeinsam eine Kraft von $10\,\text{N}$. Du kannst also die Gleichung $10\,\text{N}=n\cdot 2,25\,\text{N}$ aufstellen und nach $n$ umformen.
$\begin{array}[t]{rll} 10\,\text{N}&=&n\cdot 2,25\,\text{N} &\quad \scriptsize \mid\; :2,25\,\text{N}\\[5pt] 4,44&=&n\\[5pt] \end{array}$
Aufgerundet hätten also $5$ Äpfel gleichzeitig auf Isaac Newtons Kopf landen müssen, damit eine Kraft von mehr als $10\,\text{N}$ erreicht werden würde.
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